Định Lý Pick (1916) | TTC

Trang chủ » định Lý Pick » Định Lý Pick (1916) | TTC

Có thể bạn quan tâm

Định lý Pick : Cho \lambda_j\in\mathbb{D}, với 1\leq j\leq n là các điểm phân biệt và w_j là các điểm nằm trong đĩa đóng \overline{\mathbb{D}}. Khi đó tồn tại một hàm chỉnh hình \varphi\colon\mathbb{D}\to\overline{\mathbb{D}} thỏa mãn \varphi(\lambda_j) =w_j với mọi 1\leq j\leq n  khi và chỉ khi ma trận Pick \displaystyle\left[\frac{1-\bar{w_i}w_j}{1-\bar{\lambda_i} \lambda_j}\right]_{1\leq i,j\leq n} là nửa xác định dương.

Hàm \varphi ở trên được gọi là hàm nội suy dữ liệu \lambda_j\mapsto w_j. Một cách chi tiết hơn, ta có

Nếu ma trận Pick nửa xác định dương và suy biến, thì bài toán nội suy Nevanlinna-Pick có nghiệm duy nhất là một tích Blaschke, có bậc bằng đúng hạng của ma trận Pick.

Ta phác qua cách để chứng minh, từ đó thấy được cách xây dựng hàm nội suy.

Đầu tiên, ta có dữ liệu (tạm ký hiệu như ma trận) \displaystyle \begin{pmatrix}\lambda_1 &\lambda_2 &\ldots & \lambda_n\\ w_1&w_2 &\ldots &w_n\end{pmatrix}. Bằng biến đổi Mobius, ta chuyển dữ liệu này thành : \displaystyle\begin{pmatrix}\lambda_1^{\prime}&\lambda_2^{\prime}&\ldots& \lambda_{n-1}^{\prime}& 0 \\w_1^{\prime}&w_2^{\prime} &\ldots &w_{n-1}^{\prime}&0\end{pmatrix}, trong đó \displaystyle\lambda_j^{\prime} = \frac{\lambda_j-\lambda_n}{1- \bar{\lambda_n}\lambda_j} và \displaystyle w_j^{\prime} = \frac{w_j-w_n}{1- \bar{w_n}w_j}. Khi đó nếu hàm \varphi là hàm nội suy với dữ liệu đầu tiên, thì hàm \displaystyle f\colon\lambda\mapsto \frac{\varphi(\frac{\lambda +\lambda_n}{1+\bar{\lambda_n}\lambda})-w_n}{1-\bar{w_n} \varphi(\frac{\lambda +\lambda_n}{1+\bar{\lambda_n}\lambda})} là hàm nội suy dữ liệu thứ hai.

Bây giờ ta đặt \psi(\lambda) = \frac{f(\lambda)}{\lambda}, thì \psi là hàm nội suy dữ liệu sau \displaystyle\begin{pmatrix}\lambda_1^{\prime} &\lambda_2^{\prime}&\ldots& \lambda_{n-1}^{\prime} \\ \frac{w_1^{\prime}}{\lambda_1^{\prime}}&\frac{w_2^{\prime}}{\lambda_2^{\prime}} &\ldots &\frac{w_{n-1}^{\prime}}{\lambda_{n-1}^{\prime}}\end{pmatrix}.

Như vậy ta đã chuyển bài toán nội suy n điểm thành bài toán nội suy n-1 điểm. Ta có thể chứng minh được là tính dương của ma trận Pick ban đầu và ma trận Pick thu được sau khi rút gọn là tương đương nhau.

Nếu ma trận Pick ban đầu là xác định dương (không suy biến), ta liên tiếp sử dụng phương pháp thu gọn này (gọi là phương pháp thu gọn của Schur) để đẩy bài toán một mốc nội suy là 0\mapsto 0, và bài toán này có vô số nghiệm.

Nếu ma trận Pick ban đầu nửa xác định dương và suy biến, thì đến một lúc nào đó giá trị nội suy w_j có module bằng 1, và khi đó hàm nội suy phải là hàm hằng v.v. từ đó kết luận được về tính duy nhất của hàm nội suy. Cái ý tôi chưa đi sâu vào chi tiết, vì  chưa đọc cẩn thận.

Chia sẻ:

  • Facebook
  • X
Thích Đang tải...

Có liên quan

Từ khóa » định Lý Pick