Độ Cong – Wikipedia Tiếng Việt

Trong hình học, độ cong thể hiện sự lệch hướng tại một điểm trên đường cong, mặt cong hay không gian Riemann nói chung.

Độ cong của một đường cong

[sửa | sửa mã nguồn]

Định nghĩa

[sửa | sửa mã nguồn]

Theo Cauchy, tâm đường cong C tại một điểm là giao điểm của hai pháp tuyến vô cùng gần nhau, và bán kính cong R {\displaystyle R} là khoảng cách từ điểm đó đến C. Và độ cong κ {\displaystyle \kappa } chính là nghịch đảo của bán kính cong R {\displaystyle R} .

κ = 1 R {\displaystyle \kappa ={\frac {1}{R}}}

Gọi d s {\displaystyle ds} là độ dài dường cong mà 2 pháp tuyến cách nhau, và d ϕ {\displaystyle d\phi } là góc hợp bởi 2 pháp tuyến. Ta có định nghĩa khác về độ cong:

κ = d ϕ d s {\displaystyle \kappa ={\frac {d\phi }{ds}}}

Tính độ cong của một đường cong phẳng

[sửa | sửa mã nguồn]

Trong hệ tọa độ Descartes

[sửa | sửa mã nguồn] Xem thêm: Hệ tọa độ Descartes

Nếu đồ thị được cho dưới dạng hệ phương trình tham số { x = x ( t ) y = y ( t ) {\displaystyle {\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\end{cases}}} , từ phần trên ta có định nghĩa:

κ = d ϕ d s = d ϕ d t d s d t = d ϕ d t ( d x d t ) 2 + ( d y d t ) 2 = d ϕ d t x ′ 2 + y ′ 2 {\displaystyle \kappa ={\frac {d\phi }{ds}}={\dfrac {\dfrac {d\phi }{dt}}{\dfrac {ds}{dt}}}={\dfrac {\dfrac {d\phi }{dt}}{\sqrt {\left({\dfrac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\dfrac {dy}{dt}}\right)^{2}}}}={\dfrac {\dfrac {d\phi }{dt}}{\sqrt {{x'}^{2}+{y'}^{2}}}}}

d ϕ {\displaystyle d\phi } là góc hợp bởi 2 pháp tuyến, ta cũng có thể coi nó như góc lệch giữa 2 đường tiếp tuyến. Từ đó ta có thể định nghĩa ϕ {\displaystyle \phi } là góc tiếp tuyến của đường cong.

tan ⁡ ϕ = d y d x = d y d t d x d t = y ′ x ′ {\displaystyle \tan \phi ={\dfrac {dy}{dx}}={\dfrac {\dfrac {dy}{dt}}{\dfrac {dx}{dt}}}={\dfrac {y'}{x'}}}

Lấy đạo hàm 2 vế theo tham số t {\displaystyle t} ta được:

d d t ( tan ⁡ ϕ ) = ( 1 + tan 2 ϕ ) d ϕ d t = x ′ y ″ − y ′ x ″ x ′ 2 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}(\tan \phi )=\left(1+{\tan }^{2}\phi \right){\frac {d\phi }{dt}}={\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}}}}

⇔ d ϕ d t = 1 1 + tan 2 ϕ x ′ y ″ − y ′ x ″ x ′ 2 = 1 1 + ( y ′ x ′ ) 2 x ′ y ″ − y ′ x ″ x ′ 2 = x ′ y ″ − y ′ x ″ x ′ 2 + y ′ 2 {\displaystyle \Leftrightarrow {\frac {d\phi }{dt}}={\frac {1}{1+{\tan }^{2}\phi }}{\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}}}={\frac {1}{1+{\left({\dfrac {y'}{x'}}\right)^{2}}}}{\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}}}={\dfrac {x'y''-y'x''}{{x'}^{2}+{y'}^{2}}}}

Kết hợp các kết quả thu được ta có:

κ = x ′ y ″ − y ′ x ″ ( x ′ 2 + y ′ 2 ) 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}}

Nếu đồ thị được cho bởi một hàm số y = f ( x ) {\displaystyle y=f(x)} thì độ cong được tính như sau:

κ = d 2 y d x 2 [ 1 + ( d y d x ) 2 ] 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left[1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}}

Trong hệ tọa độ cực

[sửa | sửa mã nguồn] Xem thêm: Hệ tọa độ cực

Nếu đồ thị được cho bởi một hàm số r = r ( θ ) {\displaystyle r=r(\theta )} thì độ cong được tính như sau:

κ = r 2 + 2 ( d r d θ ) 2 − r d 2 r d θ 2 [ r 2 + ( d r d θ ) 2 ] 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {r^{2}+2\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-r{\dfrac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}{\left[r^{2}+\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}\right]^{3/2}}}}

Ví dụ

[sửa | sửa mã nguồn]

Đường thẳng

[sửa | sửa mã nguồn]

Đường thẳng { x = t y = a t + b {\displaystyle {\begin{cases}x=t\\y=at+b\end{cases}}} hay y = a x + b {\displaystyle y=ax+b} sẽ có độ cong được tính như sau:

x ′ = 1 , x ″ = 0 , y ′ = a , y ″ = 0 , d y d x = a , d 2 y d x 2 = 0 {\displaystyle x'=1,\quad x''=0,\quad y'=a,\quad y''=0,\quad {\dfrac {dy}{dx}}=a,\quad {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}=0}

Áp dụng công thức ta có:

κ = x ′ y ″ − y ′ x ″ ( x ′ 2 + y ′ 2 ) 3 / 2 = 1 ⋅ 0 − a ⋅ 0 ( 1 2 + a 2 ) 3 / 2 = 0 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}={\dfrac {1\cdot 0-a\cdot 0}{\left({1}^{2}+{a}^{2}\right)^{3/2}}}=0}

hay công thức:

κ = d 2 y d x 2 [ 1 + ( d y d x ) 2 ] 3 / 2 = 0 [ 1 + a 2 ] 3 / 2 = 0 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left[1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {0}{\left[1+a^{2}\right]^{3/2}}}=0}

Vậy độ cong của một đường thẳng bằng 0.

Đường tròn

[sửa | sửa mã nguồn]

Đường tròn { x = R cos ⁡ t y = R sin ⁡ t {\displaystyle {\begin{cases}x=R\cos t\\y=R\sin t\end{cases}}} hay r = R {\displaystyle r=R} sẽ có độ cong được tính như sau:

x ′ = − R sin ⁡ t , x ″ = − R cos ⁡ t , y ′ = R cos ⁡ t , y ″ = − R sin ⁡ t , d r d θ = 0 , d 2 r d θ 2 = 0 {\displaystyle x'=-R\sin t,\quad x''=-R\cos t,\quad y'=R\cos t,\quad y''=-R\sin t,\quad {\dfrac {dr}{d\theta }}=0,\quad {\dfrac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}=0}

Áp dụng công thức ta có:

κ = x ′ y ″ − y ′ x ″ ( x ′ 2 + y ′ 2 ) 3 / 2 = ( − R sin ⁡ t ) ⋅ ( − R sin ⁡ t ) − ( R cos ⁡ t ) ⋅ ( − R cos ⁡ t ) [ ( − R sin ⁡ t ) 2 + ( R cos ⁡ t ) 2 ] 3 / 2 = 1 R {\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}={\dfrac {(-R\sin t)\cdot (-R\sin t)-(R\cos t)\cdot (-R\cos t)}{\left[{(-R\sin t)}^{2}+{(R\cos t)}^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {1}{R}}}

hay công thức:

κ = r 2 + 2 ( d r d θ ) 2 − r d 2 r d θ 2 [ r 2 + ( d r d θ ) 2 ] 3 / 2 = R 2 + 2 ⋅ 0 2 − R ⋅ 0 [ R 2 + 0 2 ] 3 / 2 = 1 R {\displaystyle \kappa ={\dfrac {r^{2}+2\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}-r{\dfrac {d^{2}r}{d\theta ^{2}}}}{\left[r^{2}+\left({\dfrac {dr}{d\theta }}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {R^{2}+2\cdot 0^{2}-R\cdot 0}{\left[R^{2}+0^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {1}{R}}}

Vậy độ cong của một đường tròn là nghịch đảo bán kính của nó.

Các đường khác

[sửa | sửa mã nguồn]

• Đường parabol y = a x 2 {\displaystyle y=ax^{2}} sẽ có độ cong được tính như sau:

d y d x = 2 a x , d 2 y d x 2 = 2 a {\displaystyle {\dfrac {dy}{dx}}=2ax,\quad {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}=2a}

Áp dụng công thức ta có:

κ = d 2 y d x 2 [ 1 + ( d y d x ) 2 ] 3 / 2 = 2 a [ 1 + ( 2 a x ) 2 ] 3 / 2 = 2 a ( 1 + 4 a 2 x 2 ) 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {\dfrac {d^{2}y}{dx^{2}}}{\left[1+\left({\dfrac {dy}{dx}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {2a}{\left[1+(2ax)^{2}\right]^{3/2}}}={\dfrac {2a}{\left(1+4a^{2}x^{2}\right)^{3/2}}}}

• Đường ellipse { x = a cos ⁡ t y = b sin ⁡ t {\displaystyle {\begin{cases}x=a\cos t\\y=b\sin t\end{cases}}} sẽ có độ cong được tính như sau:

x ′ = − a sin ⁡ t , x ″ = − a cos ⁡ t , y ′ = b cos ⁡ t , y ″ = − b sin ⁡ t {\displaystyle x'=-a\sin t,\quad x''=-a\cos t,\quad y'=b\cos t,\quad y''=-b\sin t}

Áp dụng công thức ta có:

κ = x ′ y ″ − y ′ x ″ ( x ′ 2 + y ′ 2 ) 3 / 2 = ( − a sin ⁡ t ) ⋅ ( − b sin ⁡ t ) − ( b cos ⁡ t ) ⋅ ( − a cos ⁡ t ) [ ( − a sin ⁡ t ) 2 + ( b cos ⁡ t ) 2 ] 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\dfrac {x'y''-y'x''}{\left({x'}^{2}+{y'}^{2}\right)^{3/2}}}={\dfrac {(-a\sin t)\cdot (-b\sin t)-(b\cos t)\cdot (-a\cos t)}{\left[{(-a\sin t)}^{2}+{(b\cos t)}^{2}\right]^{3/2}}}} = a b [ ( a y b ) 2 + ( b x a ) 2 ] 3 / 2 = a b [ a 2 ( 1 − x 2 a 2 ) + b 2 a 2 x 2 ] 3 / 2 {\displaystyle ={\frac {ab}{\left[\left({\dfrac {ay}{b}}\right)^{2}+\left({\dfrac {bx}{a}}\right)^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {ab}{\left[a^{2}\left(1-{\dfrac {x^{2}}{a^{2}}}\right)+{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}x^{2}\right]^{3/2}}}} = a b [ a 2 − ( 1 − b 2 a 2 ) x 2 ] 3 / 2 = a b ( a 2 − e 2 x 2 ) 3 / 2 {\displaystyle ={\frac {ab}{\left[a^{2}-\left(1-{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}\right)x^{2}\right]^{3/2}}}={\frac {ab}{\left(a^{2}-e^{2}x^{2}\right)^{3/2}}}}

với e = 1 − b 2 a 2 {\displaystyle e={\sqrt {1-{\dfrac {b^{2}}{a^{2}}}}}} là tâm sai của ellipse.

Độ cong của một đường cong ghềnh

[sửa | sửa mã nguồn]

Độ cong của một đường cong ghềnh (trong không gian 3 chiều) có hệ phương trình tham số trong hệ tọa độ Descartes { x = x ( t ) y = y ( t ) z = z ( t ) {\displaystyle {\begin{cases}x=x(t)\\y=y(t)\\z=z(t)\end{cases}}} được tính theo công thức

κ = ( z ″ y ′ − y ″ z ′ ) 2 + ( x ″ z ′ − z ″ x ′ ) 2 + ( y ″ x ′ − x ″ y ′ ) 2 ( x ′ 2 + y ′ 2 + z ′ 2 ) 3 / 2 {\displaystyle \kappa ={\frac {\sqrt {(z''y'-y''z')^{2}+(x''z'-z''x')^{2}+(y''x'-x''y')^{2}}}{(x'^{2}+y'^{2}+z'^{2})^{3/2}}}}

Độ cong của một mặt cong

[sửa | sửa mã nguồn]

Độ cong Gauss

[sửa | sửa mã nguồn] Bài chi tiết: Độ cong Gauss

Độ cong trung bình

[sửa | sửa mã nguồn]

Độ cong của một không gian

[sửa | sửa mã nguồn]

Tenxơ độ cong Riemann

[sửa | sửa mã nguồn]

Tenxơ độ cong Ricci

[sửa | sửa mã nguồn]

Xem thêm

[sửa | sửa mã nguồn]

• Bán kính cong
• Đa tạp Riemann
• Hệ tọa độ Descartes
• Hệ tọa độ cực
• Hình học vi phân

Tham khảo

[sửa | sửa mã nguồn]

John M. Lee, Introduction to Riemannian manifolds