Định Luật Gauss Trong Vật Lý đại Cương - 123doc

Dành cho các bạn sinh viên các trường đại học cao đẳng trên toàn quốc.Bài giảng là tâm huyết cả đời của quý thầy cô được biên soạn tỉ mĩ, chọn lọc giúp sinh viên hoàn thành môn học cũng như vận dụng kiến thức vào thực tiễn ngành học của mình.Nguồn: Trường Đại học Bách KhoaĐHQG TP HCM

Định luật Gauss

Lê Quang Nguyên www4.hcmut.edu.vn/~leqnguyen

nguyenquangle59@yahoo.com

Nội dung

1 Thông lượng dòng nước

2 Thông lượng điện trường (điện thông)

3 Định luật Gauss

4 Dạng vi phân của định luật Gauss

5 Tìm điện trường bằng định luật Gauss

1 Thông lượng dòng nước – 1

• Xét dòng nước thẳng đều vận tốc v, và bề

mặt diện tích S vuông góc dòng chảy

• Thông lượng nước qua (S) = thể tích nước

qua (S) trong một đơn vị thời gian:

v

S

Thể tích nước

trong hình trụ

này sẽ đi qua (S)

trong một giây

vS

Φ =

1 Thông lượng dòng nước – 2

• Nếu (S) tạo một góc với dòng nước :

• Ф có thể âm hay dương tùy theo góc α

v

α

݊

cos

Thể tích nước trong hình trụ nghiêng này sẽ

đi qua (S) trong một giây

Mặt cong (S)

Dòng nước

1 Thông lượng dòng nước – 3

• Dòng nước bất kỳ, mặt cong (S) bất kỳ

• Chia (S) làm nhiều phần nhỏ diện tích dS

dS

ݒԦ

݊

1 Thông lượng dòng nước – 4

• Có thể coi mỗi phần dS là phẳng, và dòng chảy qua đó là thẳng đều Do đó,

• thông lượng qua dS là:

• v, n là vectơ vận tốc và pháp vectơ trên dS

• Thông lượng qua cả mặt cong (S) sẽ là tổng thông lượng qua tất cả các phần dS:

cos

dΦ =vdS α = ⋅v ndS

( ) S

Φ =∫ Φ = ∫
⋅

ݒԦ

ݒԦ

1 Thông lượng dòng nước – 5

• Nếu (S) là mặt kín thì ta quy ước chọn n

hướng ra ngoài mặt (S)

• Do đó thông lượng nước qua một mặt kín =

thông lượng ra − thông lượng vào

Thông lượng ra

là dương

Thông

lượng

vào là âm

݊

݊

݊

ݒԦ

2 Thông lượng điện trường – Định nghĩa

• Tương tự, ta định nghĩa thông lượng điện trường qua một mặt (S) bất kỳ:

• với
,  là vectơ điện trường và pháp vectơ trên dS

• Điện thông có thể âm hay dương tùy theo góc giữa
và 

• Đối với mặt (S) kín, pháp vectơ cũng được chọn hướng ra ngoài

( ) S

S

E ndS

Φ =∫
⋅

Đơn vị V.m

2 Thông lượng điện trường – Ý nghĩa

• Điện thông qua dS ⊥ điện trường: dΦ = EdS

• EdS = số đường sức đi qua dS

• Do đó điện thông Φ qua (S) bằng số đường

sức qua (S)

• Φ > 0 khi các đường sức đi theo chiều của

pháp vectơ,

• Φ < 0 khi chúng theo chiều ngược lại

• Φ qua một mặt kín = số đường sức ra − số

đường sức vào

E = mật độ đường sức trên bề mặt ⊥ E

E

−q 1

−q 3

q 2

q 5

−q 4

3a Định luật Gauss – 1

• Điện thông qua mặt kín (S) bằng tổng các điện tích trong (S) chia cho ε0:

0

S S

Q ε

Φ = QS =q2 +q5 −q1

3a Định luật Gauss – 2

Ф > 0

q > 0

Ф < 0

q < 0

Ф = 0 q

3b Định luật Gauss & dòng nước – 1

Nước vào

⇨ Lưu lượng qua (S) = 0

Mặt kín (S)

Nước ra

Nước vào = Nước ra

3b Định luật Gauss & dòng nước – 2

Nước vào

⇨ Lưu lượng qua (S) > 0

Mặt kín (S)

Nước ra

Nước vào < Nước ra

Cá phun nước ~ điện tích dương

3b Định luật Gauss & dòng nước – 3

Nước vào

⇨ Lưu lượng qua (S) < 0

Mặt kín (S)

Nước ra

Nước vào > Nước ra

Cá uống nước ~ điện tích âm

3b Định luật Gauss & dòng nước – 4

Nước vào

⇨ Lưu lượng qua (S) = 0

Mặt kín (S)

Nước ra

Nước vào = Nước ra

Cá ở ngoài không thể thay đổi lưu lượng

4a Divergence (div)

• (ΔS) là mặt kín nhỏ bao quanh

M

• Thể tích giới hạn trong (ΔS) là ΔV,

• điện thông qua (ΔS) là ΔΦ

M (ΔS)

ΔV

E

4a Divergence (div) (tt)

• divergence của điện trường tại M:

• Ý nghĩa: divE là điện thông tính trên một

đơn vị thể tích

• Trong tọa độ Descartes divE có biểu thức:

0

V

E

V

∆ →

∆Φ

=

∆

E

∂

4b Dạng vi phân của định luật Gauss

• Áp dụng định luật Gauss cho (ΔS), trong đó

có chứa điện tích ΔQ:

0

Q ε

∆

∆Φ =

0

1

Q

=

0

divE ρ

ε

=

Mật độ điện tích ρ

divE

Bài tập 1 Một mặt cầu tâm O bán kính R được đặt trong

điện trường

với  là vectơ vị trí vẽ từ O, ρ là một hằng số

dương Điện tích chứa trong mặt cầu bằng:

0 2

r E

r

ρ εε

=

2

2

3

4

3

2

q= πρR

Trả lời BT1 - 1

•
song song :

• Điện thông qua (S):

0 2

r E

r

ρ εε

=

E

(S)

n

n

E

0

2

εε

2

( )

4 S

S

EdS E πR

2 2 S

R πρ εε

Φ =

Trả lời BT1 - 2

• Định luật Gauss trong

điện môi:

• Suy ra điện tích trong

mặt cầu:

• Câu trả lời đúng là (b)

2

Q =εε Φ = πρR

E

(S)

n

n

E

0

S

S

Q

εε

Φ =

5a Dây tích điện dài vô hạn Cho một dây không dẫn điện, dài vô hạn, tích điện đều với mật độ λ > 0 Tìm điện trường ở khoảng cách r tính từ trục của dây

5a.1

E

E

Nhìn từ trên xuống

• Điện trường có tính đối

xứng trụ

• Vẽ mặt trụ (S) đồng trục với

dây,

• E ⊥ mặt bên của (S) và,

• có độ lớn không đổi trên đó:

• Φܵ = 
 =

ặ ê

(S)

(S)

n

5a.2

• Điện thông qua (S):

• Theo định luật Gauss:

• Suy ra:

2

Φ = ⋅

0

S S

Q ε

Φ =

0

2

E

r

λ πε

=

(S)

E

r

h

QS = λh

0

h λ ε

=

• Phương pháp:

• Chọn mặt Gauss (S) có tính đối xứng của hệ, sao cho:

• Φܵ =


5b Vỏ trụ và hình trụ dài vô hạn

E

Nhìn ngang

R

0

2

0

r R r

E

r R

λ πε



≥



= 



Vỏ trụ mật

độ điện dài

λ

Hình trụ

đặc mật độ

điện dài λ,

mật độ

điện khối ρ

E

0

0

2

2

r R r

E

λ πε ρ ε



≥





= 



5c Mặt phẳng vô hạn tích điện đều

0 2 E σ ε

= Điện trường đều:

5d Vỏ cầu và quả cầu tích điện đều

Vỏ cầu điện

tích Q

Quả cầu

đặc điện

tích Q, mật

độ ρ

2 0

4

0

Q

r E

πε



≥



= 



2 0

0

4

3

Q

r E

πε ρ ε



≥





= 



E

E

Bài tập 2 Điện tích Q > 0 được phân bố đều trong quả cầu bán kính R, tâm O Đặt một điện tích điểm

Q ở vị trí x = 2R trên trục x Điện trường ở x = R/2 là:









O

Q

Trả lời BT 2

1

0

R

ε

Q R

ρ π

=

0

8

Q

E

R

πε

=

0

Q

E

R πε

=

0

9

Q

E

R

πε

=

O E1

x

R/2

O

x

E2

3R/2

0

1

72

Q

R πε

Bài tập 3 Cho một quả cầu tâm O, tích điện đều với mật độ khối ρ, trong đó có một phần rỗng hình cầu, có tâm O’ cách O một đoạn

a

Hãy tìm điện trường trong phần rỗng

a

O

Trả lời BT 3 - 1

O

= O ݎԦ2 +

ݎԦ1

=
+

ݎԦ1

ݎԦ2

ݎԦ

2

ݎԦ

1

ܽ Ԧ

ܧ

1

ݎԦ

2

ݎԦ

1

ܽ Ԧ

0

3

ε

=

0 3

ε

=

0

3

ε

0 3

ε

=

Điện trường đều

ܧ

E

Bài tập 4 Một không gian mang điện với mật độ điện

khối ρ = ρ0/r, ρ0 là một hằng số dương, r là

khoảng cách tính từ gốc tọa độ Biểu thức của

điện trường theo vị trí r có dạng:

0

0

2

r E

r

ρ

ε

0

0

E

r

ρ ε

0

0

3

r E

r

ρ

ε

Trả lời BT 4 - 1

• ρ có tính đối xứng cầu nên
cũng thế

• Chọn mặt Gauss là mặt cầu tâm O bán kính r

• Điện thông qua (S):

• Q là điện tích trong (S)

• Vậy:

2

0

2 0 4

Q E

r πε

=

E

(S)

r

Trả lời BT 4 - 2

• Xét lớp cầu có bán kính từ

u đến u + du

• Mỗi lớp có thể tích:

• và điện tích:

• Suy ra điện tích trong (S):

2 4

dV = πu du

0

4

u

ρ

π

=

0

4

r

Q= πρ ∫udu

r

(S)

0

4πρ udu

=

2 0

2πρ r

=

u

du

Trả lời BT 4 - 3

• Vậy:

• Câu trả lời đúng là (a)

0

0 2

ε

=

2 0

2

r Q

E

πρ

0

0 2

r E

r

ρ ε

E

(S)

r