Định Luật Số Lớn Và định Lý Giới Hạn. Luật Số Lớn

Trang chủ » định Luật Số Lớn Là Gì » Định Luật Số Lớn Và định Lý Giới Hạn. Luật Số Lớn

Có thể bạn quan tâm

Nếu hiện tượng bền vững Trung bình diễn ra trong thực tế, thì trong mô hình toán học mà chúng ta nghiên cứu các hiện tượng ngẫu nhiên, phải có một định lý phản ánh thực tế này. Theo các điều kiện của định lý này, chúng tôi đưa ra các hạn chế đối với các biến ngẫu nhiên X 1 , X 2 , …, X n:

a) mỗi biến ngẫu nhiên Tôi có kỳ vọng toán học

M(Tôi) = một;

b) phương sai của mỗi biến ngẫu nhiên là hữu hạn, hoặc chúng ta có thể nói rằng các phương sai được giới hạn từ phía trên bởi cùng một số, chẳng hạn Với, I E.

D(Tôi) < C, i = 1, 2, …, N;

c) các biến ngẫu nhiên độc lập theo từng cặp, tức là hai biến bất kỳ X tôi và Xj tại tôi¹ j sống độc lập.

Vậy thì rõ ràng là

D(X 1 + X 2 + … + X n)=D(X 1) + D(X 2) + ... + D(X n).

Hãy để chúng tôi xây dựng luật số lớn ở dạng Chebyshev.

Định lý Chebyshev: với sự gia tăng không giới hạn về số lượng N các bài kiểm tra độc lập " trung bình cộng của các giá trị quan sát của một biến ngẫu nhiên hội tụ về xác suất thành kỳ vọng toán học của nó ”, Tức là cho bất kỳ tích cực nào ε

R(| –a | < ε ) = 1. (4.1.1)

Ý nghĩa của biểu thức "trung bình cộng = hội tụ theo xác suất thành một " đó có phải là xác suất mà sẽ khác tùy ý một chút so với một, tiếp cận 1 vô hạn dưới dạng số N.

Bằng chứng.Đối với một số hữu hạn N kiểm tra độc lập, chúng tôi áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho một biến ngẫu nhiên = :

R(| –M()| < ε ) ≥ 1 – . (4.1.2)

Có tính đến các hạn chế a - b, chúng tôi tính toán M( ) và D( ):

M( ) = = = = = = một;

D( ) = = = = = = .

Thay thế M( ) và D( ) thành bất đẳng thức (4.1.2), chúng ta thu được

R(| –a | < ε )≥1 – .

Nếu theo bất đẳng thức (4.1.2), chúng ta lấy một giá trị nhỏ tùy ý ε > 0 và N® ¥, sau đó chúng tôi nhận được

= 1,

chứng minh định lý Chebyshev.

Một kết luận thực tế quan trọng sau định lý đã xem xét: chúng ta có quyền thay thế giá trị chưa biết của kỳ vọng toán học của một biến ngẫu nhiên bằng giá trị trung bình cộng thu được từ một số lượng đủ lớn các thí nghiệm. Trong trường hợp này, càng nhiều thử nghiệm để tính toán, thì càng có nhiều khả năng (đáng tin cậy) rằng lỗi liên quan đến sự thay thế này ( - một) sẽ không vượt quá giá trị đã cho ε .

Ngoài ra, các vấn đề thực tế khác có thể được giải quyết. Ví dụ, theo các giá trị của xác suất (độ tin cậy) R=R(| – a | 0 dương nào, phát biểu của định lý Chebyshev là: .

d) Định lý Poisson.

Với sự gia tăng không giới hạn về số lượng các thử nghiệm độc lập trong các điều kiện thay đổi, tần suất của sự kiện NHƯNG hội tụ xác suất thành giá trị trung bình cộng của các xác suất của nó trong các thử nghiệm này.

Nhận xét. Không có dạng nào của quy luật số lớn mà chúng ta xử lý quy luật phân phối của các biến ngẫu nhiên. Câu hỏi liên quan đến việc tìm luật phân phối giới hạn cho tổng khi số hạng tăng lên vô hạn được coi là định lý giới hạn trung tâm. được phân phối giống nhau, khi đó chúng ta đi đến định lý tích phân Moivre-Laplace (§ 6 § 3), đây là trường hợp cụ thể đơn giản nhất của định lý giới hạn trung tâm.

Ở phần đầu của khóa học, chúng ta đã nói rằng các quy luật toán học của lý thuyết xác suất có được bằng cách trừu tượng hóa các quy luật thống kê thực tế vốn có trong các hiện tượng ngẫu nhiên hàng loạt. Sự hiện diện của các mẫu này liên quan chính xác với bản chất khối lượng của hiện tượng, nghĩa là với một số lượng lớn các thí nghiệm đồng nhất được thực hiện hoặc với một số lượng lớn các tác động ngẫu nhiên tạo ra trong tổng thể của chúng một biến ngẫu nhiên tuân theo một quy luật xác định rõ. Tính chất ổn định của các hiện tượng ngẫu nhiên hàng loạt đã được loài người biết đến từ thời cổ đại. Trong bất kỳ lĩnh vực nào nó có thể xuất hiện, bản chất của nó tóm lại ở những điểm sau: các đặc điểm cụ thể của từng hiện tượng ngẫu nhiên riêng lẻ hầu như không ảnh hưởng đến kết quả trung bình của khối lượng và các hiện tượng đó; những sai lệch ngẫu nhiên so với mức trung bình, tất yếu trong từng hiện tượng riêng lẻ, trong khối lượng bị loại bỏ lẫn nhau, san bằng, san bằng. Chính sự ổn định này của số trung bình là nội dung vật lý của “quy luật số lớn”, hiểu theo nghĩa rộng của từ này: với một số lượng rất lớn các hiện tượng ngẫu nhiên, kết quả trung bình của chúng thực tế không còn là ngẫu nhiên và có thể dự đoán được. với độ chắc chắn cao.

Theo nghĩa hẹp của từ này, “quy luật số lớn” trong lý thuyết xác suất được hiểu là một số định lý toán học, trong mỗi định lý, với những điều kiện nhất định, thực tế là tính gần đúng của các đặc trưng trung bình của một số lượng lớn các thí nghiệm. đến một số hằng số cụ thể được thiết lập.

Trong 2.3, chúng tôi đã đưa ra công thức đơn giản nhất trong số các định lý này, định lý J. Bernoulli. Cô ấy tuyên bố rằng với một số lượng lớn các thí nghiệm, tần suất của một sự kiện tiếp cận (chính xác hơn là hội tụ trong xác suất) với xác suất của sự kiện này. Các dạng khác, tổng quát hơn của quy luật số lớn sẽ được giới thiệu trong chương này. Tất cả chúng thiết lập thực tế và điều kiện cho sự hội tụ về xác suất của một số biến ngẫu nhiên thành các biến không ngẫu nhiên, không đổi.

Quy luật số lớn đóng một vai trò quan trọng trong các ứng dụng thực tế của lý thuyết xác suất. Tính chất của các biến ngẫu nhiên trong những điều kiện nhất định để hoạt động thực tế như những biến không ngẫu nhiên cho phép chúng ta tự tin vận hành với các đại lượng này, để dự đoán kết quả của các hiện tượng ngẫu nhiên hàng loạt với độ chắc chắn gần như hoàn toàn.

Khả năng dự đoán như vậy trong lĩnh vực hiện tượng ngẫu nhiên khối lượng được mở rộng hơn nữa khi có sự hiện diện của một nhóm định lý giới hạn khác, không còn quan tâm đến các giá trị giới hạn của các biến ngẫu nhiên, mà là các luật phân phối giới hạn. Đây là một nhóm các định lý được gọi là "định lý giới hạn trung tâm". Chúng ta đã nói rằng khi tính tổng một số lượng đủ lớn các biến ngẫu nhiên, luật phân phối của tổng tiến tới giá trị chuẩn một cách vô hạn, với điều kiện đáp ứng các điều kiện nhất định. Các điều kiện này, có thể được hình thành bằng toán học theo nhiều cách khác nhau - ở dạng tổng quát hơn hoặc ít hơn - về cơ bản bắt nguồn từ yêu cầu rằng ảnh hưởng đến tổng các số hạng riêng lẻ đều nhỏ, tức là tổng không được bao gồm các số hạng rõ ràng chiếm ưu thế so với tập hợp phần còn lại bởi ảnh hưởng của chúng đối với sự phân tán của số lượng. Các dạng khác nhau của định lý giới hạn trung tâm khác nhau ở các điều kiện mà tính chất giới hạn này của tổng các biến ngẫu nhiên được thiết lập.

Các dạng khác nhau của định luật số lớn, cùng với các dạng khác nhau của định lý giới hạn trọng tâm, tạo thành một tập hợp các định lý giới hạn của lý thuyết xác suất. Các định lý giới hạn không chỉ giúp đưa ra các dự báo khoa học trong lĩnh vực hiện tượng ngẫu nhiên mà còn có thể đánh giá độ chính xác của các dự báo này.

Trong chương này, chúng ta chỉ xem xét một số dạng đơn giản nhất của định lý giới hạn. Đầu tiên sẽ xét đến các định lý liên quan đến nhóm “luật số lớn”, sau đó - các định lý liên quan đến nhóm “định lý giới hạn trọng tâm”.

Hoàn toàn tự nhiên cần phải định lượng tuyên bố rằng trong chuỗi thử nghiệm "lớn", tần suất xuất hiện của một sự kiện là "gần" với xác suất của nó. Sự tế nhị nhất định của nhiệm vụ này phải được hiểu rõ ràng. Trong các trường hợp điển hình nhất đối với lý thuyết xác suất, tình huống là trong một loạt thử nghiệm dài tùy ý, cả hai giá trị cực trị của tần số vẫn có thể về mặt lý thuyết.

\ frac (\ mu) (n) = \ frac (n) (n) = 1 và \ frac (\ mu) (n) = \ frac (0) (n) = 0

Do đó, bất kể số lần thử n là bao nhiêu, không thể khẳng định một cách chắc chắn rằng bất đẳng thức

0 !} chúng tôi sẽ luôn chỉ nhận được sáu, tức là với xác suất (\ left (\ frac (1) (6) \ right) \^n !} chúng tôi nhận được tần suất xuất hiện của các số sáu bằng một và với xác suất (\ left (1- \ frac (1) (6) \ right) \^n>0 !} sáu không rơi ra dù chỉ một lần, tức là tần suất xuất hiện của sáu sẽ bằng không.

Trong tất cả các vấn đề như vậy, bất kỳ ước tính không tầm thường nào về khoảng cách giữa tần số và xác suất không hoạt động một cách chắc chắn hoàn toàn, mà chỉ với một số xác suất nhỏ hơn sự thống nhất. Ví dụ, có thể chứng minh rằng trong trường hợp các thử nghiệm độc lập với xác suất p không đổi về sự xuất hiện của một sự kiện, thì bất đẳng thức

\ vline \, \ frac (\ mu) (n) -p \, \ vline \, 0, \! 9999.

Ở đây, trước hết chúng tôi muốn nhấn mạnh rằng trong công thức trên, ước lượng định lượng về độ gần của tần số \ frac (\ mu) (n) với xác suất p có liên quan đến việc đưa ra xác suất P mới.

Ý nghĩa thực sự của ước lượng (8) như sau: nếu chúng ta thực hiện N chuỗi n phép thử và đếm số M của chuỗi trong đó thỏa mãn bất đẳng thức (7), thì với N đủ lớn, xấp xỉ

\ frac (M) (N) \ xấp xỉ P> 0, \! 9999.

Nhưng nếu chúng ta muốn tinh chỉnh quan hệ (9) cả về mức độ gần gũi \ frac (M) (N) với xác suất P, và về độ tin cậy có thể lập luận rằng sự gần gũi đó sẽ diễn ra, thì chúng ta sẽ phải chuyển sang các cân nhắc tương tự như những gì chúng ta đã thực hiện với sự gần nhau của \ frac (\ mu) (n) và p. Nếu muốn, lý luận như vậy có thể được lặp lại không giới hạn số lần, nhưng rõ ràng là điều này sẽ không cho phép chúng ta giải phóng hoàn toàn khỏi nhu cầu chuyển ở giai đoạn cuối thành xác suất theo nghĩa thô sơ của thuật ngữ này.

Không nên nghĩ rằng những khó khăn như vậy là một số đặc điểm của lý thuyết xác suất. Trong nghiên cứu toán học về các hiện tượng thực tế, chúng ta luôn toán học hóa chúng. Đến lượt nó, những sai lệch của quá trình hiện tượng thực tế so với sơ đồ lý thuyết có thể là đối tượng của nghiên cứu toán học. Nhưng đối với điều này, bản thân những sai lệch này phải được đặt trong một sơ đồ nhất định, và sơ đồ sau này nên được sử dụng ngay mà không cần phân tích toán học chính thức về các sai lệch từ nó.

Tuy nhiên, lưu ý rằng trong ứng dụng thực tế của ước tính

P \! \ Left \ (\, \ vline \, \ frac (\ mu) (n) -p \, \ vline \,0,\!9999.

đối với một chuỗi n phép thử, chúng ta cũng dựa vào một số cân nhắc về tính đối xứng: bất đẳng thức (10) chỉ ra rằng đối với một số N rất lớn của chuỗi, quan hệ (7) sẽ được thỏa mãn trong ít nhất 99,99% trường hợp; Tất nhiên là chúng ta phải kỳ vọng một cách chắc chắn rằng, cụ thể là, bất đẳng thức (7) sẽ được hiện thực hóa trong một chuỗi n phép thử nào đó mà chúng ta quan tâm, nếu chúng ta có lý do để tin rằng chuỗi này chiếm một vị trí bình thường, không dấu trong một số của loạt bài khác.

Các xác suất thường bị bỏ qua ở các vị trí thực tế khác nhau là khác nhau. Ở trên đã lưu ý rằng trong các tính toán dự kiến ​​về lượng đạn tiêu thụ, đảm bảo hoàn thành nhiệm vụ, họ hài lòng với tốc độ tiêu thụ đạn, tại đó nhiệm vụ được giải quyết với xác suất 0,95, tức là chúng bỏ qua các xác suất không vượt quá 0,05. Điều này được giải thích là do việc chuyển đổi sang các tính toán tiến hành từ việc bỏ qua, chẳng hạn, chỉ xác suất nhỏ hơn 0,01, sẽ dẫn đến sự gia tăng lớn về tốc độ tiêu thụ đạn, tức là trong hầu hết các trường hợp, dẫn đến kết luận rằng không thể hoàn thành nhiệm vụ đặt ra trong khoảng thời gian ngắn đó, hoặc với nguồn cung cấp đạn pháo thực tế có thể được sử dụng.

Đôi khi, ngay cả trong nghiên cứu khoa học, chúng cũng chỉ giới hạn trong các phương pháp thống kê được tính toán trên cơ sở bỏ qua xác suất 0,05. Nhưng điều này chỉ nên được thực hiện trong trường hợp rất khó thu thập tài liệu rộng rãi hơn. Hãy coi vấn đề sau đây là một ví dụ về các phương pháp như vậy. Chúng ta hãy giả sử rằng trong những điều kiện nhất định, một loại thuốc thường được sử dụng để điều trị bệnh cho kết quả dương tính là 50%, tức là với xác suất là 0,5. Một loại thuốc mới được đề xuất và, để kiểm tra ưu điểm của nó so với loại cũ, người ta dự định sử dụng nó trong mười trường hợp, được lựa chọn một cách công bằng giữa những bệnh nhân ở cùng vị trí với những người mà loại thuốc cũ được cho là có hiệu quả 50%. Đồng thời, người ta khẳng định rằng lợi thế của một loại thuốc mới sẽ được coi là đã được chứng minh nếu nó cho kết quả dương tính ở ít nhất tám trong số mười trường hợp. Có thể dễ dàng tính toán rằng một quyết định như vậy có liên quan đến việc bỏ qua xác suất nhận được một kết luận sai lầm (tức là kết luận rằng lợi ích của một loại thuốc mới đã được chứng minh, trong khi nó tương đương hoặc thậm chí tệ hơn thuốc cũ) của chỉ bậc 0,05. Thật vậy, nếu trong mỗi thử nghiệm trong số mười thử nghiệm, xác suất của một kết quả tích cực bằng p, thì xác suất nhận được 10,9 hoặc 8 kết quả tích cực trong mười thử nghiệm tương ứng bằng nhau.

P_ (10) = p ^ (10), \ qquad P_9 = 10p ^ 9 (1-p), \ qquad P_8 = 45p ^ 8 (1-p) ^ 2.

Tóm lại, đối với trường hợp p = \ frac (1) (2), chúng ta nhận được P = P_ (10) + P_9 + P_8 = \ frac (56) (1024) \ khoảng 0, \! 05.

Do đó, giả sử rằng thuốc mới trên thực tế hoàn toàn tương đương với thuốc cũ, chúng ta có nguy cơ đưa ra kết luận sai lầm rằng thuốc mới tốt hơn thuốc cũ với xác suất khoảng 0,05. Để giảm xác suất này xuống khoảng 0,01, mà không tăng số lần thử nghiệm n = 10, người ta sẽ phải xác định rằng lợi ích của một loại thuốc mới sẽ chỉ được coi là đã được chứng minh nếu việc sử dụng nó mang lại kết quả dương tính trong ít nhất chín trường hợp trong số mười trường hợp. . Nếu yêu cầu này có vẻ quá khắc nghiệt đối với những người đề xuất loại thuốc mới, thì số lần thử nghiệm n sẽ phải được đặt lớn hơn đáng kể so với 10. Nếu, ví dụ, ở n = 100, người ta cho rằng lợi ích của thuốc mới thuốc sẽ được coi là đã được chứng minh khi \ mu> 65, khi đó xác suất sai sót sẽ chỉ là P \ khoảng0, \! 0015.

Nếu tiêu chuẩn 0,05 rõ ràng là không đủ cho nghiên cứu khoa học nghiêm túc, thì xác suất sai số 0,001 hoặc 0,003 phần lớn bị bỏ quên ngay cả trong các nghiên cứu học thuật và chi tiết như xử lý các quan sát thiên văn. Tuy nhiên, đôi khi các kết luận khoa học dựa trên việc áp dụng các định luật xác suất cũng có độ tin cậy cao hơn nhiều (nghĩa là chúng được xây dựng dựa trên việc bỏ qua các xác suất thấp hơn nhiều). Nhiều hơn sẽ được nói về điều này sau.

Trong các ví dụ được xem xét, chúng tôi đã nhiều lần sử dụng các trường hợp đặc biệt của công thức nhị thức (6)

P_m = C_n ^ mp ^ m (1-p) ^ (n-m)

xác suất P_m nhận được chính xác m kết quả dương tính trong n thử nghiệm độc lập, trong mỗi thử nghiệm có kết quả dương tính có xác suất p. Chúng ta hãy sử dụng công thức này để xem xét câu hỏi được đặt ra ở đầu phần này về xác suất

0 nào

\ mathbf (P) \ (| \ zeta-M (\ zeta) | \ leqslant \ varepsilon \) \ to1 \ quad (n \ to \ infty).

Để có được quan hệ giới hạn (27) từ bất đẳng thức (26), chỉ cần đặt

T = \ varepsilon \ cdot \ frac (\ sqrt (n)) (C).

Một số lượng lớn các nghiên cứu của A.A. Markova, S.N. Bernstein, A.Ya. Khinchin và những người khác dành cho câu hỏi về khả năng mở rộng các điều kiện cho khả năng áp dụng của quan hệ giới hạn (27), tức là, các điều kiện để áp dụng luật số lượng lớn. Những nghiên cứu này có tầm quan trọng cơ bản. Tuy nhiên, điều quan trọng hơn nữa là nghiên cứu chính xác về phân phối xác suất sai lệch \ zeta-M (\ zeta).

Công lao to lớn của trường phái cổ điển Nga trong lý thuyết xác suất là đã xác lập được thực tế rằng, trong những điều kiện rất rộng, sự bình đẳng

\ mathbf (P) \! \ left \ (t_1 \ sigma _ (\ zeta)

Từ khóa » định Luật Số Lớn Là Gì