Dùng Tích Phân Tính độ Dài đường Cong Và Diện Tích Mặt Tròn Xoay

Trang chủ » Công Thức Diện Tích Mặt Tròn Xoay » Dùng Tích Phân Tính độ Dài đường Cong Và Diện Tích Mặt Tròn Xoay

Có thể bạn quan tâm

Sgk Giải Tích 12 Nâng Cao, BGD&ĐT

NGUỒN GỐC CỦA KÍ HIỆU NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN

Kí hiệu tích phân là do nhà toán học Leibniz đưa ra, tích phân của hàm số f trên đoạn [a;b] được ông định nghĩa là giới hạn của một tổng: {lim\sum_{k=0}^{n-1}f(x_k)(x_{k+1}-x_k}) (1). Về sau hiệu {x_{k+1}-x_k} được kí hiệu lại là {d_k} (do chữ d là chữ bắt đầu của “diferentia”, nghĩa là “hiệu số”), kí hiệu tổng số {\sum} cũng như chữ S có nguốc từ chữ La-tinh “summa” (nghĩa là “tổng số”), dấu tích phân {\int} là một biến dạng đơn giản của chữ S. Thành thử, giới hạn (1) được kí hiệu là {\int_a^bf(x)dx}

1. Tính độ dài đường cong đồ thị f(x) giới hạn giữa hai đường thẳng x=a và x=b

duongcong

Ta có thể chia nhỏ đường cong này thành vô số đoạn “gần thẳng” rồi lấy tổng của chúng lại với nhau. Xét x_0 \in [a,b] và \Delta x>0 sao cho (x_0+\Delta x)\in[a,b]. Với \Delta x đủ nhỏ, ta xem độ dài đường cong đồ thị f(x) giới hạn giữa 2 đường thẳng x=x_0 và x=x_0+\Delta x là độ dài của đoạn thẳng nối 2 điểm (x_0,f(x_0)) và (x_0+\Delta{x},f(x_0+\Delta{x})), cũng do \Delta x nhỏ, ta xem đoạn thẳng này thuộc tiếp tuyến tại x_0 của f(x_0). Như vậy độ dài l của đoạn thẳng nối 2 điểm (x_0,f(x_0)) và (x_0+\Delta{x},f(x_0+\Delta{x})) được tính bằng \Delta{x}/|Cos\alpha|, trong đó \alpha là góc tạo bởi tiếp tuyến tại x_o của f(x_0) và trục Ox nên tan\alpha=f'(x_0). Tóm lại l=\Delta{x}\sqrt{[f'(x_0)]^2+1}

Lấy tổng độ dài các đoạn thẳng nhỏ lại với nhau, ta được công thức tính độ dài đường cong  đồ thị f(x) giới hạn giữa 2 đường thẳng x=a và x=b là

\displaystyle\int_a^b\sqrt{[f'(x)]^2+1}~dx

2. Tính diện tích mặt tròn xoay tạo thành khi xoay f(x) quanh Ox giới hạn giữa hai mặt phẳng x=a và x=b

Dùng phương pháp tương tự, ta xem diện tích này bằng tổng diện tích khi các đoạn thẳng nhỏ (ở phần 1) xoay quanh Ox tạo thành. Mỗi đoạn thẳng nhỏ khi xoay quanh Ox tạo thành bề mặt xung quanh của một hình nón cụt, có diện tích là s=\frac{1}{2}[2\pi{|f(x_0)|}+2\pi{|f(x_0+\Delta{x})|}].l, trong đó l là độ dài của đoạn thẳng nhỏ đã được tính ở trên: l=\Delta{x}\sqrt{[f'(x_0)]^2+1}. Do \Delta{x} nhỏ nên ta xem f(x_0+\Delta{x})=f(x_0). Tóm lại s=2\pi{|f(x_0)|}\Delta{x}\sqrt{[f'(x_0)]^2+1}

Lấy tổng diện tích các bề mặt nón cụt với nhau ta được công thức tính diện tích mặt tròn xoay tạo thành khi xoay f(x) quanh Ox giới hạn giữa hai mặt phẳng x=a và x=b là

\displaystyle\int_a^b{2\pi{|f(x)|}\sqrt{[f'(x)]^2+1}~dx}

3. Khi trục xoay là Oy.

Có thể chứng minh dễ dàng công thức diện tích mặt tròn xoay ở trên bây giờ là:

\displaystyle\int_a^b{2\pi{|x|}\sqrt{[f'(x)]^2+1}~dx}

4. Kết luận

Như vậy Già Linh đã nói đúng về việc có thể tính diện tích mặt cầu bằng tích phân, nhưng đến hôm nay cả 2 đứa mới chính thức viết ra được các công thức như trên.

Share this:

  • Twitter
  • Facebook
Like Loading...

Related

Từ khóa » Công Thức Diện Tích Mặt Tròn Xoay