Định Lý Arzela-Ascoli | Tchoupi's Weblog

Có thể bạn quan tâm

Tchoupi’s Weblog

Định lý Arzela-Ascoli

October 8, 2008 at 1:39 pm (Analysis)

Không ngờ định lý này lại quan trong đến vậy.

Định lý Arzela-Ascoli: Giả sử X là không gian compact, Y là không gian metric với metric $d$ . $C(X,Y)$ là không gian các hàm liên tục từ $X\to Y$ với metric $\rho$ xác định như sau $\rho(f,g)=\sup_{x\in X}d(f(x),g(x))$ với $f,g\in C(X,Y)$

Khi đó, tập con $A\subset C(X,Y)$ là hoàn toàn bị chặn khi và chỉ khi hai điều kiện sau được thỏa mãn : (i) Với mỗi $x\in X$ , tập $\{f(x) f\in A\}$ là hoàn toàn bị chặn trong Y. (II) A là đồng liên tục , nghĩa là với mọi $x\in X$ và với mọi $\varepsilon>0$ tồn tại lân cận $U$ của $x$ sao cho $d(f(x),f(y)) < \varepsilon$ với mọi $y\in U$ , $f\in A$