Định Lý Tang – Wikipedia Tiếng Việt

Trang chủ » Tính Tang Của Góc » Định Lý Tang – Wikipedia Tiếng Việt

Có thể bạn quan tâm

Hình 1 - Tam giác với ba cạnh a, b, c và ba góc đối diện α, β, γ
Lượng giác
  • Khái quát
  • Lịch sử
  • Ứng dụng
  • Hàm
    • Hàm ngược
Tham khảo
  • Đẳng thức
  • Giá trị đặc biệt
  • Bảng
  • Đường tròn đơn vị
Định lý
  • Sin
  • Cos
  • Tang
  • Cotang
  • Pythagoras
Vi tích phân
  • Phép thế lượng giác
  • Tích phân
    • Hàm nghịch đảo
  • Đạo hàm
  • x
  • t
  • s

Trong lượng giác, định lý tan[1] biểu diễn mối liên quan giữa chiều dài hai cạnh của một tam giác và tan của hai góc đối diện với hai cạnh đó.

Với các ký hiệu trong hình bên, định lý tan được biểu diễn:

a − b a + b = tan ⁡ [ 1 2 ( α − β ) ] tan ⁡ [ 1 2 ( α + β ) ] . {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.}

Chứng minh

[sửa | sửa mã nguồn]

Chứng minh định lý tan dựa vào định lý sin

[sửa | sửa mã nguồn] a sin ⁡ α = b sin ⁡ β . {\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}.}

Đặt

d = a sin ⁡ α = b sin ⁡ β , {\displaystyle d={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }},}

ta có

a = d sin ⁡ α  và  b = d sin ⁡ β . {\displaystyle a=d\sin \alpha {\text{ và }}b=d\sin \beta .\,}

Do đó

a − b a + b = d sin ⁡ α − d sin ⁡ β d sin ⁡ α + d sin ⁡ β = sin ⁡ α − sin ⁡ β sin ⁡ α + sin ⁡ β . {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {d\sin \alpha -d\sin \beta }{d\sin \alpha +d\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}.}

Dùng công thức lượng giác

sin ⁡ ( α ) ± sin ⁡ ( β ) = 2 sin ⁡ ( α ± β 2 ) cos ⁡ ( α ∓ β 2 ) , {\displaystyle \sin(\alpha )\pm \sin(\beta )=2\sin \left({\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha \mp \beta }{2}}\right),\;}

ta có

a − b a + b = 2 sin ⁡ 1 2 ( α − β ) cos ⁡ 1 2 ( α + β ) 2 sin ⁡ 1 2 ( α + β ) cos ⁡ 1 2 ( α − β ) = tan ⁡ [ 1 2 ( α − β ) ] tan ⁡ [ 1 2 ( α + β ) ] . ◼ {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.\qquad \blacksquare }

Hoặc có thể chứng minh theo cách khác bằng công thức sau

tan ⁡ ( α ± β 2 ) = sin ⁡ α ± sin ⁡ β cos ⁡ α + cos ⁡ β {\displaystyle \tan \left({\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\right)={\frac {\sin \alpha \pm \sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}}

(xem công thức tang góc chia đôi).

Ứng dụng

[sửa | sửa mã nguồn]

Từ công thức

tan ⁡ [ 1 2 ( α − β ) ] = a − b a + b tan ⁡ [ 1 2 ( α + β ) ] = a − b a + b cot ⁡ [ γ 2 ] {\displaystyle \tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]={\frac {a-b}{a+b}}\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]={\frac {a-b}{a+b}}\cot[{\frac {\gamma }{2}}]}

ta tính được α − β {\displaystyle \alpha -\beta } nếu biết hai cạnh a, b của một tam giác và góc xen giữa γ {\displaystyle \gamma } hai cạnh đó. Biết α + β = 180 ∘ − γ {\displaystyle \alpha +\beta =180^{\circ }-\gamma } ta tính được α {\displaystyle \alpha } và β {\displaystyle \beta } . Cạnh thứ ba c {\displaystyle c} có thể tính bằng Định lý sin.

Xem thêm

[sửa | sửa mã nguồn]
  • Định lý sin
  • Định lý cos
  • Công thức Mollweide
  • Công thức nửa cạnh

Tham khảo

[sửa | sửa mã nguồn]
  1. ^ See Eli Maor, Trigonometric Delights, Princeton University Press, 2002.

Từ khóa » Tính Tang Của Góc