ĐSTT Chuong 3 Khong Gian Vecto - 123doc

Tập hợp Rn[x] gồm các đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng n theo x với các hệ số trong R là một không gian vectơ trên R... , um phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khitồn tại vectơ ui là tổ hợp tu

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH - HK2 - NĂM 2015-2016

Chương 3 KHÔNG GIAN VECTƠ

Nội dung

1 Không gian vectơ

2 Tổ hợp tuyến tính

3 Cơ sở và số chiều của không gian vectơ

4 Không gian vectơ con

5 Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính

6 Tọa độ và ma trận chuyển cơ sở

3.1 Không gian vectơ

Định nghĩa Cho V là một tập hợp với phép toán+và phép nhân vôhướng. của R với V Khi đó V được gọi làkhông gian vectơ trên Rnếu mọi u, v, w ∈ V vàα,β ∈ R thỏa 8 tính chất sau:

(1) u+v = v+u;

(2) (u+v)+w = u+(v+w);

(3) tồn tại0∈ V : u+0=0+u = u;

(4) tồn tạiưu∈ V : ưu+u = u+ưu=0;

(5) (αβ).u =α.(β.u);

(6) (α+β).u =α.u+β.u;

(7) α.(u+v) =α.u+α.v;

(8) 1.u = u

Khi đó ta gọi:

• mỗi phần tử u ∈ V là mộtvectơ

• vectơ 0 làvectơ không

• vectơ −ulàvectơ đối của u

Vectơ đối của u là −u= (−x1, −x2, , −xn).

Ví dụ Tập hợp Mm×n(R) với phép cộng ma trận và nhân ma trận vớimột số thực thông thường là một không gian vectơ trên R Trong đó:

Vectơ không là ma trận không

Vectơ đối của A là −A

Ví dụ Tập hợp

R[x] = {p(x) = anxn+ · · · + a1x + a0| n ∈ N, ai ∈ R, i ∈ 1, n}gồm các đa thức theo x với các hệ số trong R là một không gian vectơtrên R với:

• phép cộng vectơ là phép cộng đa thức thông thường;

• phép nhân vô hướng với vectơ là phép nhân thông thường một sốvới đa thức

Ví dụ Tập hợp Rn[x] gồm các đa thức bậc nhỏ hơn hoặc bằng n theo

x với các hệ số trong R là một không gian vectơ trên R

Ví dụ Cho V = {(x1, x2, x3) ∈ R3 | 2x1+ 3x2+ x3 = 0}

Khi đó V là không gian vectơ trên R

3.2 Tổ hợp tuyến tính

1 Tổ hợp tuyến tính

2 Độc lập và phụ thuộc tuyến tính

un1α1+ un2α2+ · · · + unmαm = bn.

(??)

Ma trận hóa (??) ta được



u11 u12 u1m b1

u21 u22 u2m b2

un1 un2 unm bn







Bước 2.Giải hệ phương trình (?)

Nếu (?) vô nghiệm , thì u không phải là tổ hợp tuyến tính của

u1, u2, , um.

Nếu (?) có nghiệm α 1 , α 2 , , α m thì u là tổ hợp tuyến tính của

u 1 , u 2 , , u m và có dạng biểu diễn là

u = α1u1+ α2u2+ · · · + αmum.

Ví dụ Xét xem u = (−3, 1, 4) có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ

Hệ phương trình có nghiệm duy nhất (α1, α2, α3) = (1, 2, 1)

Vậy u là tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3

Dạng biểu diễn của u là u = u1+ 2u2+ u3

Ví dụ Xét xem u = (4, 3, 5) có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ

Ví dụ Xét xem u = (4, 3, 10) có là tổ hợp tuyến tính của các vectơ

Ví dụ.(tự làm) Xét xem u = (5, 7, −2, 5) có là tổ hợp tuyến tính củacác vectơ u1= (1, 2, −1, 2), u2 = (−2, 1, −1, 1), u3 = (1, 3, −1, 2) haykhông?

Đáp án u = u1− u2+ 2u3

Ví dụ.(tự làm) Xét xem u = (−1, 4, −1) có là tổ hợp tuyến tính củacác vectơ

u1= (−2, 3, 1); u2= (2, −1, −1); u3 = (1, 0, −1); u4= (2, 1, −1)hay không?

Ví dụ Trong không gian R4 cho các vectơ

Để u là một tổ hợp tuyến tính của u1, u2, u3 thì hệ có nghiệm, tức là

a − b − c + d = 0

Ví dụ.(tự làm) Trong không gian R3 cho các vectơ

3.2.2 Độc lập và phụ thuộc tuyến tính

Định nghĩa Cho u1, u2, , um ∈ V Xét phương trình

α1u1+ α2u2+ · · · + αmum=0 (?)

• Nếu (?) chỉ có nghiệm tầm thường α1 = α2 = · · · = αm= 0 thì

ta nói u1, u2, , um (hay {u1, u2, , um})độc lập tuyến tính

• Nếu (?) có nghiệm không tầm thường thì ta nói u1, u2, , um(hay {u1, u2, , um})phụ thuộc tuyến tính

Nhắc lại Cho hệ phương trình tuyến tính thuần nhất AX =0 cóm

ẩn Khi đó r(A) = r( ˜A) với ˜A là ma trận mở rộng Hơn nữa áp dụngđịnh lý Kronecker - Capelli ta có

• Nếu r(A) =mhệ chỉ có nghiệm tầm thường

• Nếu r(A) <mhệ có vô số nghiệm

Nhắc lại Cho A ∈ Mn(R) Khi đó các khẳng định sau tương đương

(i) r(A) = n;

(ii) Hệ phương trình AX = 0 chỉ có nghiệm tầm thường;

(iii) detA 6= 0

Ví dụ Trong không gian R3 cho các vectơ u1= (1, 2, −3);

u2= (2, 5, −1); u3= (1, 1, −9) Hỏi u1, u2, u3 độc lập hay phụ thuộctuyến tính?

Ví dụ Trong không gian R3 cho các vectơ u1= (1, 1, 1); u2= (2, 1, 3);

u3= (1, 2, 0) Hỏi u1, u2, u3 độc lập hay phụ thuộc tuyến tính?

Nhận xét Họ vectơ u1, u2, , um phụ thuộc tuyến tính khi và chỉ khitồn tại vectơ ui là tổ hợp tuyến tính của các vectơ còn lại.

Giải thích

(⇒) Nếu u1, , um phụ thuộc tuyến tính thì có α1, α2, , αm ∈ Rkhông đồng thời bằng 0 sao cho

mPj=1

αjuj =0 Giả sử αi6= 0, khi đó

ui = −1

αiX

j6=i

αjuj

Suy ra ui là tổ hợp tuyến tính các vectơ còn lại

(⇐) Giả sử tồn tại ui là tổ hợp tuyến tính các vectơ còn lại, khi đó

Mệnh đề Cho V là không gian vectơ trên R và S = {u1, u2, , um}

là tập hợp các vectơ thuộc V Khi đó

i) Nếu S phụ thuộc tuyến tính thì mọi tập chứa S đều phụ thuộctuyến tính

ii) Nếu S độc lập tuyến tính thì mọi tập con của S đều độc lập tuyếntính

Nhắc lại Cho A ∈ Mm×n(R) Khi đó r(A>) = r(A)

Mệnh đề Cho u1, u2, , um là m vectơ trong Rn Gọi A là ma trận

có được bằng cách xếp u1, u2, , um thành các cột hoặc thành cácdòng Khi đó u1, u2, , um độc lập tuyến tính khi và chỉ khi A cóhạng là r(A) = m

Từ hệ quả trên ta sẽ xây dựng thuật toán kiểm tra tính độc lập tuyếntính của các vectơ trong Rn như sau

Thuật toán kiểm tra tính độc lập tuyến tính của các vectơ u1, u2, , um trong Rn

Bước 1 Lập ma trận A bằng cách xếp u1, u2, , um thành các cộthoặc thành các dòng

Bước 2 Xác định hạng r(A) của A

Nếur(A) = mthì u1, u2, , um độc lập tuyến tính

Nếur(A) < mthì u1, u2, , um phụ thuộc tuyến tính

Trường hợp m = n, ta có A là ma trận vuông Khi đó có thể thay Bước

2 bằng Bước 2’ sau đây:

Bước 2’ Tính định thức của A

Nếu detA 6= 0 thì u1, u2, , um độc lập tuyến tính

Nếu detA = 0 thì u1, u2, , um phụ thuộc tuyến tính

Ví dụ Trong không gian R4 cho các vectơ u1= (−1, 2, −1, 2);

u2= (2, 2, −4, 2); u3 = (1, 3, 1, 2) Hãy xét xem u1, u2, u3 độc lập tuyếntính hay phụ thuộc tuyến tính?

Ví dụ Trong không gian R5 cho các vectơ u1= (1, 2, −3, 5, 1);

u2= (1, 3, −13, 22, −1); u3= (3, 5, 1, −2, 5) Hãy xét xem u1, u2, u3 độclập tuyến tính hay phụ thuộc tuyến tính?

Ví dụ Trong không gian R4 cho các vectơ u1= (1, 2, −1, 3);

Ta có r(A) = 3 < 4 Do đó hệ có vô số nghiệm Suy ra u1, u2, u3, u4 phụthuộc tuyến tính Hơn nữa nghiệm của hệ là

(α1, α2, α3, α4) = (−t, −t, −t, t)

Suy ra

−tu1− tu2− tu3+ tu4 = 0

Đáp án Có

Ví dụ Trong không gian R3 cho các vectơ u1= (2m + 1, −m, m + 1);

u2= (m − 2, m − 1, m − 2) và u3= (2m − 1, m − 1, 2m − 1) Tìm điềukiện để u1, u2, u3 độc lập tuyến tính

c1:=c1 −c3

======

m −m m + 1

0 m − 1 m − 2

0 m − 1 2m − 1

...

3. 3 Cơ sở số chiều không gian vectơ

1 Tập sinh

2...

3. 3.1 Tập sinh

Định nghĩa Cho V không gian vectơ S tập V Tập Sđược gọi làtập sinh...

Ví dụ Trong không gian R3< /sup> cho u1= (−7, 2, ? ?3) ; u2 = (1, −4, −1);

u3< /small>= (1, 4, 3) ; u4 = (3, 15, 3)

S = {u1,