\(\frac{a^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}+\frac{b^2}{5b^2+\left(c+a ... - Olm

Học liệu Hỏi đáp Đăng nhập Đăng ký

• Học bài
• Hỏi bài
• Kiểm tra
• ĐGNL
• Thi đấu
• Thư viện số
• Bài viết Cuộc thi Tin tức Blog học tập
• Trợ giúp
• Về OLM

Chính thức mở đề thi thử tốt nghiệp THPT trên máy tính từ 27/12/2025, xem ngay.

OLM Class tuyển sinh lớp bứt phá học kỳ II! Đăng ký ngay

• Mẫu giáo
• Lớp 1
• Lớp 2
• Lớp 3
• Lớp 4
• Lớp 5
• Lớp 6
• Lớp 7
• Lớp 8
• Lớp 9
• Lớp 10
• Lớp 11
• Lớp 12
• ĐH - CĐ

K Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

Xác nhận câu hỏi phù hợp

×

Chọn môn học Tất cả Toán Vật lý Hóa học Sinh học Ngữ văn Tiếng anh Lịch sử Địa lý Tin học Công nghệ Giáo dục công dân Âm nhạc Mỹ thuật Tiếng anh thí điểm Lịch sử và Địa lý Thể dục Khoa học Tự nhiên và xã hội Đạo đức Thủ công Quốc phòng an ninh Tiếng việt Khoa học tự nhiên Mua vip

• Tất cả
• Mới nhất
• Câu hỏi hay
• Chưa trả lời
• Câu hỏi vip

TH Trang Hà 31 tháng 8 2021 - olm

\(\frac{a^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}+\frac{b^2}{5b^2+\left(c+a\right)^2}+\frac{c^2}{5c^2+\left(a+b\right)^2}\le\frac{1}{3}\)

giúp tớ với

 

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9 1 AN alibaba nguyễn 1 tháng 9 2021

Ta chứng minh bổ đề sau:

\(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ca}{2b^2+ca}+\frac{ab}{2c^2+ab}\ge1\)

Ta có:

\(VT=\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{c^2a^2}{2b^2ca+c^2a^2}+\frac{a^2b^2}{2c^2ab+a^2b^2}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{a^2b^2+2abc^2+b^2c^2+2bca^2+c^2a^2+2cab^2}\)

\(=\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{\left(ab+bc+ca\right)^2}=1\left(đung\right)\)

Ta lại có:

\(\frac{9a^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}=\frac{\left(a+a+a\right)^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(2a^2+bc\right)+\left(2a^2+bc\right)}\)

\(\le\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{a^2}{2a^2+bc+\left(2a^2+bc\right)}+\frac{a^2}{2a^2+bc}\)

\(=\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2a^2}{2a^2+bc+\left(2a^2+bc\right)}\)

\(\Rightarrow\frac{a^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}\le\frac{1}{9}\left(\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2a^2}{2a^2+bc}\right)\)

Từ đó ta có:

\(VT\le\frac{1}{9}\left(\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2a^2}{2a^2+bc}+\frac{2b^2}{2b^2+ca}+\frac{2c^2}{2c^2+ab}\right)\)

\(=\frac{1}{9}\left(1+3-\frac{bc}{2a^2+bc}-\frac{ca}{2b^2+ca}-\frac{ab}{2c^2+ab}\right)\)

\(\le\frac{1}{9}\left(1+3-1\right)=\frac{1}{3}\)

Đúng(0) Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên TX trần xuân quyến 27 tháng 9 2018 - olm

cho a,b,c>0

Chứng mình rằng

\(\frac{a^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}+\frac{b^2}{5b^2+\left(a+c\right)^2}+\frac{c^2}{5c^2+\left(a+b\right)^2}\le\frac{1}{3}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9 3 AN alibaba nguyễn 28 tháng 9 2018

Ta co:

\(\frac{a^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}=\frac{a^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(2a^2+bc\right)+\left(2a^2+bc\right)}\)

\(\le\frac{1}{9}\left(\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2a^2}{2a^2+bc}\right)=\frac{1}{9}\left(\frac{a^2}{a^2+b^2+c^2}+1-\frac{bc}{2a^2+bc}\right)\)

Từ đây ta co:

\(VT\le\frac{1}{9}\left(\frac{a^2+b^2+c^2}{a^2+b^2+c^2}+3-\left(\frac{ab}{2c^2+ab}+\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ca}{2b^2+ca}\right)\right)\)

\(VT\le\frac{4}{9}-\frac{1}{9}\left(\frac{ab}{2c^2+ab}+\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ca}{2b^2+ca}\right)\le\frac{4}{9}-\frac{1}{9}=\frac{1}{3}\)

Đúng(0) PN Phan Nghĩa 30 tháng 8 2020

Chứng minh với 3 số thực dương x,y,z ta có : \(\left(x+y+z\right)\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge9\)(*)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(x=y=z\)

Chứng minh được bất đẳng thức \(\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}+\frac{z^2}{p}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{m+n+p}\)(**)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(\frac{x}{m}=\frac{y}{n}=\frac{z}{p}\)

Đặt \(P=\frac{a^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}+\frac{b^2}{5b^2+\left(a+c\right)^2}+\frac{c^2}{5c^2+\left(b+a\right)^2}\)

Áp dụng bất đẳng thức (*) ta có : 

\(\left[\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(2a^2+bc\right)+\left(2a^2+bc\right)\right].\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{2a^2+bc}+\frac{1}{2a^2+bc}\right)\ge9\)

\(\frac{9a^2}{5b^2+\left(b+c\right)^2}=\frac{9a^2}{\left(a^2+b^2+c^2\right)+\left(2a^2+bc\right)+\left(2a^2+bc\right)}\le a^2\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2}{2a^2+bc}\right)\)

Bằng cách chứng minh tương tự ta được :

\(\frac{9b^2}{5b^2+\left(c+a\right)^2}\le b^2\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2}{2b^2+ac}\right)\)

\(\frac{9c^2}{5c^2+\left(a+b\right)^2}\le c^2\left(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{2}{2c^2+ab}\right)\)

Cộng theo vế các bất đẳng thức cùng chiều , khi đó ta có :

\(\frac{9a^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}+\frac{9b^2}{5b^2+\left(c+a\right)^2}+\frac{9c^2}{5c^2+\left(a+b\right)^2}\le1+\left(\frac{2a^2}{2a^2+bc}+\frac{2b^2}{2b^2+ca}+\frac{2c^2}{2c^2+ab}\right)\)

Suy ra \(9P\le4-\left(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ca}{2b^2+ca}+\frac{ab}{2c^2+ab}\right)\)

Mặt khác \(\frac{bc}{2a^2+bc}+\frac{ca}{2b^2+ca}+\frac{ab}{2c^2+ab}=\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{c^2a^2}{2ab^2c+c^2a^2}+\frac{a^2b^2}{2abc^2+a^2b^2}\)

Sử dụng bất đẳng thức (**) ta được :

\(\frac{b^2c^2}{2a^2bc+b^2c^2}+\frac{c^2a^2}{2ab^2c+c^2a^2}+\frac{a^2b^2}{2abc^2+a^2b^2}\ge\frac{\left(ab+bc+ca\right)^2}{\left(ab+bc+ca\right)^2}=1\)

Vậy \(9P\le4-1=3< =>P\le\frac{1}{3}\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)

  Đúng(0) Xem thêm câu trả lời KN Kiệt Nguyễn 5 tháng 5 2020 - olm

Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:

\(\sqrt{\frac{a^3}{5a^2+\left(b+c\right)^2}}+\sqrt{\frac{b^3}{5b^2+\left(c+a\right)^2}}+\sqrt{\frac{c^3}{5c^2+\left(a+b\right)^2}}\le\sqrt{\frac{a+b+c}{3}}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9 4 T tth_new 7 tháng 5 2020

\(\Leftrightarrow\Sigma\sqrt{\frac{3a^3}{\left[5a^2+\left(b+c\right)^2\right]\left(a+b+c\right)}}\le1\)

Theo Am-GM: \(VT=\Sigma\sqrt{\frac{3a^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}.\frac{a}{a+b+c}}\le\Sigma\frac{3a^2}{2\left(5a^2+\left(b+c\right)^2\right)}+\frac{1}{2}\)

Như vậy nó là đủ để chứng minh rằng: \(\Sigma\frac{3a^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}\le1\)

Giả sử \(c=min\left\{a,b,c\right\}\) nó tương đương:

(Gõ Latex, không hiện thì vô thống kê hỏi đáp xem)

Đây là điều hiển nhiên/

PS: Bài này quan trọng là ý tưởng phá căn thôi chứ không có gì khó. Lúc đầu UCT bất đẳng thức cuối cho đẹp nhưng phải xét các TH mệt lắm, chưa rành nên không làm cách đó:D

Đúng(0) T tth_new 7 tháng 5 2020

Chứng minh: \(\Sigma\frac{3a^2}{5a^2+\left(b+c\right)^2}\le1\), cách 2:

Đổi biến sang pqr: (Vô thống kê hỏi đáp xem nếu olm không hiện Latex)

Nếu \(p^2\le4q\) ta cần:

(Hiển nhiên)

Nếu \(p^2\ge4q\) thì cần chứng minh:

(Hiển nhiên)

Từ 2 TH trên ta thu được điều phải chứng minh.

Đúng(0) Xem thêm câu trả lời KS Kudo Shinichi 2 tháng 7 2016 - olm 1) Cho a,b,c>0 tm a+b+c=3. Cmr \(\frac{1}{2+a^2+b^2}+\frac{1}{2+b^2+c^2}+\frac{1}{2+c^2+a^2}\le\frac{3}{4}\)2) Cho a,b,c>0 tm a^2+b^2+c^2 bé hơn hoặc bằng abc. Cmr \(\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ca}+\frac{c}{c^2+ab}\le\frac{1}{2}\)3) Cho a,b,c>0 tm a+b+c<=3. Cmr \(\frac{ab}{\sqrt{3+c}}+\frac{bc}{\sqrt{3+a}}+\frac{ca}{\sqrt{3+b}}\le\frac{3}{2}\)4) Cho a,b,c>0 tm a+b+c=2. Cmr \(\frac{a}{\sqrt{4a+3bc}}+\frac{b}{\sqrt{4b+3ca}}+\frac{c}{\sqrt{4c+3ab}}\le1\)5) Cho a,b,c>0....Đọc tiếp

1) Cho a,b,c>0 tm a+b+c=3. Cmr \(\frac{1}{2+a^2+b^2}+\frac{1}{2+b^2+c^2}+\frac{1}{2+c^2+a^2}\le\frac{3}{4}\)

2) Cho a,b,c>0 tm a^2+b^2+c^2 bé hơn hoặc bằng abc. Cmr \(\frac{a}{a^2+bc}+\frac{b}{b^2+ca}+\frac{c}{c^2+ab}\le\frac{1}{2}\)

3) Cho a,b,c>0 tm a+b+c<=3. Cmr \(\frac{ab}{\sqrt{3+c}}+\frac{bc}{\sqrt{3+a}}+\frac{ca}{\sqrt{3+b}}\le\frac{3}{2}\)

4) Cho a,b,c>0 tm a+b+c=2. Cmr \(\frac{a}{\sqrt{4a+3bc}}+\frac{b}{\sqrt{4b+3ca}}+\frac{c}{\sqrt{4c+3ab}}\le1\)

5) Cho a,b,c>0. Cmr \(\sqrt{\frac{a^3}{5a^2+\left(b+c\right)^2}}+\sqrt{\frac{b^3}{5b^2+\left(c+a\right)^2}}+\sqrt{\frac{c^3}{5c^2+\left(a+b\right)^2}}\le\sqrt{\frac{a+b+c}{3}}\)

6) Cho a,b,c>0. Cmr \(\frac{a^2}{\left(2a+b\right)\left(2a+c\right)}+\frac{b^2}{\left(2b+a\right)\left(2b+c\right)}+\frac{c^2}{\left(2c+a\right)\left(2c+b\right)}\le\frac{1}{3}\)

Giúp mình với nhé các bạn

 

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9 0 HT han takato 6 tháng 11 2016 - olm

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P=\left(5a+\frac{2}{b+c}\right)^3+\left(5b+\frac{2}{c+a}\right)^3+\left(5c+\frac{2}{a+b}\right)^3\)

trong đó a,b,c là số thực dương thỏa mãn điều kiện \(a^2+b^2+c^2=3\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9 2 TN Thắng Nguyễn 6 tháng 11 2016

\(P=\left(5a+\frac{2}{b+c}\right)^2+\left(5b+\frac{2}{c+a}\right)^2+\left(5c+\frac{2}{a+b}\right)^2\)

\(=4\text{∑}\frac{1}{\left(a+b\right)^2}+20\text{ }\text{∑}\left(\frac{a}{b+c}\right)+75\)

\(\ge2\text{∑}\frac{1}{a^2+b^2}+20\cdot\frac{3}{2}+75\)

\(\ge2\cdot\frac{9}{2\left(a^2+b^2+c^2\right)}+105=108\)

Dấu = khi a=b=c=1

Đúng(0) HT han takato 7 tháng 11 2016

bạn dùng cách gì á mình k hiểu ?

Đúng(0) Xem thêm câu trả lời NT Nguyễn Thiều Công Thành 15 tháng 8 2017 - olm đặt \(P=\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}\)\(\Rightarrow...Đọc tiếp

đặt \(P=\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}\)

\(\Rightarrow P-3=\frac{ab}{1-ab}+\frac{bc}{1-bc}+\frac{ca}{1-ca}\le\frac{ab}{1-\frac{a^2+b^2}{2}}+\frac{bc}{1-\frac{b^2+c^2}{2}}+\frac{ca}{1-\frac{c^2+a^2}{2}}\)

\(\le\frac{1}{2}.\frac{\left(a+b\right)^2}{\left(a^2+c^2\right)+\left(b^2+c^2\right)}+\frac{1}{2}.\frac{\left(b+c\right)^2}{\left(a^2+b^2\right)+\left(c^2+a^2\right)}+\frac{1}{2}.\frac{\left(c+a\right)^2}{\left(b^2+c^2\right)+\left(b^2+a^2\right)}\)

\(\le\frac{1}{2}.\left(\frac{a^2}{a^2+c^2}+\frac{b^2}{b^2+c^2}+\frac{b^2}{a^2+b^2}+\frac{c^2}{c^2+a^2}+\frac{c^2}{b^2+c^2}+\frac{a^2}{b^2+a^2}\right)=\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow P-3\le\frac{3}{2}\Rightarrow P\le\frac{9}{2}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9 1 NT Nguyễn Thiều Công Thành 15 tháng 8 2017

cho đề này:

cho a;b;c là các số thực dương thỏa mãn a2+b2+c2=1.CMR:\(\frac{1}{1-ab}+\frac{1}{1-bc}+\frac{1}{1-ca}\le\frac{9}{2}\)

Đúng(0) BN bach nhac lam 19 tháng 10 2019 1. cho \(0< a\le b\le c\) . Cmr: \(\frac{2a^2}{b^2+c^2}+\frac{2b^2}{c^2+a^2}+\frac{2c^2}{a^2+b^2}\le\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\) 2. cho \(a,b,c\ge0\). cmr: \(a^2+b^2+c^2+3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\ge2\left(ab+bc+ca\right)\) 3. \(a,b,c>0.\) Cmr: \(\sqrt{\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)}\ge abc+\sqrt[3]{\left(a^3+abc\right)\left(b^3+abc\right)\left(c^3+abc\right)}\) 4. \(a,b,c0\). Tìm Min...Đọc tiếp

1. cho \(0< a\le b\le c\) . Cmr: \(\frac{2a^2}{b^2+c^2}+\frac{2b^2}{c^2+a^2}+\frac{2c^2}{a^2+b^2}\le\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\)

2. cho \(a,b,c\ge0\). cmr: \(a^2+b^2+c^2+3\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\ge2\left(ab+bc+ca\right)\)

3. \(a,b,c>0.\) Cmr: \(\sqrt{\left(a^2b+b^2c+c^2a\right)\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)}\ge abc+\sqrt[3]{\left(a^3+abc\right)\left(b^3+abc\right)\left(c^3+abc\right)}\)

4. \(a,b,c>0\). Tìm Min \(P=\left(\frac{a}{a+b}\right)^4+\left(\frac{b}{b+c}\right)^4+\left(\frac{c}{c+a}\right)^4\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9 5 T tthnew 11 tháng 11 2019

2/ Không mất tính tổng quát, giả sử \(c=min\left\{a,b,c\right\}\).

Nếu abc = 0 thì có ít nhất một số bằng 0. Giả sử c = 0. BĐT quy về: \(a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Đẳng thức xảy ra khi a = b; c = 0.

Nếu \(abc\ne0\). Chia hai vế của BĐT cho \(\sqrt[3]{\left(abc\right)^2}\)

BĐT quy về: \(\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\frac{a^4}{b^2c^2}}+3\ge2\Sigma_{cyc}\sqrt[3]{\frac{ab}{c^2}}\)

Đặt \(\sqrt[3]{\frac{a^2}{bc}}=x;\sqrt[3]{\frac{b^2}{ca}}=y;\sqrt[3]{\frac{c^2}{ab}}=z\Rightarrow xyz=1\)

Cần chúng minh: \(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xyz+1\ge2\left(xy+yz+zx\right)\) (1)

Theo nguyên lí Dirichlet thì trong 3 số x - 1, y - 1, z - 1 tồn tại ít nhất 2 số có tích không âm. Không mất tính tổng quát, giả sử \(\left(x-1\right)\left(y-1\right)\ge0\)

\(\Rightarrow2xyz\ge2xz+2yz-2z\). Thay vào (1):

\(VT\ge x^2+y^2+z^2+2xz+2yz-2z+1\)

\(=\left(x-y\right)^2+\left(z-1\right)^2+2xy+2xz+2yz\)

\(\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)

Vậy (1) đúng. BĐT đã được chứng minh.

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c hoặc a = b, c = 0 và các hoán vị.

Check giúp em vs @Nguyễn Việt Lâm, bài dài quá:(

Đúng(0) T tthnew 6 tháng 7 2020

Để đưa về chứng minh $(1)$ và $(2)$ ta dùng:

Định lí SOS: Nếu \(X+Y+Z=0\) thì \(AX^2+BY^2+CZ^2\ge0\)

khi \(\left\{{}\begin{matrix}A+B+C\ge0\\AB+BC+CA\ge0\end{matrix}\right.\)

Chứng minh: Vì \(\sum\left(A+C\right)=2\left(A+B+C\right)\ge0\)

Nên ta có thể giả sử \(A+C\ge0\). Mà $X+Y+Z=0$ nên$:$

\(AX^2+BY^2+CZ^2=AX^2+BY^2+C\left[-\left(X+Y\right)\right]^2\)

\(={\frac { \left( AX+CX+CY \right) ^{2}}{A+C}}+{\frac {{Y}^{2} \left( AB+AC+BC \right) }{A+C}} \geq 0\)

Đúng(0) Xem thêm câu trả lời DT Đinh Thị Ngọc Anh 18 tháng 9 2016 - olm

Bài 1: Cho a,b>0. Chứng minh \(\sqrt[3]{\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)}< \sqrt[3]{\frac{a}{b}}+\sqrt[3]{\frac{b}{a}}\)

Bài 2: Cho a,b>0. Chứng minh \(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}\ge\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{a+b}}\)

Bài 3: Cho a,b,c>0. Chứng minh \(\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}+\frac{5c^3-b^3}{bc+3c^2}+\frac{5a^3-c^3}{ca+3a^2}\le a+b+c\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9 0 NT Nguyễn Thiều Công Thành 20 tháng 6 2018 - olm dễ cm \(\frac{9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{4\left(ab+bc+ca\right)}\ge2\left(a+b+c\right)\)\(2\sqrt{a^2-ab+b^2}=2\sqrt{\left(\frac{a^2}{b}-a+b\right)b}\le a^2-a+2b\)từ đó bđt cần cm <=> \(a+b+c\ge ab+bc+ca\)lại...Đọc tiếp

dễ cm \(\frac{9\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{4\left(ab+bc+ca\right)}\ge2\left(a+b+c\right)\)

\(2\sqrt{a^2-ab+b^2}=2\sqrt{\left(\frac{a^2}{b}-a+b\right)b}\le a^2-a+2b\)

từ đó bđt cần cm <=> \(a+b+c\ge ab+bc+ca\)

lại có \(ab+bc+ca+abc\le4\)

\(\Leftrightarrow\left(a+2\right)\left(b+2\right)\left(c+2\right)\le\left(a+2\right)\left(b+2\right)+...\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a+2}+\frac{1}{b+2}+\frac{1}{c+2}\ge1\)

\(\Leftrightarrow\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2}\le1\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2\left(a+b+c\right)}\le\frac{a}{a+2}+\frac{b}{b+2}+\frac{c}{c+2}\le1\)

\(\Rightarrow a+b+c\ge ab+bc+ca\)

=>Q.E.D

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9 0 HD Hoàng Đức Khải 4 tháng 3 2019 - olm

cho \(a,b,c>0\) thỏa mãn \(abc=1\) CMR:\(\frac{1}{\left(2+a\right)\left(2+\frac{1}{b}\right)}+\frac{1}{\left(2+b\right)\left(2+\frac{1}{c}\right)}+\frac{1}{\left(2+c\right)\left(2+\frac{1}{a}\right)}\le\frac{1}{3}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9 0 FS Fire Sky 9 tháng 8 2019 - olm 1) Cho a, b, c > 0. Chứng minh: \(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2\ge\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)2) Cho \(a,b,c\in R\).a) Chứng minh: \(\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\left(c^2+3\right)\ge4\left(a+b+c+1\right)^2\)b) Chứng minh: \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge\frac{5}{16}\left(a+b+c+1\right)^2\)3) Cho \(a,b,c\in R\)Chứng...Đọc tiếp

1) Cho a, b, c > 0. Chứng minh: \(\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\right)^2\ge\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\)

2) Cho \(a,b,c\in R\).

a) Chứng minh: \(\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\left(c^2+3\right)\ge4\left(a+b+c+1\right)^2\)

b) Chứng minh: \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge\frac{5}{16}\left(a+b+c+1\right)^2\)

3) Cho \(a,b,c\in R\)Chứng minh: \(\frac{a^3}{b^2}+\frac{b^3}{c^2}+\frac{c^3}{a^2}\ge\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\)

#Hỏi cộng đồng OLM #Toán lớp 9 3 T tth_new 9 tháng 8 2019

2) Theo nguyên lí Dirichlet, trong ba số \(a^2-1;b^2-1;c^2-1\) có ít nhất hai số nằm cùng phía với 1.

Giả sử đó là a2 - 1 và b2 - 1. Khi đó \(\left(a^2-1\right)\left(b^2-1\right)\ge0\Leftrightarrow a^2b^2-a^2-b^2+1\ge0\)

\(\Rightarrow a^2b^2+3a^2+3b^2+9\ge4a^2+4b^2+8\)

\(\Rightarrow\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\ge4\left(a^2+b^2+2\right)\)

\(\Rightarrow\left(a^2+3\right)\left(b^2+3\right)\left(c^2+3\right)\ge4\left(a^2+b^2+1+1\right)\left(1+1+c^2+1\right)\) (2)

Mà \(4\left[\left(a^2+b^2+1+1\right)\left(1+1+c^2+1\right)\right]\ge4\left(a+b+c+1\right)^2\) (3)(Áp dụng Bunhicopxki và cái ngoặc vuông)

Từ (2) và (3) ta có đpcm.

Sai thì chịu

Đúng(0) T tth_new 9 tháng 8 2019

Xí quên bài 2 b:v

b) Không mất tính tổng quát, giả sử \(\left(a^2-\frac{1}{4}\right)\left(b^2-\frac{1}{4}\right)\ge0\)

Suy ra \(a^2b^2-\frac{1}{4}a^2-\frac{1}{4}b^2+\frac{1}{16}\ge0\)

\(\Rightarrow a^2b^2+a^2+b^2+1\ge\frac{5}{4}a^2+\frac{5}{4}b^2+\frac{15}{16}\)

Hay \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\ge\frac{5}{4}\left(a^2+b^2+\frac{3}{4}\right)\)

Suy ra \(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge\frac{5}{4}\left(a^2+b^2+\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+c^2+\frac{1}{2}\right)\)

\(\ge\frac{5}{4}\left(\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}c+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{5}{16}\left(a+b+c+1\right)^2\) (Bunhiacopxki) (đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\)

Đúng(0) Xem thêm câu trả lời Xếp hạng Tất cả Toán Vật lý Hóa học Sinh học Ngữ văn Tiếng anh Lịch sử Địa lý Tin học Công nghệ Giáo dục công dân Âm nhạc Mỹ thuật Tiếng anh thí điểm Lịch sử và Địa lý Thể dục Khoa học Tự nhiên và xã hội Đạo đức Thủ công Quốc phòng an ninh Tiếng việt Khoa học tự nhiên

• Tuần
• Tháng
• Năm

• MN Mai Ngọc Phong 2 GP
• PT Phạm Thị Minh Phương 2 GP
• PD Phạm Duy Kiên 2 GP
• HN Hiền Nguyễn Thị 2 GP
• NT Nguyễn Thị Minh Hằng 2 GP
• TT Trần Thị Hồng Giang 0 GP
• NV Nguyễn Vũ Thu Hương 0 GP
• HA Hải Anh ^_^ 0 GP
• VD vu duc anh 0 GP
• TQ Trương Quang Đạt 0 GP

Học liệu Hỏi đáp Link rút gọn Link rút gọn Để sau Đăng ký

Các khóa học có thể bạn quan tâm

× Mua khóa học Tổng thanh toán: 0đ (Tiết kiệm: 0đ) Tới giỏ hàng Đóng ×

Yêu cầu VIP

×

Học liệu này đang bị hạn chế, chỉ dành cho tài khoản VIP cá nhân, vui lòng nhấn vào đây để nâng cấp tài khoản.