Định Lý Steiner Cho Tứ Giác Toàn Phần Ppsx - 123doc

Khi đó các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, AEF, BFD, CDE đồng quy tại một điểm M gọi là điểm Miquel của tứ giác.. Chứng minh: Giả sử các các đường tròn ngoại tiếp các tam giác A

ĐỊNH LÝ STEINER CHO TỨ GIÁC TOÀN PHẦN

Định lý 1:

Cho tứ giác BCEF với các cạnh bên cắt nhau tại A, D (tứ giác toàn phần) Khi đó

các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, AEF, BFD, CDE đồng quy tại một

điểm M gọi là điểm Miquel của tứ giác

Chứng minh:

Giả sử các các đường tròn ngoại tiếp các tam giác ABC, AEF cắt nhau tại M Ta

chứng minh các đường tròn còn lại cũng đi qua M

Thật vậy:

·

·

·

·

·

, mod

MA MC BA BC

ME MA FE FA

ME MC BA BC FE FA

DE DC

π π

π

π







=

Do đó đường tròn ngoại tiếp tam giác CDE

cũng đi qua M

Tương tự ta có điều cần chứng minh

Định lý 2:

Các tâm của các đường tròn trên và điểm

Miquel M cùng nằm trên một đường tròn

Chứng minh:

Gọi O O O O1, 2, 3, 4 lần lượt là tâm các đường tròn

ngoại tiếp các tam giác AEF, BFD, CDE, ABC

Ta chứng minh O O O1, 2, 3,M cùng nằm trên một đường tròn

Thật vậy:

Hạ P P P1, ,2 3 lần lượt là chân đường vuông góc từ M xuống O O O O O O2 3, 3 1, 1 2

Khi đó rõ ràng P P P1, ,2 3 lần lượt là trung điểm MD, ME, MF

Do đó P P P1, ,2 3 thẳng hàng

Theo định lý về đường thẳng Simson (đảo) ta có: O O O1, 2, 3,M cùng nằm trên một

đường tròn

Tương tự suy ra O O O O1, 2, 3, 4,M cùng nằm trên một đường tròn

Định lý 3:

Các chân đường vuông góc hạ từ M xuống các đường thẳng ABF, ACE, BCD,

O3

O2

O1

O4

M C

A

B

E

Chứng minh:

Kết quả này khá hiển nhiên khi ta sử dụng đường thẳng Euler cho điểm M với 2 trong 4 tam giác ABC, AEF, BFD, CDE

Định lý 4:

Các trực tâm của 4 tam giác trên cùng nằm trên một đường thẳng d2(đường thẳng Steiner của tứ giác)

Định lý 5:

Hai đường thẳng d d1, 2 song song

Chứng minh: (cả hai định lý 4,5)

Gọi H1,H2,H3,H4;K1,K2,K3,K4 lần lượt là

trực tâm của các tam giác nói trên và chân các

đường vuông góc hạ từ M xuống các đường

thẳng trong định lý 3

Ta chứng minh: H H2 4 / /K K2 4

Thật vậy:

Gọi DH2∩BF =G, giả sử DBF· ≤ 90 0ta có:

·

·

·

·

·

·

2

2

cot

BH

=

Tương tự với tam giác ABC ta có:

BH = −AC ABC= AC DBF

Do đó: 2

4

BH = AC

Mặt khác xét hai tam giác MDF và MCA ta có:





Xét hai tam giác BH H2 4,MK K4 2 ta có:

2 4 4 2 ( 4/ / 2, 2/ / 4)

=

=

Suy ra BH H2 4 : MK K4 2 ⇒H H2 4/ /K K4 2 ( do BH4/ /MK2,BH2/ /MK4)

Tương tự suy ra H1,H2,H3,H4 thẳng hàng trên d2 và d1/ /d2

K4

K2

H2

H4

M

G

C

D F

A

B

E

Các trung điểm của các đoạn thẳng AD, BE, CF cùng nằm trên một đường thẳng

3

d (đường thẳng Newton hay đường thẳng Gass )

Định lý 6 là một kết quả rất nổi tiếng và có nhiều cách chứng minh khác nhau Ở

đây ta còn có một kết quả nữa xoay quanh đường thẳng này được trình bày trong

định lý 7 dưới đây Kết hợp các định lý này ta có một cách chứng minh khác khá

thú vị cho cả hai

Định lý 7:

Đường thẳng Newton vuông góc với các đường thẳng d d1, 2

Chứng minh: (cả hai định lý 6,7)

Gọi M1,M2,M3 lần lượt là trung điểm của các đoạn

thẳng AD, BE, CF

Ta có:

2

.cos , cos ,

AB MK DE MK AB MK DE MK

AB MK DE MK

uuuuuur uuuuur uuur uuur uuuuur uuuur

uuur uuuuur uuur uuuuur uuur uuuur uuur uuuur

uuur uuuuur uuur uuuur

uuur uuuuur uuur

3

3 4

0

K

=

uuuur uuur uuuur

uuur uuuuur uuur uuuur

:

Do đó M M1 2 ⊥K K3 4

Tương tự ta suy ra M1,M2,M3 thẳng hàng trên

3 1, 2

d ⊥d d

Dưới đây ta vẫn còn một số kết quả thú vị khác nữa xoay quanh tứ giác toàn phần

mà bản thân tác giả bài viết này cũng chưa thực sự hoàn chỉnh được cách chứng

minh tốt nhất cho chúng! Rất mong được sự giúp sức của các bạn!

Định lý 8:

16 điểm gồm các tâm đường tròn nội tiếp và bàng tiếp các tam giác ABC, AEF,

BFD, CDE tạo thành 8 bộ 4 điểm trong đó mỗi bộ 4 điểm này nằm trên một đường

tròn khác nhau (1 điểm có thể nằm trên nhiều đường tròn khác nhau)

M2

M1

K3

K4

M

C

D F

A

B

E

8 đường tròn kể trên chia thành hai nhóm trong đó mỗi đường tròn thuộc nhóm này đều trực giao với tất cả đường tròn ở nhóm kia Các tâm của các đường tròn thuộc cùng một nhóm nằm trên một đường thẳng khác nhau (gọi là hai đường thẳng d4,d5)

Định lý 10:

Hai đường thẳng d4,d5 vuông góc với nhau tại điểm Miquel M