DS_C4_PHUONG TRINH TREN TAP SO ml

CHỦ ĐỀ 2. PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAIVỚI HỆ SỐ THỰC TRÊN TẬP SỐ PHỨC

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN

1. Căn bậc hai của số phức: Cho số phức . Mỗi số phức thỏa mãn được gọi là một căn bậc hai của .

· .

2. Phương trình bậc hai với hệ số thực

Cho phương trình bậc hai . Xét , ta có

· phương trình có nghiệm thực .

· : phương trình có hai nghiệm thực được xác định bởi công thức: .

· : phương trình có hai nghiệm phức được xác định bởi công thức: .

@ Chú ý.

w Mọi phương trình bậc : luôn có nghiệm phức (không nhất thiết phân biệt).

w Hệ thức Vi–ét đối với phương trình bậc hai với hệ số thực: Cho phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt (thực hoặc phức). Ta có hệ thức Vi–ét

B. KỸ NĂNG CƠ BẢN

1. Dạng 1: Tìm căn bậc hai của một số phức

· Trường hợp là số thực: Nếu là một số thực

+ có các căn bậc hai là .

+ , có đúng một căn bậc hai là 0.

+ , có hai căn bậc hai là .

Ví dụ 1: Ta có hai căn bậc hai của – 1 là và . Hai căn bậc hai của ( là số thực khác 0) là và .

· Trường hợp

Gọi là một căn bậc hai của khi và chỉ khi , tức là

Mỗi cặp số thực nghiệm đúng hệ phương trình trên cho ta một căn bậc hai của số phức .

Ví dụ 2: Tìm các căn bậc hai của .

Gọi là một căn bậc hai của số phức .

Ta có

Vậy có hai căn bậc hai là và .

2. Dạng 2: Giải phương trình bậc hai với hệ số thực và các dạng toán liên quan

· Giải các phương trình bậc hai với hệ số thực

Ví dụ 3: Giải phương trình bậc hai sau:

Ta có

Phương trình có hai nghiệm phức phân biệt là .

· Giải phương trình quy về phương trình bậc hai với hệ số thực

Phương pháp 1: Phân tích đa thức thành nhân tử:

– Bước 1: Nhẩm 1 nghiệm đặc biệt của phương trình.

+ Tổng các hệ số trong phương trình là 0 thì phương trình có một nghiệm .

+ Tổng các hệ số biến bậc chẵn bằng tổng các hệ số biến bậc lẻ thì phương trình có một nghiệm .

+ Định lý Bơdu:

Phần dư trong phép chia đa thức cho bằng giá trị của đa thức tại

Tức là

Hệ quả: Nếu thì

Nếu thì hay có một nghiệm

– Bước 2: Đưa phương trình về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai bằng cách hân tích đa thức ở vế trái của phương trình thành nhân tử (dùng hẳng đảng thức, chia đa thức hoặc sử dụng lược đồ Hoocne) như sau:

Với đa thức chia cho có thương là dư

a

– Bước 3: Giải phương trình bậc nhất hoặc bậc hai, kết luận nghiệm

Phương pháp 2: Đặt ẩn phụ:

– Bước 1: Phân tích phương trình thành các đại lượng có dạng giống nhau.

– Bước 2: Đặt ẩn phụ, nêu điều kiện của ẩn phụ (nếu có).

– Bước 3: Đưa phương trình ban đầu về phương trình bậc nhất, bậc hai với ẩn mới.

– Bước 4: Giải phương trình, kết luận nghiệm.

C. KỸ NĂNG SỬ DỤNG MÁY TÍNH

1. Chọn chế độ tính toán với số phức: MODE 2 màn hình hiện CMPLX.

Nhập số thuần ảo : Phím ENG

2. Tìm các căn bậc hai của một số phức

Ví dụ 5: Khai căn bậc hai số phức có kết quả:

Cách 1:

– Mode 2 (CMPLX)

– Nhập hàm

– Sử dụng phím CALC, nhập từng giá trị vào, giá trị nào ra kết quả bằng thì ta nhận.

Cách 2:

– Mode 1 (COMP)

– Nhấn Shift + (Pol), ta nhập

– Nhấn Shift – (Rec), ta nhập , ta thu được kết quả .

– Vậy 2 số phức cần tìm là và .

D. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

Câu 1. Trong , phương trình có nghiệm là:

A. B. C. D.

Câu 2. Khai căn bậc hai số phức có kết quả:

A. B.

C. D. .

Câu 3. Trong , nghiệm của phương trình là:

A. B.

C. D.

Câu 4. Trong , phương trình có nghiệm là:

A. B.

C. D.

Câu 5. Hai giá trị là hai nghiệm của phương trình:

A. B.

C. D.

Câu 6. Trong , phương trình z2 + 3iz + 4 = 0 có nghiệm là:

A. B. C. D.

Câu 7. Trong , phương trình có nghiệm là:

A. B. C. D.

Câu 8. Tính căn bậc hai của số phức ra kết quả:

A. B. C. D.

Câu 9. Trong , nghiệm của phương trình là:

A. B. C. D.

Câu 10. Trong , nghiệm của phương trình là:

A. B. C. D.

Câu 11. Trong , nghiệm của phương trình là:

A. B. C. D.

Câu 12. Trong , nghiệm của phương trình là

A. B. C. D.

Câu 13. Cho . Tìm căn bậc hai của .

A. và B. và

C. và D. và

Câu 14. Cho . Tìm căn bậc hai dạng lượng giác của :

A. và

B.

C.

D. và

Câu 15. Trong , phương trình có nghiệm là:

C. ; ; 4iB. ; ; A. , , iD. ; ;

Câu 16. Trong , phương trình có nghiệm là:

A. B. C. D.

Câu 17. Trong , phương trình có nghiệm là:

A. B. C. D.

Câu 18. Trong , phương trình có nghiệm là:

A. ; B. ; C. ; D. ;

Câu 19. Trong , phương trình có nghiệm là:

A B. C. D.

Câu 20. Trong , căn bậc hai của là:

A. B. C. D. và

Câu 21. Phương trình có nghiệm là:

A B.

C. D.

Câu 22. Biết là hai nghiệm của phương trình . Khi đó giá trị của là:

A. B. C. D.

Câu 23. Phương trình có một nghiệm phức là . Tổng 2 số và bằng:

A. B. C. 3D.

Câu 24. Gọi là hai nghiệm phức của phương trình . Khi đó phần thực của là:

A. 5B. 6C. 4D. 7

Câu 25. Gọi là hai nghiệm phức của phương trình . Khi đó có giá trị là

A. B. – 8 C. D. 8

Câu 26. Phương trình có bao nhiêu nghiệm phức với phần ảo âm?

A. 1B.2C.3D.0

Câu 27. Biết là hai nghiệm của phương trình . Khi đó giá trị của là:

A. 4B. C. 9D.

Câu 28. Phương trình sau có mấy nghiệm thực:

A. 0B. 1C. 2D. Vô số nghiệm.

Câu 29. Tìm các căn bậc hai của .

A. B. 3C. D.

Câu 30. Trong , phương trình có nghiệm là:

A. B. ;

C. D. ± ;

Câu 31. Giải phương trình trên tập số phức ta được nghiệm là:

A. B. C. D.

Câu 32. Căn bậc hai của số phức là:

A. B. C. D. 2

Câu 33. Gọi z là căn bậc hai có phần ảo âm của . Phần thực của z là:

A. 6 B.7C. 4D. –4

Câu 34. Tập nghiệm trong của phương trình là:

A. B. C. D.

Câu 35. Trên tập số phức, phương trình bậc hai có hai nghiệm là:

A. B.

C. D.

Câu 36. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn điều kiện ?

A. 3B. 0C. 1D. 2

Câu 37. Phương trình có hai nghiệm là và . Khi đó

A. B. C. D.

Câu 38. Cho số phức z thỏa mãn . Tính

A. và 4 B. và 5C. và 3D. và 2

Câu 39. Gọi là các nghiệm phức của phương trình . Khi đó là số phức có môđun là:

A. 2B. C. D.

Câu 40. Số nghiệm của phương trình với ẩn số phức z: là:

A. 3B. 2C. 4D. 1

Câu 41. Tìm số phức z để .

A B.

C. D.

Câu 42. Với mọi số ảo z, số là:

A. Số thực âm B. Số 0C. Số thực dươngD. Số ảo khác 0

Câu 43. Trong trường số phức phương trình có mấy nghiệm?

A. 2 B. 3C. 1D. 0

Câu 44. Giá trị của các số thực b, c để phương trình nhận số phức làm một nghiệm là:

A. B. C. D.

Câu 45. Trên tập hợp số phức, phương trình có hai nghiệm . Giá trị biểu thức là:

A. –7 B. 8C. 15D. 22

Câu 46. Tìm số nguyên x, y sao cho số phức thỏa mãn

A. B. C. D.

Câu 47. Trên tập số phức, cho phương trình sau: . Có bao nhiêu nhận xét đúng trong số các nhận xét sau?

1. Phương trình vô nghiệm trên trường số thực .

2. Phương trình vô nghiệm trên trường số phức .

3. Phương trình không có nghiệm thuộc tập số thực.

4. Phương trình có bốn nghiệm thuộc tập số phức.

5. Phương trình chỉ có hai nghiệm là số phức.

6. Phương trình có hai nghiệm là số thực

A. 0B. 1C. 3D.2

Câu 48. Phương trình có bao nhiêu nghiệm trên tập số phức?

A. 3B. 4C. 2D.6

Câu 49. Giả sử là hai nghiệm của phương trình và A, B là các điểm biểu diễn của . Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:

A. B. C. D.

Câu 50. Cho phương trình . Để phương trình có tổng bình phương hai nghiệm bằng 5 thì m có dạng . Giá trị là:

A. 0B. 1C. D.

Câu 51. Gọi là các nghiệm phức của phương trình . Giá trị của là:

A. B. C. D.

Câu 52. Trong tập số phức, giá trị của m để phương trình bậc hai có tổng bình phương hai nghiệm bằng là:

A. B. C. D.

Câu 53. Cho phương trình trong đó m là tham số phức. Giá trị của m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn là:

A. B. C. D.

Câu 54. Gọi là hai nghiệm của phương trình , trong đó có phần ảo dương. Giá trị của số phức là:

A. B. 10C.8D.

Câu 55. Tổng bình phương các nghiệm của phương trình trên tập số phức là bao nhiêu?

A. 3B. 1C. 2D.0

Câu 56. Gọi là hai nghiệm của phương trình . Trong đó có phần ảo âm. Giá trị biểu thức là:

A. B. C. D.

Câu 57. Phương trình trên tập số phức có các nghiệm là:

A. hoặc B. hoặc

C. hoặc D. hoặc

Câu 58. Gọi là các nghiệm phức của phương trình . Khi đó có giá trị là:

A. 23B. C. 13D.

E. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

I – ĐÁP ÁN 1.2

1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
A	A	B	A	C	B	D	B	B	A	C	D	C	A	C	D	C	B	D	D
21	22	23	24	25	26	27	28	29	30	31	32	33	34	35	36	37	38	39	40
C	D	C	B	D	A	D	A	A	D	B	C	B	D	B	A	A	B	C	C
41	42	43	44	45	46	47	48	49	50	51	52	53	54	55	56	57	58
C	B	B	C	B	C	D	D	D	D	B	A	A	C	D	B	A	A

II –HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1. Trong , phương trình có nghiệm là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Ta có: nên phương trình có hai nghiệm phức là:

Vậy ta chọn đáp án A.

Câu 2. Khai căn bậc hai số phức có kết quả:

A. B.

C. D. .

Hướng dẫn giải:

Giả sử là một căn bậc hai của số phức .

Ta có:

Do đó z có hai căn bậc hai là:

Ta chọn đáp án A.

Câu 3. Trong , nghiệm của phương trình là:

A. B.

C. D.

Hướng dẫn giải:

Sử dụng hằng đẳng thức số 7, ta có:

Ta chọn đáp án A.

Câu 4. Trong , phương trình có nghiệm là:

A. B.

C. D.

Hướng dẫn giải:

Đặt .

Thay vào phương trình:

Suy ra

Ta chọn đáp án A.

Câu 5. Hai giá trị là hai nghiệm của phương trình:

A. B.

C. D.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lý đảo Viet : .

Do đó là hai nghiệm của phương trình:

Ta chọn đáp án A.

Câu 6. Trong , phương trình z2 + 3iz + 4 = 0 có nghiệm là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Nên phương trình có hai nghiệm phức là:

Ta chọn đáp án A.

Câu 7. Trong , phương trình có nghiệm là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Nên phương trình có hai nghiệm phức là:

Ta chọn đáp án A.

Câu 8. Tính căn bậc hai của số phức ra kết quả:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Giả sử là một căn bậc hai của số phức .

Ta có:

Do đó z có hai căn bậc hai là

Ta chọn đáp án A.

Câu 9. Trong , nghiệm của phương trình là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Ta chọn đáp án A.

Câu 10. Trong , nghiệm của phương trình là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Giả sử là một nghiệm của phương trình.

Do đó phương trình có hai nghiệm là

Ta chọn đáp án A.

Câu 11. Trong , nghiệm của phương trình là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Ta chọn đáp án A.

Câu 12. Trong , nghiệm của phương trình là

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Ta chọn đáp án A.

Câu 13. Cho . Tìm căn bậc hai của .

A. và B. và

C. và D. và

Hướng dẫn giải:

Giả sử là một căn bậc hai của số phức .

Ta có:

Do đó z có hai căn bậc hai là

Ta chọn đáp án A.

Câu 14. Cho . Tìm căn bậc hai dạng lượng giác của :

A. và

B.

C.

D. và

Hướng dẫn giải:

Ta có có các căn bậc hai là:

Ta chọn đáp án A.

Câu 15. Trong , phương trình có nghiệm là:

C. ; ; 4iB. ; ; A. , , iD. ; ;

Hướng dẫn giải:

Ta chọn đáp án A.

Câu 16. Trong , phương trình có nghiệm là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Ta chọn đáp án A.

Câu 17. Trong , phương trình có nghiệm là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải: Ta chọn đáp án A.

Câu 18. Trong , phương trình có nghiệm là:

A. ; B. ; C. ; D. ;

Hướng dẫn giải:

Ta chọn đáp án A

Câu 19. Trong , phương trình có nghiệm là:

A B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Ta chọn đáp án A.

Câu 20. Trong , căn bậc hai của là:

A. B. C. D. và

Hướng dẫn giải:

Ta có: . Do đó z có hai căn bậc hai là

Ta chọn đáp án A.

Câu 21. Phương trình có nghiệm là:

A B.

C. D.

Hướng dẫn giải:

Ta chọn đáp án A.

Câu 22. Biết là hai nghiệm của phương trình . Khi đó giá trị của là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Theo Viet, ta có:

Ta chọn đáp án A.

Câu 23. Phương trình có một nghiệm phức là . Tổng 2 số và bằng:

A. B. C. 3D.

Hướng dẫn giải:

Vì là một nghiệm của phương trình nên ta có:

Ta chọn đáp án A.

Câu 24. Gọi là hai nghiệm phức của phương trình . Khi đó phần thực của là:

A. 5B. 6C. 4D. 7

Hướng dẫn giải:

Theo Viet, ta có:

Ta chọn đáp án A.

Câu 25. Gọi là hai nghiệm phức của phương trình . Khi đó có giá trị là

A. B. – 8 C. D. 8

Hướng dẫn giải:

Ta chọn đáp án A.

Câu 26. Phương trình có bao nhiêu nghiệm phức với phần ảo âm?

A. 1B.2C.3D.0

Hướng dẫn giải:

Do đó phương trình chỉ có một nghiệm phức có phần ảo âm.

Ta chọn đáp án A.

Câu 27. Biết là hai nghiệm của phương trình . Khi đó giá trị của là:

A. 4B. C. 9D.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lý Viet, ta có:

Ta chọn đáp án A.

Câu 28. Phương trình sau có mấy nghiệm thực:

A. 0B. 1C. 2D. Vô số nghiệm.

Hướng dẫn giải:

nên phương trình vô nghiệm trên tập số thực.

Ta chọn đáp án A.

Câu 29. Tìm các căn bậc hai của .

A. B. 3C. D.

Hướng dẫn giải:

Ta có nên có các căn bậc hai là và .

Ta chọn đáp án A.

Câu 30. Trong , phương trình có nghiệm là:

A. B. ;

C. D. ± ;

Hướng dẫn giải:

Ta chọn đáp án A.

Câu 31. Giải phương trình trên tập số phức ta được nghiệm là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Ta chọn đáp án A.

Câu 32. Căn bậc hai của số phức là:

A. B. C. D. 2

Hướng dẫn giải:

Giả sử là một căn bậc hai của . Ta có:

.

Ta chọn đáp án A.

Câu 33. Gọi z là căn bậc hai có phần ảo âm của . Phần thực của z là:

A. 6 B.7C. 4D. –4

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Do đó phần thực của z là 7.

Ta chọn đáp án A.

Câu 34. Tập nghiệm trong của phương trình là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Ta chọn đáp án A.

Câu 35. Trên tập số phức, phương trình bậc hai có hai nghiệm là:

A. B.

C. D.

Hướng dẫn giải:

Áp dụng định lý Viet, ta có: .

Do đó là hai nghiệm của phương trình:

Ta chọn đáp án A.

Câu 36. Có bao nhiêu số phức thỏa mãn điều kiện ?

A. 3B. 0C. 1D. 2

Hướng dẫn giải:

Gọi là số phức thỏa mãn điều kiện trên. Ta có:

Vậy có 3 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ta chọn đáp án A.

Câu 37. Phương trình có hai nghiệm là và . Khi đó

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Theo Viet, ta có:

Ta chọn đáp án A.

Câu 38. Cho số phức z thỏa mãn . Tính

A. và 4 B. và 5C. và 3D. và 2

Hướng dẫn giải:

+) Nếu :

+) Nếu :

Ta chọn đáp án A.

Câu 39. Gọi là các nghiệm phức của phương trình . Khi đó là số phức có môđun là:

A. 2B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Theo Viet, ta có:

Ta chọn đáp án A.

Câu 40. Số nghiệm của phương trình với ẩn số phức z: là:

A. 3B. 2C. 4D. 1

Hướng dẫn giải:

Gọi là nghiệm của phương trình. Ta có:

Vậy phương trình có 4 nghiệm phức

Ta chọn đáp án A.

Câu 41. Tìm số phức z để .

A B.

C. D.

Hướng dẫn giải:

Gọi là số phức thỏa mãn đẳng thức trên. Ta có:

Ta chọn đáp án A.

Câu 42. Với mọi số ảo z, số là:

A. Số thực âm B. Số 0C. Số thực dươngD. Số ảo khác 0

Hướng dẫn giải:

Do z là số ảo nên z có dạng: .

Ta có: .

Ta chọn đáp án A.

Câu 43. Trong trường số phức phương trình có mấy nghiệm?

A. 2 B. 3C. 1D. 0

Hướng dẫn giải:

Vậy phương trình có ba nghiệm trong trường số phức.

Ta chọn đáp án A.

Câu 44. Giá trị của các số thực b, c để phương trình nhận số phức làm một nghiệm là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Do là một nghiệm của nên ta có:

Ta chọn đáp án A.

Câu 45. Trên tập hợp số phức, phương trình có hai nghiệm . Giá trị biểu thức là:

A. –7 B. 8C. 15D. 22

Hướng dẫn giải:

Theo Viet, ta có:

Ta chọn đáp án A.

Câu 46. Tìm số nguyên x, y sao cho số phức thỏa mãn

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Do x, y nguyên nên

Mà

Ta chọn đáp án A.

Câu 47. Trên tập số phức, cho phương trình sau: . Có bao nhiêu nhận xét đúng trong số các nhận xét sau?

1. Phương trình vô nghiệm trên trường số thực .

2. Phương trình vô nghiệm trên trường số phức .

3. Phương trình không có nghiệm thuộc tập số thực.

4. Phương trình có bốn nghiệm thuộc tập số phức.

5. Phương trình chỉ có hai nghiệm là số phức.

6. Phương trình có hai nghiệm là số thực

A. 0B. 1C. 3D.2

Hướng dẫn giải:

Do đó phương trình có 2 nghiệm thực và 4 nghiệm phức. Vậy nhận xét 4, 6 đúng.

Ta chọn đáp án A.

Câu 48. Phương trình có bao nhiêu nghiệm trên tập số phức?

A. 3B. 4C. 2D.6

Hướng dẫn giải:

Ta có:

Ta chọn đáp án A.

Câu 49. Giả sử là hai nghiệm của phương trình và A, B là các điểm biểu diễn của . Tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Do đó tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là .

Ta chọn đáp án A.

Câu 50. Cho phương trình . Để phương trình có tổng bình phương hai nghiệm bằng 5 thì m có dạng . Giá trị là:

A. 0B. 1C. D.

Hướng dẫn giải:

Gọi là hai nghiệm của phương trình đã cho

Theo Viet, ta có:

Theo bài cho, tổng bình phương hai nghiệm bằng 5. Ta có:

Ta chọn đáp án A.

Câu 51. Gọi là các nghiệm phức của phương trình . Giá trị của là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Với mọi , ta có:

Ta chọn đáp án A.

Câu 52. Trong tập số phức, giá trị của m để phương trình bậc hai có tổng bình phương hai nghiệm bằng là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Gọi là hai nghiệm của phương trình.

Theo Viet, ta có:

Ta có:

Ta chọn đáp án A.

Câu 53. Cho phương trình trong đó m là tham số phức. Giá trị của m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Theo Viet, ta có:

Ta chọn đáp án A.

Câu 54. Gọi là hai nghiệm của phương trình , trong đó có phần ảo dương. Giá trị của số phức là:

A. B. 10C.8D.

Hướng dẫn giải:

Câu 55. Tổng bình phương các nghiệm của phương trình trên tập số phức là bao nhiêu?

A. 3B. 1C. 2D.0

Hướng dẫn giải:

Do đó tổng bình phương các nghiệm của phương trình là

Ta chọn đáp án A.

Câu 56. Gọi là hai nghiệm của phương trình . Trong đó có phần ảo âm. Giá trị biểu thức là:

A. B. C. D.

Hướng dẫn giải:

Ta chọn đáp án A.

Câu 57. Phương trình trên tập số phức có các nghiệm là:

A. hoặc B. hoặc

C. hoặc D. hoặc

Hướng dẫn giải:

Ta chọn đáp án A.

Câu 58. Gọi là các nghiệm phức của phương trình . Khi đó có giá trị là:

A. 23B. C. 13D.

Hướng dẫn giải:

Theo Viet, ta có:

Ta chọn đáp án A.