Hiên nay, có rất nhiều bạn học sinh không nắm được định nghĩa đường trung tuyến là gì, tính chất và công thức tính đường trung tuyến trong tâm giác như thế nào? Chính vì vậy, THPT CHUYÊN LAM SƠN chia sẻ lý thuyết đường trung tuyến trong tam giác là gì? Tính chất của đường trung tuyến và công thức tính đường trung tuyến trong tam giác kèm theo các dạng bài tập có lời giải chi tiết để các bạn cùng tham khảo nhé
Nội Dung
Toggle
Đường trung tuyến là gì?
Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác
Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông
Tính chất đường trung tuyến trong tam giác cân
Tính chất đường trung tuyến trong tam giác đều
Công thức tính đường trung tuyến trong tam giác
Bài tập tính đường trung tuyến trong tam giác có lời giải
Đường trung tuyến là gì?
Đường trung tuyến của 1 đoạn thẳng là 1 đường thẳng đi qua trung điểm của đường thẳng đó.
Đường trung tuyến trong tam giác là một đoạn thẳng nối từ đỉnh của tam giác tới trung điểm của các cạnh đối diện nó. Mỗi tam giác có 3 đường trung tuyến.
Ví dụ: Cho tam giác ABC, có D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, AB, BC. Từ đó ta có các đường thẳng BD, AF, CE là các đường trung tuyến của tam giác ABC.
Tính chất của đường trung tuyến trong tam giác
Ba đường trung tuyến của tam giác đồng quy tại một điểm được gọi là trọng tâm.
Khoảng cách từ trong tâm đến mỗi đỉnh của tam giác bằng ²⁄3 đường trung tuyến tương ứng với đỉnh đó.
Khoảng cách từ trong tâm đến trung điểm mỗi cạnh bằng đường 1⁄3 trung tuyến tương ứng với điểm đó.
Ví dụ: Tam giác ΔABC có D, E, F là BC, CA, AB. Khi đó AD, BE, CF lần lượt là các đường trung tuyến xuất phát từ ba đỉnh A, B, C. AD, BE, CF đồng quy ở G.
Ta có G là trọng tâm của tam giác ΔABC.
Theo định nghĩa, AE=EC, CD=DB, BF= FA, do đó:
SΔAGE = SΔCGE; SΔBGD = SΔCGD; SΔAGF = SΔBGF trong đó kí hiệu SΔABC là diện tích của tam giác ABC.
Điều này đúng bởi trong mỗi trường hợp hai tam giác có chiều dài đáy bằng nhau, và có cùng đường cao từ đáy, mà diện tích của một tam giác thì bằng ½ chiều dài đáy nhân với đường cao, khi ấy hai tam giác ấy có diện tích bằng nhau.
Chúng ta có:
SΔACG = SΔACD − SΔCGD; SΔABG = SΔABD − SΔBGD
Do đó ta có :SΔABG = SΔACG và SΔDBG = SΔDCG; SΔCDG = 12 SΔACG
Sử dụng cùng phương pháp này. ta có thể chứng minh điều sau:
SΔAFG = SΔBFG = SΔBGD = SΔCGD = SΔCGE = SΔAGE
Tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông
Trong tam giác vuông, trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng ½ cạnh huyền.
Một tam giác có trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác ấy là tam giác vuông.
Đường trung tuyến của tam giác vuông có đầy đủ các tính chất của một đường trung tuyến tam giác.
Tính chất đường trung tuyến trong tam giác cân
Đường trung tuyến ứng từ góc đỉnh sẽ vuông góc với cạnh đáy tương ứng (nó là đường trung trực của cạnh đáy)
Đường trung tuyến ứng từ góc đỉnh sẽ chia góc đỉnh thành 2 góc bằng nhau (Nó là đường phân giác của góc đỉnh).
Có đầy đủ các tính chất của đường trung tuyến tam giác thông thường
Tính chất đường trung tuyến trong tam giác đều
3 đường trung tuyến của tam giác đều sẽ chia tam giác đó thành 6 tam giác có diện tích bằng nhau.
Trong tam giác đều đường thẳng đi qua một đỉnh bất kỳ và đi qua trọng tâm của tam giác sẽ chia tam giác đó thành 2 tam giác có diện tích bằng nhau.
Công thức tính đường trung tuyến trong tam giác
Công thức tính độ dài đường trung tuyến của cạnh bất kỳ bằng căn bậc 2 của một phần hai tổng bình phương hai cạnh kề. Sau đó trừ đi một phần tư bình phương cạnh đối.
ma = √(b² + c²)/2 – a²/4
mb = √(a² + c²)/2 – b²/4
mc = √(b²+a²)/2 – c²/4
Trong đó:
a, b ,c lần lượt là các cạnh trong tam giác
ma, mb, mc lần lượt là những đường trung tuyến trong tam giác
Từ công thức trên ta có thể suy ra độ dài các cạnh của tam giác:
Tham khảo thêm:
Công thức tính đường cao trong tam giác thường, vuông, đều, cân từ A- Z
Công thức tính đường trung bình của hình thang và bài tập có lời giải
Lý thuyết định lý Pytago và các dạng bài tập có lời giải từ A – Z
Bài tập tính đường trung tuyến trong tam giác có lời giải
Ví dụ 1: Cho tam giác ABC cân ở A có AB = AC = 17cm, BC= 16cm. Kẻ trung tuyến AM.
Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cân tại A, hai đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại G. Kéo dài AG cắt BC tại H.
a. So sánh tam giác AHB và tam giác AHC.
b. Gọi I và K lần lượt là trung điểm của GA và GC. Chứng minh rằng AK, BD, CI đồng quy.
Lời giải
a. Ta có BD là đường trung tuyến của tam giác ABC
CE là đường trung tuyến của tam giác ABC
Vậy G là trọng tâm tam giác ABC
Mà AH đi qua G nên AH là đường trung tuyến của tam giác ABC
HB = HC
Xét hai tam giác AHB và tam giác AHC có:
AB = AC (tam giác ABC cân tại A)
AH chung
HB = HC
⇒ ΔAHB = ΔAHC (c – c – c)
b. Ta có IA = IG nên CI là đường trung tuyến của tam giác AGC (1)
Ta lại có KG = KC nên AK là đường trung tuyến của tam giác AGC (2)
DG là đường trung tuyến của tam giác AGC (3)
Từ (1), (2), (3) suy ra 3 đường trung tuyến CI, AK, DG đồng quy tại I
Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có BC = a = 10 cm, CA = b = 8 cm, AB = c = 7 cm. Tính độ dài các đường trung tuyến của tam giác ABC.
Lời giải:
Gọi độ dài trung tuyến từ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC lần lượt là ma; mb; mc.
Áp dụng công thức trung tuyến ta có:
Vì độ dài các đường trung tuyến (là độ dài đoạn thẳng) nên nó luôn dương, do đó:
Ví dụ 4: Cho tam giác ABC. D thuộc tia đối của tia AB sao cho AD = AB. Trên cạnh AC lấy điểm E sao cho AE =1/3AC. Tia BE cắt CD ở M. Chứng minh :
a) M là trung điểm của CD b) AM = 12BC.
a, Xét: ΔBDC có AB = AD suy ra AC là đường trung tuyến tam giác BCD
Mặt khác:
AE = 1/3AC ⇒ CE = 2/3AC.
⇒ E là trọng tâm Δ BCD
M là giao của BE và CD
Vậy BM là trung tuyến Δ BCD
Vậy M là trung điểm của CD
b, A là trung điểm của BD
M là trung điểm của DC
⇒ AM là đường trung bình của Δ BDC
⇒ AM = ½BC
Ví dụ 5: Cho tam giác ABC với G là trọng tâm. Trên cạnh AG lấy điểm G’ sao cho G là trung điểm của đoạn AG’. Chứng minh:
a. Những cạnh của tam giác BGG’ với các đường trung tuyến của tam giác ABC.
b. Những đường trung tuyến của tam giác BGG’ với các cạnh của tam giác ABC.
Lời giải
a. Ta có BG cắt AC tại điểm N, CG cắt AB tại điểm E và G là trọng tâm của tam giác ABC.
⇒ GA = ⅔ AM
Vì G là trung điểm của AG’⇒ GA =GG’
Suy ra: GG’ = ⅔ AM
Theo giả thuyết ta có G là trọng tâm của tam giác ABC
⇒ GB = ⅔ BN
Mặt khác: GM = ½ AG (vì G là trọng tâm)
AG = GG’⇒ GM = ½ GG’
M là trung điểm của đoạn GG’
Vì GM = MG’ và MB = Mc ⇒ tam giác GMC = tam giác G’MB
Suy ra: BG’ = CG
Mà CG = ⅔ CE (G là trọng tâm của tam giác ABC)
⇒ BG’ = ⅔ CE
Vậy mỗi cạnh của tam giác BGG’ bằng ⅔ các đường trung tuyến của tam giác ABC.
b. Ta có BM là đường trung tuyến của tam giác BGG’
mà điểm M lại là trung điểm của đoạn BC nên BM = ½ BC
I là trung điểm của BG ⇒ IG = ½ BG
G là trọng tâm tam giác ABC ⇒ GN = ½ BG
Suy ra: IG = GN
⇒ tam giác IGG’ = tam giác NGA theo trường hợp cạnh.góc.cạnh
⇒ IG’ = AN ⇒ IG’ = ½ AC
Gọi K là trung điểm của đoạn BG ⇒ GK là trung tuyến của tam giác BGG’
Mặt khác, vì G là trọng tâm của tam giác ABC ⇒ GE = ½ GC
Mà K là trung điểm của BG’ ⇒ KG” = EG
Vì tam giác GMC = tam giác G’BM (chứng minh trên)
⇒ tam giác GCM = tam giác G’BM theo trường hợp góc so le trong
⇒ CE//BG ⇒ tam giác AGE = tam giác AG’B theo trường hợp đồng vị
Do đó tam giác AGE = tam giác GG’K (c.g.c) ⇒ AE = GK
Mà AE = ½ AB nên GK = ½ AB
Vậy mỗi đường trung tuyến của tam giác BGG’ bằng ½ các cạnh của tam giác ABC.
Bên trên chính là toàn bộ lý thuyết đường trung tuyến và công thức tính đường trung tuyến trong tam giác có thể giúp các bạn hệ thống lại kiến thức để vận dụng vào làm bài tập nhanh chóng nhé
Related Posts:
Công thức tính đường trung bình của hình thang và…
Trung bình cộng là gì? Khái niệm trung bình cộng và…
Diện tích của hình tròn có đường kính 4 cm là bao nhiêu?
Công thức tính đường chéo hình chữ nhật và bài tập…
Công thức tính đường kính hình tròn và bài tập có…
