Elíp – Wikipedia Tiếng Việt

Đừng nhầm với hình bầu dục.

Trong toán học, một hình elip là một đường cong phẳng xung quanh hai tiêu điểm, sao cho với mọi điểm trên đường cong, tổng khoảng cách đến hai tiêu điểm là hằng số. Hình tròn là trường hợp đặc biệt của đường elip khi hai tiêu điểm trùng nhau. Độ dẹt của hình elip được biểu diễn bằng tâm sai e của nó, chạy từ e = 0 (trường hợp của đường tròn) đến e = 1 (độ dẹt vô hạn, không còn là elip mà là một parabol).

Phương trình chính tắc của một elip với tâm là gốc tọa độ và chiều dài 2a và chiều rộng 2b là:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1. {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}

Giả sử a ≥ b, các tiêu điểm có tọa độ (±c, 0) với c = a 2 − b 2 {\displaystyle c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}} . Phương trình tham số của elip là:

( x , y ) = ( a cos ⁡ ( t ) , b sin ⁡ ( t ) ) 0 ≤ t ≤ 2 π . {\displaystyle (x,y)=(a\cos(t),b\sin(t))\qquad \quad 0\leq t\leq 2\pi .}

Elip là một loại đường conic đóng: một đường cong phẳng bao quanh mặt cắt của một hình nón với một mặt phẳng nghiêng (xem hình bên). Elip có nhiều điểm tương đồng với hai đường conic khác là parabol và hyperbol, cả hai đều hở và không có giới hạn. Một mặt cắt nghiêng của một hình trụ tròn cũng có hình elip.

Một hình elip cũng có thể được định nghĩa chỉ với một tiêu điểm và một đường thẳng nằm ngoại elip gọi là đường chuẩn: elip là quỹ tích các điểm có tỉ số khoảng cách tới tiêu điểm và đường chuẩn là hằng số. Hằng số tỉ lệ này chính là tâm sai của elip được tạo thành:

e = c a = 1 − b 2 a 2 {\displaystyle e={\frac {c}{a}}={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}}} .

Hình elip rất thông dụng trong vật lý, thiên văn và kỹ thuật. Ví dụ, quỹ đạo của mỗi hành tinh trong hệ Mặt Trời gần giống một hình elip với Mặt Trời là một tiêu điểm (chính xác, tiêu điểm là tâm tỉ cự của cặp Mặt Trời – hành tinh). Quỹ đạo của mặt trăng xoay quanh hành tinh và tất cả cả hệ hai thiên thể khác đều như thế. Hình dạng của các hành tinh và sao thường được mô tả bằng hình ellipsoid. Một hình tròn nhìn từ một góc nghiêng trông giống một hình elíp, tức hình elip là ảnh của hình tròn qua một phép chiếu song song hay vuông góc. Hình elip cũng là dạng đường cong Lissajous đơn giản nhất, với chuyển động theo chiều ngang và dọc là các đường hình sin với cùng tần số. Hiện tượng tương tự dẫn đến phân cực elip của ánh sáng trong quang học.

Mục lục

• 1 Từ nguyên
• 2 Định nghĩa quỹ tích
• 3 Hệ tọa độ Descartes
  • 3.1 Phương trình chính tắc
    • 3.1.1 Bán trục lớn và bé
    • 3.1.2 Bán tiêu cự
    • 3.1.3 Độ lệch tâm
    • 3.1.4 Bán trục bên
  • 3.2 Tiếp tuyến
  • 3.3 Tâm khác gốc tọa độ
  • 3.4 Elíp tổng quát
• 4 Biểu diễn tham số
  • 4.1 Biểu diễn tham số chính tắc
  • 4.2 Biểu diễn hữu tỉ
  • 4.3 Độ dốc tiếp tuyến làm tham số
  • 4.4 Elíp tổng quát
• 5 Dạng cực
  • 5.1 Dạng cực đối với tâm
  • 5.2 Dạng cực đối với tiêu điểm
• 6 Tâm sai và đường chuẩn
  • 6.1 Elíp tổng quát
• 7 Tính chất phản chiếu
• 8 Đường kính liên hợp
  • 8.1 Định lý Apollonius về đường kính liên hợp
• 9 Tính chất đo lường
  • 9.1 Diện tích
  • 9.2 Chu vi
  • 9.3 Độ cong
• 10 Xem thêm
• 11 Chú thích
• 12 Tham khảo
• 13 Liên kết ngoài