Định Thức (Determinants) | Maths 4 Physics & More... | Trang 2

Trang chủ » định Thức Của Tổng Hai Ma Trận » Định Thức (Determinants) | Maths 4 Physics & More... | Trang 2

Có thể bạn quan tâm

Maths 4 Physics & more…

Blog Toán Cao Cấp (M4Ps)

Tìm

Search for: Đi
  • Author
  • Bài viết
  • Bài giảng
    • Giải tích 1
      • Hàm số – Hàm lượng giác ngược – Hàm hyperbol
      • Chia một đa thức cho tam thức bậc 2
      • Giới hạn của hàm số (Limit of a function)
      • Vô cùng bé (infinitesimal)
      • Đạo hàm và vi phân của hàm số (derivative and differential of a function)
      • Khai triển Taylor – Maclaurin (Taylor expansion)
      • Khảo sát đường cong tham số
      • Tích phân hữu tỷ (integration by partial fractions)
      • Tích phân hàm vô tỉ (Integrals involving roots)
      • Tích phân suy rộng (Improper Integrals)
      • Chuỗi số. Tổng của chuỗi (Series. The total sum of series)
      • Chuỗi số dương (Infinitive Series)
      • Chuỗi Fourier
      • Chuỗi Fourier Sine và Cosine
    • Giải tích 2
      • Khái niệm mở đầu về hàm nhiều biến
      • Giới hạn của hàm hai biến số
      • Đạo hàm riêng
      • Hàm số khả vi và vi phân toàn phần
      • Đạo hàm của hàm hợp
      • Đạo hàm hàm số ẩn
      • Cực trị (không điều kiện) của hàm 2 biến
      • Cực trị có điều kiện (cực trị ràng buộc)
      • Các khái niệm cơ bản của phương trình vi phân
      • Phương trình tách biến, phương trình đẳng cấp cấp 1
      • Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, Bernoulli, Ricatti
      • Phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 (linear second-order ordinary differential equation)
      • Ứng dụng chuỗi số giải phương trình vi phân
      • Tích phân hai lớp (Tích phân kép)
      • Tích phân hai lớp trong tọa độ cực. Công thức đổi biến
      • Tích phân đường theo tọa độ (Tp đường loại 2)
      • Số phức (Complex Number)
    • Đại số tuyến tính (Linear Algebra)
      • Tập hợp
      • Khái niệm về ma trận
      • Ma trận bậc thang (Echelon matrix)
      • Ma trận nghịch đảo (khả nghịch)
      • Thuật toán tìm ma trận bậc thang
      • Định thức (Determinants)
      • Hệ phương trình tuyến tính (System of Linear Equations)
      • Khái niệm về ánh xạ tuyến tính
      • Không gian vectơ Euclide (Euclidean Vector Spaces)
      • Trị riêng, vectơ riêng của ma trận (Eigenvalues and Eigenvectors)
      • Dạng toàn phương
    • Xác suất thống kê
      • Bổ túc về Giải tích Tổ hợp
      • Biến cố và quan hệ giữa các biến cố
      • Các định nghĩa của xác suất
      • Xác suất có điều kiện
      • Đại lượng ngẫu nhiên 1 chiều
      • Một số quy luật phân phối xác suất rời rạc
      • Ước lượng tham số của tổng thể
      • Kiểm định giả thiết
    • Phương pháp Toán Lý (PT Đạo hàm riêng và PBĐ Laplace)
      • Phép biến đổi Laplace – Các khái niệm mở đầu
  • Bài tập
  • Trắc nghiệm
  • Thảo luận
    • Thảo luận (tiếp theo)
    • Thảo luận chung (tt)
    • Thảo luận về giải tích
      • Thảo luận Giải tích – Trang 2
    • Thảo luận ĐSTT
      • Trang 2
      • Trang 3
    • Thảo luận XSTK
      • Trang 2
    • Thảo luận về tích phân bội
  • Đề thi
  • Ebooks
    • Maths Ebooks
      • Giải tích – Đại số
      • XSTK – Phương pháp tính
      • Hàm phức – PDEs
      • Tài liệu khác
    • Giáo dục – Khoa học
    • Thư giãn
  • Một thời để nhớ
  • Softwares
  • Links
  • Sitemap
Định thức (Determinants)

II. Các tính chất của định thức:

1. det(A) = det(A^T)

2. Nếu A là ma trận tam giác trên (dưới) thì định thức của nó bằng tích các số hạng nằm trên đường chéo chính.

3. Khi nhân 1 số a vào 1 dòng (cột) nào đó thì định thức sẽ tăng lên a lần. Nghĩa là: có thể rút nhân tử chung của 1 dòng (cột) ra ngoài định thức.

4. Nếu ma trận A có 1 dòng không (cột không) thì detA = 0

5. Nếu các phần tử của dòng i của ma trận A có dạng a_{ij} = b_j + c_j thì detA = detB + detC (với B, C là ma trận có được từ A bằng cách thay dòng i của A bởi các giá trị bj và cj tương ứng). Nghĩa là:

{ \left | \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ b_1+c_1 & b_2+c_2 & ... & b_n+c_n \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\ \end{array} \right |} \\ = { \left | \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ b_1 & b_2 & ... & b_n \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\ \end{array} \right |} + { \left | \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... \\ c_1 & c_2 & ... & c_n \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nn} \\ \end{array} \right |}

(các tính chất trên được suy trực tiếp từ định nghĩa)

6. Nếu ma trận có hai dòng (cột) bằng nhau hoặc tỉ lệ nhau thì định thức bằng 0.

7. Nếu đổi chỗ hai dòng (cột) bất kỳ thì định thức đổi dấu.

8. Định thức không đổi nếu ta cộng vào 1 dòng (cột) nào đó m lần dòng (cột) khác. (Tính chất này được suy ra trực tiếp từ tính chất 4 và tính chất 5)

Các ví dụ áp dụng:

1. {\left | \begin{array}{ccc} 1 & a & b + c \\ 1 & b & c+a \\ 1 & c & a+b\\ \end{array} \right| } = {\left | \begin{array}{ccc} 1 & a+b+c & b + c \\ 1 & b+c+a & c+a \\ 1 & c+a+b & a+b\\ \end{array} \right| } = 0

(do cột 1 và cột 2 tỉ lệ nhau)

2. {\left | \begin{array}{cccc} a & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 & a \\ \end{array} \right| }

Cộng tất cả các dòng 2, 3, 4 vào dòng 1 ta có:

{\left | \begin{array}{cccc} a+3 & a+3 & a+3 & a+3 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 & a \\ \end{array} \right| }

Rút nhân tử chung (a+3) ở dòng 1 ra ta được:

= (a+3){\left | \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 & 1 \\ 1 & 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & 1 & a \\ \end{array} \right| }

Sử dụng các phép biến đổi sơ cấp, chuyển ma trận về dạng bậc thang bằng cách di:=di-d1(i = 2,3,4) . Ta có:

= (a+3){\left | \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & a-1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & a-1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & a-1 \\ \end{array} \right| } = (a-3)(a-1)^3

– Bạn có thể ôn tập lại bằng cách tham gia trả lời 10 câu hỏi trắc nghiệm liên quan tại đây

III. Các phương pháp tính định thức:

1. Định thức cấp 3: Sử dụng quy tắc Sarrus hoặc dùng định nghĩa chuyển về định thức cấp 2.

2. Khai triển theo 1 dòng (cột): nếu trên dòng (cột) đó có chứa nhiều phần tử bằng 0.

Ví dụ: \left | \begin{array}{rrrr} 3 & -2 & 5 & 7 \\ 4 & 5 & 1 & -1 \\ 0 & 2 & 1 & 3 \\ 3 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right|

3. Chuyển về ma trận tam giác: dùng các phép biến đổi sơ cấp để chuyển ma trận cần tính định thức về dạng ma trận bậc thang. Trong quá trình biến đổi cần chú ý các tính chất của định thức.

4. Sử dụng định lý Laplace: khai triển theo k hàng (cột)

Cho A là ma trận vuông cấp n. Và giả sử chọn k dòng tùy ý.

Khi đó: detA = \sum D(k).A(k)

trong đó: D(k) là các định thức con cấp k được tạo bởi k dòng đã chọn, A(k) là phần bù đại số tương ứng của D(K) trong A.

Ví dụ: detA = \left | \begin{array}{rrrrr} 1 & 3 & 0 & 0 & 0 \\ 2 & 8 & 0 & 0 & 1 \\ 6 & 3 & 1 & 2 & 3\\ 4 & 8 & 4 & 1 & 0 \\ 2 & 5 & 3 & 6 & 2 \\ \end{array} \right|

Do dòng 1 và dòng 2 có nhiều phần tử bằng 0 nên ta chọn khai triển định thức theo 2 dòng 1, 2. Các định thức con cấp 2 được lập bởi 2 dòng trên là:

{\left | \begin{array}{rr} 1 & 3 \\ 2 & 8 \\ \end{array} \right | } , {\left | \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 2 & 1 \\ \end{array} \right | } , {\left | \begin{array}{rr} 3 & 0 \\ 8 & 1 \\ \end{array} \right | }

Vậy : detA = {\left | \begin{array}{rr} 1 & 3 \\ 2 & 8 \\\end{array} \right|}((1)^{1+2+1+2}{\left | \begin{array}{rrr} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 1 & 0 \\ 3 & 6 & 2 \\ \end{array} \right | }

+ {\left | \begin{array}{rr} 1 & 0 \\ 2 & 1 \\ \end{array} \right | }(-1)^{1+2+1+5}{ \left | \begin{array}{rrr} 3 & 1 & 2 \\ 8 & 4 & 1 \\ 5 & 3 & 6 \\ \end{array} \right | } + {\left | \begin{array}{rr} 3 & 0 \\ 8 & 1 \\ \end{array} \right | }(-1)^{1+2+2+5}{\left | \begin{array}{rrr} 6 & 1 & 2 \\ 4 & 4 & 1 \\ 2 & 3 & 6 \\ \end{array} \right | }

Tới đây, coi như ta có kết quả. Bạn thử tính tiếp xem bằng bao nhiêu nhé.

5. Phương pháp truy hồi: Biến đổi, khai triển định thức theo hàng hoặc theo cột sao cho có thể biểu diễn định thức đã cho qua các định thức cùng dạng nhưng có cấp thấp hơn. Đẳng thức này gọi là hệ thức truy hồi (truy toán). Sau đó, tính biểu thức của vài định thức cấp thấp; từ đó đoán nhận biểu thức tổng quát của định thức cấp n và chứng minh nó bằng quy nạp.

Cũng có thể tìm biểu thức tổng quát bằng cách khác. Trong hệ thức truy hồi của định thức cấp n, ta thay định thức cấp n-1 bởi biểu thức của nó ( tính được theo công thức truy hồi bằng cách thay n bởi n-1), thay định thức cấp n-2 bằng biểu thức của nó, …, cho đến khi tìm được biểu thức tổng quát của định thức cấp n.

Ví dụ: Tính định thức:

D_n = \left | \begin{array}{ccccc} a_1 & x & x & ... & x \\ x & a_2 & x & ... & x \\ x & x & a_3 & ... & x \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ x & x& x& ... & a_n \\ \end{array} \right |

Viết phần tử ở dòng cuối, cột cuối dưới dạng a_n = x + (a_n - x) ta có thể tách D_n thành tổng của 2 định thức:

D_n = \left | \begin{array}{ccccc} a_1 & x & x & ... & x \\ x & a_2 & x & ... & x \\ x & x & a_3 & ... & x \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ x & x& x& ... & x \\ \end{array} \right | + \left | \begin{array}{ccccc} a_1 & x & x & ... & x \\ x & a_2 & x & ... & x \\ x & x & a_3 & ... & x \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ 0 & 0& 0& ... & a_n-x \\ \end{array} \right |

Trong định thức thứ nhất ta nhân cột cuối với -1 rồi cộng lần lượt vào các cột còn lại, ta sẽ có:

D_n = x(a_1-x)(a_2-x)...(a_{n-1}-x) + (a_n-x)D_{n-1}

Đây là hệ thức truy hồi. Trong hệ thức này, ta thay \mathop D_{n-1} bởi công thức tương tự:

D_{n-1} = x(a_1-x)(a_2-x)...(a_{n-2}-x) + (a_{n-1}-x)D_{n-2}

Do đó: D_n = x(a_1-x)(a_2-x)...(a_{n-1}-x) \\ + (a_n-x)x.(a_1-x)(a_2-x)...(a_{n-2}-x) \\+D_{n-2}(a_{n-1}x)(a_n-x)

Lặp lại lý luận đó n-1 lần và chú ý rằng \mathop D_1 = a_1 = x + (a_1-x) ta sẽ được:

D_n=x(a_1-x)(a_2-x)...(a_{n-1}-x) \\ +x(a_1-x)(a_2-x)...(a_{n-2}-x)(a_n-x)+...+ \\ x(a_2-x)...(a_n-x)+(a_1-x)(a_2-x)...(a_n-x)

= x(a_1-x)(a_2-x)...(a_n-x) \left( { \dfrac{1}{x}} +{ \dfrac{1}{a_1-x}} + ... + { \dfrac{1}{a_n-x}} \right)

6.Một số định thức có thể được tính dễ dàng bằng cách khai triển chúng thành tổng các định thức cùng cấp theo hàng (theo cột)

Ví dụ:Tính định thức:

D_n = \left | \begin{array}{cccc} a_1+b_1 & a_1+b_2 & ... & a_1+b_n \\ a_2+b_1 & a_2+b_2 & ... & a_2+b_n \\ ... & ... & ... & ... \\ a_n+b_1& a_n+b_2 & ... & a_n + b_n \\ \end{array} \right |

Với định thức dạng này ta có thể khai triển định thức theo cột 1, mỗi một trong hai định thức sau lại có thể khai triển được thành hai định thức theo cột thứ hai… Cứ thế khai triển cho đến cột cuối cùng ta sẽ có \mathop 2^n định thức.

Trong phép khai triển này, các cột của các định thức thành phần hoặc có dạng \mathop a_1,a_2,...,a_n hoặc có dạng \mathop b_i,b_i,...,b_i Hai cột thuộc dạng đầu bằng với nhau, hai cột thuộc dạng sau tỉ lệ với nhau. Với n>2, trong mỗi định thức có ít nhất hai cột cùng loại nên phải triệt tiêu nhau. Vậy \mathop D_n = 0 , n > 2 . Hơn nữa, D_1 = a_1+b_1

D_2 = \left| \begin{array}{cc} a_1+b_1 & a_1+b_2 \\ a_2+b_1 & a_2+b_2 \\ \end{array} \right | = \left| \begin{array}{cc} a_1 & a_1+b_2 \\ a_2 & a_2+b_2 \\ \end{array} \right | + \left| \begin{array}{cc} b_1 & a_1+b_2 \\ b_1 & a_2+b_2 \\ \end{array} \right |

D_2 = \left| \begin{array}{cc} a_1 & a_1 \\ a_2 & a_2 \\ \end{array} \right | + \left| \begin{array}{cc} a_1 & b_2 \\ a_2 & b_2 \\ \end{array} \right | + \left| \begin{array}{cc} b_1 & a_1 \\ b_1 & a_2 \\ \end{array} \right | + \left| \begin{array}{cc} b_1 & b_2 \\ b_1 & b_2 \\ \end{array} \right | \\ = (a_1-a_2)(b_2-b_1)

7. Phương pháp thay đổi các phần tử của định thức: Phương pháp này dựa trên tính chất sau: Nếu ta cộng vào mọi phần tử của định thức D cùng một phần tử x thì định thức sẽ tăng thêm một lượng bằng tích của x với tổng các phần phụ đại số của mọi phần tử trong D. Thật vậy, giả sử:

D = \left | \begin{array}{ccc} a_{11} & ... & a_{1n} \\ ... & ... & ... \\ a_{n1} & ... & a_{nn} \\ \end{array} \right | , D' = \left | \begin{array}{ccc} a_{11}+x & ... & a_{1n}+x \\ ... & ... & ... \\ a_{n1} +x & ... & a_{nn} +x \\ \end{array} \right |

Khai triển D’ thành hai định thức đối với hàng thứ nhất, mỗi định thức mới nhận được khai triển thành 2 định thức đối với hàng thứ hai, …. Các phần tử chứa từ hai hàng toàn bằng x thì bằng 0. Còn các định thức chỉ chứa 1 hàng phần tử đều bằng x được khai triển theo hàng này. Khi đó, ta có:

D' = D + x \sum\limits_{i,j=1}^{n}A_{ij}

Vậy việc tính định thức D’ được đưa về việc tính định thức D và tổng các phần phụ đại số của nó.

Đánh giá:

Chia sẻ:

  • In
  • PDF
  • Email
  • Facebook
Thích Đang tải...

Trang: 1 2

Thảo luận

83 bình luận về “Định thức (Determinants)”

  1. thầy ơi giải giúp e bài định thức này với 1 2 3 4 …15 2 1 2 3 …14 3 2 1 2 …13 .. .. .. .. … .. 15 14 13 12 ..1

    ThíchThích

    Posted by phước | 15/01/2015, 10:29 Reply to this comment

  2. thấy ơi ma trận vuông cấp bốn có cách tính nhanh theo laplace là lấy ma trận vuông cấp 2 trên góc trái định thức nhân cho ma trận vuông cấp hai dưới góc phải định thức , thì cái cách đó nó có cần điều kiện gì ko thấy , em cảm ơn

    ThíchThích

    Posted by trần anh tùng | 27/11/2013, 23:31 Reply to this comment

    • Em chỉ có thể dùng định lý Laplace như ở trên nếu các phần tử ở a31, a32, a41, a42 đều bằng 0 (hoặc các phần tử a13, a14, a23, a24 đều bằng 0. Nghĩa là: định thức của ma trận A phải có dạng: \left | \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ 0 & 0 & a_{33} & a_{34} \\ 0 & 0 & a_{43} & a_{44} \\ \end{array} \right | Hoặc: \left | \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\ \end{array} \right |

      ThíchThích

      Posted by 2Bo02B | 01/12/2013, 19:35 Reply to this comment

  3. bạn chỉ cần cộng c1 với các cột còn lại tạo cột c1.đạt (1+a1+..+an) ra ngoai .được cột 1 toàn 1.thi trư cột k(k từ 2 đến n) cho ak .c1 là xong.

    ThíchThích

    Posted by hkt | 10/02/2012, 17:41 Reply to this comment
« Bình luận cũ hơn

Bình luận về bài viết này Hủy trả lời

Δ

Translators & RSS

English French RussiaMaths 4 Physics (M4Ps)

Đăng ký nhận tin

Bạn hãy nhập địa chỉ email của mình để đăng ký theo dõi tin tức từ blog này và nhận những bài viết mới nhất qua địa chỉ email.

Địa chỉ email:

Sign me up!

Tham gia cùng 2 789 người đăng ký khác

Đôi lời

Bạn có thể theo dõi các lời bình liên quan đến lời bình của mình qua email bằng cách chọn dòng thông báo Báo cho bạn khi có người bình luận tiếp theo đề tài này bằng điện thư mỗi khi viết 1 lời bình.

Rất mong các bạn viết lời nhắn bằng tiếng việt có dấu nhé.

Để viết tiếng việt có dấu bạn dùng font chữ Unicode và bảng mã là Unicode UTF-8.

Để biết cách gõ công thức Toán học trong các lời nhắn ở trang web này, mời bạn đọc bài hướng dẫn tại đây hoặc bạn có thể xem bài hướng dẫn dùng MathType tại đây và bài tạo công thức trực tuyến tại đây

Get Well

Lời nhắn mới nhất

Dương Khánh Uyên trong Trang 2
Trần Thái An trong Trang 2
Chúc Chúc trong Xác suất có điều kiện
Hoang Anh trong Khai triển Taylor – Macl…
Trần Trung Đức trong Mẹo phân tích nhanh 1 phân…
Nhung Duong trong Trang 2
khoi trong Khai triển Taylor – Macl…
Minh pham trong Chuỗi Fourier Sine và Cos…
Minh Phạm trong Chuỗi Fourier
Anh Tuấn trong Cực trị (không điều kiện) của…

Bài “hot”

  • Khai triển Taylor - Maclaurin (Taylor expansion)
  • Ma trận nghịch đảo (khả nghịch)
  • Vô cùng bé (infinitesimal)
  • Ma trận bậc thang (Echelon matrix)
  • Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, Bernoulli, Ricatti
  • Hàm số khả vi và vi phân toàn phần
  • Cực trị (không điều kiện) của hàm 2 biến
  • Chuỗi số. Tổng của chuỗi (Series. The total sum of series)
  • Tích phân suy rộng (Improper Integrals)
  • Cực trị có điều kiện (cực trị ràng buộc)

Bài viết chuyên đề

  • Bài giảng (20)
    • Video bài giảng (4)
  • Bài viết (192)
    • Bài viết về ICT (59)
      • Cảnh báo virus (1)
      • giaovien.net (6)
      • Mẹo Wordpress (13)
      • Thủ thuật Gmail (7)
    • Giáo dục (29)
    • Khoa học (51)
    • Thư giãn (45)
  • Bí quyết học tập (20)
  • Cuộc sống sinh viên (26)
  • Hình ảnh và Tin tức (32)
  • Làm theo lời Bác (9)
  • Life's Art (61)
  • nguyên tắc sáng tạo (27)
  • Toán học (104)
    • Lịch sử Toán học (13)
    • Liên kết Toán học (6)
    • Luyện thi Đại học (7)
      • Đề thi thử (4)
    • Vẻ đẹp Toán học (8)
    • Đố vui (36)

Maths 4 Physics & more…

Tạo một blog miễn phí với WordPress.com.

Trang này sử dụng cookie. Tìm hiểu cách kiểm soát ở trong: Chính Sách Cookie
  • Theo dõi Đã theo dõi
    • Maths 4 Physics & more...
      • Đã có 934 người theo dõi Theo dõi ngay
    • Đã có tài khoản WordPress.com? Đăng nhập.
    • Maths 4 Physics & more...
    • Tùy biến
    • Theo dõi Đã theo dõi
    • Đăng ký
    • Đăng nhập
    • URL rút gọn
    • Báo cáo nội dung
    • Xem toàn bộ bài viết
    • Quản lý theo dõi
    • Ẩn menu
%d Tạo trang giống vầy với WordPress.comHãy bắt đầu

Từ khóa » định Thức Của Tổng Hai Ma Trận