Đường Cao Là Gì? Tính Chất Và Công Thức Tính

0 (0)

Đường cao là một đường thẳng có tính chất quan trọng trong các bài toán liên quan đến hình học hay mặt phẳng. Vậy chính xác đường cao là gì? Và làm sao để tìm cũng như tính được đường cao. Hãy cùng tìm hiểu qua bài viết dưới đây cùng DINHNGHIA.com.vn nhé!

Đường cao là gì?

Là một trường hợp đặc biệt của phép chiếu, đường cao của một tam giác theo định nghĩa trong toán học chính là đoạn thẳng kẻ từ một đỉnh và vuông góc với cạnh đối diện. Trong đó, cạnh đối diện thường được gọi là đáy tương ứng với đường cao, giao điểm của đường cao với đáy thì được gọi là chân của đường cao và độ dài của đường cao theo định nghĩa chính là khoảng cách giữa đỉnh và đáy.

Đường cao có ký hiệu là h (viết tắt của chữ height trong tiếng Anh), độ dài đường cao thường dùng để tính diện tích của một tam giác: diện tích tam giác bằng nửa tích đường cao nhân với đáy.

Trực tâm là gì?

Trực tâm của tam giác là điểm giao của ba đường cao xuất phát từ ba đỉnh của tam giác đó, đồng thời vuông góc với cạnh đối diện. Hay nói cách khác, nó là điểm đồng quy của 3 đường cao tam giác.

Tính chất của đường cao

Tính chất đường cao trong tam giác thường

Tam giác thường có tính trực tâm, chúng bao gồm 3 đường cao cùng đi qua (đồng quy) tại một điểm, điểm này cũng gọi là trực tâm của tam giác.

Tính chất đường cao trong tam giác vuông

Trong tam giác vuông thì đường cao với đáy là một cạnh góc vuông chính là cạnh góc vuông còn lại. Như vậy thì đỉnh góc vuông chính là chân đường cao hạ từ hai đỉnh còn lại xuống hai cạnh góc vuông của tam giác.

Tính chất đường cao trong tam giác cân

Trong tam giác cân, đường cao sẽ đi qua trung điểm của cạnh đáy, đường cao tương ứng với cạnh đáy chính là đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đó.

Ngoài ra, đường cao của tam giác cân đồng thời cũng là đường phân giác của góc ở đỉnh – đường trung trực của đáy tam giác và ngược lại, ta cũng dùng tính chất này để chứng minh tam giác là tam giác cân.

Tính chất đường cao trong tam giác đều

Tam giác đều là một dạng đặc biệt của tam giác cân. Do đó, tính chất đường cao trong tam giác đều cũng tương tự như tính chất đường cao trong tam giác cân.

Trong tam giác đều thì trực tâm cũng đồng thời chính là trọng tâm, và cũng là tâm đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác đó. Khoảng cách từ một đỉnh tới trực tâm bằng hai lần khoảng cách từ tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó đến trung điểm cạnh nối hai đỉnh còn lại.

Công thức tính đường cao trong tam giác

Công thức tính đường cao trong tam giác thường

Công thức để tính đường cao trong tam giác thường được gọi là công thức Heron:

• ha = 2 x [(p(p−a)(p−b)(p−c)) / a ]

Trong đó:

• a, b, c: là độ dài ba cạnh của tam giác
• p là nửa chu vi: p = a+b+c2
• ha: là độ dài đường cao tương ứng với cạnh đáy a

Công thức tính đường cao trong tam giác đều

Tam giác đều là một dạng tam giác đặc biệt, có công thức tính đường cao riêng như sau:

h = a x (√3 / 4)

Trong đó:

• h: là đường cao của tam giác đều
• a: là độ dài các cạnh của tam giác đều

Công thức tính đường cao trong tam giác vuông

Với tam giác vuông ABC vuông tại A như hình trên, ta sẽ tính đường cao của tam giác vuông dựa vào hệ thức lượng với các công thức sau:

• a2 = b2 + c2
• b2 = a.b’; c2 = a.c’
• ah = bc
• h2 = b’.c’
• 1/h2 = (a/b2) + (1/c2)

Trong đó:

• a, b, c: lần lượt là các cạnh của tam giác vuông
• b’: là đường chiếu của cạnh b trên cạnh huyền
• c’: là đường chiếu của cạnh c trên cạnh huyền
• h: là chiều cao của tam giác vuông được kẻ từ đỉnh góc vuông A xuống cạnh huyền BC

Công thức tính đường cao trong tam giác cân

Đường cao tam giác cân được tính bằng cách áp dụng định lý Pytago. Giả sử tam giác ABC cân tại A, đường cao AH vuông góc tại H như hình

Vì tam giác ABC cân tại A nên đường cao AH đồng thời là đường trung tuyến nên:

HB = HC = 1/2 BC

Áp dụng định lý Pytago trong tam giác vuông ABH vuông tại H, ta có:

• AH2 + BH2 = AB2

=> AH2 = AB2 – BH2

Các dạng bài tập phổ biến nhất về đường cao trong tam giác

Dạng 1: Tìm trực tâm của tam giác

Đề bài: Cho tam giác ABC đều, G là trọng tâm của tam giác. Xác định trực tâm các tam giác biết G là trọng tâm của chúng, tam giác ACB là tam giác đều.

Cách giải: Tam giác ACB đều, G là trọng tâm, ta sẽ đi tìm trực tâm của GAB, GAC và GBC bằng cách tìm giao điểm của hai đường cao trong tam giác.

• Vì G là trọng tâm => G cũng là trực tâm của tam giác ABC => AG vuông góc BC, BG vuông góc AC, CG vuông góc AB.
• Mà: Mà AC giao BC = C => C là giao điểm của 2 đường cao trong tam giác ABG

=> C là trực tâm của tam giác GAB.

Tương tự, B là trực tâm tam giác GAC, A là trực tâm tam giác GBC.

Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc trong tam giác

Đề bài: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn(O). Dựng đường cao AN,CK. Đường tròn ngoại tiếp tam giác BKN cắt (O) tại điểm thứ hai M. Gọi I là trung điểm AC. Chứng minh rằng IM⊥IB

Cách giải:

• Lấy J là trung điểm BH
• Vì BKHˆ=BNHˆ=90∘⇒ tứ giác BNHK nội tiếp đường tròn đường kính BH

⇒ BMHˆ=90∘ hay BM⊥MH(1)

• Theo tính chất trực tâm ta có: OI = BH2 = JH
• Mặt khác: {O I⊥ ACJH ⊥ BC ⇒ OI||JH

⇒ OIHJ là hình bình hành

⇒ HI||OJ(2)

• Do J là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BMH nên ta có: JM = JB
• Mặt khác OM = OB

⇒ OJ là đường trung trực của BM

⇒ OJ⊥BM(3)

• Từ (2), (3) ⇒ HI⊥BM
• Mà từ (1) có MH⊥BM

Từ đó ⇒ I,H,M và IM⊥MB

Dạng 3: Chứng minh 3 đường thẳng đồng quy

Đề bài: Ta có tam giác với các đỉnh là A, B và C, qua lần lượt mỗi đỉnh kẻ 3 đường thẳng song song với cạnh đối diện, các điểm cắt nhau là F, D, E. Hãy chứng minh rằng AD, BE, CF đồng quy tại 1 điểm.

Cách giải:

• AE song song BC
• AB song song CE

=> AE = BC bởi ABCE là hình bình hành.

• Tương tự: AF = BC vì ACBF cũng là hình bình hành.

=> AE = AF

=> A là trung điểm của EF.

• Tương tự: B là trung điểm của đường thẳng DF, C là trung điểm của DE.
• Vì vậy, A, B, C lần lượt là trung điểm của ba cạnh tam giác DEF.

=> AD, BE, CF đồng quy tại trọng tâm của tam giác DEF.

Cách chứng minh đường cao trong tam giác vuông

Ta sử dụng định lý Pythagoras để chứng minh đường cao trong tam giác vuông: Đường cao trong tam giác vuông bằng căn bậc hai của (độ dài cạnh huyền bình phương trừ đi hai lần độ dài đường cao vuông góc vào cạnh đó).

Cách chứng minh:

Giả sử: Tam giác vuông ABC:

• Vuông góc ở C
• Đường cao từ đỉnh C đến cạnh AB
• Gọi H là chân đường cao từ đỉnh C xuống cạnh AB.
• Theo định lý Pythagoras, ta có: AC² = AH² + CH² BC² = BH² + CH²
• Vì tam giác ABC là tam giác vuông, nên ta có: AC² + BC² = AB²
• Thay AC² và BC² bằng các biểu thức tương ứng của AH, CH, BH, ta được: (AH² + CH²) + (BH² + CH²) = AB²
• Ta lại có: 2CH² + AH² + BH² = AB²
• Vì tam giác ABC là tam giác vuông, nên AH = BH, do đó: 2CH² + 2AH² = AB²

=> 2(CH² + AH²) = AB²

=> AB² = 2(CH² + AH²)

=> Đường cao CH bằng căn bậc hai của (AB² – 2AH²) hoặc căn bậc hai của (AB² – 2BH²).

=> AH = BH

Xem thêm:

• Hình thang cân: Tính chất, Dấu hiệu nhận biết và Cách chứng minh
• 5 Công thức tính diện tích tam giác thường, vuông, cân, vuông cân
• Tính chất tam giác cân: Lý thuyết và Các dạng bài tập

Qua bài viết vừa rồi, DINHNGHIA.com.vn đã giúp tổng hợp lại những lý thuyết liên quan đến đường cao là gì và những bài toán cũng như cách giải về đường cao. Hy vọng những kiến thức này sẽ giúp ích cho các bạn trong quá trình học tập.

Bạn thấy bài viết này hữu ích chứ?

Hãy chọn vào ngôi sao để đánh giá bài viết

Gửi đánh giá

Đánh giá trung bình 0 / 5. Lượt đánh giá 0

Hãy là người đầu tiên đánh giá bài viết