Định Thức Của Ma Trận Là Quy Tắc Tam Giác. Định Thức Ma ...

Giải pháp ma trận là một khái niệm tổng quát tất cả các hoạt động có thể được thực hiện với ma trận. Ma trận toán học - một bảng các phần tử. Giới thiệu về một cái bàn ở đó m dòng và N, họ nói rằng ma trận này có thứ nguyên m trên N.

Nhìn chung về ma trận:

Vì giải pháp ma trận bạn cần hiểu ma trận là gì và biết các tham số chính của nó. Các phần tử chính của ma trận:

Các loại ma trận chính:

• Hình vuông - một ma trận như vậy, trong đó số hàng = số cột ( m = n).
• Zero - trong đó tất cả các phần tử của ma trận = 0.
• Ma trận chuyển đổi - Ma trận TẠI, được lấy từ ma trận ban đầu Một bằng cách thay thế hàng bằng cột.
• Đơn - tất cả các phần tử của đường chéo chính = 1, tất cả các phần tử khác = 0.
• Ma trận nghịch đảo là ma trận mà khi nhân với ma trận ban đầu, kết quả là ma trận nhận dạng.

Ma trận có thể đối xứng với các đường chéo chính và phụ. Đó là, nếu a 12 = a 21, a 13 \ u003d a 31, .... a 23 \ u003d a 32 .... a m-1n = a mn-1, thì ma trận là đối xứng đối với đường chéo chính. Chỉ ma trận vuông mới có thể đối xứng.

Các phương pháp giải ma trận.

Gần như tất cả phương pháp giải ma trận là để tìm ra yếu tố quyết định của nó N thứ tự và hầu hết trong số họ là khá cồng kềnh. Để tìm định thức của bậc 2 và bậc 3, có những cách khác hợp lý hơn.

Tìm định thức bậc 2.

Để tính toán quyết định ma trận NHƯNG Bậc 2, cần lấy tích các phần tử của đường chéo chính trừ đi tích các phần tử của đường chéo chính:

Các phương pháp tìm định thức bậc 3.

Dưới đây là các quy tắc để tìm định thức bậc 3.

Quy tắc tam giác để giải ma trận.

Đơn giản hóa quy tắc tam giác là một trong những phương pháp giải ma trận, có thể được biểu diễn như sau:

Nói cách khác, tích của các phần tử trong định thức đầu tiên được nối với nhau bằng các dòng được lấy bằng dấu "+"; ngoài ra, đối với định thức thứ 2 - các sản phẩm tương ứng được lấy với dấu "-", nghĩa là theo sơ đồ sau:

Quy tắc Sarrus để giải ma trận.

Tại giải quyết ma trận bằng quy tắc Sarrus, bên phải của định thức, 2 cột đầu tiên được thêm vào và tích của các phần tử tương ứng trên đường chéo chính và trên các đường chéo song song với nó được lấy bằng dấu “+”; và tích của các phần tử tương ứng của đường chéo phụ và đường chéo song song với nó, có dấu "-":

Khai triển hàng hoặc cột của định thức khi giải ma trận.

Bản ngã bằng tổng tích của các phần tử của hàng định thức và phần phụ đại số của chúng. Thường chọn hàng / cột trong đó / th có số không. Hàng hoặc cột mà quá trình phân hủy được thực hiện sẽ được biểu thị bằng một mũi tên.

Đưa yếu tố quyết định đến hình tam giác khi giải các ma trận.

Tại giải quyết ma trận Bằng cách giảm định thức thành dạng tam giác, chúng hoạt động như thế này: sử dụng các phép biến đổi đơn giản nhất trên các hàng hoặc cột, định thức trở thành tam giác và khi đó giá trị của nó, phù hợp với các thuộc tính của định thức, sẽ bằng tích của các phần tử. đứng trên đường chéo chính.

Định lý Laplace để giải các ma trận.

Khi giải các ma trận bằng định lý Laplace, cần phải biết trực tiếp chính định lý đó. Định lý Laplace: Cho Δ là một yếu tố quyết định N-thứ. Chúng tôi chọn bất kỳ k hàng (hoặc cột), được cung cấp k ≤ n - 1. Trong trường hợp này, tổng các sản phẩm của tất cả trẻ vị thành niên k thứ tự có trong đã chọn k hàng (cột), phép cộng đại số của chúng sẽ bằng định thức.

Nghiệm ma trận nghịch đảo.

Chuỗi các hành động cho giải pháp ma trận nghịch đảo:

1. Tìm hiểu xem nó có hình vuông không ma trận cho trước. Trong trường hợp một câu trả lời phủ định, rõ ràng là không thể có một ma trận nghịch đảo cho nó.
2. Chúng tôi tính toán các phép cộng đại số.
3. Chúng tôi tạo ra ma trận liên minh (tương hỗ, đính kèm) C.
4. Chúng tôi tạo một ma trận nghịch đảo từ các phép cộng đại số: tất cả các phần tử của ma trận adjoint C chia cho định thức của ma trận ban đầu. Ma trận kết quả sẽ là mong muốn ma trận nghịch đảo liên quan đến cái đã cho.
5. Chúng tôi kiểm tra công việc đã thực hiện: chúng tôi nhân ma trận của ma trận ban đầu và ma trận kết quả, kết quả phải là ma trận nhận dạng.

Giải pháp của hệ thống ma trận.

Vì giải pháp của hệ thống ma trậnđược sử dụng phổ biến nhất là phương pháp Gauss.

Phương pháp Gauss là cách tiêu chuẩn giải pháp của hệ thống tuyến tính phương trình đại số(SLAE) và nó nằm ở chỗ các biến được loại trừ theo trình tự, tức là, với sự trợ giúp của các thay đổi cơ bản, hệ phương trình được đưa về một hệ tương đương của loại tam giác và từ đó, tuần tự, bắt đầu từ cuối cùng ( bằng số), mỗi phần tử của hệ thống được tìm thấy.

Phương pháp Gauss là công cụ linh hoạt nhất và tốt nhất để tìm kiếm các giải pháp ma trận. Nếu hệ thống có tập hợp vô hạn giải pháp hoặc hệ thống không tương thích, thì nó không thể được giải quyết bằng quy tắc Cramer và phương pháp ma trận.

Phương pháp Gaussian cũng ngụ ý một phương pháp trực tiếp (giảm ma trận mở rộng thành bước xem, I E. lấy các số không dưới đường chéo chính) và đảo ngược (lấy các số không trên đường chéo chính của ma trận mở rộng) di chuyển. Bước tiến là phương pháp Gauss, chiều ngược lại là phương pháp Gauss-Jordan. Phương pháp Gauss-Jordan chỉ khác với phương pháp Gauss ở trình tự loại bỏ các biến.

Bản trình diễn công cụ Datalife

Trong bài này, chúng ta sẽ làm quen với một khái niệm rất quan trọng từ phần của đại số tuyến tính, nó được gọi là định thức.

Tôi muốn chỉ ra ngay lập tức tâm điểm: khái niệm định thức chỉ có giá trị đối với ma trận vuông (số hàng = số cột), các ma trận khác không có.

4. Bây giờ hãy xem xét các ví dụ với số thực:

Quy tắc tam giác là một cách để tính định thức của một ma trận, bao gồm việc tìm nó theo sơ đồ sau:

Như bạn đã hiểu, phương pháp này được gọi là quy tắc tam giác do các phần tử ma trận được nhân tạo thành các tam giác đặc biệt.

Để hiểu rõ hơn điều này, hãy lấy một ví dụ:

Và bây giờ hãy xem xét phép tính định thức của ma trận với các số thực bằng cách sử dụng quy tắc tam giác:

Để củng cố tài liệu được đề cập, chúng ta sẽ giải quyết một ví dụ thực tế khác:

3. Định thức của ma trận chuyển vị bằng định thức của ma trận ban đầu.

4. Định thức bằng 0 nếu các phần tử của một hàng bằng các phần tử tương ứng của một hàng khác (đối với cột). Ví dụ đơn giản nhất về thuộc tính này của các yếu tố quyết định là:

5. Định thức bằng 0 nếu 2 hàng của nó tỷ lệ với nhau (cũng đối với cột). Ví dụ (dòng 1 và dòng 2 tỷ lệ thuận):

6. Nhân tử chung của một hàng (cột) có thể lấy ra ngoài dấu của định thức.

7) Định thức sẽ không thay đổi nếu các phần tử tương ứng của hàng (cột) khác được thêm vào các phần tử của bất kỳ hàng (cột) nào, nhân với cùng một giá trị. Hãy xem điều này với một ví dụ:

Định thức ma trận: Thuật toán và các ví dụ về tính toán xác định ma trận

Định thức (định thức) của ma trận là một số nhất định mà ma trận vuông A = (a i j) n × n bất kỳ có thể được so sánh với nó.

| A |, ∆, det A là các ký hiệu biểu thị định thức ma trận.

Phương pháp tính định thức được chọn tùy thuộc vào bậc của ma trận.

Định thức của ma trận bậc 2 được tính theo công thức:

d e t A = 1 - 2 3 1 = 1 × 1 - 3 × (- 2) = 1 + 6 = 7

Định thức ma trận bậc 3: Quy tắc tam giác

Để tìm định thức của ma trận bậc 3, cần một trong các quy tắc sau:

• quy tắc tam giác;
• Quy tắc Sarrus.

Làm thế nào để tìm định thức của ma trận bậc 3 bằng phương pháp tam giác?

A \ u003d 1 3 4 0 2 1 1 5 - 1

d e t A = 1 3 4 0 2 1 1 5 - 1 = 1 × 2 × (- 2) + 1 × 3 × 1 + 4 × 0 × 5 - 1 × 2 × 4 - 0 × 3 × (- 1) - 5 × 1 × 1 = (- 2) + 3 + 0 - 8 - 0 - 5 = - 12

Quy tắc Sarrus

Để tính định thức bằng phương pháp Sarrus, bạn phải tính đến một số điều kiện và thực hiện các bước sau:

• thêm hai cột đầu tiên vào bên trái của định thức;
• nhân các phần tử nằm trên đường chéo chính và đường chéo song song với nó, lấy các tích có dấu “+”;
• nhân các phần tử nằm trên các đường chéo bên và song song với chúng, lấy các tích có dấu "-".

a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 = a 11 × a 22 × a 33 + a 31 × a 12 × a 23 + a 21 × a 32 × a 13 - a 31 × a 22 x a 13 - a 21 x a 12 x a 33 - a 11 x a 23 x a 32

A \ u003d 1 3 4 0 2 1 - 2 5 - 1 1 3 0 2 - 2 5 \ u003d 1 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 2) + 4 × 0 × 5 - 4 × 2 × (- 2) - 1 × 1 × 5 - 3 × 0 × (- 1) = - 2 - 6 + 0 + 16 - 5 - 0 = 3

Phương pháp phân tách hàng và cột

Để tính định thức của ma trận bậc 4, bạn có thể sử dụng một trong 2 phương pháp:

• phân rã bởi các phần tử của một chuỗi;
• phân hủy bởi các phần tử cột.

Các phương pháp được trình bày xác định việc tính toán của định thức N làm thế nào để tính toán yếu tố quyết định thứ tự N -1 bằng cách biểu diễn định thức dưới dạng tổng các tích của các phần tử của một hàng (cột) và phần bổ sung đại số của chúng.

Phân rã ma trận theo các phần tử hàng:

d e t A = a i 1 × A i 1 + a i 2 × A i 2 +. . . + a i n × A i n

Phân rã ma trận theo các phần tử cột:

d e t A = a 1 i × A 1 i + a 2 i × A 2 i +. . . + a n i × A n i

Nếu ma trận được phân tách thành các phần tử của một hàng (cột), thì cần phải chọn một hàng (cột) trong đó có các số không.

A \ u003d 0 1 - 1 3 2 1 0 0 - 2 4 5 1 3 2 1 0

• mở rộng trên dòng thứ 2:

A \ u003d 0 1 - 1 3 2 1 0 0 - 2 4 5 1 3 2 1 0 \ u003d 2 × (- 1) 3 × 1 - 1 3 - 2 5 1 3 1 0 \ u003d - 2 × 1 - 1 3 4 5 1 2 1 0 + 1 × 0 - 1 3 - 2 5 1 3 1 0

• mở rộng trên cột thứ 4:

A \ u003d 0 1 - 1 3 2 1 0 0 - 2 4 5 1 3 2 1 0 \ u003d 3 × (- 1) 5 × 2 1 0 - 2 4 5 3 2 1 + 1 × (- 1) 7 × 0 1 - 1 2 1 0 3 2 1 = - 3 × 2 1 0 - 2 4 5 3 2 1 - 1 × 0 1 - 1 2 1 0 3 2 1

Thuộc tính xác định

• nếu bạn biến đổi các cột hoặc hàng bằng các hành động nhỏ, thì điều này không ảnh hưởng đến giá trị của yếu tố quyết định;
• nếu bạn hoán đổi các hàng và cột, thì dấu hiệu sẽ thay đổi thành ngược lại;
• bản ngã ma trận tam giác là tích của các phần tử nằm trên đường chéo chính.

A = 1 3 4 0 2 1 0 0 5

d e t A \ u003d 1 3 4 0 2 1 0 0 5 \ u003d 1 × 5 × 2 \ u003d 10

Định thức của một ma trận có chứa một cột 0 là không.

Tính toán các yếu tố quyết định

Phương pháp tìm kiếm các yếu tố quyết định

1. Định thức của ma trận bằng cách mở rộng theo hàng và cột cho đến các phần tử nhỏ.
2. Định thức của ma trận bằng phương pháp tam giác
3. Định thức ma trận theo phương pháp rút gọn bậc
4. Định thức bằng cách rút gọn thành dạng tam giác (phương pháp Gauss)
5. Định thức ma trận bằng phương pháp phân rã

Thuộc tính của các yếu tố quyết định

1. Chuyển vị một ma trận không làm thay đổi định thức của nó.
2. Nếu bạn hoán đổi hai hàng hoặc hai cột của một định thức, thì định thức sẽ thay đổi dấu, nhưng sẽ không thay đổi về giá trị tuyệt đối.
3. Cho C = AB trong đó A và B là các ma trận vuông. Khi đó detC = detA ∙ detB.
4. Định thức có hai hàng giống nhau hoặc có hai cột giống nhau bằng 0. Nếu tất cả các phần tử của một hàng hoặc cột nào đó bằng 0, thì bản thân định thức cũng bằng không.
5. Một định thức có hai hàng hoặc cột tỷ lệ là 0.
6. Định thức ma trận tam giác bằng với sản phẩm các yếu tố đường chéo. Định thức của ma trận đường chéo bằng tích của các phần tử trên đường chéo chính.
7. Nếu tất cả các phần tử của một hàng (cột) được nhân với cùng một số, thì định thức sẽ được nhân với số này.
8. Nếu mỗi phần tử của một hàng (cột) nào đó của định thức được biểu diễn dưới dạng tổng của hai số hạng, thì định thức đó bằng tổng của hai định thức trong đó tất cả các hàng (cột) ngoại trừ hàng đã cho đều giống nhau và bằng hàng (cột) đã cho, định thức đầu tiên chứa các định thức đầu tiên, và trong các số hạng thứ hai - thứ hai.
9. Định lý Jacobi: Nếu ta thêm vào các phần tử của cột nào đó của định thức các phần tử tương ứng của cột khác, nhân với một thừa số tùy ý λ, thì giá trị của định thức sẽ không thay đổi.

Do đó, định thức của ma trận không thay đổi nếu:

• ma trận chuyển vị;
• thêm vào chuỗi bất kỳ chuỗi khác nhân với bất kỳ số nào.

Bài tập 1. Tính định thức bằng cách mở rộng nó theo hàng hoặc cột. Giải pháp: xml: xls Ví dụ 1: xml: xls

Nhiệm vụ 2. Tính định thức bằng hai cách: a) theo quy tắc “tam giác”; b) mở rộng chuỗi.

Quyết định. a) Các số hạng có trong dấu trừ được cấu tạo theo cách tương tự đối với đường chéo phụ.

Tính toán định thức bằng cách mở rộng cột

Nhỏ cho (1,1):

∆ 1,1 = (2 1-(-1 (-1))) = 1Nhỏ cho (2,1):

Hãy cùng tìm ra yếu tố quyết định đối với trẻ vị thành niên này. ∆ 2,1 = (-1 1-(-1 0)) = -1Nhỏ cho (3,1):

Nhiệm vụ số 2. Tính định thức bậc 4. Quyết định. Chúng ta viết ma trận ban đầu dưới dạng:

Tìm định thức bằng cách sử dụng mở rộng cột: Chúng tôi tính toán số nhỏ cho phần tử nằm ở giao điểm của cột đầu tiên và hàng đầu tiên (1,1): Gạch bỏ hàng đầu tiên và cột đầu tiên khỏi ma trận.

Hãy cùng tìm ra yếu tố quyết định đối với trẻ vị thành niên này. ∆ 1,1 = 0 (1 0-1 0)-1 (1 0-1 1)+1 (1 0-1 1) = 0Nhỏ cho (2,1): Gạch bỏ hàng thứ 2 và cột thứ nhất khỏi ma trận.

Hãy cùng tìm ra yếu tố quyết định đối với trẻ vị thành niên này. ∆ 2,1 = 1 (1 0-1 0)-1 (1 0-1 1)+1 (1 0-1 1) = 0 Chúng tôi tính toán số nhỏ cho phần tử nằm ở giao điểm của cột đầu tiên và hàng thứ ba (3,1): Gạch bỏ hàng thứ 3 và cột thứ nhất khỏi ma trận.

Hãy cùng tìm ra yếu tố quyết định đối với trẻ vị thành niên này. ∆ 3,1 = 1 (1 0-1 1)-0 (1 0-1 1)+1 (1 1-1 1) = -1Nhỏ cho (4,1): Gạch bỏ hàng thứ 4 và cột thứ nhất khỏi ma trận.

Ví dụ: B = a 1 1 a 2 2 a 3 3 - a 1 1 a 3 2 a 2 3 - a 1 2 a 2 1 a 3 3 + a 1 2 a 3 1 a 2 3 + a 1 3 a 2 1 a 3 2 - a 1 3 a 3 1 a 2 2 Ba số hạng có trong tổng có dấu cộng được tìm thấy như sau: một số hạng gồm tích của các phần tử nằm trên đường chéo chính, hai số hạng còn lại là tích của các phần tử nằm trên đường song song với đường chéo này với phép cộng. của một yếu tố thứ ba từ góc đối diện. Các số hạng có trong dấu trừ được cấu tạo theo cách tương tự đối với đường chéo phụ.

Nó là thú vị:

• Câu đố "Người sành về hành vi an toàn" Trình bày bài học Các bạn chú ý! Bản xem trước trang trình bày chỉ dành cho mục đích thông tin và có thể không thể hiện toàn bộ phạm vi của bản trình bày. Nếu bạn quan tâm đến công việc này vui lòng tải xuống […]
• Vốn thai sản hoạt động cho đến năm nào hành động quy phạmđiều đó điều chỉnh chương trình vốn thai sản, - Cái này luật liên bang Số 256-FZ ngày 29 tháng 12 năm 2006 “Về các biện pháp bổ sung hỗ trợ của nhà nước gia đình có trẻ em. Trước đó trong văn bản của tài liệu đã chỉ ra rằng […]
• Cung cấp và hạch toán trợ cấp có mục tiêu Tác giả: L. Lartseva Thủ tục và điều kiện cấp trợ cấp có mục tiêu cho các cơ sở văn hóa là gì? Cách phản ánh trong các nghiệp vụ kế toán đối với việc trích trước, nhận các khoản trợ cấp, cũng như hoàn nhập ngân sách các số dư chưa sử dụng […]
• Danh sách và quy định cấp quyền lợi cho người giám hộ là con chưa thành niên Chắc hẳn mọi người giám hộ ở nước ta đều băn khoăn không biết mình và người được giám hộ của mình được hưởng những quyền lợi gì? Luật nào quy định vấn đề này? Có thể trông chờ vào […]
• 22 quy luật quản lý con người (Georgy Ogaryov) Cuốn sách được nhà xuất bản Phoenix xuất bản năm 2005 với tựa đề "Quy luật quản lý con người thành công". Quản lý con người là một nghệ thuật tuyệt vời, làm chủ sẽ giúp bạn có được thành công trong cuộc sống. Bạn không cần phải học nhiều […]
• Với những điều kiện nào thì có thể tặng cho căn hộ đã sở hữu dưới 3 năm? Mỗi chủ sở hữu căn hộ có quyền tự do định đoạt, giao cho bất kỳ người nào tùy ý lựa chọn. Chương 32 chỉ ra một khả năng như vậy. GK. Hơn nữa, điều này áp dụng cho toàn bộ căn hộ và […]

Trong quá trình giải quyết các vấn đề trong toán học cao hơn, thường rất cần tính toán quyết định ma trận. Định thức ma trận xuất hiện trong đại số tuyến tính, hình học giải tích, phân tích toán học và các phần khác toán học cao hơn. Vì vậy, người ta không thể làm đơn giản nếu không có kỹ năng giải quyết các yếu tố quyết định. Ngoài ra, để tự kiểm tra, bạn có thể tải miễn phí máy tính định thức, nó sẽ không dạy bạn cách tự giải quyết định thức, nhưng rất tiện lợi, vì bạn luôn có lợi khi biết trước câu trả lời chính xác!

Tôi sẽ không nghiêm khắc định nghĩa toán họcđịnh thức, và nói chung, tôi sẽ cố gắng giảm thiểu các thuật ngữ toán học, hầu hết người đọc sẽ không cảm thấy tốt hơn về nó. Mục đích của bài viết này là hướng dẫn bạn cách giải các định thức bậc hai, ba và bốn. Tất cả các tài liệu được trình bày ở dạng đơn giản và dễ tiếp cận, và ngay cả một chiếc ấm đầy (rỗng) trong toán học cao hơn, sau khi nghiên cứu kỹ lưỡng tài liệu, sẽ có thể giải các định thức một cách chính xác.

Trong thực tế, bạn thường có thể tìm thấy định thức bậc hai, ví dụ: và định thức bậc ba, ví dụ: .

Yếu tố quyết định thứ tư cũng không phải là đồ cổ, và chúng ta sẽ đến với nó ở phần cuối của bài học.

Tôi hy vọng mọi người hiểu những điều sau: Các con số bên trong định thức tự tồn tại và không có câu hỏi về bất kỳ phép trừ nào! Bạn không thể hoán đổi số!

(Đặc biệt, có thể thực hiện hoán vị từng cặp các hàng hoặc cột của một định thức với sự thay đổi dấu của nó, nhưng thường thì điều này là không cần thiết - xem bài tiếp theo Tính chất của một định thức và hạ bậc của nó)

Do đó, nếu bất kỳ định thức nào được đưa ra, thì không chạm vào bất cứ thứ gì bên trong nó!

Ký hiệu: Nếu cho trước một ma trận , thì định thức của nó được ký hiệu là. Cũng rất thường xuyên, định thức được ký hiệu Chữ cái la tinh hoặc tiếng Hy Lạp.

1)Nó có nghĩa là gì để giải quyết (tìm, phát hiện) một định thức?Để tính định thức là TÌM SỐ. Dấu hỏi trong các ví dụ trên là những con số hoàn toàn bình thường.

2) Bây giờ nó vẫn còn để tìm ra LÀM THẾ NÀO để tìm số này?Để làm điều này, bạn cần áp dụng các quy tắc, công thức và thuật toán nhất định, sẽ được thảo luận ngay bây giờ.

Hãy bắt đầu với định thức "hai" thành "hai":

ĐIỀU NÀY NÊN NHỚ, ít nhất là trong thời gian học toán cao hơn ở trường đại học.

Hãy xem ngay một ví dụ:

Sẵn sàng. Quan trọng nhất, KHÔNG ĐƯỢC XIN LỖI CÁC DẤU HIỆU.

Định thức ma trận ba nhân ba Có thể mở bằng 8 cách, trong đó có 2 cách đơn giản và 6 cách bình thường.

Hãy bắt đầu với hai những cách đơn giản

Tương tự như định thức “hai x hai”, định thức “ba x ba” có thể được mở rộng bằng công thức:

Công thức dài và rất dễ mắc lỗi do không chú ý. Làm thế nào để tránh những sai lầm đáng xấu hổ? Vì vậy, một phương pháp thứ hai để tính định thức đã được phát minh, phương pháp này thực sự trùng khớp với phương pháp đầu tiên. Nó được gọi là phương pháp Sarrus hoặc phương pháp "dải song song". Điểm mấu chốt là cột đầu tiên và cột thứ hai được quy về bên phải của định thức và các dòng được vẽ cẩn thận bằng bút chì:

Các yếu tố nằm trên các đường chéo "màu đỏ" được đưa vào công thức với dấu "cộng". Các yếu tố nằm trên đường chéo "màu xanh lam" được đưa vào công thức với dấu trừ:

Ví dụ:

So sánh hai giải pháp. Dễ dàng nhận thấy rằng đây là CÙNG, chỉ trong trường hợp thứ hai, các yếu tố của công thức được sắp xếp lại một chút, và quan trọng nhất là xác suất mắc sai lầm ít hơn nhiều.

Bây giờ hãy xem xét sáu cách thông thường để tính toán định thức

Tại sao bình thường? Bởi vì trong đại đa số các trường hợp, các định thức cần được mở theo cách này.

Như bạn có thể thấy, định thức ba x ba có ba cột và ba hàng. Bạn có thể giải quyết yếu tố quyết định bằng cách mở rộng nó trên bất kỳ hàng nào hoặc trên bất kỳ cột nào.Vì vậy, nó chỉ ra 6 cách, trong khi trong mọi trường hợp sử dụng cùng loại thuật toán.

Định thức ma trận bằng tổng các tích của các phần tử hàng (cột) và các phép cộng đại số tương ứng. Đáng sợ? Mọi thứ đơn giản hơn nhiều, chúng tôi sẽ sử dụng một cách tiếp cận không khoa học, nhưng dễ hiểu, có thể tiếp cận được ngay cả với một người khác xa với toán học.

Trong ví dụ sau, chúng tôi sẽ mở rộng yếu tố quyết định trên dòng đầu tiên.Để làm điều này, chúng ta cần một ma trận các dấu hiệu:. Có thể dễ dàng nhận thấy các biển báo được đặt so le nhau.

Chú ý! Ma trận các dấu hiệu là của tôi phát minh riêng. Khái niệm này không khoa học, nó không cần được sử dụng trong thiết kế cuối cùng của các bài tập, nó chỉ giúp bạn hiểu thuật toán tính định thức.

Đầu tiên tôi sẽ mang Giải pháp hoàn chỉnh. Một lần nữa, chúng tôi lấy định thức thử nghiệm của chúng tôi và thực hiện các phép tính:

Và câu hỏi chính: LÀM THẾ NÀO để lấy điều này từ yếu tố quyết định “ba nhân ba”: ?

Vì vậy, định thức "ba bằng ba" được rút gọn thành lời giải ba nhỏ các yếu tố quyết định, hoặc như chúng còn được gọi, MINORS. Tôi khuyên bạn nên nhớ thuật ngữ này, đặc biệt vì nó dễ nhớ: nhỏ - nhỏ.

Ngay sau khi phương pháp khai triển của định thức được chọn trên dòng đầu tiên, rõ ràng mọi thứ đều xoay quanh nó:

Các phần tử thường được xem từ trái sang phải (hoặc từ trên xuống dưới nếu một cột được chọn)

Hãy bắt đầu, đầu tiên chúng ta xử lý phần tử đầu tiên của chuỗi, nghĩa là với đơn vị:

1) Chúng ta viết ra dấu hiệu tương ứng từ ma trận các dấu hiệu:

2) Sau đó, chúng tôi viết chính phần tử:

3) MENTALLY gạch bỏ hàng và cột trong đó phần tử đầu tiên là: Bốn số còn lại tạo thành định thức "hai x hai", được gọi là DIỄN VIÊN PHỤ phần tử đã cho (đơn vị).

Chúng tôi chuyển đến phần tử thứ hai của dòng.

4) Chúng tôi viết ra dấu hiệu tương ứng từ ma trận các dấu hiệu:

5) Sau đó, chúng tôi viết phần tử thứ hai:

6) MENTALLY gạch bỏ hàng và cột có chứa phần tử thứ hai:

Chà, phần tử thứ ba của dòng đầu tiên. Không có độc đáo

7) Chúng tôi viết ra dấu hiệu tương ứng từ ma trận các dấu hiệu:

8) Viết ra phần tử thứ ba:

9) MENTALLY gạch bỏ hàng và cột trong đó phần tử thứ ba là: Bốn số còn lại được viết dưới dạng định thức nhỏ.

Các bước còn lại không khó, vì chúng ta đã biết cách đếm các định thức "hai x hai". ĐỪNG XIN LỖI CÁC DẤU HIỆU!

Tương tự, định thức có thể được mở rộng trên bất kỳ hàng nào hoặc trên bất kỳ cột nào.Đương nhiên, trong tất cả sáu trường hợp, câu trả lời là như nhau.

Định thức "bốn x bốn" có thể được tính toán bằng cách sử dụng cùng một thuật toán. Trong trường hợp này, ma trận các dấu hiệu sẽ tăng lên:

Trong ví dụ sau, tôi đã mở rộng định thức trên cột thứ tư:

Và nó đã xảy ra như thế nào, hãy tự mình tìm hiểu xem. thông tin thêm Sẽ được sau. Nếu ai muốn giải định thức đến cùng thì câu trả lời đúng là: 18. Để luyện tập, tốt hơn nên mở định thức ở cột khác hoặc dòng khác.

Để thực hành, để làm lộ, để thực hiện các phép tính là rất tốt và hữu ích. Nhưng bạn sẽ dành bao nhiêu thời gian cho một yếu tố quyết định lớn? Không có cách nào nhanh hơn và đáng tin cậy hơn? Tôi đề nghị bạn tự làm quen với phương pháp hiệu quả phép tính định thức ở bài 2 - Tính chất của định thức. Giảm bậc của định thức.

HÃY CẨN THẬN!

- Thả con chim vào chỗ chết nhất định! Hãy để tự do vuốt ve cô ấy! Và con tàu đang ra khơi, và lò phản ứng đang ầm ầm ... - Pash, anh có cứng đầu không?

Tôi nhớ rằng trước khi lớp 8 tôi không thích đại số. Không thích nó chút nào. Cô ấy tức giận tôi. Bởi vì tôi đã không hiểu gì cả.

Và sau đó mọi thứ thay đổi, bởi vì tôi đã cắt qua một con chip:

Trong toán học nói chung (và đại số nói riêng) mọi thứ đều dựa trên một hệ thống định nghĩa phù hợp và có thẩm quyền. Bạn biết các định nghĩa, bạn hiểu bản chất của chúng - sẽ không khó để tìm ra phần còn lại.

Đó là chủ đề của bài học hôm nay. Chúng tôi sẽ xem xét chi tiết một số vấn đề và định nghĩa liên quan, nhờ đó bạn sẽ giải quyết một lần và mãi mãi với ma trận, định thức và tất cả các thuộc tính của chúng.

Vòng loại - khái niệm trung tâm trong đại số ma trận. Giống như các công thức nhân chia viết tắt, chúng sẽ ám ảnh bạn trong suốt khóa học toán cao cấp. Vì vậy, chúng tôi đọc, xem và hiểu kỹ lưỡng. :)

Và chúng ta sẽ bắt đầu với điều thân mật nhất - ma trận là gì? Và làm thế nào để làm việc với nó.

Vị trí chính xác của các chỉ mục trong ma trận

Ma trận chỉ là một bảng chứa đầy các con số. Neo không có ở đây.

Một trong những đặc điểm chính của ma trận là thứ nguyên của nó, tức là số hàng và cột mà nó bao gồm. Ma trận $ A $ thường được cho là có kích thước $ \ left [m \ times n \ right] $ nếu nó có $ m $ hàng và $ n $ cột. Viết nó ra như thế này:

Hoặc như thế này:

Có những chỉ định khác - tất cả phụ thuộc vào sở thích của giảng viên / chủng sinh / tác giả của sách giáo khoa. Nhưng trong mọi trường hợp, với tất cả $ \ left [m \ times n \ right] $ và $ ((a) _ (ij)) $, cùng một vấn đề phát sinh:

Chỉ số nào làm gì? Số hàng đầu tiên, sau đó đến số cột? Hoặc ngược lại?

Khi đọc các bài giảng và sách giáo khoa, câu trả lời sẽ có vẻ hiển nhiên. Nhưng khi chỉ có một tờ giấy với một nhiệm vụ ở phía trước của bạn trong kỳ thi, bạn có thể lo lắng và bất ngờ bối rối.

Vì vậy, chúng ta hãy giải quyết vấn đề này một lần và mãi mãi. Đầu tiên, hãy nhớ lại hệ tọa độ thông thường từ khóa học ở trường toán học:

Giới thiệu hệ tọa độ trên mặt phẳng

Nhớ cô ấy? Nó có điểm gốc (điểm $ O = \ left (0; 0 \ right) $) của trục $ x $ và $ y $ và mỗi điểm trên mặt phẳng được xác định duy nhất bởi tọa độ: $ A = \ left ( 1; 2 \ phải) $, $ B = \ left (3; 1 \ right) $, v.v.

Và bây giờ chúng ta hãy xây dựng này và đặt nó bên cạnh ma trận để điểm gốc nằm ở góc trên bên trái. Tại sao ở đó? Có, bởi vì khi chúng ta mở một cuốn sách, chúng ta bắt đầu đọc từ bên trái góc trên trang - thật dễ nhớ.

Nhưng hướng các trục ở đâu? Chúng tôi sẽ chỉ đạo chúng để toàn bộ "trang" ảo của chúng tôi được bao phủ bởi các trục này. Đúng, đối với điều này, chúng ta sẽ phải xoay hệ tọa độ của mình. Chỉ còn biến thể có thể vị trí này:

Ánh xạ hệ thống tọa độ thành ma trận

Bây giờ mỗi ô của ma trận có các tọa độ đơn giá trị $ x $ và $ y $. Ví dụ, mục nhập $ ((a) _ (24)) $ có nghĩa là chúng ta đang truy cập phần tử có tọa độ $ x = 2 $ và $ y = 4 $. Kích thước của ma trận cũng được xác định duy nhất bởi một cặp số:

Xác định chỉ mục trong ma trận

Chỉ cần nhìn kỹ vào bức tranh này. Chơi xung quanh với các tọa độ (đặc biệt là khi bạn làm việc với ma trận và định thức thực) - và rất nhanh chóng bạn sẽ nhận ra rằng ngay cả trong những định lý và định nghĩa phức tạp nhất, bạn hoàn toàn hiểu những gì đang bị đe dọa.

Hiểu rồi? Chà, chúng ta hãy chuyển sang bước đầu tiên của sự giác ngộ - định nghĩa hình học bản ngã. :)

Định nghĩa hình học

Trước hết, tôi muốn lưu ý rằng định thức chỉ tồn tại cho ma trận vuông có dạng $ \ left [n \ times n \ right] $. Định thức là một số được tính toán theo những quy tắc nhất định và là một trong những đặc điểm của ma trận này (có những đặc điểm khác: thứ hạng, người di cư, nhưng nhiều hơn về điều đó trong các hướng dẫn khác).

Chà, tính năng này là gì? Nó có nghĩa là gì? Nó đơn giản:

Định thức của ma trận vuông $ A = \ left [n \ times n \ right] $ là thể tích của một hình bình hành $ n $ có chiều, được tạo thành nếu chúng ta coi các hàng của ma trận là vectơ tạo thành các cạnh của song song này.

Ví dụ, định thức của ma trận 2x2 chỉ là diện tích của một hình bình hành, và đối với ma trận 3x3, nó đã là thể tích của một hình bình hành 3 chiều - chính là thể tích của tất cả học sinh trung học. nhiều trong các bài học về lập thể.

Thoạt nhìn, định nghĩa này có vẻ hoàn toàn không đầy đủ. Nhưng chúng ta đừng vội kết luận - hãy xem các ví dụ. Trên thực tế, mọi thứ đều là sơ đẳng, Watson:

Nhiệm vụ. Tìm các yếu tố quyết định ma trận:

\ [\ left | \ begin (matrix) 1 & 0 \\ 0 & 3 \\\ end (matrix) \ right | \ quad \ left | \ begin (matrix) 1 & -1 \\ 2 & 2 \\\ end (matrix) \ right | \ quad \ left | \ begin (ma trận) 2 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 0 \\ 1 & 1 & 4 \\\ end (ma trận) \ right | \]

Quyết định. Hai định thức đầu tiên là 2x2. Vì vậy, đây chỉ là những diện tích của hình bình hành. Hãy vẽ chúng và tính diện tích.

Hình bình hành đầu tiên được xây dựng dựa trên các vectơ $ ((v) _ (1)) = \ left (1; 0 \ right) $ và $ ((v) _ (2)) = \ left (0; 3 \ right) $:

Định thức 2x2 là diện tích của hình bình hành

Rõ ràng, đây không chỉ là một hình bình hành mà còn là một hình chữ nhật. Diện tích của nó bằng

Hình bình hành thứ hai được xây dựng trên các vectơ $ ((v) _ (1)) = \ left (1; -1 \ right) $ và $ ((v) _ (2)) = \ left (2; 2 \ right ) $. Vậy thì sao? Đây cũng là một hình chữ nhật:

Một định thức 2x2 khác

Các cạnh của hình chữ nhật này (thực tế là độ dài của vectơ) được tính dễ dàng bằng cách sử dụng định lý Pitago:

\ [\ begin (align) & \ left | ((v) _ (1)) \ right | = \ sqrt (((1) ^ (2)) + ((\ left (-1 \ right)) ^ (2))) = \ sqrt (2); \\ & \ left | ((v) _ (2)) \ right | = \ sqrt (((2) ^ (2)) + ((2) ^ (2))) = \ sqrt (8) = 2 \ sqrt (2); \\ & S = \ left | ((v) _ (1)) \ right | \ cdot \ left | ((v) _ (2)) \ right | = \ sqrt (2) \ cdot 2 \ sqrt (2) = 4. \\\ end (căn chỉnh) \]

Nó vẫn còn để đối phó với định thức cuối cùng - đã có một ma trận 3x3. Chúng ta sẽ phải nhớ phép đo lập thể:

Định thức 3x3 là thể tích của hình bình hành

Trông thì có vẻ khó hiểu, nhưng thực tế là đủ để nhớ lại công thức về thể tích của một hình bình hành:

trong đó $ S $ là diện tích của đáy (trong trường hợp của chúng ta, nó là diện tích của hình bình hành trên mặt phẳng $ OXY $), $ h $ là chiều cao của cơ sở này (thực tế là $ z $ - thuộc tính của vectơ $ ((v) _ (3)) $).

Diện tích của hình bình hành (chúng tôi đã vẽ riêng) cũng dễ dàng tính được:

\ [\ begin (align) & S = 2 \ cdot 3 = 6; \\ & V = S \ cdot h = 6 \ cdot 4 = 24. \\\ end (căn chỉnh) \]

Đó là tất cả! Chúng tôi viết ra câu trả lời.

Trả lời: 3; 4; 24.

Một lưu ý nhỏ về hệ thống ký hiệu. Ai đó có lẽ sẽ không thích rằng tôi bỏ qua các "mũi tên" trên vectơ. Bị cáo buộc, theo cách này, bạn có thể nhầm lẫn một vectơ với một điểm hoặc một cái gì đó khác.

Nhưng hãy nghiêm túc: chúng ta đã là những chàng trai và cô gái trưởng thành, vì vậy chúng tôi hoàn toàn hiểu rõ bối cảnh khi chúng tôi nói về một vectơ và khi chúng tôi nói về một điểm. Các mũi tên chỉ rải rác câu chuyện, đã được nhồi nhét đầy công thức toán học.

Và xa hơn. Về nguyên tắc, không có gì ngăn cản chúng ta xem xét định thức của ma trận 1x1 - ma trận như vậy là \ u200b \ u200chỉ một ô và số được viết trong ô này sẽ là định thức. Nhưng có một lưu ý quan trọng ở đây:

Không giống như khối lượng cổ điển, định thức sẽ cho chúng ta cái gọi là " khối lượng định hướng", I E. khối lượng, có tính đến trình tự đang xét của các vectơ hàng.

Và nếu bạn muốn có khối lượng theo nghĩa cổ điển của từ này, bạn sẽ phải lấy môđun của định thức, nhưng bây giờ bạn không nên lo lắng về điều đó - dù sao, trong vài giây nữa, chúng ta sẽ học cách đếm bất kỳ định thức nào. với bất kỳ dấu hiệu, kích thước, v.v. :)

Định nghĩa đại số

Với tất cả vẻ đẹp và sự rõ ràng của phương pháp hình học, nó có một nhược điểm nghiêm trọng: nó không cho chúng ta biết bất cứ điều gì về cách tính toán chính yếu tố quyết định này.

Do đó, bây giờ chúng ta sẽ phân tích một định nghĩa thay thế - đại số. Để làm điều này, chúng ta cần một sự chuẩn bị lý thuyết ngắn gọn, nhưng ở đầu ra, chúng ta sẽ nhận được một công cụ cho phép chúng ta tính toán bất kỳ thứ gì trong ma trận theo ý muốn.

Đúng, sẽ có vấn đề mới... Nhưng điều đầu tiên trước tiên.

Hoán vị và nghịch đảo

Hãy viết một dòng số từ 1 đến $ n $. Bạn nhận được một cái gì đó như thế này:

Bây giờ (hoàn toàn để giải trí) chúng ta hãy hoán đổi một vài con số. Bạn có thể thay đổi vùng lân cận

Hoặc có thể không phải là rất lân cận:

Và bạn biết những gì? Nhưng không có gì! Trong đại số, cái tào lao này được gọi là một hoán vị. Và nó có rất nhiều thuộc tính.

Sự định nghĩa. Hoán vị độ dài $ n $ - chuỗi $ n $ những con số khác nhauđược viết theo thứ tự bất kỳ. Thường $ n $ đầu tiên số tự nhiên(tức là chỉ các số 1, 2, ..., $ n $), và sau đó chúng được trộn để có được hoán vị mong muốn.

Hoán vị được biểu thị theo cách tương tự như vectơ - chỉ là một chữ cái và một bảng liệt kê tuần tự các phần tử của chúng trong dấu ngoặc. Ví dụ: $ p = \ left (1; 3; 2 \ right) $ hoặc $ p = \ left (2; 5; 1; 4; 3 \ right) $. Chữ cái có thể là bất cứ thứ gì, nhưng hãy để nó là $ p $. :)

Hơn nữa, để đơn giản hóa việc trình bày, chúng tôi sẽ làm việc với các hoán vị có độ dài 5 - chúng đã đủ nghiêm túc để quan sát bất kỳ tác động đáng ngờ nào, nhưng chưa quá nghiêm trọng đối với một bộ não mỏng manh như các hoán vị có độ dài từ 6 trở lên. Dưới đây là các ví dụ về hoán vị như vậy:

\ [\ begin (align) & (p) _ (1)) = \ left (1; 2; 3; 4; 5 \ right) \\ & ((p) _ (2)) = \ left (1 ; 3; 2; 5; 4 \ right) \\ & (p) _ (3)) = \ left (5; 4; 3; 2; 1 \ right) \\\ end (align) \]

Đương nhiên, một hoán vị có độ dài $ n $ có thể được coi là một hàm được xác định trên tập hợp $ \ left \ (1; 2; ...; n \ right \) $ và ánh xạ một cách khách quan tập hợp này vào chính nó. Quay lại các hoán vị của $ ((p) _ (1)) $, $ ((p) _ (2)) $, và $ ((p) _ (3)) $ mà chúng ta vừa viết ra, chúng ta có thể viết một cách hợp pháp :

\ [((p) _ (1)) \ left (1 \ right) = 1; ((p) _ (2)) \ left (3 \ right) = 2; ((p) _ (3)) \ left (2 \ right) = 4; \]

Số lượng các hoán vị khác nhau của độ dài $ n $ luôn bị giới hạn và bằng $ n! $ - đây là một sự thật dễ dàng chứng minh được từ tổ hợp. Ví dụ, nếu chúng ta muốn viết ra tất cả các hoán vị có độ dài 5, thì chúng ta sẽ phải đắn đo rất nhiều, vì sẽ có những hoán vị như vậy

Một trong những đặc điểm chính của bất kỳ hoán vị nào là số lần nghịch đảo trong đó.

Sự định nghĩa. Phép nghịch đảo trong hoán vị $ p = \ left (((a) _ (1)); ((a) _ (2)); ...; ((a) _ (n)) \ phải) $ - cặp $ bất kỳ \ left (((a) _ (i)); ((a) _ (j)) \ right) $ sao cho $ i \ lt j $ nhưng $ ((a) _ (i)) \ gt ((a ) _ (j)) $. Nói một cách đơn giản, nghịch đảo là khi hơnđứng bên trái của cái nhỏ hơn (không nhất thiết là cái bên cạnh).

Chúng tôi sẽ sử dụng $ N \ left (p \ right) $ để biểu thị số nghịch đảo trong một hoán vị $ p $, nhưng hãy chuẩn bị để gặp các ký hiệu khác trong các sách giáo khoa khác nhau và các tác giả khác nhau — tiêu chuẩn chung không phải ở đây. Chủ đề về sự nghịch đảo rất rộng và sẽ dành một bài học riêng cho chủ đề này. Bây giờ nhiệm vụ của chúng ta chỉ đơn giản là học cách đếm chúng trong các bài toán thực tế.

Ví dụ, hãy đếm số lần nghịch đảo trong hoán vị $ p = \ left (1; 4; 5; 3; 2 \ right) $:

\ [\ left (4; 3 \ right); \ left (4; 2 \ right); \ left (5; 3 \ right); \ left (5; 2 \ right); \ left (3; 2 \ right) ). \]

Do đó, $ N \ left (p \ right) = 5 $. Như bạn có thể thấy, không có gì sai với điều này. Tôi phải nói ngay rằng: chúng ta sẽ không quan tâm nhiều đến con số $ N \ left (p \ right) $ mà là số chẵn / lẻ của nó. Và ở đây chúng ta sẽ chuyển sang thuật ngữ chính của bài học hôm nay một cách suôn sẻ.

Một yếu tố quyết định là gì

Hãy để nó được đưa ra Ma trận vuông$ A = \ left [n \ times n \ right] $. Sau đó:

Sự định nghĩa. Định thức của ma trận $ A = \ left [n \ times n \ right] $ là tổng đại số Các điều khoản $ n! $ được cấu tạo như sau. Mỗi số hạng là tích của $ n $ phần tử ma trận, được lấy một phần tử từ mỗi hàng và mỗi cột, nhân với (−1) thành lũy thừa của số nghịch đảo:

\ [\ left | A \ right | = \ sum \ limit_ (n{{{\left(-1 \right)}^{N\left(p \right)}}\cdot {{a}_{1;p\left(1 \right)}}\cdot {{a}_{2;p\left(2 \right)}}\cdot ...\cdot {{a}_{n;p\left(n \right)}}}\]!}

Điểm cơ bản trong việc chọn thừa số cho mỗi số hạng trong định thức là thực tế là không có hai yếu tố nào nằm trong cùng một hàng hoặc trong cùng một cột.

Do đó, chúng ta có thể giả định mà không mất tính tổng quát rằng các chỉ số $ i $ của các yếu tố $ ((a) _ (i; j)) $ "chạy qua" các giá trị 1, ..., $ n $ và các chỉ số $ j $ là một số hoán vị của đầu tiên:

Và khi có một hoán vị $ p $, chúng ta có thể dễ dàng tính toán nghịch đảo của $ N \ left (p \ right) $ - và số hạng tiếp theo của định thức đã sẵn sàng.

Đương nhiên, không ai cấm hoán đổi các yếu tố trong bất kỳ thuật ngữ nào (hoặc tất cả cùng một lúc - tại sao lại bận tâm đến những điều vặt vãnh?), Và sau đó các chỉ số đầu tiên cũng sẽ đại diện cho một số loại hoán vị. Nhưng cuối cùng, sẽ không có gì thay đổi: tổng số lần nghịch đảo trong các chỉ số $ i $ và $ j $ vẫn ngang bằng với các lần đảo ngược như vậy, điều này khá phù hợp với quy tắc cũ:

Bằng cách sắp xếp lại các thừa số, tích của các số không thay đổi.

Nhưng bạn không cần phải kéo quy tắc này vào phép nhân ma trận - không giống như phép nhân các số, nó không có tính chất giao hoán. Nhưng tôi lạc đề. :)

Ma trận 2x2

Trên thực tế, bạn cũng có thể xem xét ma trận 1x1 - nó sẽ là một ô và yếu tố quyết định của nó, như bạn có thể đoán, bằng sốđược viết trong ô này. Không có gì thú vị.

Vì vậy, hãy xem xét một ma trận vuông 2x2:

\ [\ left [\ begin (matrix) ((a) _ (11)) & ((a) _ (12)) \\ ((a) _ (21)) & (a) _ (22)) \\\ end (ma trận) \ right] \]

Vì số hàng trong đó là $ n = 2 $ nên định thức sẽ chứa $ n! = 2! = 1 \ cdot 2 = 2 $ số hạng. Hãy viết chúng ra:

\ [\ begin (align) & ((\ left (-1 \ right)) ^ (N \ left (1; 2 \ right))) \ cdot ((a) _ (11)) \ cdot ((a) _ (22)) = ((\ left (-1 \ right)) ^ (0)) \ cdot ((a) _ (11)) \ cdot ((a) _ (22)) = ((a) _ (11)) ((a) _ (22)); \\ & ((\ left (-1 \ right)) ^ (N \ left (2; 1 \ right))) \ cdot ((a) _ (12)) \ cdot ((a) _ (21)) = ((\ left (-1 \ right)) ^ (1)) \ cdot ((a) _ (12)) \ cdot ((a) _ (21)) = ((a) _ (12)) ( (a) _ (21)). \\\ end (căn chỉnh) \]

Rõ ràng, không có nghịch đảo nào trong hoán vị $ \ left (1; 2 \ right) $, bao gồm hai phần tử, do đó $ N \ left (1; 2 \ right) = 0 $. Nhưng trong hoán vị $ \ left (2; 1 \ right) $ có một nghịch đảo (thực tế là 2< 1), поэтому $N\left(2;1 \right)=1.$

Tổng cộng, công thức chung để tính định thức cho ma trận 2x2 trông giống như sau:

\ [\ left | \ begin (matrix) ((a) _ (11)) & (a) _ (12)) \\ ((a) _ (21)) & ((a) _ (22)) \\\ end ( ma trận) \ right | = ((a) _ (11)) ((a) _ (22)) - ((a) _ (12)) ((a) _ (21)) \]

Về mặt đồ họa, điều này có thể được biểu diễn dưới dạng tích của các phần tử trên đường chéo chính, trừ đi tích của các phần tử trên đường phụ:

Định thức ma trận 2x2

Hãy xem một vài ví dụ:

\ [\ left | \ begin (ma trận) 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\ end (ma trận) \ right |; \ quad \ left | \ begin (ma trận) 7 & 12 \\ 14 & 1 \\\ end (ma trận) \ right |. \]

Quyết định. Tất cả mọi thứ được xem xét trong một dòng. Ma trận đầu tiên:

Và cái thứ hai:

Trả lời: -3; -161.

Tuy nhiên, nó quá dễ dàng. Hãy nhìn vào ma trận 3x3 - nó đã rất thú vị ở đó.

Ma trận 3x3

Bây giờ hãy xem xét một ma trận vuông 3x3:

\ [\ left [\ begin (matrix) ((a) _ (11)) & ((a) _ (12)) & ((a) _ (13)) \\ ((a) _ (21)) & ((a) _ (22)) & ((a) _ (23)) \\ ((a) _ (31)) & ((a) _ (32)) & (a) _ (33) ) \\\ end (ma trận) \ right] \]

Khi tính toán định thức của nó, chúng ta nhận được số hạng $ 3! = 1 \ cdot 2 \ cdot 3 = 6 $ - không quá nhiều để hoảng sợ, nhưng đủ để bắt đầu tìm kiếm một số mẫu. Đầu tiên, chúng tôi viết ra tất cả các hoán vị từ ba yếu tố và tính toán số nghịch đảo trong mỗi số đó:

\ [\ begin (align) & (p) _ (1)) = \ left (1; 2; 3 \ right) \ Rightarrow N \ left (((p) _ (1)) \ right) = N \ left (1; 2; 3 \ right) = 0; \\ & ((p) _ (2)) = \ left (1; 3; 2 \ right) \ Rightarrow N \ left (((p) _ (2)) \ right) = N \ left (1; 3 ; 2 \ đúng) = 1; \\ & ((p) _ (3)) = \ left (2; 1; 3 \ right) \ Rightarrow N \ left (((p) _ (3)) \ right) = N \ left (2; 1 ; 3 \ đúng) = 1; \\ & ((p) _ (4)) = \ left (2; 3; 1 \ right) \ Rightarrow N \ left (((p) _ (4)) \ right) = N \ left (2; 3 ; 1 \ đúng) = 2; \\ & ((p) _ (5)) = \ left (3; 1; 2 \ right) \ Rightarrow N \ left (((p) _ (5)) \ right) = N \ left (3; 1 ; 2 \ đúng) = 2; \\ & ((p) _ (6)) = \ left (3; 2; 1 \ right) \ Rightarrow N \ left (((p) _ (6)) \ right) = N \ left (3; 2 ; 1 \ đúng) = 3. \\\ end (căn chỉnh) \]

Như mong đợi, có tổng cộng 6 hoán vị $ ((p) _ (1)) $, ... $ ((p) _ (6)) $ (đương nhiên, người ta có thể viết chúng theo một chuỗi khác - điểm không thay đổi), và số lần nghịch đảo trong chúng thay đổi từ 0 đến 3.

Nói chung, chúng ta sẽ có ba số hạng cộng (trong đó $ N \ left (p \ right) $ là số chẵn) và thêm ba số hạng trừ nữa. Nói chung, định thức sẽ được tính theo công thức:

\ [\ left | \ begin (matrix) ((a) _ (11)) & (a) _ (12)) & ((a) _ (13)) \\ ((a) _ (21)) & ((a) _ (22)) & (a) _ (23)) \\ ((a) _ (31)) & ((a) _ (32)) & ((a) _ (33)) \\\ end (ma trận) \ right | = \ begin (ma trận) ((a) _ (11)) ((a) _ (22)) ((a) _ (33)) + ((a) _ (12)) ( (a) _ (23)) ((a) _ (31)) + ((a) _ (13)) ((a) _ (21)) ((a) _ (32)) - \\ - ( (a) _ (13)) ((a) _ (22)) ((a) _ (31)) - ((a) _ (12)) ((a) _ (21)) ((a) _ (33)) - ((a) _ (11)) ((a) _ (23)) ((a) _ (32)) \\\ end (matrix) \]

Chỉ cần không ngồi xuống bây giờ và điên cuồng nhồi nhét tất cả các chỉ mục này! Thay vì những con số khó hiểu, tốt hơn bạn nên nhớ quy tắc dễ nhớ sau:

Quy tắc tam giác. Để tìm định thức của ma trận 3x3, bạn cần thêm ba tích của các phần tử trên đường chéo chính và ở các đỉnh tam giác cân với một cạnh song song với đường chéo này, rồi trừ ba tích giống nhau, nhưng trên đường chéo phụ. Về mặt sơ đồ, nó trông như thế này:

Định thức ma trận 3x3: Quy tắc tam giác

Đó là những hình tam giác (hoặc ngôi sao năm cánh - tùy thích) mà họ thích vẽ trong tất cả các loại sách giáo khoa và sách hướng dẫn về đại số. Tuy nhiên, chúng ta đừng nói về những điều đáng buồn. Tốt hơn hãy tính toán một yếu tố quyết định như vậy - để làm nóng trước một hộp thiếc thật. :)

Nhiệm vụ. Tính định thức:

\ [\ left | \ begin (ma trận) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 1 \\\ end (ma trận) \ phải | \]

Quyết định. Chúng tôi làm việc theo quy tắc của hình tam giác. Đầu tiên, hãy tính ba số hạng được tạo thành từ các phần tử trên đường chéo chính và song song với nó:

\ [\ begin (align) & 1 \ cdot 5 \ cdot 1 + 2 \ cdot 6 \ cdot 7 + 3 \ cdot 4 \ cdot 8 = \\ & = 5 + 84 + 96 = 185 \\\ end (căn chỉnh) \]

Bây giờ hãy xử lý đường chéo bên:

\ [\ begin (align) & 3 \ cdot 5 \ cdot 7 + 2 \ cdot 4 \ cdot 1 + 1 \ cdot 6 \ cdot 8 = \\ & = 105 + 8 + 48 = 161 \\\ end (align) \]

Nó vẫn chỉ để trừ số thứ hai khỏi số đầu tiên - và chúng tôi nhận được câu trả lời:

Đó là tất cả!

Tuy nhiên, định thức của ma trận 3x3 vẫn chưa phải là đỉnh cao của kỹ năng. Điều thú vị nhất đang chờ đợi chúng tôi thêm. :)

Sơ đồ chung để tính toán các yếu tố quyết định

Như chúng ta đã biết, khi số chiều của ma trận $ n $ tăng lên, số hạng trong định thức là $ n! $ Và tăng lên nhanh chóng. Xét cho cùng, giai thừa là một hàm phát triển khá nhanh.

Đối với ma trận 4x4, bằng cách nào đó sẽ không tốt khi đếm các định thức phía trước (tức là thông qua hoán vị). Tôi thường giữ im lặng về 5x5 và hơn thế nữa. Do đó, một số thuộc tính của định thức được kết nối với trường hợp, nhưng cần có một chút chuẩn bị về mặt lý thuyết để hiểu chúng.

Sẵn sàng? Đi!

Ma trận nhỏ là gì

Cho một ma trận tùy ý $ A = \ left [m \ times n \ right] $ cho trước. Lưu ý: không nhất thiết phải là hình vuông. Không giống như các yếu tố quyết định, trẻ vị thành niên là những thứ dễ thương không chỉ tồn tại trong ma trận vuông khắc nghiệt. Chúng tôi chọn một số hàng và cột (ví dụ: $ k $) trong ma trận này, với $ 1 \ le k \ le m $ và $ 1 \ le k \ le n $. Sau đó:

Sự định nghĩa. Thứ tự nhỏ $ k $ là yếu tố quyết định của ma trận vuông xuất hiện tại giao điểm của các cột và hàng $ k $ đã chọn. Chúng tôi cũng sẽ gọi bản thân ma trận mới này là một ma trận nhỏ.

Một trẻ vị thành niên như vậy được ký hiệu là $ ((M) _ (k)) $. Đương nhiên, một ma trận có thể có một loạt các phần tử nhỏ có thứ tự $ k $. Dưới đây là một ví dụ về thứ tự 2 nhỏ cho ma trận $ \ left [5 \ times 6 \ right] $:

Chọn $ k = 2 $ cột và hàng để tạo thành một cột nhỏ

Các hàng và cột đã chọn không cần thiết phải cạnh nhau, như trong ví dụ trên. Điều chính là số hàng và cột được chọn giống nhau (đây là số $ k $).

Có một định nghĩa khác. Có lẽ ai đó sẽ thích nó hơn:

Sự định nghĩa. Hãy để nó được đưa ra ma trận hình chữ nhật$ A = \ left [m \ times n \ right] $. Nếu sau khi xóa một hoặc nhiều cột và một hoặc nhiều hàng trong đó, một ma trận vuông có kích thước $ \ left [k \ times k \ right] $ được hình thành, thì định thức của nó là số nhỏ $ ((M) _ (k) ) $. Đôi khi chúng ta cũng sẽ gọi bản thân ma trận là một ma trận - điều này sẽ rõ ràng từ ngữ cảnh.

Như con mèo của tôi thường nói, đôi khi kiếm thức ăn từ tầng 11 một lần còn hơn kêu meo meo khi ngồi ngoài ban công.

Ví dụ. Hãy để ma trận

Bằng cách chọn hàng 1 và cột 2, chúng ta nhận được hàng thứ nhất:

\ [((M) _ (1)) = \ left | 7 \ right | = 7 \]

Chọn hàng 2, 3 và cột 3, 4, chúng tôi nhận được một phụ bậc hai:

\ [((M) _ (2)) = \ left | \ begin (ma trận) 5 & 3 \\ 6 & 1 \\\ end (ma trận) \ right | = 5-18 = -13 \]

Và nếu bạn chọn tất cả ba hàng, cũng như các cột 1, 2, 4, sẽ có một phần nhỏ của thứ tự thứ ba:

\ [((M) _ (3)) = \ left | \ begin (ma trận) 1 & 7 & 0 \\ 2 & 4 & 3 \\ 3 & 0 & 1 \\\ end (ma trận) \ right | \]

Người đọc sẽ không khó để tìm thấy các phụ khác của thứ tự 1, 2 hoặc 3. Do đó, chúng tôi tiếp tục.

Phép cộng đại số

"Chà, được rồi, và những tay sai này cho chúng ta những gì?" bạn chắc chắn sẽ hỏi. Riêng họ, không có gì. Nhưng trong ma trận vuông, mỗi phụ có một "đồng hành" - một phụ bổ sung, cũng như một phép cộng đại số. Và hai cái tát này kết hợp với nhau sẽ cho phép chúng ta nhấp vào các yếu tố quyết định như các loại hạt.

Sự định nghĩa. Cho ma trận vuông $ A = \ left [n \ times n \ right] $, trong đó $ nhỏ ((M) _ (k)) $ được chọn. Sau đó, phần nhỏ bổ sung cho phần nhỏ $ ((M) _ (k)) $ là một phần của ma trận ban đầu $ A $, ma trận này sẽ vẫn còn sau khi xóa tất cả các hàng và cột liên quan đến việc biên dịch phần nhỏ $ ((M ) _ (k)) $:

Bổ sung từ nhỏ đến phụ $ ((M) _ (2)) $

Hãy làm rõ một điểm: phần phụ bổ sung không chỉ là một "mảnh của ma trận", mà là yếu tố quyết định của mảnh này.

Trẻ vị thành niên bổ sung được biểu thị bằng dấu hoa thị: $ M_ (k) ^ (*) $:

trong đó phép toán $ A \ nabla ((M) _ (k)) $ có nghĩa đen là "xóa khỏi $ A $ các hàng và cột có trong $ ((M) _ (k)) $". Phép toán này thường không được chấp nhận trong toán học - tôi chỉ tự nghĩ ra nó vì vẻ đẹp của câu chuyện. :)

Trẻ vị thành niên hiếm khi tự ý sử dụng. Chúng là một phần của cấu trúc phức tạp hơn - phép cộng đại số.

Sự định nghĩa. Phần bù đại số của số phụ $ ((M) _ (k)) $ là số phụ $ M_ (k) ^ (*) $ nhân với $ ((\ left (-1 \ right)) ^ (S)) $, trong đó $ S $ là tổng số của tất cả các hàng và cột liên quan đến $ nhỏ ban đầu ((M) _ (k)) $.

Theo quy định, phần bù đại số của số phụ $ ((M) _ (k)) $ được ký hiệu là $ ((A) _ (k)) $. Cho nên:

\ [((A) _ (k)) = ((\ left (-1 \ right)) ^ (S)) \ cdot M_ (k) ^ (*) \]

Phức tạp? Thoạt nhìn, có. Nhưng nó không phải là chính xác. Bởi vì nó thực sự dễ dàng. Hãy xem xét một ví dụ:

Ví dụ. Cho ma trận 4x4:

Chúng tôi chọn một phần nhỏ của đơn hàng thứ hai

\ [((M) _ (2)) = \ left | \ begin (ma trận) 3 & 4 \\ 15 & 16 \\\ end (ma trận) \ phải | \]

Captain Evidence, như vậy, gợi ý cho chúng tôi rằng hàng 1 và 4, cũng như cột 3 và 4, có liên quan đến việc biên soạn trẻ vị thành niên này.

Nó vẫn còn để tìm số $ S $ và nhận được phần bù đại số. Vì chúng ta biết số lượng các hàng liên quan (1 và 4) và các cột (3 và 4), mọi thứ rất đơn giản:

\ [\ begin (align) & S = 1 + 4 + 3 + 4 = 12; \\ & ((A) _ (2)) = ((\ left (-1 \ right)) ^ (S)) \ cdot M_ (2) ^ (*) = ((\ left (-1 \ right) ) ^ (12)) \ cdot \ left (-4 \ right) = - 4 \ end (căn chỉnh) \]

Đáp số: $ ((A) _ (2)) = - 4 $

Đó là tất cả! Trên thực tế, toàn bộ sự khác biệt giữa một số nhỏ bổ sung và một phép cộng đại số chỉ nằm ở số trừ ở phía trước, và thậm chí không phải lúc nào cũng vậy.

Định lý Laplace

Và vì vậy, chúng tôi đã đi đến vấn đề tại sao trên thực tế, tất cả những phép tính phụ và phép cộng đại số này là cần thiết.

Định lý Laplace về sự phân rã của định thức. Cho các hàng (cột) $ k $ được chọn trong ma trận có kích thước $ \ left [n \ times n \ right] $, với $ 1 \ le k \ le n-1 $. Khi đó, định thức của ma trận này bằng tổng của tất cả các tích của các phần tử của đơn hàng $ k $ có trong các hàng (cột) đã chọn và phần bổ sung đại số của chúng:

\ [\ left | A \ right | = \ sum (((M) _ (k)) \ cdot ((A) _ (k))) \]

Hơn nữa, sẽ có chính xác $ C_ (n) ^ (k) $ các thuật ngữ như vậy.

Được rồi, được rồi: khoảng $ C_ (n) ^ (k) $ - Tôi đã khoe rồi, không có gì giống như vậy trong định lý Laplace ban đầu. Nhưng không ai hủy bỏ các tổ hợp, và theo nghĩa đen, một cái nhìn lướt qua về điều kiện sẽ cho phép bạn tự đảm bảo rằng sẽ có chính xác nhiều thuật ngữ đó. :)

Chúng tôi sẽ không chứng minh điều đó, mặc dù điều này không đặc biệt khó - tất cả các phép tính đều dựa vào các hoán vị cũ tốt và các phép nghịch đảo chẵn / lẻ. Tuy nhiên, cách chứng minh sẽ được trình bày trong một đoạn văn riêng biệt, và hôm nay chúng ta có một bài học hoàn toàn thực tế.

Do đó, chúng ta chuyển sang một trường hợp đặc biệt của định lý này, khi các ô con là các ô riêng biệt của ma trận.

Mở rộng hàng và cột của định thức

Những gì chúng ta sẽ nói đến bây giờ chính xác là công cụ chính để làm việc với các định thức, vì lợi ích của tất cả trò chơi này với các phép hoán vị, phép tính phụ và phép cộng đại số đã được bắt đầu.

Đọc và thưởng thức:

Hệ quả từ Định lý Laplace (phân rã của định thức trong hàng / cột). Để một hàng được chọn trong ma trận $ \ left [n \ times n \ right] $. Các ô nhỏ trong hàng này sẽ là $ n $ ô riêng lẻ:

\ [((M) _ (1)) = ((a) _ (ij)), \ quad j = 1, ..., n \]

Các phần tử bổ sung cũng dễ dàng tính toán: chỉ cần lấy ma trận ban đầu và gạch bỏ hàng và cột chứa $ ((a) _ (ij)) $. Chúng tôi gọi những trẻ vị thành niên như vậy là $ M_ (ij) ^ (*) $.

Đối với phần bù đại số, số $ S $ cũng cần thiết, nhưng trong trường hợp là số nhỏ của bậc 1, đây chỉ đơn giản là tổng "tọa độ" của ô $ ((a) _ (ij)) $:

Và sau đó định thức ban đầu có thể được viết dưới dạng $ ((a) _ (ij)) $ và $ M_ (ij) ^ (*) $ theo định lý Laplace:

\ [\ left | A \ right | = \ sum \ limit_ (j = 1) ^ (n) (((a) _ (ij)) \ cdot ((\ left (-1 \ right)) ^ (i + j)) \ cdot ((M) _ (ij))) \]

Đó là những gì nó là công thức mở rộng hàng. Nhưng điều này cũng đúng đối với các cột.

Một số kết luận có thể được rút ra từ hệ quả này:

1. Lược đồ này hoạt động tốt như nhau cho cả hàng và cột. Trên thực tế, phần lớn sự phân rã sẽ đi chính xác dọc theo các cột, thay vì dọc theo các dòng.
2. Số hạng trong khai triển luôn đúng $ n $. Con số này nhỏ hơn nhiều $ C_ (n) ^ (k) $ và thậm chí nhỏ hơn $ n! $.
3. Thay vì một định thức duy nhất $ \ left [n \ times n \ right] $, bạn sẽ phải đếm ít hơn một số định thức có kích thước: $ \ left [\ left (n-1 \ right) \ times \ left (n- 1 \ right) \ right] $.

Thực tế cuối cùng là đặc biệt quan trọng. Ví dụ: thay vì định thức 4x4 tàn bạo, bây giờ sẽ đủ để đếm một số định thức 3x3 - bằng cách nào đó chúng ta sẽ đối phó với chúng. :)

Nhiệm vụ. Tìm định thức:

\ [\ left | \ begin (ma trận) 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \\\ end (ma trận) \ phải | \]

Quyết định. Hãy mở rộng định thức này bằng dòng đầu tiên:

\ [\ begin (align) \ left | A \ right | = 1 \ cdot ((\ left (-1 \ right)) ^ (1 + 1)) \ cdot \ left | \ begin (matrix) 5 & 6 \\ 8 & 9 \\\ end (matrix) \ right | + & \\ 2 \ cdot ((\ left (-1 \ right)) ^ (1 + 2)) \ cdot \ trái | \ begin (matrix) 4 & 6 \\ 7 & 9 \\\ end (matrix) \ right | + & \\ 3 \ cdot ((\ left (-1 \ right)) ^ (1 + 3)) \ cdot \ trái | \ begin (matrix) 4 & 5 \\ 7 & 8 \\\ end (matrix) \ right | = & \\\ end (align) \]

\ [\ begin (align) & = 1 \ cdot \ left (45-48 \ right) -2 \ cdot \ left (36-42 \ right) +3 \ cdot \ left (32-35 \ right) = \\ & = 1 \ cdot \ left (-3 \ right) -2 \ cdot \ left (-6 \ right) +3 \ cdot \ left (-3 \ right) = 0. \\\ end (căn chỉnh) \]

Nhiệm vụ. Tìm định thức:

\ [\ left | \ begin (ma trận) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\ end (ma trận) \ right | \ ]

Quyết định. Để có sự thay đổi, hãy làm việc với các cột lần này. Ví dụ, trong cột cuối cùng có hai số không cùng một lúc - rõ ràng, điều này sẽ làm giảm đáng kể các phép tính. Bây giờ bạn sẽ thấy tại sao.

Vì vậy, chúng tôi mở rộng định thức trong cột thứ tư:

\ [\ begin (align) \ left | \ begin (ma trận) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\ end (ma trận) \ right | = 0 \ cdot ((\ left (-1 \ right)) ^ (1 + 4)) \ cdot \ left | \ begin (matrix) 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\ end (matrix) \ right | + & \\ +1 \ cdot ((\ left (-1 \ phải)) ^ (2 + 4)) \ cdot \ left | \ begin (matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\ end (matrix) \ right | + & \\ +1 \ cdot ((\ left (-1 \ phải)) ^ (3 + 4)) \ cdot \ left | \ begin (matrix) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\ end (matrix) \ right | + & \\ +0 \ cdot ((\ left (-1 \ phải)) ^ (4 + 4)) \ cdot \ left | \ begin (ma trận) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\\ end (ma trận) \ right | & \\\ end (căn chỉnh) \]

Và sau đó - ồ, một phép màu! - hai số hạng ngay lập tức bay xuống cống, vì chúng có hệ số nhân "0". Có hai định thức 3x3 nữa mà chúng ta có thể dễ dàng giải quyết:

\ [\ begin (align) & \ left | \ begin (ma trận) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\\ end (ma trận) \ right | = 0 + 0 + 1-1-1-0 = -1; \\ & \ left | \ begin (ma trận) 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\\ end (ma trận) \ right | = 0 + 1 + 1-0-0-1 = 1. \\\ end (căn chỉnh) \]

Chúng ta quay lại nguồn và tìm câu trả lời:

\ [\ left | \ begin (ma trận) 0 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 \\\ end (ma trận) \ right | = 1 \ cdot \ left (-1 \ right) + \ left (-1 \ right) \ cdot 1 = -2 \]

Đó là nó. Và không có 4! = 24 điều khoản không phải được tính. :)

Trả lời: -2

Tính chất cơ bản của định thức

Trong bài toán cuối cùng, chúng ta đã thấy sự hiện diện của các số không trong các hàng (cột) của ma trận đơn giản hóa đáng kể việc mở rộng định thức và nói chung là tất cả các phép tính. Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra: liệu có thể làm cho những số 0 này xuất hiện ngay cả trong ma trận mà ban đầu chúng không có ở đó không?

Câu trả lời là rõ ràng: có thể. Và ở đây các thuộc tính của yếu tố quyết định có ích cho chúng ta:

1. Nếu bạn hoán đổi hai hàng (cột) ở các vị trí, yếu tố quyết định sẽ không thay đổi;
2. Nếu một hàng (cột) được nhân với số $ k $, thì toàn bộ định thức cũng được nhân với số $ k $;
3. Nếu bạn lấy một chuỗi và cộng (trừ) nó bất kỳ số lần nào với chuỗi khác, định thức sẽ không thay đổi;
4. Nếu hai hàng của định thức giống nhau, hoặc tỷ lệ thuận, hoặc một trong các hàng được lấp đầy bởi các số không, thì toàn bộ định thức bằng 0;
5. Tất cả các thuộc tính trên cũng đúng cho các cột.
6. Chuyển vị một ma trận không làm thay đổi định thức;
7. Định thức của tích của ma trận bằng tích của các định thức.

Đặc biệt giá trị là tài sản thứ ba: chúng ta có thể trừ từ một hàng (cột) khác cho đến khi các số không xuất hiện ở đúng vị trí.

Thông thường, các phép tính đi xuống để "loại bỏ" toàn bộ cột ở mọi nơi ngoại trừ một phần tử, và sau đó mở rộng định thức dọc theo cột này, thu được ma trận có kích thước nhỏ hơn 1.

Hãy xem điều này hoạt động như thế nào trong thực tế:

Nhiệm vụ. Tìm định thức:

\ [\ left | \ begin (ma trận) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\ end (ma trận) \ phải | \ ]

Quyết định. Zeros ở đây, như trước đây, hoàn toàn không được quan sát thấy, vì vậy bạn có thể "rỗng" trên bất kỳ hàng hoặc cột nào - số lượng phép tính sẽ xấp xỉ như nhau. Chúng ta đừng là đồ lặt vặt và "không" cột đầu tiên: cột đầu tiên đã có một ô với một đơn vị, vì vậy chỉ cần lấy dòng đầu tiên và trừ nó 4 lần cho dòng thứ hai, 3 lần cho dòng thứ ba và 2 lần cho dòng cuối cùng.

Kết quả là, chúng ta sẽ nhận được một ma trận mới, nhưng yếu tố quyết định của nó sẽ giống nhau:

\ [\ begin (matrix) \ left | \ begin (ma trận) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 4 & 1 \\\ end (ma trận) \ phải | \ begin (matrix) \ downarrow \\ -4 \\ -3 \\ -2 \\\ end (matrix) = \\ = \ left | \ begin (ma trận) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 4-4 \ cdot 1 & 1-4 \ cdot 2 & 2-4 \ cdot 3 & 3-4 \ cdot 4 \\ 3-3 \ cdot 1 & 4-3 \ cdot 2 & 1-3 \ cdot 3 & 2-3 \ cdot 4 \\ 2-2 \ cdot 1 & 3-2 \ cdot 2 & 4-2 \ cdot 3 & 1-2 \ cdot 4 \ \\ end (matrix) \ right | = \\ = \ left | \ begin (ma trận) 1 & 2 & 3 & 4 \\ 0 & -7 & -10 & -13 \\ 0 & -2 & -8 & -10 \\ 0 & -1 & -2 & -7 \\ \ end (ma trận) \ right | \\\ end (ma trận) \]

Bây giờ, với sự bình đẳng của Piglet, chúng tôi phân tách yếu tố quyết định này trong cột đầu tiên:

\ [\ begin (matrix) 1 \ cdot ((\ left (-1 \ right)) ^ (1 + 1)) \ cdot \ left | \ begin (matrix) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\ end (matrix) \ right | +0 \ cdot ((\ left (-1 \ right)) ^ (2 + 1)) \ cdot \ left | ... \ right | + \\ +0 \ cdot ((\ left (-1 \ right)) ^ (3 + 1)) \ cdot \ left | ... \ right | +0 \ cdot ((\ left (-1 \ right)) ^ (4 + 1)) \ cdot \ left | ... \ đúng | \\\ end (ma trận) \]

Rõ ràng là chỉ số hạng đầu tiên sẽ “tồn tại” - phần còn lại tôi thậm chí không viết ra các yếu tố quyết định, vì chúng vẫn được nhân với số không. Hệ số trước yếu tố quyết định bằng một, I E. nó có thể không được ghi lại.

Nhưng bạn có thể lấy ra "minuses" từ cả ba dòng của định thức. Trên thực tế, chúng tôi đã lấy ra thừa số (−1) ba lần:

\ [\ left | \ begin (matrix) -7 & -10 & -13 \\ -2 & -8 & -10 \\ -1 & -2 & -7 \\\ end (matrix) \ right | = \ cdot \ left | \ begin (ma trận) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\ end (ma trận) \ phải | \]

Chúng tôi có một định thức nhỏ 3x3, có thể được tính theo quy tắc của tam giác. Nhưng chúng tôi sẽ cố gắng phân tách nó trong cột đầu tiên - lợi ích ở dòng cuối cùng tự hào là:

\ [\ begin (align) & \ left (-1 \ right) \ cdot \ left | \ begin (ma trận) 7 & 10 & 13 \\ 2 & 8 & 10 \\ 1 & 2 & 7 \\\ end (ma trận) \ right | \ begin (matrix) -7 \\ -2 \\ \ uparrow \ \\ end (matrix) = \ left (-1 \ right) \ cdot \ left | \ begin (matrix) 0 & -4 & -36 \\ 0 & 4 & -4 \\ 1 & 2 & 7 \\\ end (matrix) \ right | = \\ & = \ cdot \ left | \ begin (matrix) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\ end (matrix) \ right | = \ left (-1 \ right) \ cdot \ left | \ begin (matrix) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\ end (matrix) \ right | \\\ end (căn chỉnh) \]

Tất nhiên, bạn vẫn có thể giải trí và phân tích ma trận 2x2 trong một hàng (cột), nhưng chúng tôi đáp ứng đủ với bạn, vì vậy chúng tôi chỉ tính toán câu trả lời:

\ [\ left (-1 \ right) \ cdot \ left | \ begin (matrix) -4 & -36 \\ 4 & -4 \\\ end (matrix) \ right | = \ left (-1 \ right) \ cdot \ left (16 + 144 \ right) = - 160 \ ]

Đây là cách mà những giấc mơ tan vỡ. Chỉ -160 trong câu trả lời. :)

Đáp số: -160.

Một số lưu ý trước khi chúng ta chuyển sang tác vụ cuối cùng:

1. Ma trận ban đầu đối xứng với đường chéo phụ. Tất cả các phần tử phụ trong phân tích cũng đối xứng theo cùng một đường chéo phụ.
2. Nói một cách chính xác, chúng tôi không thể sắp xếp bất cứ thứ gì, mà chỉ đơn giản là đưa ma trận về dạng tam giác phía trên, khi có các số 0 liền mạch dưới đường chéo chính. Khi đó (nhân tiện, theo đúng cách giải thích hình học) định thức bằng tích của $ ((a) _ (ii)) $, các số trên đường chéo chính.

Nhiệm vụ. Tìm định thức:

\ [\ left | \ begin (ma trận) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\ end (ma trận) \ right | \ ]

Quyết định. Vâng, đây là dòng đầu tiên chỉ xin "zeroing". Chúng tôi lấy cột đầu tiên và trừ chính xác một lần cho tất cả các cột khác:

\ [\ begin (align) & \ left | \ begin (ma trận) 1 & 1 & 1 & 1 \\ 2 & 4 & 8 & 16 \\ 3 & 9 & 27 & 81 \\ 5 & 25 & 125 & 625 \\\ end (ma trận) \ right | = \\ & = \ left | \ begin (ma trận) 1 & 1-1 & 1-1 & 1-1 \\ 2 & 4-2 & 8-2 & 16-2 \\ 3 & 9-3 & 27-3 & 81-3 \\ 5 & ​​25-5 & 125-5 & 625-5 \\\ end (ma trận) \ right | = \\ & = \ left | \ begin (ma trận) 1 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 6 & 14 \\ 3 & 6 & 24 & 78 \\ 5 & 20 & 120 & 620 \\\ end (ma trận) \ right | \\\ end (căn chỉnh) \]

Mở rộng trên hàng đầu tiên, sau đó lấy ra các yếu tố chung từ các hàng còn lại:

\ [\ cdot \ left | \ begin (matrix) 2 & 6 & 14 \\ 6 & 24 & 78 \\ 20 & 120 & 620 \\\ end (matrix) \ right | = \ cdot \ left | \ begin (ma trận) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\ end (ma trận) \ right | \]

Một lần nữa, chúng tôi quan sát các con số "đẹp", nhưng đã có trong cột đầu tiên - chúng tôi phân tách yếu tố quyết định theo nó:

\ [\ begin (align) & 240 \ cdot \ left | \ begin (ma trận) 1 & 3 & 7 \\ 1 & 4 & 13 \\ 1 & 6 & 31 \\\ end (ma trận) \ right | \ begin (matrix) \ downarrow \\ -1 \\ -1 \ \\ end (matrix) = 240 \ cdot \ left | \ begin (matrix) 1 & 3 & 7 \\ 0 & 1 & 6 \\ 0 & 3 & 24 \\\ end (matrix) \ right | = \\ & = 240 \ cdot ((\ left (-1 \ phải)) ^ (1 + 1)) \ cdot \ left | \ begin (matrix) 1 & 6 \\ 3 & 24 \\\ end (matrix) \ right | = \\ & = 240 \ cdot 1 \ cdot \ left (24-18 \ right) = 1440 \\\ end ( căn chỉnh)\]

Gọi món. Vấn đề đã được giải quyết.