Định Lý Pytago

Có thể bạn quan tâm

5/5 - (1 bình chọn)

Mục Lục

Lý thuyết định lí Py-ta-go
- Mẹo ghi nhớ:
- Giải Bài 7: Định lý Pytago Toán lớp 7
  - Bài tập ứng dụng
  - Câu hỏi 3 trang 130:
  - Câu hỏi 4 trang 130:
  - Bài 53 (trang 131 SGK Toán 7 Tập 1):
  - Bài 54 (trang 131 SGK Toán 7 Tập 1):
  - Bài 55 (trang 131 SGK Toán 7 Tập 1):
- Lý thuyết trọng tâm
- Định lý Pytago được ứng dụng nhiều hơn bạn nghĩ
- Bài tập
  - Lời giải:
- CÁCH ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ PITAGO
  - Tìm cạnh tam giác vuông
- Tính khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng x y

Lý thuyết định lí Py-ta-go

1. Định lí Pytago Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng bình phương hai cạnh góc vuông.

1. Định lí Pytago

Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.

ΔABC vuông tại A

thì ta có:

BC2=AB2+AC2

Ví dụ: Cho tam giác ABC vuông tại A có AB= 6cm, AC= 8cm. Tính BC

Áp dụng định lí Pytago trong tam giác vuông ABC, ta có:

BC2=AB2+AC2

Nên BC2=62+82=36+64=100

Vậy BC=10 cm

Chú ý: Dựa vào định lí Pytago, khi ta biết độ dài 2 cạnh của tam giác vuông, ta sẽ tính được độ dài cạnh còn lại2. Định lí Pytago đảo.

Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.

ΔABC có BC2=AB2+AC2

⇒ˆBAC=90o

Sử dụng định lý Py-ta-go đảo để nhận biết tam giác vuông

Phương pháp:

+ Tính bình phương các độ dài ba cạnh của tam giác

+ So sánh bình phương của cạnh lớn nhất với tổng các bình phương của hai cạnh kia

+ Nếu hai kết quả bằng nhau thì tam giác đó là tam giác vuông, cạnh lớn nhất là cạnh huyền.

Mẹo ghi nhớ:

+Trong tam giác vuông, bình phương cạnh huyền bằng bình phương các cạnh góc vuông

+Ngược lại, nếu 1 tam giác có một cạnh bằng bình phương 2 cạnh còn lại thì đó là tam giác vuông, cạnh đó được gọi là cạnh huyền.

Ví dụ: Cho tam giác ABC có AC= 5 cm, BC= 3 cm, AB= 4 cm. Tam giác ABC là tam giác gì?

Ta có: AC2=BC2+AB2( vì 52=32+4

Nên tam giác ABC vuông tại B( Định lí Pytago đảo)

Chú ý: Cạnh huyền là cạnh lớn nhất trong tam giác vuông

Giải Bài 7: Định lý Pytago Toán lớp 7

Bài tập ứng dụng

Hướng dẫn giải câu hỏi ứng dụng kèm bài tập Toán lớp 7 trang 129, 130, 131 bao gồm lời giải chi tiết, phương pháp giải mỗi bài rõ ràng giúp các em hiểu sâu lời giải, các kiến thức lý thuyết ứng dụng. Dễ dàng giải quyết các bài tập tương tự.

Câu hỏi 1 trang 129:

Vẽ một tam giác vuông có các cạnh góc vuông bằng 3cm và 4cm. Đo độ dài cạnh huyền

Hướng dẫn giải chi tiết:

Đo được cạnh huyền 5cm

Câu hỏi 2 trang 129:

Lấy giấy trắng cắt tám tam giác vuông bằng nhau. Trong mỗi tam giác vuông đó, ta gọi độ dài các cạnh góc vuông là a và b, gọi độ dài cạnh huyền là c. Cắt hai tấm bìa hình vuông có cạnh bằng a+b

a) Đặt bốn tam giác vuông lên tấm bìa hình vuông như hình 121. Phần bìa không bị che lấp là một hình vuông có cạnh bằng c, tính diện tích phần bìa đó theo c

b) Đặt bốn tam giác vuông còn lại lên tấm bìa hình vuông thứ hai như hình 122. Phần bìa không bị che lấp gồm hai hình vuông có cạnh là a và b; tính diện tích phần bìa đó theo a và b

c) từ đó rút ra nhận xét gì về quan hệ giữa c2 và a2 + b2 ?

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tính diện tích hình vuông cạnh a là S=a2

Hướng dẫn giải chi tiết:

a) diện tích phần bìa hình vuông cạnh c là c2

b) diện tích hai phần bìa hình vuông lần lượt là a2 và b2

c) nhận xét c2 = a2 + b2

Câu hỏi 3 trang 130:

Tìm độ dài x trên các hình 124, 125

Hướng dẫn giải chi tiết:

Áp dụng định lí Py – ta – go

Tam giác ABC vuông tại B

⇒ x2 + 82 = 102

⇒ x2 = 102 – 82 = 36

⇒ x = 6 (cm)

Tam giác DEF vuông tại D

⇒ 12 + 12 = x2

⇒ x2 = 1 + 1 = 2

⇒ x = √2 (cm)

Câu hỏi 4 trang 130:

Vẽ tam giác ABC có AB = 3cm; AC = 4cm; BC = 5cm. Hãy dùng thước đo góc để xác định số đo của góc BAC

Hướng dẫn giải chi tiết:

Số đo góc BAC là 90o

Bài 53 (trang 131 SGK Toán 7 Tập 1):

Tìm độ dài x trên hình 127.

Phương pháp giải:

Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.

Hướng dẫn giải chi tiết:

– Hình a

Áp dụng định lí Pi-ta-go ta có:

x2 = 122 + 52 = 144 + 25 = 169 ⇒ x = 13

– Hình b

Ta có: x2 = 12 + 22 = 1 + 4 = 5

⇒ x = √5

– Hình c

Theo định lí Pi-ta-go 292 = 212 + x2

Nên x2 = 292 – 212 = 841 – 441 = 400

⇒ x = 20

– Hình d

Theo định lí Pi-ta-go ta có:

x2 = (√7)2 + 32 = 7 + 9 = 16

⇒ x = 4

Kiến thức áp dụng

Định lý Pytago: “ Trong tam giác vuông, tổng bình phương cạnh góc vuông bằng bình phương cạnh huyền”.

Bài 54 (trang 131 SGK Toán 7 Tập 1):

Đoạn lên dốc từ C đến A dài 8,5m, độ dài CB bằng 7,5m. Tính chiều cao AB.

Phương pháp giải:

Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Áp dụng định lí Py–ta–go vào tam giác vuông ABC vuông tại B ta có:

AB2 + BC2 = AC2

Nên AB2 = AC2 – BC2

= 8,52 – 7,52

= 72,25 – 56,25

=16

⇒ AB = 4 (m)

Kiến thức áp dụng

Định lý Pytago: “ Trong tam giác vuông, tổng bình phương cạnh góc vuông bằng bình phương cạnh huyền”.

Bài 55 (trang 131 SGK Toán 7 Tập 1):

Tính chiều cao của bức tường, biết rằng chiều dài của thang là 4m và chân thang cách tường 1m.

Phương pháp giải:

Áp dụng định lý Py-ta-go để tính chiều cao của bức tường.

Hướng dẫn giải chi tiết:

Kí hiệu như hình vẽ:

Vì mặt đất vuông góc với chân tường nên góc C = 90º.

Áp dụng định lí Pi-ta-go trong ΔABC ta có:

AC2 + BC2 = AB2

⇒ AC2 = AB2 – BC2 = 16 – 1 = 15

⇒ AC = √15 ≈ 3,87(m) hay chiều cao của bức tường là 3,87m.

Kiến thức áp dụng

Định lý Pytago: “ Trong tam giác vuông, tổng bình phương cạnh góc vuông bằng bình phương cạnh huyền”.

Lý thuyết trọng tâm

1. Định lý Pytago

Trong một tam giác vuông, bình phương của cạnh huyền bằng tổng các bình phương của hai cạnh góc vuông.

ΔABC vuông tại A ⇒ BC2 = AB2 + AC2

2. Định lý Pytago đảo

Nếu một tam giác có bình phương của một cạnh bằng tổng các bình phương của hai cạnh kia thì tam giác đó là tam giác vuông.

ΔABC có BC2 = AB2 + AC2 ∠BAC = 90o

Định lý Pytago được ứng dụng nhiều hơn bạn nghĩ

Mối liên hệ giữa các cạnh trong tam giác vuông đã được con người phát hiện từ thời cổ đâị, trước cả Pytago, từ văn minh Ai Cập tới vùng Lưỡng Hà, văn minh Ấn Hằng tới văn minh Trung Hoa cổ đại. Tuy nhiên, phải tới thời Hy Lạp cổ đại, định lý này mới được chứng minh bởi Pyatago – nhà toán học nổi tiếng Hy Lạp thời bấy giờ. Không chỉ được ứng dụng trong hình học đơn giản, Pytago được ứng dụng phổ biến trong các lĩnh vực toán học như vi phân, tích phân, hình học không gian,… Vì vậy, nó được xem như thành tựu thúc đẩy sự phát triển của cả nền toán học.

Bài tập

Bài tập 1:

Xét tam giác ABC vuông tại A, cho bảng sau, tính chiều dài cạnh huyền BC.

AB	3	5	11	9	18	6	7
AC	4	7	6	17	6	12	4
BC	?	?	?	?	?	?	?

Lời giải:

Vì tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Pytago ta có:

BC2 = AC2 + AB2

=> BC = √(AC2 + BC2)

AB	3	5	11	9	18	6	7
AC	4	7	6	17	6	12	4
BC	5	8,6	12,5	19,2	19	13	8,1

Bài tập 2:

Xét tam giác ABC vuông tại A:

Biết chiều dài cạnh AB = 4 cm, chiều dài cạnh BC = 6 cm, tính chiều dài cạnh AC
Biết chiều dài cạnh AC = 2 cm, chiều dài cạnh BC = 7 cm, tính chiều dài cạnh AB
Biết chiều dài cạnh AB = 3 cm, chiều dài cạnh AC = 5 cm, tính chiều dài cạnh BC

Lời giải

1. Ta có: BC² = AC² + AB²

=> AC² = BC² – AB²

=> AC² = 6² – 4²

=> AC = √20

Vậy chiều dài của cạnh AC là √20 cm

2. Ta có BC² = AC² + AB²

=> AB² = BC² – AC²

=> AB² = 7² – 2 ²

=> AB = √45

Vậy chiều dài cạnh AB = √45 cm

3. Ta có: BC² = AC² + AB²

=> BC² = 3² + 5²

=> BC = √34

Vậy chiều dài cạnh BC là√34

Bài tập 3:

Tính chiều dài cạnh huyền của các tam giác sau, biết:

a. Tam giác MNO vuông tại M có cạnh MO = 4 cm, cạnh MN = 5 cm

b. Tam giác PQR vuông tại P có cạnh PQ = 7 cm, cạnh PR = 6 cm

c. Tam giác BCD vuông tại B có cạnh BC = 8 cm, cạnh BD = 2 cm

d. Tam giác IKL vuông tại I có cạnh IL = 4,5 cm, cạnh IK = 8 cm

Lời giải:

a. Vì tam giác MNO vuông tại M, NO là cạnh góc vuông, do đó, ta áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông:

NO2 = MN2 + MO2

=> NO2 = 42 + 52

=> NO2 = 41

=> NO = √41

=> NO = 6,4

Vậy chiều dài cạnh NO của tam giác MNO là 6,4 cm

b. Vì tam giác PQR vuông tại P, QR là cạnh góc vuông, do đó, ta áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông:

QR2 = PQ2 + PR2

=> QR2 = 72 + 62

=> QR2 = 85

=> QR = √85

=> QR = 9,2

Vậy chiều dài cạnh QR của tam giác PQR là 9,2 cm

c. Vì tam giác BCD vuông tại B, CD là cạnh góc vuông, do đó, ta áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông:

CD2 = BC2 + BD2

=> CD2 = 82 + 22

=> CD2 = 70

=> CD = √70

=> CD = 8,4

Vậy chiều dài cạnh CD của tam giác BCD là 8,4 cm

c. Vì tam giác IKL vuông tại I, KL là cạnh góc vuông, do đó, ta áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông:

KL2 = IL2 + IK2

=> KL2 = 4,52 + 82

=> KL2 = 84,25

=>KL = √84,25

=> KL = 9,2

Vậy chiều dài cạnh CD của tam giác BCD là 9,2 cm

CÁCH ÁP DỤNG ĐỊNH LÝ PITAGO

Dưới đây là cách áp dụng định lý Pytago mà chúng ta nên tham khảo:

Tìm cạnh tam giác vuông

Định lý Pitago được áp dụng cho những trường hợp là tam giác vuông nên để tìm được các cạnh thì chúng ta cần phải có giả thuyết là tam giác vuông với góc 90 độ.
Nhìn vào hình vẽ chúng ta cần xác định 2 cạnh góc vuông và cạnh huyền. Cạnh thì đối diện với góc vuông, còn cạnh dài nhất sẽ là cạnh huyền, cạnh ngắn nhất là 2 cạnh góc vuông.
Với định lý Pitago để tìm được độ dài của cạnh trong một tam giác vuông thì chỉ cần biết chiều dài của hai cạnh còn lại.
Thay 2 giá trị của 2 cạnh vào công thức a² + b² = c²
Tính bình phương các cạnh đã biết, bạn chỉ cần đơn giản để ở dạng mũ rồi tính.
Tách biến sang một vế của phương trình ta đang cần tính.
Giảm bình phương của cả hai vế
Sử dụng định lý Pitago để tìm cạnh tam giác vuông.

Tính khoảng cách giữa hai điểm trong mặt phẳng x y

Trước tiên chúng ta cần xác định 2 điểm trong mặt phẳng XY. Áp dụng định lý Pytago chúng ta dễ dàng tính được khoảng cách của hai điểm. Tọa độ x, y sẽ được viết ra 1 cặp tọa độ (x,y)
Vẽ hai điểm trên đồ thị. Trong một đồ thị tọa độ (x, y) luôn được gắn liền với trục hoành và trục tung.
Tìm độ dài các cạnh góc vuông của tam giác.
Dùng định lý Pytago để giải phương trình tìm ra cạnh huyền