Định Lý Con Bướm – Wikipedia Tiếng Việt

Trang chủ » định Lý Con Nhím » Định Lý Con Bướm – Wikipedia Tiếng Việt

Có thể bạn quan tâm

Gọi X ′ {\displaystyle X'}   và X ″ {\displaystyle X''}   lần lượt là hình chiếu vuông góc của X trên các đoạn thẳng AM và DM. Tương tự, gọi Y ′ {\displaystyle Y'}   và Y ″ {\displaystyle Y''}   lần lượt là hình chiếu của Y trên đoạn thẳng BM và CM.

 
Chứng minh của định lý con bướm.

Do

△ M X X ′ ∼ △ M Y Y ′ {\displaystyle \triangle MXX'\sim \triangle MYY'}   M X M Y = X X ′ Y Y ′ {\displaystyle {MX \over MY}={XX' \over YY'}}   △ M X X ″ ∼ △ M Y Y ″ {\displaystyle \triangle MXX''\sim \triangle MYY''}   M X M Y = X X ″ Y Y ″ {\displaystyle {MX \over MY}={XX'' \over YY''}}   △ A X X ′ ∼ △ C Y Y ″ {\displaystyle \triangle AXX'\sim \triangle CYY''}   X X ′ Y Y ″ = A X C Y {\displaystyle {XX' \over YY''}={AX \over CY}}   △ D X X ″ ∼ △ B Y Y ′ {\displaystyle \triangle DXX''\sim \triangle BYY'}   X X ″ Y Y ″ = D X B Y {\displaystyle {XX'' \over YY''}={DX \over BY}}  
 
Mở rộng của Sharygin

Từ các đẳng thức trên, ta có

( M X M Y ) 2 = X X ′ Y Y ′ . X X ″ Y Y ″ = A X . D X C Y . B Y {\displaystyle \left({MX \over MY}\right)^{2}={XX' \over YY'}.{XX'' \over YY''}={AX.DX \over CY.BY}}   = P X . Q X P Y . Q Y {\displaystyle ={PX.QX \over PY.QY}}   (xem Phương tích) = ( P M − X M ) . ( M Q + X M ) ( P M + M Y ) . ( Q M − M Y ) = P M 2 − M X 2 P M 2 − M Y 2 {\displaystyle ={(PM-XM).(MQ+XM) \over (PM+MY).(QM-MY)}={PM^{2}-MX^{2} \over PM^{2}-MY^{2}}}   (do PM = MQ)

Theo tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

M X 2 M Y 2 = P M 2 − M X 2 P M 2 − M Y 2 = P M 2 P M 2 = 1 {\displaystyle {MX^{2} \over MY^{2}}={PM^{2}-MX^{2} \over PM^{2}-MY^{2}}={PM^{2} \over PM^{2}}=1}  

Từ đó suy ra MX = MY, hay M là trung điểm của XY.

Từ khóa » định Lý Con Nhím