Định Thức (Determinants) | Maths 4 Physics & More...

Có thể bạn quan tâm

(Bài này tiếp cận khái niệm định thức theo cách không chính quy nhằm tránh đề cập đến khái niệm phép thế, vốn là một khái niệm khá khó hiểu đối với những ngành ứng dụng, không chuyên Toán)

I. Các khái niệm cơ bản về định thức:

1. Định nghĩa định thức: Cho $A = (a_{ij}) \in M_n(K)$ . Định thức ma trận A (ký hiệu det A hay |A|) là 1 giá trị được tính bởi công thức :

$det(A) = |A| = a_{11}A_{11} + a_{12}.A_{12} + ... + a_{1n}.A_{1n}$

trong đó: $A_{ik} = (-1)^{i+k} .det(M_{ik}) , M_{ik}$ là ma trận vuông cấp n – 1 nhận được từ ma trận A bằng cách bỏ đi dòng thứ i và cột thứ k. Đại lượng $A_{ik}$ được gọi là phần bù đại số của $a_{ik}$

2. Nhận xét:

– $A = (a_{11}) \Rightarrow det A = a_{11}$

– $A \in M_2(K):$

$detA = { \left | \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array} \right | } = a. (-1)^{1+1}.d + b.(-1)^{1+2}.c = ad - bc$

– $A \in M_3(K):$

$detA = { \left | \begin{array}{ccc} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ \end{array} \right | } = a.(-1)^{1+1}{ \left | \begin{array}{cc} e & f \\ h & i \\ \end{array} \right | } + b.(-1)^{1+2}{ \left | \begin{array}{cc} d & f \\ g & i \\ \end{array} \right |} \\+c(-1)^{1+3}{ \left | \begin{array}{cc} d & e \\ g & h \\ \end{array} \right|} = a(ei-hf) - b(di-fg)+c(dh-eg) \\ = (aei+bfg+cdh)-(ahf+bdi+ceg)$

– Từ kết quả trên ta có quy tắc Sarrus để tính định thức cấp 3 như sau:

Quy tắc Sarrus

Ví dụ 1:

$detA = { \left | \begin{array}{ccc} 2 & 3 & 1 \\ 3 & 1 & 4 \\ 1 & 2 & 2 \\ \end{array} \right | } = 2.1.2+3.2.1+3.4.1-1.1.1-2.4.2-3.3.2 \\ = -13$

det1

Từ quy tắc Sarrus trên, chúng ta còn có 1 quy tắc khác để tính nhanh định thức cấp 3:

– Ghép thêm cột thứ nhất và cột thứ hai vào bên phải định thức rồi nhân các phần tử trên các đường chéo như quy tắc thể hiện trên hình.

– $A \in M_4(K)$ : không có quy tắc tính như định thức cấp 2 và định thức cấp 3, mà phải dùng định nghĩa để tính trực tiếp.

Ví dụ 2:

$detA = { \left | \begin{array}{cccc} 1 & 3 & 0 & 2 \\ 4 & 1 & 2 &-1 \\ 3 & 1 & 0 & 2 \\ 2 & 3 & 3 & 5 \\ \end{array} \right | }$

$= 1.(-1)^{1+1}{ \left | \begin{array}{ccc} 1 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 2 \\ 3 & 3 & 5 \\ \end{array} \right | } + 3.(-1)^{1+2}{ \left | \begin{array}{ccc} 4 & 2 & -1 \\ 3 & 0 & 2 \\ 2 & 3 & 5 \\ \end{array} \right | } \\ +0.(-1)^{1+3}{ \left | \begin{array}{ccc} 4 & 1 & -1 \\ 3 & 1 & 2 \\ 2 & 3 & 5 \\ \end{array} \right | }+2.(-1)^{1+4}{ \left | \begin{array}{ccc} 4& 1 & 2 \\ 3 & 1 & 0 \\ 2 & 3 & 3 \\ \end{array} \right | }$

(các bạn tính tiếp nhé)

3. Định lý:

Với ma trận vuông cấp n $n \ge 2$ ta có thể khai triển định thức của nó theo 1 dòng bất kỳ hoặc 1 cột bất kỳ theo các công thức sau:

– Theo dòng i: $det(A) = |A| = a_{i1}A_{i1} + a_{i2}.A_{i2} + ... + a_{in}.A_{in}$

– Theo cột j: $det(A) = |A| = a_{1j}A_{1j} + a_{2j}.A_{2j} + ... + a_{nj}.A_{nj}$

Với $A_{ij}$ là phần bù đại số của phần tử $a_{ij}$ được xác định như trên

Ví dụ: Tính

$detA = { \left | \begin{array}{cccc} 2 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 0 & 1 & 0 \\ 4 & 0 & 3 & 2 \\ 4 & 1 & 2 & 5 \\ \end{array} \right | }$

Nhận thấy dòng 2 có nhiều phần tử bằng 0 nhất nến ta khai triển theo dòng 2. Ta có:

$detA = 2.(-1)^{2+1}{ \left | \begin{array}{ccc} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \\ 1 & 2 & 5 \\ \end{array} \right| } + 1.(-1)^{2+3}{ \left | \begin{array}{ccc} 2 & 2 & 4 \\ 4 & 0 & 2 \\ 4 & 1 & 5 \\ \end{array} \right| }$

Vậy: $detA = -2(30+6-12-8) - (16+16-40-4) =-20$

Ngoài ra, ta cũng nhận thấy cột 2 có nhiều phần tử bằng 0 nhất nên ta cũng có thể khai triển theo cột 2. Ta có:

Vậy: $detA = -2(30+8-8-20)+(4+24-16-12)=-20$

Nhận xét: Giá trị của định thức của ma trận A là duy nhất.

Đánh giá:

Chia sẻ:

In
PDF
Email
Facebook

Thích Đang tải...

Trang: 1 2

Thảo luận

83 bình luận về “Định thức (Determinants)”

thầy ơi giải giúp e bài định thức này với 1 2 3 4 …15 2 1 2 3 …14 3 2 1 2 …13 .. .. .. .. … .. 15 14 13 12 ..1

ThíchThích
Posted by phước | 15/01/2015, 10:29 Reply to this comment
thấy ơi ma trận vuông cấp bốn có cách tính nhanh theo laplace là lấy ma trận vuông cấp 2 trên góc trái định thức nhân cho ma trận vuông cấp hai dưới góc phải định thức , thì cái cách đó nó có cần điều kiện gì ko thấy , em cảm ơn

ThíchThích
Posted by trần anh tùng | 27/11/2013, 23:31 Reply to this comment
- Em chỉ có thể dùng định lý Laplace như ở trên nếu các phần tử ở a31, a32, a41, a42 đều bằng 0 (hoặc các phần tử a13, a14, a23, a24 đều bằng 0. Nghĩa là: định thức của ma trận A phải có dạng: $\left | \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} \\ 0 & 0 & a_{33} & a_{34} \\ 0 & 0 & a_{43} & a_{44} \\ \end{array} \right |$ Hoặc: $\left | \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & 0 & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} \\ \end{array} \right |$
  
  ThíchThích
  Posted by 2Bo02B | 01/12/2013, 19:35 Reply to this comment
bạn chỉ cần cộng c1 với các cột còn lại tạo cột c1.đạt (1+a1+..+an) ra ngoai .được cột 1 toàn 1.thi trư cột k(k từ 2 đến n) cho ak .c1 là xong.

ThíchThích
Posted by hkt | 10/02/2012, 17:41 Reply to this comment