Định Lý Anne Và Những ứng Dụng Của Nó Trong Giải Bài Toán Hình Học

Chứng minh rằng trong tam giác, ba đường thẳng nối trung điểm của đoạn thẳng nối đỉnh - tiếp điểm đường tròn nội tiếp và trung điểm cạnh đối diện thì đồng quy tại tâm nội tiếp.. Bài tập [r]

(Sinh viên Đại học Y Dược, thành phố Hồ Chí Minh)

Tóm Tắt

Định lý Anne, đặt theo tên nhà toán học Pháp Pierre Leon-Anne (1806–1850),

là một định lý thú vị trong hình học phẳng Bài viết giới thiệu định lý một cách tổng quát và khai thác nó trong việc giải quyết lớp bài toán liên quan đến đường thẳng Gauss

1 Định lý Anne

Định lý (Pierre Leon-Anne) Cho tứ giác lồi ABCD Khi đó quỹ tích các điểm P sao cho tổng diện tích [P AB] + [P CD] bằng một hằng số thực r cho trước là một đường thẳng

A

B

P

E

X

Y

Lời giải Ta dễ dàng chứng minh trong trường hợp ABCD có một cặp cạnh đối song song Ngược lại, gọi E = AB ∩ CD Dựng X ∈ SA, Y ∈ SD sao cho EX = AB, EY = CD thì các điểm E, X, Y cố định Khi đó ta có

r = [P AB] + [P CD] = [P EX] + [P Y E] = [EXY ] + [P Y X]

⇔ [P XY ] = [EXY ] − r = const,

do E, X, Y cố định Suy ra P di chuyển trên đường thẳng cố định song song với XY

2 Liên hệ với đường thẳng Gauss

Bài toán 1 Cho tứ giác toàn phần ABCD.EF Các điểm M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, BD, EF Chứng minh rằng các điểm M, N, P cùng nằm trên một đường thẳng gọi là đường thẳng Gauss của tứ giác toàn phần ABCDEF

(Đường thẳng Gauss)

A

B F

E

M N P

Lời giải Sử dụng tính chất trung tuyến, ta có các đẳng thức sau

[M AB] + [M CD] = 1

2[CAB] +

1

2[ACD] =

1

2[ABCD], [N AB] + [N CD] = 1

2[DAB] +

1

2[BCD] =

1

2[ABCD], [P AB] + [P CD] = 1

2[F AB] +

1

2[F CD] =

1

2[ABCD], nên theo định lý Anne, M, N, P thẳng hàng Ta thu được điều phải chứng minh

Nhận xét Đa số các tài liệu khi giới thiệu đinh lý Anne ít khi đề cập một cách tổng quát như trên mà thường phát biểu dưới dạng tương quan với đường thẳng Gauss như sau : Điểm P nằm trên đường thẳng Gauss của tứ giác ABCD khi và chỉ khi

[P AB] + [P CD] = [P BC] + [P DA] = 1

2[ABCD].

Bài toán 2 Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (O) Chứng minh rằng điểm O nằm trên đường thẳng Gauss của tứ giác ABCD

(Định lý Newton)

Lời giải Gọi R là bán kính của (O) Do ABCD ngoại tiếp nên theo định lý Pithot thì

AB + CD = BC + DA, từ đó

[OBA] + [ODC] = 1

2 · R · (BA + DC) = 1

2 · R · (CB + AD) = [OCB] + [OAD]

O A

C D

M N

Suy ra

[OBA] + [ODC] = [OCB] + [OAD] = 1

2[BADC], nên theo định lý Anne, O nằm trên đường thẳng Gauss của tứ giác ABCD

Bài toán 3 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) và một điểm P nằm trong tứ giác Bốn đường thẳng qua các điểm A, B, C, D và lần lượt vuông góc với P A, P B, P C, P D tạo thành tứ giác XY ZT Chứng minh rằng điểm O nằm trên đường thẳng Gauss của

tứ giác XY ZT

O D

A

B

C

P

P0

A 0

B0

C0

D0

T

X

Z

Y

Lời giải Lấy P0đối xứng P qua O và gọi A0, B0, C0, D0là hình chiếu của P0lên T X, XY, Y Z, ZT

Do O là trung điểm P P0 nên theo tính chất đường trung bình của hình thang vuông, dễ thấy A0B0C0D0 cũng nội tiếp (O) Sử dụng góc nội tiếp, ta có

∠P XY = ∠P AB = 90◦− ∠XAB

= 90◦− ∠XB0A0 = ∠P0B0A0

= ∠P0XT

Tương tự suy ra P và P0 là hai điểm liên hợp đẳng giác trong tứ giác XY ZT Từ đó, ta có

2 · [P Y X] = P B · XY = P B · B0X + P B · B0Y

= P X · sin ∠P XY · P0X · cos ∠P0XY + P Y · sin ∠P Y X · P0Y · cos ∠P0Y X

= P X · P0X · sin ∠P XY · cos ∠P XT + P Y · P0Y · sin ∠P Y X · cos ∠P Y Z Biến đổi tương tự cho [P0XY ], cộng lại ta được

2 · ([P Y X] + [P0XY ]) = P X · P0X · (sin ∠P XY · cos ∠P XT + sin ∠P XT · cos ∠P XY )

+ P Y · P0Y · (sin ∠P Y X · cos ∠P Y Z + sin ∠P Y Z · cos ∠P Y X)

= P X · P0X · sin ∠T XY + P Y · P0Y · sin ∠XY Z

Tương tự

2 · ([P T Z] + [P0T Z]) = P Z · P0Z · sin ∠Y ZT + P T · P0T · sin ∠ZT X

Do O là trung điểm P P0 nên

4 · ([OY X] + [OT Z]) = 2 · ([P Y X] + [P0XY ] + [P T Z] + [P0T Z])

= P X · P0X · sin ∠T XY + P Y · P0Y · sin ∠XY Z

+ P Z · P0Z · sin ∠Y ZT + P T · P0T · sin ∠ZT X

Đây là biểu thức đối xứng với P, P0 và tứ giác XY ZT nên tương tự, ta suy ra

[OY X] + [OT Z] = [OXT ] + [OZY ], nên theo định lý Anne, O nằm trên đường thẳng Gauss của tứ giác XY ZT

Nhận xét Ta có một số nhận xét sau

(i) Kết luận vẫn đúng cho điểm P bất kì trong mặt phẳng Khi điểm P trùng tâm O,

ta thu được bài toán 2 (định lý Newton cho tứ giác ngoại tiếp)

(ii) Ngược lại, cho tứ giác ABCD có hai điểm P, P0 liên hiệp đẳng giác Khi đó, hình chiếu của P, P0 lên các cạnh của tứ giác ABCD thuộc đường tròn tâm O là trung điểm P P0 và điểm O nằm trên đường thẳng Gauss của tứ giác ABCD

Bài toán 4 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) và một điểm P bất

kì trong mặt phẳng Gọi X, Y, Z, T, H, K là hình chiếu của điểm P lên các cạnh

AB, BC, CD, DA, AC, BD Chứng minh rằng trung điểm đoạn HK nằm trên đường thẳng Gauss của tứ giác XY ZT

Lời giải Khi P ∈ (O), theo định lý Simson thì (H, X, Y ), (H, Z, T ), (K, T, X), (K, Y, Z) thẳng hàng Do đó, XY ZT.HK là tứ giác toàn phần, hiển nhiên trung điểm HK nằm trên đường thẳng Gauss của tứ giác XY ZT Trường hợp P nằm ngoài (O) xin dành cho bạn đọc, ta chứng minh khi P nằm trong (O)

Ta có

∠HXY = ∠HXB − ∠Y XB

= ∠HP A − ∠Y P B (P HXA, P XBY nội tiếp)

= ∠AP B − ∠HP Y = ∠AP B − ∠ACB (P HY C nội tiếp)

D A

C P

X

Y

Z T

H K

Tương tự, ∠KXT = ∠AP B − ∠BDA Mà ABCD nội tiếp nên ∠ACB = ∠BDA, do đó

∠HXY = ∠KXT , suy ra H, K liên hiệp đẳng giác trong tứ giác XY ZT Theo nhận xét (ii), trung điểm HK nằm trên đường thẳng Gauss của tứ giác XY ZT

Bài toán 5 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) và một điểm P nằm trong tứ giác Gọi O1, O2, O3, O4 là tâm các đường tròn (P AB), (P BC), (P CD), (P DA) Chứng minh rằng trung điểm đoạn OP nằm trên đường thẳng Gauss của tứ giác O1O2O3O4

O D

A

B

C P

T

X

Z

Y

N

M

O 4

O 1

O 2

O 3

N0

M0

O 0

Lời giải Kẻ đường kính P X, P Y, P Z, P T của O1, O2, O3, O4 Dễ thấy A, T, X thẳng hàng

và P A ⊥ T X Từ đó, theo bài toán 3 thì O nằm trên đường thẳng Gauss của tứ giác

XY ZT

Gọi O0, M, N, M0, N0 lần lượt là trung điểm P O, XZ, Y T, O1O3, O2, O4 Xét phép vị tự

DP1 : X 7−→ O1, Y 7−→ O2, Z 7−→ O3, T 7−→ O4, O 7−→ O0

Suy ra

DP1 : M 7−→ M0, N 7−→ N0,

mà O, M, N thẳng hàng nên O0, M0, N0 thẳng hàng, hay O0 nằm trên đường thẳng Gauss của tứ giác O1O2O3O4

Tổng quát bài toán 5, ta được bài toán sau đây

Bài toán 6 (Nguyễn Văn Linh) Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Các đường tròn (O1), (O2), (O3), (O4) bất kỳ qua các cặp đỉnh (A, B), (B, C), (C, D), (D, A) và cắt lại nhau tại các điểm X, Y, Z, T Chứng minh rằng

(a) Tứ giác XY ZT nội tiếp đường tròn (I)

(b) Trung điểm đoạn OI nằm trên đường thẳng Gauss của tứ giác O1O2O3O4

(Mathley, số 9, 2012)

Lời giải (Ong Thế Phương, 11T, chuyên Lương Thế Vinh, Đồng Nai)

(a) Sử dụng góc nội tiếp, ta có

∠T XY + ∠Y ZT = ∠T AB + ∠Y CB + ∠T AC + ∠Y CD = ∠DAB + ∠BCD = 180◦,

hay XY ZT nội tiếp đường tròn (I)

(b) Do đường nối tâm là trung trực của dây chung, nên ta có

[IXO2] = [IO2Y ], [IY O3] = [IO3Z], [IZO4] = [IO4T ], [IT O1] = [IO1X];

[OAO1] = [OO1B], [OBO2] = [OO2C], [OCO3] = [OO3D], [ODO4] = [OO4A]; [AO4O1] = [T O1O4], [BO1O2] = [XO2O1], [CO2O3] = [Y O3O2], [DO3O4] = [ZO4O3]

Từ đó

[IO1O2] = [XIO1] + [XO1O2] + [XO2I] = 1

2 · [IT O1BO2Y ]

Biến đổi tương tự cho [IO3O4], cộng lại ta được

[IO1O2] + [IO3O4] = 1

2· ([IT O1BO2Y ] + [IY O3DO4T ])

= 1

2· ([O1O2O3O4] + [AO4O1] + [BO2O1] + [CO2O3] + [DO4O3])

O A

D

B

C

O 1 O 2

O 3

O 4

T

X

Y Z

I J

Tương tự,

[OO1O2] + [OO3O4] = 1

2 · ([O1O2O3O4] + [AO1O4] + [BO1O2] + [CO3O2] + [DO3O4]) Gọi J là trung điểm OI thì

[J O1O2] + [J O3O4] = 1

2 · ([IO1O2] + [IO3O4] + [OO1O2] + [OO3O4]) = 1

2 · [O1O2O3O4], nên theo định lý Anne, J nằm trên đường thẳng Gauss của tứ giác O1O2IO3O4

Nhận xét Khi tứ giác XY ZT suy biến thành điểm P thì ta thu được bài toán 5

Bài toán 7 Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) Phân giác các góc

∠DAB, ∠ABC, ∠BCD, ∠CDA tạo thành tứ giác MN P Q Chứng minh rằng

(a) Tâm O nằm trên đường thẳng Gauss của tứ giác M N P Q

(b) (Titu Andreescu, Luis Gonzalez, Cosmin Pohoata) Điểm Euler-Poncelet của tứ giác

M N P Q nằm trên đường thẳng Gauss của tứ giác ABCD

Lời giải (a) Gọi E = AB ∩ CD, F = BC ∩ AD Gọi A1, B1, C1, D1 là giao điểm phân

giác trong các góc A, B, C, D với (O) Vì AA1, CC1 là phân giác và ABCD nội tiếp nên

sdA_1C1 = sdA_1B + sdC_1B = 2 (∠A1AB + ∠C1CB) = ∠DAB + ∠BCD = 180◦,

hay A1C1 là đường kính của (O), từ đó suy ra A1B1C1D1 là hình chữ nhật

O B

A

C

D

N

M

Q P

F

E

I

A 1

B 1

D 1

C 1

Z

T X

Y

Do Q, N lần lượt là tâm nội tiếp 4EAD và bàng tiếp 4ECD, kết hợp góc nội tiếp, ta có

∠QNM = ∠BN E = ∠ABN − ∠BEN

180◦ − ∠D − ∠E

∠A 2

= ∠BAM = ∠A1B1M Suy ra A1B1 k N Q k C1D1 Từ đó, theo định lý Thales, ta đặt

M A1

M B1

A1B1

C1D1

P C1

P D1

P Q = h.

Do A1B1C1D1 là hình chữ nhật, kết hợp tỷ số h, ta có

[OM N ] + [OP Q] = 1

2· ([D1M N ] + [B1P Q])

2(h + 1)([D1B1N ] + [B1D1Q]) =

1 2(h + 1)([M N P Q] + [N D1P ] + [QB1M ])

2(h + 1)([M N P Q] + h · [N P Q] + h · [QM N ]) =

1

2 · [M N P Q]

Do đó theo định lý Anne, O nằm trên đường thẳng Gauss của tứ giác M N P Q

nên EI là phân giác∠AED, tương tự thì F I cũng là phân giác ∠CF D Từ đó, bằng biến đổi góc, ta dễ dàng chứng minh được IE ⊥ IF

Mặt khác, cũng bằng biến đổi góc, dễ chứng minh M N P Q nội tiếp, kết hợp M P ⊥ N Q, suy ra I là điểm Euler-Poncelet của M N P Q Ta cần chứng minh I nằm trên đường thẳng Gauss của ABCD

Giả sử EI cắt BC, AD tại X, Y ; và F I cắt AB, CD tại Z, T Do EX, F Z là phân giác

∠BEC, ∠BF A và 4EAC ∼ 4EDB, 4F AC ∼ 4F BD, ta có

XB

EB

DB

F B

F A =

ZB

ZA, nên theo định lý Thales, XZ k AC, tương tự thì Y T k AC, do đó XZ k Y T Chứng minh tương tự, ta cũng có XY k ZT , suy ra XY ZT là hình bình hành, hay XY cắt ZT tại trung điểm I của mỗi đoạn

Gọi k là tỉ số đồng dạng của 4EAD và 4EBC Từ đó nếu đặt EB = b, EC = c thì

EA = kc, ED = kb Ta có

[ADCB] = [EAD] − [EBC] = 1

2 · (k2bc − bc) · sin E = 1

2 · (k2− 1)bc · sin E

Theo công thức độ dài đường phân giác thì

XY = EY − EX = 2 ·

ñ

k2bc k(b + c) − bc

b + c

ô

· cosE

2 = 2 · (k − 1)

bc

b + c· cos E

2.

Do đó

EI = EX + XI = EX + 1

2· XY = (k + 1) bc

b + c· cosE

2.

Kẻ IH ⊥ AB, IK ⊥ CD Do EI là phân giác ∠AED nên

IH = IK = IE · sin E

2 = (k + 1)

bc

b + c· cosE

2 sin

E

2 =

1

2· (k + 1) bc

b + c· sin E

Từ đó, ta có

[IBA] + [IDC] = 1

2 · (IH · AB + IK · CD)

= 1

4 · (k + 1) bc

b + c(kc − b + kb − c) · sin E =

1

4 · (k2− 1)bc · sin E

= 1

2 · [ADCB]

Do đó theo định lý Anne, I nằm trên đường thẳng Gauss của ABCD

Hy vọng qua bài viết nhỏ này, bạn đọc có thể tìm thấy sự thú vị riêng cũng như vẻ đẹp độc đáo của đinh lý Anne Cuối cùng, xin gửi một số bài tập để bạn đọc thử sức

3 Bài tập

Bài tập 1 Cho tam giác 4ABC có trung tuyến AM Lấy các điểm X, Y thuộc AB và

Z, T thuộc AC sao cho AX = BY, AZ = CT Chứng minh rằng trung điểm của đoạn

AM nằm trên đường thẳng Gauss của tứ giác XY ZT

Bài tập 2 Cho tam giác 4ABC nội tiếp đường tròn (O) Tiếp tuyến đỉnh B, C lần lượt cắt tiếp tuyến đỉnh A tại Y, X Đường thẳng qua tâm O, vuông góc OA cắt cạnh BC tại điểm T Chứng minh rằng trung điểm đoạn OT nằm trên đường thẳng Gauss của tứ giác BXCY

Bài tập 3 Chứng minh rằng trong tam giác, ba đường thẳng nối trung điểm của đoạn thẳng nối đỉnh - tiếp điểm đường tròn nội tiếp và trung điểm cạnh đối diện thì đồng quy tại tâm nội tiếp

Bài tập 4 Chứng minh rằng trong tam giác, ba đường thẳng nối trung điểm của đường cao và cạnh đối diện cùng đỉnh thì đồng quy tại điểm Lemoine

[1] Định lý Anne, Wikipedia.

https://vi.wikipedia.org/wiki/%C4%90%E1%BB%8Bnh_l%C3%BD_Anne

[2] Léon Anne’s Theorem, WolframMathWorld

http://mathworld.wolfram.com/LeonAnnesTheorem.html

[3] Nguyễn Văn Linh, Đường thẳng Newton mở rộng, Euclidean Geometry Blog

https://nguyenvanlinh.wordpress.com/2010/11/27/

the-generalization-of-newton-line-2/

[4] Titu Andresscu, Cosmin Pohoata, 110 Geometry Problems for the IMO, XYZ Press, 2014

[5] G.I Golovina, I.M Yaglom, Induction in Geometry, Mir Pubisher-Moskow, 1979 [6] Andrew Jobbings, The converse of Léon Anne’s theorem

[7] Titu Andreescu, Luis Gonzalez, Cosmin Pohoata, Newton and Midpoints of Diagonals

of Circumscriptible Quadrilateral, Mathematical Reflections, 2014

[8] Newton’s Theorem: What is it? A Mathematical Droodle, Cut the Knot

http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/NewtonTheorem.shtml# explanation

[9] AoPS : http://artofproblemsolving.com/