Định Lý Pascal - Vườn Toán

Trang chủ » định Lý Pascal Hình Học » Định Lý Pascal - Vườn Toán

Có thể bạn quan tâm

Trang

  • Trang nhà
  • Kỹ năng mềm
  • Giới thiệu

Định lý Pascal

Kỳ trước chúng ta đã học về định lý lục giác Pascal. Định lý Pascal nói rằng nếu trên đường cônic chúng ta vẽ một hình lục giác nội tiếp thì ba cặp cạnh đối diện của hình lục giác sẽ cắt nhau tại ba điểm thẳng hàng. Ví dụ như ở hình dưới đây, chúng ta có một hình lục giác nội tiếp một đường tròn, chúng ta thấy rằng ba giao điểm của ba cặp cạnh đối diện $\{12, 45\}$, $\{23, 56\}$, $\{34, 61\}$ của hình lục giác thẳng hàng. Có một công cụ rất hiệu quả thường dùng để chứng minh các điểm thẳng hàng, đó là định lý Menelaus. Định lý Menelaus phát biểu như sau:
Định lý Menelaus: Cho tam giác $ABC$ và ba điểm $A'$, $B'$, $C'$ lần lượt nằm trên ba đường thẳng $BC$, $CA$, $AB$. Vậy thì ba điểm $A'$, $B'$, $C'$ thẳng hàng khi và chỉ khi $$\frac{\vec{A'B}}{\vec{A'C}} \times \frac{\vec{B'C}}{\vec{B'A}} \times \frac{\vec{C'A}}{\vec{C'B}} = 1.$$
Hôm nay chúng ta sẽ dùng định lý Menelaus để chứng minh định lý Pascal cho trường hợp đường tròn. Khi chúng ta muốn dùng định lý Menelaus để chứng minh ba điểm nào đó thẳng hàng, chúng ta cần tìm một hình tam giác sao cho ba điểm cần chứng minh nằm trên ba cạnh của tam giác này. Nhìn hình vẽ dưới đây, với lục giác Pascal $P_1 P_2 P_3 P_4 P_5 P_6$, để chứng minh ba giao điểm $M_1$, $M_2$, $M_3$ thẳng hàng, chúng ta cần tìm một tam giác mà ba giao điểm $M_1$, $M_2$, $M_3$ nằm trên ba cạnh của tam giác đó. Vì các giao điểm $M_1$, $M_2$, $M_3$ nằm trên các cạnh của lục giác nên chúng ta thấy có hai cách chọn khá là tự nhiên. Đó là tam giác $ABC$, hoặc là tam giác $XYZ$. Chẳng hạn, nếu chúng chọn tam giác $ABC$ thì điểm $M_1$ nằm trên đường thẳng $BC$, điểm $M_2$ nằm trên đường thẳng $CA$ và điểm $M_3$ nằm trên đường thẳng $AB$. Bây giờ chúng ta cần chứng minh tỷ lệ $$\frac{\vec{M_1 B}}{\vec{M_1 C}} \times \frac{\vec{M_2 C}}{\vec{M_2 A}} \times \frac{\vec{M_3 A}}{\vec{M_3 B}} = 1.$$ Để tính được các tỷ lệ này, chúng ta sẽ sử dụng định lý Menelaus cho các bộ điểm thẳng hàng sau: $$\{M_1, P_5, P_6\}, ~~\{M_2, P_3, P_4\}, ~~\{M_3, P_1, P_2\}.$$ Bây giờ chúng ta sẽ viết cụ thể cách chứng minh. Chứng minh Định lý Pascal Chúng ta sẽ sử dụng định lý Menelaus cho tam giác $ABC$. Vì ba điểm $M_1$, $M_2$, $M_3$ nằm trên ba cạnh của tam giác $ABC$ nên để chứng minh chúng thẳng hàng chúng ta cần chứng minh $$\frac{\vec{M_1 B}}{\vec{M_1 C}} \times \frac{\vec{M_2 C}}{\vec{M_2 A}} \times \frac{\vec{M_3 A}}{\vec{M_3 B}} = 1.$$ Thật vậy, sử dụng định lý Menelaus cho tam giác $ABC$ với các bộ ba điểm thẳng hàng $$\{M_1, P_6, P_5\}, ~~\{M_2, P_4, P_3\}, ~~\{M_3, P_2, P_1\},$$ chúng ta có $$\frac{\vec{M_1 B}}{\vec{M_1 C}} \times \frac{\vec{P_6 C}}{\vec{P_6 A}} \times \frac{\vec{P_5 A}}{\vec{P_5 B}} = \frac{\vec{M_2 C}}{\vec{M_2 A}} \times \frac{\vec{P_4 A}}{\vec{P_4 B}} \times \frac{\vec{P_3 B}}{\vec{P_3 C}} = \frac{\vec{M_3 A}}{\vec{M_3 B}} \times \frac{\vec{P_2 B}}{\vec{P_2 C}} \times \frac{\vec{P_1 C}}{\vec{P_1 A}} = 1.$$ Do đó $$\frac{\vec{M_1 B}}{\vec{M_1 C}} = \frac{\vec{P_6 A}}{\vec{P_6 C}} \times \frac{\vec{P_5 B}}{\vec{P_5 A}}, ~~~\frac{\vec{M_2 C}}{\vec{M_2 A}} = \frac{\vec{P_4 B}}{\vec{P_4 A}} \times \frac{\vec{P_3 C}}{\vec{P_3 B}}, ~~~\frac{\vec{M_3 A}}{\vec{M_3 B}} = \frac{\vec{P_2 C}}{\vec{P_2 B}} \times \frac{\vec{P_1 A}}{\vec{P_1 C}}.$$ Từ đó, chúng ta có $$\frac{\vec{M_1 B}}{\vec{M_1 C}} \times \frac{\vec{M_2 C}}{\vec{M_2 A}} \times \frac{\vec{M_3 A}}{\vec{M_3 B}} = \frac{\vec{P_6 A}}{\vec{P_6 C}} \times \frac{\vec{P_5 B}}{\vec{P_5 A}} \times \frac{\vec{P_4 B}}{\vec{P_4 A}} \times \frac{\vec{P_3 C}}{\vec{P_3 B}} \times \frac{\vec{P_2 C}}{\vec{P_2 B}} \times \frac{\vec{P_1 A}}{\vec{P_1 C}}$$ $$ = \frac{\vec{A P_1} ~\vec{A P_6}}{\vec{A P_4} ~\vec{A P_5}} \times \frac{\vec{B P_4} ~\vec{B P_5}}{\vec{B P_2} ~\vec{B P_3}} \times \frac{\vec{C P_2} ~\vec{C P_3}}{\vec{C P_1} ~\vec{C P_6}} = 1.$$
Phương tích: $\vec{A P_1} ~\vec{A P_6} = \vec{A P_4} ~\vec{A P_5}$; $\vec{B P_4} ~\vec{B P_5} = \vec{B P_2} ~\vec{B P_3}$; $\vec{C P_2} ~\vec{C P_3} = \vec{C P_1} ~\vec{C P_6}$.
Đẳng thức cuối cùng ở trên là nhờ sử dụng phương tích của các điểm $A$, $B$, $C$ đối với đường tròn ngoại tiếp hình lục giác. Và như vậy chúng ta chứng minh xong định lý Pascal. Hôm nay nhờ sử dụng một cách linh hoạt định lý Menelaus chúng ta đã chứng minh xong định lý Pascal. Định lý Menelaus là một trong những công cụ rất hiệu quả dùng để chứng minh các điểm thẳng hàng. Các bạn hãy dùng định lý Menelaus để chứng minh định lý Pappus xem thử có được không nhé!
định lý Pappus
Xin hẹn gặp lại các bạn ở kỳ sau. Bài tập về nhà. 1. Chứng minh định lý Pascal bằng cách áp dụng định lý Menelaus cho tam giác $XYZ$. 2. Chứng minh định lý Pappus. Labels: cấp 3, Định lý Mê-nê-la-uýt, hình học, hình học phẳng, Pappus, Pascal, phương tích, thẳng hàng Bài đăng Mới hơn Bài đăng Cũ hơn Trang chủ

Ủng hộ Vườn Toán trên facebook

Facebook

Lưu trữ Blog

  • ▼  2013 (26)
    • ▼  tháng 8 (2)
      • Định lý Pappus
      • Định lý Pascal

English Version

English Version

Bài toán kết nối facebook

Phép nhân thời đồ đá

Mắt Biếc Hồ Thu

Lục giác kỳ diệu

Định lý Pitago

1 = 2012 = 2013

Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình

James vẽ hình

Câu hỏi của James

Hình vuông số chính phương kỳ diệu của Vianney!

Câu đố mẹo về đo lường

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Chào năm mới 2014

Chào năm mới 2015

Chào năm mới 2016

Không gian 4 chiều là gì?

Dựng hình đa giác đều

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Ngày số Pi (2015)

Ngày số Pi (2016)

0.9999999... có bằng 1 không? (2015)

Hình tam giác

Bàn cờ vua và kim tự tháp

Dãy số

Dãy số - Phần 1

Dãy số - Phần 2

Dãy số - Phần 3

Dãy số - Phần 4

Dãy số - Phần 5

Dãy số - Phần 6

Dãy số - Phần 7

Dãy số - Phần 8

Dãy số - Phần 9

Đại số

Tam giác Pascal

Quy nạp

Quy nạp II

Quy nạp III

Nhị thức Newton

1 = 2012 = 2013

Đa thức nội suy Newton

Đa thức nội suy Lagrange

Chứng minh Định lý Wilson bằng công thức nội suy

Tổng luỹ thừa

Số phức

Số phức

Công thức Moivre

Lượng giác

Công thức lượng giác cho góc bội

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Ngày số Pi (2016)

Radian là gì?

Số học

modulo - Phần 1

modulo - Phần 2

modulo - Phần 3

modulo - Phần 4

modulo - Phần 5

modulo - Phần 6

Số nguyên tố

Định lý Euclid về số nguyên tố

Một vài bài toán về số nguyên tố

Định lý Wilson

Bộ số Pitago

Modulo cho số hữu tỷ

Modulo cho số hữu tỷ II

Chứng minh lại định lý Wilson

Bổ đề Bezout

Thuật toán Euclid

Tổng luỹ thừa

Tổng luỹ thừa và định lý Wolstenholme

Câu đố mẹo về đo lường

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Bò đi con bọ cạp!

Liên phân số Fibonacci

Hằng đẳng thức Pitago

Hình vuông số kỳ diệu của Euler

Tổ hợp

Bài toán kết nối facebook

Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình

Hằng đẳng thức về dãy số Fibonacci

Dãy số Fibonacci và tam giác Pascal

Hình học

Định lý Pitago

Định lý đường cao tam giác vuông

Định lý Morley

Phương tích

Trục đẳng phương và tâm đẳng phương

Định lý Ceva và Định lý Menelaus

Lục giác kỳ diệu

Định lý Pascal

Định lý Pappus

Cánh bướm Pascal

Bài toán con bướm

Định lý Ngôi Sao Do Thái

Hãy xem xét trường hợp đặc biệt

Bài toán về tìm khoảng cách ngắn nhất và một tính chất của hình elíp

Điểm Fermat của hình tam giác

Điểm Fermat của hình tam giác II

Dựng hình

Dựng hình bằng thước và compa

Bài toán chia hình tứ giác

Dựng hình ngũ giác đều

Dựng hình đa giác đều

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Định lý đường cao tam giác vuông

Thuật toán dựng hình

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Dựng hình chỉ bằng compa

Dùng compa chia đều đoạn thẳng

Giải tích

Ngày số Pi 2015

Chuỗi Taylor

Tổng nghịch đảo bình phương

Giúp bé thông minh

Xì-tin năng động

BBC - Học tiếng Anh Du học Hoa kỳ Học Bổng Hoa Kỳ VOA - Học tiếng Anh

Tạp chí toán học

Kỹ năng mềm

Tạo lập tài khoản google

Cách tạo blog toán học

Học toán trên Wolfram

Dịch tài liệu toán học

Viết văn bản toán học PDF trực tuyến bằng LaTeX

Chia xẻ tài liệu toán học trên Google Drive

Từ khóa » định Lý Pascal Hình Học