Dựng Hình Bằng Thước Và Compa - Vườn Toán

Trang chủ » Các Bài Toán Dựng Hình Bằng Thước Và Compa » Dựng Hình Bằng Thước Và Compa - Vườn Toán

Có thể bạn quan tâm

Trang

  • Trang nhà
  • Kỹ năng mềm
  • Giới thiệu

Dựng hình bằng thước và compa

Hôm nay chúng ta sẽ mở đầu một chuỗi bài về toán dựng hình. Có những bài toán dựng hình trông đơn giản nhưng gần hai ngàn năm không ai giải được. Ví dụ như bài toán dựng đa giác đều hay bài toán chia ba một góc. Mãi đến thế kỷ 18-19 hai bài toán này mới được giải quyết hoàn toàn. Các nhà toán học phải sử dụng những công cụ rất hiện đại của đại số mới giải được nó. Trong bài mở đầu này, chúng ta sẽ học về các bước dựng hình cơ bản bằng thước và compa. Khi giải các bài toán dựng hình, chúng ta thừa nhận và dùng các bước dựng hình cơ bản này mà không cần phải giải thích cụ thể. Các phép dựng hình cơ bản Dựng đường trung trực của một đoạn thẳng
Cho trước đoạn thẳng $AB$. Để dựng đường trung trực của $AB$, chúng ta làm như sau:
  • Lấy $A$ và $B$ làm tâm, dựng hai đường tròn có cùng bán kính sao cho chúng cắt nhau tại hai điểm.
  • Nối hai giao điểm của hai đường tròn này lại chúng ta sẽ có đường trung trực của $AB$.
Dựng trung điểm của một đoạn thẳng
Cho trước đoạn thẳng $AB$. Để dựng trung điểm của $AB$, chúng ta làm như sau:
  • Dựng đường trung trực của $AB$.
  • Đường trung trực cắt $AB$ tại điểm $M$ là trung điểm của $AB$.
Qua một điểm, dựng đường thẳng vuông góc với một đường thẳng
Cho trước đường thẳng $\ell$ và một điểm $A$. Để dựng đường thẳng đi qua $A$ vuông góc với $\ell$, chúng ta làm như sau:
  • Lấy $A$ làm tâm dựng một đường tròn sao cho đường tròn cắt đường thẳng $\ell$ tại hai điểm $B$ và $C$.
  • Dựng đường trung trực của $BC$, đây chính là đường thẳng đi qua $A$ vuông góc với $\ell$.
Qua một điểm, dựng đường thẳng song song với một đường thẳng
Cho trước đường thẳng $\ell$ và một điểm $A$. Để dựng đường thẳng đi qua $A$ song song với $\ell$, chúng ta làm như sau:
  • Dựng đường thẳng $t$ đi qua $A$ vuông góc với $\ell$.
  • Dựng đường thẳng $u$ đi qua $A$ vuông góc với $t$, đường thẳng $u$ chính là đường thẳng đi qua $A$ song song với $\ell$.
Dựng đường phân giác của một góc
Cho trước góc $\angle xOy$, để dựng đường phân giác của góc này, chúng ta làm như sau:
  • Lấy $O$ làm tâm dựng một đường tròn cắt $Ox$ và $Oy$ tại $A$ và $B$.
  • Dựng đường trung trực của $AB$, đây chính là đường phân giác của góc $\angle xOy$.
Dựng một góc bằng một góc cho trước
Cho trước góc $\angle xOy$ và tia $A \ell$, để dựng đường thẳng qua $A$ hợp với $A \ell$ một góc bằng góc $\angle xOy$, chúng ta làm như sau:
  • Lấy trên tia $A \ell$ một điểm $B$.
  • Vẽ đường tròn tâm $O$ bán kính bằng $AB$ cắt $Ox$ và $Oy$ tại $D$ và $C$.
  • Vẽ đường tròn tâm $A$ bán kính bằng $AB$, và đường tròn tâm $B$ bán kính bằng $CD$, hai đường tròn này cắt nhau tại $E$ và $F$.
  • Hai góc $\angle EA \ell$ và $\angle FA \ell$ chính là bằng $\angle xOy$.
Dựng tiếp tuyến đến đường tròn
Cho trước một đường tròn tâm $O$ và một điểm $A$ nằm ở bên ngoài đường tròn, để dựng đường thẳng qua $A$ tiếp tuyến với đường tròn $(O)$, chúng ta làm như sau:
  • Dựng trung điểm $B$ của $OA$.
  • Lấy $B$ làm tâm vẽ đường tròn bán kính bằng $AB$, đường tròn này cắt đường tròn $(O)$ tại hai điểm $C$ và $D$.
  • Hai đường thẳng $AC$ và $AD$ chính là tiếp tuyến của đường tròn $(O)$.
Một vài ví dụ dựng hình Ví dụ 1. Cho trước đoạn thẳng $AB$. Bằng thước và compa, chia đều đoạn thẳng này thành năm phần bằng nhau. Cách dựng:
  • Qua $A$ vẽ một tia bất kỳ và dùng compa dựng các điểm $C_1$, $C_2$, $C_3$, $C_4$, $C_5$ trên tia này thoã mãn $AC_1 = C_1C_2=C_2C_3=C_3C_4=C_4C_5$.
  • Nối $BC_5$.
  • Dựng các đường thẳng lần lượt qua $C_1$, $C_2$, $C_3$, $C_4$ song song với $BC_5$ và cắt $AB$ tại các điểm $D_1$, $D_2$, $D_3$, $D_4$.
  • Chúng ta có $AD_1 = D_1D_2=D_2D_3=D_3D_4=D_4B$.
Ví dụ 2. Cho trước góc $xOy$ và một điểm $M$. Bằng thước và compa, dựng điểm $A$ trên $Ox$ và điểm $B$ trên $Oy$ sao cho $M$ là trung điểm của $AB$. Cách dựng:
  • Vẽ đường thẳng $OM$ và dùng compa dựng điểm $N$ nằm trên đường thẳng này sao cho $OM=MN$.
  • Qua $N$ dựng đường thẳng song song với $Oy$ cắt $Ox$ tại điểm $A$.
  • Qua $N$ dựng đường thẳng song song với $Ox$ cắt $Oy$ tại điểm $B$.
  • Tứ giác $OANB$ là hình bình hành nên trung điểm $M$ của đường chéo $ON$ cũng chính là trung điểm của đường chéo $AB$.
Ví dụ 3. Cho trước tam giác $ABC$. Bằng thước và compa, dựng một hình vuông $PQRS$ sao cho đỉnh $Q$ nằm trên cạnh $AB$, đỉnh $R$ nằm trên cạnh $AC$, và hai đỉnh $P$, $S$ nằm trên cạnh $BC$. Cách dựng:
  • Lấy điểm $U$ trên cạnh $AB$.
  • Vẽ đường vuông góc $UV$ xuống $BC$.
  • Dùng compa dựng điểm $F$ nằm trên tia $VC$ sao cho $VF=VU$.
  • Dựng hình vuông $UVFE$.
  • Đường thẳng $BE$ cắt $AC$ tại $R$.
  • Vẽ đường vuông góc $RS$ xuống $BC$.
  • Dùng compa dựng điểm $P$ nằm trên tia $SB$ sao cho $SP=SR$.
  • Dựng hình vuông $PQRS$.
Chúng ta tạm dừng ở đây. Kỳ sau chúng ta tiếp tục học về dựng hình. Hẹn gặp lại các bạn. Bài tập về nhà. 1. Bằng thước và compa, hãy chỉ ra cách dựng tam giác đều, hình vuông, hình lục giác đều (6 cạnh) và hình bát giác đều (8 cạnh). 2. Cho trước hai đường tròn, bằng thước và compa, hãy chỉ ra cách dựng các đường tiếp tuyến chung của hai đường tròn này. 3. Cho trước hai đoạn thẳng có độ dài là $a$ và $b$, bằng thước và compa, hãy chỉ ra cách dựng một đoạn thẳng có độ dài bằng $\sqrt{ab}$. 4. Chứng minh rằng $$\cos{\frac{\pi}{5}} = \frac{1 + \sqrt{5}}{4}$$ từ đó bằng thước và compa, hãy chỉ ra cách dựng một ngũ giác đều. 5. Cho một hình tứ giác $ABCD$ và bốn điểm $M_1$, $M_2$, $M_3$, $M_4$ theo thứ tự này nằm trên cạnh $AB$. Bằng thước và compa, hãy chỉ ra cách xác định bốn điểm $N_1$, $N_2$, $N_3$, $N_4$ nằm trên cạnh $CD$ sao cho các đoạn thẳng $M_1 N_1$, $M_2 N_2$, $M_3 N_3$ và $M_4 N_4$ chia hình tứ giác thành 5 phần có diện tích bằng nhau. 6. Cho trước hai điểm $A$ và $B$, chỉ bằng compa (không dùng thước), hãy chỉ ra cách dựng các điểm $D_1$, $D_2$, $D_3$, $D_4$ trên đoạn thẳng $AB$ để chúng chia đều đoạn thẳng này thành năm phần bằng nhau. Labels: dựng hình, hình học, làm thế nào để chia tứ giác ra thành 5 phần bằng nhau Bài đăng Mới hơn Bài đăng Cũ hơn Trang chủ

Ủng hộ Vườn Toán trên facebook

Facebook

Lưu trữ Blog

  • ▼  2013 (26)
    • ▼  tháng 10 (3)
      • Bài toán chia hình tứ giác
      • Dựng hình bằng thước và compa
      • Câu hỏi của James

English Version

English Version

Bài toán kết nối facebook

Phép nhân thời đồ đá

Mắt Biếc Hồ Thu

Lục giác kỳ diệu

Định lý Pitago

1 = 2012 = 2013

Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình

James vẽ hình

Câu hỏi của James

Hình vuông số chính phương kỳ diệu của Vianney!

Câu đố mẹo về đo lường

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Chào năm mới 2014

Chào năm mới 2015

Chào năm mới 2016

Không gian 4 chiều là gì?

Dựng hình đa giác đều

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Ngày số Pi (2015)

Ngày số Pi (2016)

0.9999999... có bằng 1 không? (2015)

Hình tam giác

Bàn cờ vua và kim tự tháp

Dãy số

Dãy số - Phần 1

Dãy số - Phần 2

Dãy số - Phần 3

Dãy số - Phần 4

Dãy số - Phần 5

Dãy số - Phần 6

Dãy số - Phần 7

Dãy số - Phần 8

Dãy số - Phần 9

Đại số

Tam giác Pascal

Quy nạp

Quy nạp II

Quy nạp III

Nhị thức Newton

1 = 2012 = 2013

Đa thức nội suy Newton

Đa thức nội suy Lagrange

Chứng minh Định lý Wilson bằng công thức nội suy

Tổng luỹ thừa

Số phức

Số phức

Công thức Moivre

Lượng giác

Công thức lượng giác cho góc bội

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Ngày số Pi (2016)

Radian là gì?

Số học

modulo - Phần 1

modulo - Phần 2

modulo - Phần 3

modulo - Phần 4

modulo - Phần 5

modulo - Phần 6

Số nguyên tố

Định lý Euclid về số nguyên tố

Một vài bài toán về số nguyên tố

Định lý Wilson

Bộ số Pitago

Modulo cho số hữu tỷ

Modulo cho số hữu tỷ II

Chứng minh lại định lý Wilson

Bổ đề Bezout

Thuật toán Euclid

Tổng luỹ thừa

Tổng luỹ thừa và định lý Wolstenholme

Câu đố mẹo về đo lường

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Bò đi con bọ cạp!

Liên phân số Fibonacci

Hằng đẳng thức Pitago

Hình vuông số kỳ diệu của Euler

Tổ hợp

Bài toán kết nối facebook

Dãy số Fibonacci và một bài toán xếp hình

Hằng đẳng thức về dãy số Fibonacci

Dãy số Fibonacci và tam giác Pascal

Hình học

Định lý Pitago

Định lý đường cao tam giác vuông

Định lý Morley

Phương tích

Trục đẳng phương và tâm đẳng phương

Định lý Ceva và Định lý Menelaus

Lục giác kỳ diệu

Định lý Pascal

Định lý Pappus

Cánh bướm Pascal

Bài toán con bướm

Định lý Ngôi Sao Do Thái

Hãy xem xét trường hợp đặc biệt

Bài toán về tìm khoảng cách ngắn nhất và một tính chất của hình elíp

Điểm Fermat của hình tam giác

Điểm Fermat của hình tam giác II

Dựng hình

Dựng hình bằng thước và compa

Bài toán chia hình tứ giác

Dựng hình ngũ giác đều

Dựng hình đa giác đều

Dựng đa giác đều 15 cạnh

Định lý đường cao tam giác vuông

Thuật toán dựng hình

Công thức lượng giác Gauss cho 17-giác đều

Dựng hình chỉ bằng compa

Dùng compa chia đều đoạn thẳng

Giải tích

Ngày số Pi 2015

Chuỗi Taylor

Tổng nghịch đảo bình phương

Giúp bé thông minh

Xì-tin năng động

BBC - Học tiếng Anh Du học Hoa kỳ Học Bổng Hoa Kỳ VOA - Học tiếng Anh

Tạp chí toán học

Kỹ năng mềm

Tạo lập tài khoản google

Cách tạo blog toán học

Học toán trên Wolfram

Dịch tài liệu toán học

Viết văn bản toán học PDF trực tuyến bằng LaTeX

Chia xẻ tài liệu toán học trên Google Drive

Từ khóa » Các Bài Toán Dựng Hình Bằng Thước Và Compa