Đường Elip

Có thể bạn quan tâm

Đặc điểm hình học

Elíp và một số đặc tính. F1 và F2 là các tiêu điểm; a là bán trục lớn, b là bán trục nhỏ; c là tiêu cự; e là đô let (hay tâm sai)

Elíp có hai trục đối sứng (AB, CD trên hình vẽ) vuông góc và cắt nhau tại tâm đối xứng, cắt đường elip tại các trục lớn AB và nhỏ CD. Nửa chiều dài của các trục này được gọi lần lượt là bán trục lớn (a) và bán trục nhỏ (b). Khoảng cách từ tâm e-líp đến mỗi tiêu điểm được gọi là bán tiêu cự (c).

Trong một elíp ta luôn có:

$c^2 = a^2 - b^2$

Độ dẹt của elíp (hay còn gọi là tâm sai hay độ lệch tâm của elíp) là tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục lớn:

$e = \frac{c}{a}$ (0 ≤ e < 1)

e = 0 khi 2 tiêu điểm trùng nhau và hình elíp lúc bấy giờ là hình tròn.

Trong hệ trục tọa độ Descartes hình elíp có thể được tạo thành bằng cách đem nhân các tọa độ x của các tất cả điểm trên một đường tròn với một hằng số đồng thời không thay đổi các tọa độ y của các điểm đó.

Diện tích của hình e-líp với các bán trục a và b được tính bởi:

$S = \pi a b$

Một tính chất quang hình họccủa e-líp là: Nếu e-líp là một mặt gương cong thì một tia sáng xuất phát từ một tiêu điểm của e-líp sau khi đến mặt cong sẽ phản xạ và đi qua tiêu điểm còn lại

Hình elíp là một dạng của tiết diện hình tròn: nếu mặt của hình nón được cắt bởi một mặt phẳng không cắt mặt đáy, đường giao nhau của hình nón và mặt phẳng đó được gọi là một hình elíp. Muốn xem cách chứng minh cơ bản, đọc bài" khối dandelin".

Chú ý rằng ý nghĩa của a và b là khác so với hình bên cạnh

Biểu diễn dưới dạng phương trình đại số

Trong đại số , hình e-líp được định nghĩa bởi phương trình bậc 2 sau:

$Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0$

Trong đó các hệ số A, B, C, D, E, F đều là số thực $B^2 < 4AC$ , Mỗi cặp nghiệm (x,y) tương ứng với một điểm thuộc hình elíp.

Hình E-líp

Một trường hợp đơn giản nhất, khi các bán trục của e-lip đều nằm trên các trục x và y của hệ trục tọa độ vuông góc (tọa độ Descartes) thì phương trình được đơn giản hóa thành: $Ax^2 + Cy^2 + F = 0$

và có thể đưa về dạng chính tắc:

$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$

trong đó a và b là các bán trục của e-líp.

Elíp là một trong những đường cô - nic cơ bản.

Elíp tổng quát

Sự mở rộng khái niệm đường elíp lên các bậc cao khác ngoài hai hình thành đường siêu elíp

$\left|\frac{x}{a}\right|^n\! + \left|\frac{y}{b}\right|^n\! = 1$

siêu elíp với n= 4, a= b = 1, tương tự như hình vuông được kéo các góc vào.
n = 3⁄2, a = b = 1 tạo ra một hình tròn hơn giống như đỉnh của hình vuông bị vát tròn.
n = 1⁄2, a = b = 1 có hình sao 4 cạnh dạng Parapol

Đường siêu elíp với hai số mũ khác nhau m ≠ n.

Tổng quát hơn nữa, ta có trường hợp đường elíp với hai số mũ khác nhau: m≠n

$\left|\frac{x}{a}\right|^m + \left|\frac{y}{b}\right|^n = 1; \qquad m, n > 0.$

nghĩa là:

$''' \begin{align} x\left(\theta\right) &= {|\cos \theta|}^{\frac{2}{n}} \cdot a \sgn(\cos \theta) \\ y\left(\theta\right) &= {|\sin \theta|}^{\frac{2}{m}} \cdot b \sgn(\sin \theta) \end{align} '''$

Mở rộng lên không gian ba chiều, ta có superellipsoid

Quả trứng bằng đồng thautheo Piet Hein

$\left( |x/a_x|^{2/e} + |y/a_y|^{2/e} \right)^{e/n} + |z/a_z|^{2/n} = 1 . \,\!$

Các phương trình tham số trong mặt phẳng chứa các tham số u và v gồm :

$'''\begin{align} x(u,v) &{}= a_x c(v,n) c(u,e) \\ y(u,v) &{}= a_y c(v,n) s(u,e) \\ z(u,v) &{}= a_z s(v,n) \\ & -\pi/2 \le v \le \pi/2, \quad -\pi \le u < \pi , \end{align}'''$