Đường Cao Là Gì? - Luật Hoàng Phi

Mục lục bài viết

• Đường cao là gì?
• Tính chất đường cao trong tam giác
• Các dạng toán thường gặp về đường cao của tam giác
• Tìm hiều về trực tâm tam giác
• Cách chứng minh đường cao trong tam giác vuông

Đường cao là một đường thẳng có tính chất quan trọng trong tam giác và liên quan rất nhiều đến các bài toán hình học phẳng. Vậy đường cao là gì? Cách tính đường cao trong tam giác? Tính chất đường cao trong tam giác như nào?…

Khách hàng quan tâm vui lòng theo dõi nội dung bài viết dưới đây để có thêm thông tin hữu ích.

Đường cao là gì?

Đường cao của tam giác là đoạn thẳng vuông góc được kẻ từ một đỉnh đến đường thẳng chứa cạnh đối diện của tam giác đó.

Cạnh đối diện được gọi là đáy ứng với đường cao đó.

Giao điểm giữa đáy và đường cao được gọi là chân của đường cao.

Độ dài của đường cao được tính bằng khoảng cách từ đỉnh đến đáy.

Trong một tam giác sẽ có 3 đường cao được hạ từ 3 đỉnh của tam giác đó. Ba đường cao này sẽ đồng quy (giao nhau) tại một điểm. Điểm đó được gọi là trực tâm.

Trực tâm của tam giác có thể nằm trong (xuất hiện ở tam giác nhọn) hoặc nằm ngoài (ở tam giác tù) hoặc trùng với một đỉnh trong tam giác (xuất hiện ở tam giác vuông).

Lưu ý: Tính chất ba đường cao của tam giác áp dụng theo Định lí: Ba đường cao của tam giác cùng đi qua một điểm. Điểm đó gọi là trực tâm của tam giác

Tính chất đường cao trong tam giác

Thông thường thì trong tam giác, đường cao sẽ được sử dụng để tính diện tích tam giác

Cho tam giác ABC  có đường cao AH tương ứng với cạnh đáy BC . Khi đó diện tích tam giác ABC được tính theo công thức:

                                      SΔABC = 1/2.BC.AH

Công thức trên cũng thường được sử dụng để tính độ dài đường cao dựa trên diện tích tam giác:                                       

AH = 2.SΔABC. BC

– Tính chất đường cao trong tam giác cân

Trong tam giác cân, theo định nghĩa, đường cao tương ứng với cạnh đáy chính là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đó. Như vậy, đường cao của tam giác cân đi qua trung điểm của cạnh đáy.

Đường cao của tam giác cân đồng thời cũng là đường phân giác của góc ở đỉnh và đường trung trực của đáy tam giác.

Nếu như một tam giác các có đường cao đồng thời cũng là đường trung tuyến hoặc phân giác thì tam giác đó chính là tam giác cân.

Chú ý: Tam giác đều là một dạng đặc biệt của tam giác cân. Do đó, tính chất đường cao trong tam giác đều cũng tương tự như tính chất đường cao trong tam giác cân.

– Tính chất đường cao trong tam giác vuông

Trong tam giác vuông thì đường cao với đáy là một cạnh góc vuông chính là cạnh góc vuông còn lại. Như vậy thì đỉnh góc vuông chính là chân đường cao hạ từ hai đỉnh còn lại xuống hai cạnh góc vuông của tam giác.

– Tính chất đường cao của tam giác vuông cân

Tam giác vuông cân vừa là tam giác vuông lại vừa là tam giác cân.

Đường cao trong tam giác vuông cân đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến kẻ từ đỉnh góc vuông của tam giác đó.

Đồng thời, độ dài của đường cao kẻ từ đỉnh góc vuông sẽ có độ dài bằng ½ cạnh huyền.

Công thức tính đường cao trong tam giác vuông cân

Cho tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A. Gọi AD là đường cao kẻ từ đỉnh A xuống cạnh huyền BC. Lúc này, đường cao AD được xác định bằng công thức:

AD = ½ BC

Các dạng toán thường gặp về đường cao của tam giác

– Dạng 1: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc

Phương pháp:

Sử dụng tính chất trực tâm của tam giác.

Nếu H là giao điểm của hai đường cao kẻ từ B và C của ΔABC thì AH ⊥ BC

– Dạng 2: Bài toán về đường cao với tam giác, tam giác cân, tam giác đều

Phương pháp:

– Sử dụng tính chất vuông góc của đường cao đối với cạnh đối diện

– Sử dụng định lý “Trong một tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường phân giác, đường trung tuyến, đường trung trực của tam giác đó”  để một trong các đường trung tuyến, phân giác, đường cao, đường trung trực ứng với cạnh đáy cũng là các đường còn lại.

– Sử dụng nhận xét: Trong một tam giác, nếu có hai trong bốn loại đường (đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực, đường cao) trùng nhau thì tam giác đó là tam giác cân.

– Dạng 3: Chứng minh ba đường thẳng đồng quy

Phương pháp:

Nếu ba đường thẳng là ba đường cao của tam giác thì chúng cùng đi qua một điểm.

Tìm hiều về trực tâm tam giác

Ba đường cao của tam giác đồng quy tại một điểm, điểm này gọi là trực tâm của tam giác.

Ta có tính chất: “Khoảng cách từ một đỉnh tới trực tâm của một tam giác bằng hai lần khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó đến trung điểm cạnh nối hai đỉnh còn lại”.

Trực tâm của tam giác vuông trùng với đỉnh góc vuông của nó.

Tính chất:

Trong tam giác cân, đường cao ứng với cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực xuất phát từ đỉnh đối diện của cạnh đó.

Trực tâm của tam giác nhọn ABC trùng với tâm đường tròn nội tiếp tam giác tạo bởi ba đỉnh là chân ba đường cao từ các đỉnh A, B, C đến các cạnh BC, AC, AB tương ứng.

Định lý Carnot: Đường cao tam giác ứng với một đỉnh cắt đường tròn ngoại tiếp tại điểm thứ hai là đối xứng của trực tâm qua cạnh tương ứng.

Cách chứng minh đường cao trong tam giác vuông

Để chứng minh đường cao trong tam giác vuông, chúng ta có thể sử dụng định lý Pythagoras.

Giả sử ta có một tam giác vuông ABC với đỉnh vuông góc ở C và đường cao từ đỉnh C đến cạnh AB. Gọi H là chân đường cao từ đỉnh C xuống cạnh AB.

Theo định lý Pythagoras, ta có: AC² = AH² + CH² BC² = BH² + CH²

Vì tam giác ABC là tam giác vuông, nên ta có: AC² + BC² = AB²

Thay AC² và BC² bằng các biểu thức tương ứng của AH, CH, BH, ta được: (AH² + CH²) + (BH² + CH²) = AB²

Simplifying, ta có: 2CH² + AH² + BH² = AB²

Tuy nhiên, vì tam giác ABC là tam giác vuông, nên AH = BH, do đó: 2CH² + 2AH² = AB²

Tương đương với: 2(CH² + AH²) = AB²

Như vậy, ta có: AB² = 2(CH² + AH²)

Vậy, đường cao CH bằng căn bậc hai của (AB² – 2AH²) hoặc căn bậc hai của (AB² – 2BH²). Vì AH = BH, nên cả hai công thức đều cho kết quả giống nhau.

Vì vậy, ta đã chứng minh được rằng đường cao trong tam giác vuông bằng căn bậc hai của (độ dài cạnh huyền bình phương trừ đi hai lần độ dài đường cao vuông góc vào cạnh đó).