Định Thức Con – Wikipedia Tiếng Việt

Trong đại số tuyến tính, một định thức con của một ma trận A là định thức của một ma trận vuông nhỏ hơn tạo thành từ các phần tử nằm trên giao của một số hàng và cột của A.[1]

Định nghĩa

[sửa | sửa mã nguồn]

Định thức con cấp n-1

[sửa | sửa mã nguồn]

Nếu A là ma trận vuông cấp n, thì định thức con cấp n-1 ứng với hàng i và cột j là định thức của ma trận con được hình thành bằng cách xóa hàng thứ i và cột thứ j của ma trận A.[1] Giá trị của nó thường được ký hiệu là Mi,j. (Lưu ý rằng số hạng tại vị trí (i, j) cũng là một định thức con cấp 1 của A).

Giá trị ( − 1 ) i + j {\displaystyle (-1)^{i+j}} Mi,j bằng với phần bù đại số của số hạng (i, j) trong ma trận A.[1]

Để minh họa các định nghĩa này, hãy xem xét ma trận 3x3 sau đây,

[ 1 4 7 3 0 5 − 1 9 11 ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}\,\,\,1&4&7\\\,\,\,3&0&5\\-1&9&\!11\\\end{bmatrix}}}

Ta có

M 2 , 3 = det [ 1 4 ◻ ◻ ◻ ◻ − 1 9 ◻ ] = det [ 1 4 − 1 9 ] = ( 9 − ( − 4 ) ) = 13 {\displaystyle M_{2,3}=\det {\begin{bmatrix}\,\,1&4&\Box \,\\\,\Box &\Box &\Box \,\\-1&9&\Box \,\\\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}\,\,\,1&4\,\\-1&9\,\\\end{bmatrix}}=(9-(-4))=13}

Vì vậy, phần bù đại số của số hạng tại vị trí (2,3) là

  C 2 , 3 = ( − 1 ) 2 + 3 ( M 2 , 3 ) = − 13. {\displaystyle \ C_{2,3}=(-1)^{2+3}(M_{2,3})=-13.}

Các định thức con cấp n-1 của một ma trận vuông cấp n cũng được gọi là các định thức con đầu. Có tất cả n 2 {\displaystyle n^{2}} định thức con đầu, và n 2 {\displaystyle n^{2}} phần bù đại số đầu tương ứng.

Định thức con cấp k

[sửa | sửa mã nguồn]

Đặt A là một ma trận m × n và k là một số nguyên lớn hơn 0. Một định thức con cấp k của A là định thức của ma trận con tạo bởi các phần tử nằm trên giao của các hàng i 1 , … , i k {\displaystyle i_{1},\dots ,i_{k}} và các cột j 1 , … , j k {\displaystyle j_{1},\dots ,j_{k}} nào đó của A.[1]

Một cách tương đương, nó cũng là định thức của ma trận con tạo ra từ A bằng cách xóa các hàng không nằm trong i 1 , … , i k {\displaystyle i_{1},\dots ,i_{k}} và các cột không nằm trong j 1 , … , j k {\displaystyle j_{1},\dots ,j_{k}} .

Nếu A là một ma trận vuông, nếu giữ các hàng và cột cho ta một định thức con thì xóa các hàng và cột đó cho ta định thức con bù. Phần bù đại số của một định thức con tạo bởi các hàng i 1 , … , i k {\displaystyle i_{1},\dots ,i_{k}} và các cột j 1 , … , j k {\displaystyle j_{1},\dots ,j_{k}} được cho bởi tích của định thức con bù với hệ số ( − 1 ) i 1 + … i k + j 1 + ⋯ + j k {\displaystyle (-1)^{i_{1}+\dots i_{k}+j_{1}+\dots +j_{k}}} .[1]

Tham khảo

[sửa | sửa mã nguồn]

1. ^ a b c d e Nguyễn Hữu Việt Hưng (1999), tr. 130

• Nguyễn Hữu Việt Hưng, 1999, Đại số tuyến tính

Liên kết ngoài

[sửa | sửa mã nguồn]

• MIT Linear Algebra Lecture on Cofactors at Google Video, from MIT OpenCourseWare
• PlanetMath entry of Cofactors Lưu trữ ngày 8 tháng 4 năm 2012 tại Wayback Machine
• Springer Encyclopedia of Mathematics entry for Minor

x t s Đại số tuyến tính
Đại cương Thuật ngữ
Khái niệm cơ bản	Vô hướng Vectơ Không gian vectơ Phép nhân vô hướng Chiếu vectơ Hệ sinh Ánh xạ tuyến tính Phép chiếu tuyến tính Độc lập tuyến tính Tổ hợp tuyến tính Cơ sở Chuyển cơ sở Vectơ hàng và cột Không gian hàng và cột Hạt nhân Giá trị riêng và vectơ riêng Ma trận chuyển vị Hệ phương trình tuyến tính
Ma trận	Khối Phân rã Nghịch đảo Định thức con Tích Hạng Biến đổi Quy tắc Cramer Phép khử Gauss
Song tuyến tính	Trực giao Tích vô hướng Không gian tích trong Tích ngoài Quá trình Gram–Schmidt
Đại số đa tuyến tính	Định thức Tích vectơ Tích ba Tích vectơ 7 chiều Đại số hình học Đại số ngoài Song vectơ Đa vectơ Tenxơ Cấu xạ ngoài
Xây dựng không gian vectơ	Không gian đối ngẫu Tổng trực tiếp Không gian hàm Thương Không gian con Tích tenxơ
Đại số tuyến tính số	Dấu phẩy động Bình phương tối thiểu tuyến tính Ổn định số Basic Linear Algebra Subprograms Ma trận thưa Comparison of linear algebra libraries
Thể loại Mục lục Chủ đề Toán học Wikibook Wikiversity