Full Text Of "Phương Pháp Trắc Nghiệm Hình Học Giải Tích Mặt ...

Có thể bạn quan tâm

Ask the publishers to restore access to 500,000+ books.

Hamburger icon An icon used to represent a menu that can be toggled by interacting with this icon. Internet Archive logo A line drawing of the Internet Archive headquarters building façade. Web icon An illustration of a computer application window Wayback Machine Texts icon An illustration of an open book. Texts Video icon An illustration of two cells of a film strip. Video Audio icon An illustration of an audio speaker. Audio Software icon An illustration of a 3.5" floppy disk. Software Images icon An illustration of two photographs. Images Donate icon An illustration of a heart shape Donate Ellipses icon An illustration of text ellipses. More Donate icon An illustration of a heart shape "Donate to the archive" User icon An illustration of a person's head and chest. Sign up | Log in Upload icon An illustration of a horizontal line over an up pointing arrow. Upload Search icon An illustration of a magnifying glass. Search the Archive Search icon An illustration of a magnifying glass.

Internet Archive Audio

Live Music Archive

Librivox Free Audio

Featured

All Audio
Grateful Dead
Netlabels
Old Time Radio
78 RPMs and Cylinder Recordings

Top

Audio Books & Poetry
Computers, Technology and Science
Music, Arts & Culture
News & Public Affairs
Spirituality & Religion
Podcasts
Radio News Archive

Images

Metropolitan Museum

Cleveland Museum of Art

Featured

All Images
Flickr Commons
Occupy Wall Street Flickr
Cover Art
USGS Maps

Top

NASA Images
Solar System Collection
Ames Research Center

Software

Internet Arcade

Console Living Room

Featured

All Software
Old School Emulation
MS-DOS Games
Historical Software
Classic PC Games
Software Library

Top

Kodi Archive and Support File
Vintage Software
APK
MS-DOS
CD-ROM Software
CD-ROM Software Library
Software Sites
Tucows Software Library
Shareware CD-ROMs
Software Capsules Compilation
CD-ROM Images
ZX Spectrum
DOOM Level CD

Texts

Open Library

American Libraries

Featured

All Texts
Smithsonian Libraries
FEDLINK (US)
Genealogy
Lincoln Collection

Top

American Libraries
Canadian Libraries
Universal Library
Project Gutenberg
Children's Library
Biodiversity Heritage Library
Books by Language
Additional Collections

Video

TV News

Understanding 9/11

Featured

All Video
Prelinger Archives
Democracy Now!
Occupy Wall Street
TV NSA Clip Library

Top

Animation & Cartoons
Arts & Music
Computers & Technology
Cultural & Academic Films
Ephemeral Films
Movies
News & Public Affairs
Spirituality & Religion
Sports Videos
Television
Videogame Videos
Vlogs
Youth Media

Search the history of more than 1 trillion web pages.

Search the Wayback Machine Search icon An illustration of a magnifying glass.

Mobile Apps

Wayback Machine (iOS)
Wayback Machine (Android)

Browser Extensions

Chrome
Firefox
Safari
Edge

Archive-It Subscription

Explore the Collections
Learn More
Build Collections

Save Page Now

Capture a web page as it appears now for use as a trusted citation in the future.

Enter a URL to save

Please enter a valid web address

About
Blog
Events
Projects
Help
Donate
Contact
Jobs
Volunteer

Search metadata Search text contents Search TV news captions Search radio transcripts Search archived web sites Advanced Search

About
Blog
Events
Projects
Help
Donate Donate icon An illustration of a heart shape
Contact
Jobs
Volunteer

Full text of "Phương Pháp Trắc Nghiệm Hình Học Giải Tích Mặt Phẳng Và Không Gian Mộng Hy, Thế Cấp"

See other formats

KIÊN SQậi HEO CHOƠNG TRÌNH TOÁI II co BẲN VÀ (Tải bản lần thứ tư) • NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM VECTOT 1. Các định nghĩa a. Vectơ ® Vectơ là một đoạn thắng định hướng. © Cho đoạn thắng AB, ta đưọc hai vectơ AB và BA . b. Vectơ cùng phương - Vectơ cùng hướng ® Giá của một vectơ là đương thắng đi qua điểm đẩu và điểm cuối của vectơ đó. © Hai vecto' cùng phương nếu giá của chứng song song hoặc trùng nhau (cồn gọi là hai vectơ song song). ® Khi hai vecto' đã cùng phương, nếu chiều hướng từ gôc đến ngọn của hai vectơ 'đó giông nhau, ta bảo hai vectơ cùng hướng ; truồng hợp ngược lại, ta gọi là nguợc hướng. — ỳ. —■> —> á và b cùng hưóng a và b ngược hướng Không so sanh đươc hướng của a và b Co Độ dài của vectơ T> ^ ,1 \ ^ J J ...... Ị\ "T O" IV’ .--ĩ.-..-,...-, J _ X v .4A,- © ỷ ị ị) (Xcii cua 1X10 L VOCLƠ Ici CIO aai cuầ CIO a 11 hiiaii^ co iicii ũdũ là hai đầu mứt của vectơ đó. © Độ dài của vectơ AB kí hiệu là IabI hoặc AB. • Vectơ đon vị là vecto- có độ dài bằng 1. do Hai vectơ hằng nhau, dôi nhau ® Hai vecto' bằng nhau nếu chứng cùng hướng và có độ dài bằng nhau. © Hai vectơ đối nhau nếu chúng ngược hướng và có độ dài băng nhau. e. Vectơ- không ® Vecto- - không, kí hiệu 0, là vecto có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. © Vecto- - không có độ dài bằng 0. 2. Phép công, phép trừ hai vectơ a. Phép cộng hai vectơ © Cho hai vectờ a và b, từ điểm A tuỳ ý, vẽ AB — a và BC = b. Vectơ AC là vectơ tống của hai vecto' a và b . • Kí hiệu :ÃC = a + b = ÃB + BC. bo Tính chất của phép cộng vectơ Vói mọi vectơ a, b, c : • a + b = b + a (tính giao hoán). © (a + b) + c = a 4- (b + c) (tính kết họp). ® a + Ô = Ổ + a = a (tính chất vecto; - không). 4 c. Phép trừ hai vectơ Cho hai vectơ a và b. Phép trừ của a cho b là phép cộng của a vói vecto đối của h . a — b — a + (—b). 3. Phép nhân một sô vói một vectơ a. Định nghĩa Cho sô k 0 và vectơ a SÉ õ . Tích của sô k vói vectơ a, kí hiệu ka là vecto- b sao cho : © b cùng hướng vói a nếu k > 0 , © b ngược hướng vói a nêu k < 0 , © |b| = |k||a|. b. Tính chất phép nhân một sô với một vectơ Vói mọi vectơ a, b và mọi sô m, p ta có : © m(a + b) — ma + mb . © (m + p)a = ma + pa . © m(pa) = (mp)a . • (l)a = a, (—l)a = —a. © (0)a = õ , (m)Õ = õ. c. Điều kiên đê hai vectơ cùng phưong Cho hai vectơ a và b vói b ^ 0. a và b cùng phưong & 3k : a = kb . 4. Các quy tắc về vectơ a. Quy tắc hình hình hành ÃB = DC ABCD là hình bình hành 4=> b. Quy tắc ba điểm Vói ba điểm A, B, c bất kì ta có : ÃB + BC = ĂC ÃB - Ãc = CB. AB 5 c. Ouv tắc trung diêm M là trung điếm đoạn AB và o là điểm tuỳ ý, ta có : B. CÁC DẠNG TOÁN PUỈHAU Phưxmg pháp Để chứng minh hai vectơ bằng nhau, hai vectơ đôi nhau, ta có thể sử dụng định nghĩa và quy tắc hình bình hành. Ví dụ 1. ABCD và ABHK là hai hình bình hành (hbh) tuỳ ý trong mặt phang. Chúng minh : CH = DK . Giải ABCD là hbh => ÃB = DC — —í => DC = KH ABHKlà hbh => AB = KH =>• DCHK là hbh => CH = DĨ?. Vẫ dụ a. Gọi M là trung điểm cạnh BC của AABC và H là trung điểm của AM. BH cắt AC tại E. Chứng minh 2ÃE = Ẽc. 6 Giẩi A và Kẻ MF // BE. ABEC : FE = FC Ị ^ AE _ EF AAMF : EA = EFI Các vectơ ÃẼ,ẼF,FC cùng cùng độ dài nên bằng nhau. Vậy 2ÃẼ = Ẽc, c Vá dụ 3. Cho AABC nội tiếp trong đương tron tậm o. Gọi AD là đường kính đương trồn và H là trực tâm tam giác. HD gặp BC tại M. Chứng minh BH = DC và AH = 20M. Giải BH // DC (cùng vuông góc vói AC). CH // BD (cùng vuông góc với AB). Vậy BHCD là hbh => BH = DC. AAHD có OM là đương trung bình, nên 2ÕM = ÃH. Dạng 2. CHÍmiE MINH MỘT ĐANG thút VEETO* Phưong pháp © Sử dụng các quy tắc vectơ, biên đôi vệ phức tạp vê vê đon giản. ® Cũng có khi biên đổi cả hai vê cho ra cùng chung một kêt qua. © Có thể sử dụng phép tương đương dân đên một mệnh đê đung. Ví dụ 1 . Cho hình bình hành ABCD. Chứng minh : ÃB + Ãc + ÃD = 2ÃC . Giải Ta thực hiện phép biến đổi vê trái thành vê phải :_ AB + AC + AD = AB + AĐ + AC = AC + AC = 2AC . ÃC Ví dụ a. Cho bôn điểm A, B, c, D. Chúng minh : A K — ị . j J — ai^ : J J ' ( ) QiẬị Ta có : (*) ÁẾ + mJ = ÃC + CD <=> ÃD = ÃD (đúng). ÃD ÃD Vậy (*) được chứng minh. VỂ dụ 3. Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N là trung điểm các cạnh AB và CD. Chứng minh : 2MN = ÃC + BD = BC + Ã5. Giải AMCD : 2MN = MC + MD. (1) Ta có : ÃC + BD = ẬM + MC + BM + MD = AM + BM + MC + MD õ = MC + MĨ5. (2) Từ (1) và (2) suy ra : 2MN = ÃC + BD. Tưong tự : BC + ĂD = BM + MC + ÃM + MD = MCịMD. Suy ra điều phải chứng minh (đpcm). Vẫ dụ 4. Cho tam giác ABC vói ba trung tuyến là AM, BN, CQ. Chứng minh AM + BN + CQ = õ. Giải ãm + bn + cq = ỉ[(ãb + ãc) + (ba + bc) + (ca + cb)Ị ÃB + BA + Ãc + CA + BC + CB n õ ì 0 = 0. 8 Dạng 3. CHLmiG MBIMH BA ĐIEM THANG HẢNG Phuong pháp A, B, c thẳng hàng 4A AB cùng phương vói AC <=> AB = kAC (k ^ 0). Vi dụ 1. Cho AABC có trung tuyến AD. Gọi M là trung điểm của AD. Xét ■điểm N cho bởi Ãc = 3ÃN. Chứng minh B, M, N thẳng hàng. Giải ABAD : BM = t(BA + BD) 2 Abấ+Ịbc 2 4 = ỈBÃ+Ị(ÃC-ÃB) 2 4 = ỉặc_Ịãb. 4 4 AABN : BN = ÃN-ÃB = ỈÃC-ÃB=>ậBN = ỈÃC-|ÃB. (2) 3 4 4 4 Từ (1) và (2) ta có:BM^BN^B, M, N thẳng hàng. 4 Ví dụ a. Cho tứ giác ABCD. Gọi G là trọng tâm AABC và o là trung điểm cạnh BC. Vẽ OM = -^DA. Chứưg minh D, G, M thẳng hàng. Giải Vì G là trọng tâm AABC nên DẴ + DB + DC = 3DG. (1) Gọi E là giao điểm của AM và DO thì OM là đưong trung A 9 bình của AEAD. /\ ị 1 jưf ' . i 1 I j j_ 1 w' 'i .. O Ị~w \ _ ADAF, • TAA 4- ĨỸF - 2DM DÃ + DB + DC — 2DM (2) Từ (1) và (2) cho ta : 3DG = 2DM . Vậy D, G, M thẳng hàng. Vi dụ 3. Cho AABC. Xét hai điểm M, N định bơi MA + 3MC = õ và NA + 2NB + 3NC = õ . Chúng minh B, M, N thẳng hàng. Giải MA + 3MC = õ ^ AM = 3MC ĂM_MC_ÃM + MC Ãẽ 3 ~ 1 4 ~~ 4 ~ => ÃM = — Ãc. 4 AABM: BM = ĂM - ÃB = tÃC-ÃB. 4 Xét điểm I mà IB + 2IC = õ A định. Gọi G Ta trọng tâm AABC . õ = NÃ + 2NB + 3NC = (nã + NB + ĩĩc) + NB + 2NC ■ = 3NG + NÌ + ĨB + 2 (NÍ + ĨC) =3NG + 3M + ỊB + 2ĨC = 3(NG + NỈ) = 6NO. Vậy N = o (với o là trung điểm đoạn IG). ABIN: BN = BT + ĨN = -BC + ÌĨG = -(ÃC-ÃB) + - -CA 3 ' 2 3 \ 2 3 = -=-AC --^AB. 2 3 Suy ra : ậBN = -ệÃC-ÃB. (2) 2 4 ; 10 Từ (1) và (2) : BM = -|ẽÍN. Vậy B, N, M thẳng hàng. 2 Oạng 4. TÌM TẬP HỢP ĐlEM Phưtmg pháp © Các dạng tập hợp điểm cơ bản : Cho AABC cô" định. 1) BM = kBC (k thay đổi) : Tập hợp điểm M là đương thẳng BC 2) ÃM = kBC (k thay đổi) : Tập hợp điểm M là đường thẳng (A) qua A và (A) // BC. 3) IbmI = |cm| : Tập họp điểm M là đương trung trực của BC. 4) |Ãm| = R (R không đổi) : Tập họp điểm M là đương tron (A,R). @ Dùng các quy tắc vectơ đưa quan hệ vectơ đã cho vê các dạng cơ bản trên. ® Đôi khi ta phải đưa vào bài toán các điểm cô định I, J thích hợp để dùng làm điểm cô" định đóng vai trồ A, B, c ơ các dạng cơ bản. Vá dọ 1 - Cho AABC . Tìm tập họp các điểm M thoả : MA + 2MB - MC = kBC (k là sô" thay đổi, k ^ 0 ). e Giải MA + 2MB - MC = kBC MA + MB + MB - MC = kBC ^ 2MỈ + CB = kBC (I là trung điểm của AB) _ 1 4_ k ^ IM = CB 12 I <=> IM cùng phưong CB (cô định). 11 Tập họp điểm M là đương thẳng (A) qua I và (A) // BC (tức |o rị 1 yryỴ) O' T Ỵ’ỊJ T*ì O' hìi Tì ỉ'| UTÌvT V 01 f n M h ị ì ( 1 J \ỉi rim 3 Ptn fiT rri Ố n A_ p p TA Tìvvi Ỷ fÌỴ) h CTÌ f*4 ~ -U A'7' "lyr -f p ~ " - MA + MB + MC = kMD với k là một sô' thay đổi khác 0 và khác 3. Giải Goi G là trọng tâm của AABC thì G cô' định. Theo tính chất trọng tâm MA + MB + MC = kMD 4* 3MG - kMD 3(MD + DG) = kMD o DM = A— DG (do k = 3). 3 - k Tập hợp M là đương thẳng DG. VI dụ 3. Cho A, B cô định. Tìm tập họp các điểm M thoả |2MẤ + 3M§| = 5. Giải Xét điểm I : 2ĨÃ + 3ĨB = õ 00 A = — = — I IA = — -3 2 5 5 ĨĂ = -pÃB 0 =ỉ> I cô' định. ĨB = -§ÃB 5 Ta có : |2MẨ + 3MẼ| = 5^ |2(MĨ + ĨẴ) + 3(MĨ + ĨB)| = 5 Ỉ5MỈ + 2ĨẤ + 3ĨbỊ = 5 ■U |Ĩm| = 1 . õ Tập họp các điểm M là đường tròn (I, 1) vói I chia đoạn AB theo tỉ sô' —3/2. Vẩ dụ 4. Cho tứ giác ABCD. Tìm tập hợp các điểm M thoả I 2MA + 3MỖ| = ỊmỖ + 4Md| . (*) 12 Giải Xét hai điểm I, J cho bòi : 2IA + 3IB = õ ^ IA = - 2 IB => I, J cố định. JC + 4JD = Õ JC = -4JD (*)<£> |2(MĨ + IA) + 3(MI + IB)| = |m.J + JC + 4(MJ + JD)| |5MĨ + 2ĨA + 3ĨBÌ = |õMJ + JC + 4 Jd| |im| = I Jm| 0 ỏ Tập hợp điểm M là đương trung trực đoạn IJ. & c. BÀI TẬP Bài 1. Cho hình bình hành ABCD, tâm o. Gọi M là trung chem í cạnh BC. AM cắt BD tại H. 1) Tính vectơ tổng HA + HB + HC . 2) Gọi K đôi xứng của H qua o. Chúng minh BH-HK = ĨÕ3. Tìm quan hệ điểm K đôi vói tam giác ACD. Bài a. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, G, H là trung điểm bốn cạnh AB, BC, CD, DA ; M, N là trung điểm hai đưồng chéo BD, AC và o là trung điểm của EG. Chủng minh . 1) ÃB + CD = ÃD + CB . . 2) ÃB + CD = 2NM . 3) ÃB + ÃC + ÃD = 4ÃG và ÕA + ÕB + oc + OD = õ . 4) ÕH + ÕF = õ và ÕM + ÕN = õ. Kết luận về quan hệ ba đoan thẳng EG, FH, MN ? Bài 3. Cho AABC . Xét hai điểm M, N đinh bơi MA + MB = 0 và NC = -2NA. Gọi E, F là trung điểm của MN và BC. Chúng minh : EF = — AB + — AC. 4 3 Bài 4. Cho hai đường tron bằng nhau, tâm o, o tiêp xúc ngoai 13 tại I. Gọi A và Ạ' là hai điểm đốì xứng của I qua 0 và cy. iVivỹiN V <n í'j X ị jp ! y\ nyĩ QLT0T1Í-? u 1*11 IIP Ỉ3ITÌ h i“li y y G] ì y ĩ-^r- 5 -ị đương tròn. Xác định vectơ tống : ĨM + ĨN + ĨE + ĨF . Bải 5 = 1) Gọi G và G' là trọng tâm các tam giác ABC và ATTƠ Chứng minh : AA’ -h BB ; + cc 1 = 3GGT . 2) Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, p, Q, R, s lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC/CD, DE, EF, FA. Chúng mmh hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm. Bài e. Cho AABC có trung tuyến AD. Xét hai điểm M, N cho bồi AM = - AB và AN = — AC . Tìm điểm H e AD sao cho M, H, N thang hàng. Bài 7 . Cho hình bình hành ABCD. Gọi M chia đoạn CB theo tỉ số 1 - m. N chia đoạn DB theo tỉ số : -m (m^o.mí-í). Chúng minh A, M, N thẳng hàng. Bài 8. Cho AABC . Xét ba điếm M, N, p thoả : MB = 3MC ■ NÃ = -3NC PA + PB = õ. Chứng minh M, N, p thẳng hàng. Bài 3 . Cho AABC cố định. Tìm tập hợp các điểm M thoả : 1) MA + kMB = kMC. 2) MA + (1 - k)MB + (1 + k)MC = 0. 3) MA + (1 - k)MB - kMC = õ. 4) MA + 2MB + 3MC = kBC. 5) MA* — 2MB 4- 4MCÍ = lỉ-RTÌ (k là sô' thay đổi). Bài ĩ o.Cho AABC . Tìm tập hợp các điềm M thoả : 1) 2|ma + mb+mc| = 3|mb + mc . 14 Bài 1 Bài 2) |MA + MB - 2MC| = |MB + MC|. 3) |ma+mb-mc| = Imẩ-mb-mc|. 4 ) |MC + 2 MẼ| = |mẤ + 2 Mc|. 5) ImC - 2Mb| = ImĂ - 2MỖ|. LỜI GIẢI - 1) Ta CÓ o, M là trung điểm hai cạnh AC và BC nên H là trọng tâm của AABC, suy A ’ £) ra : HA + HB + HC = õ . (1) 2) AHCK là hình bình B • hành nên ta có : ÃH = KC CK // AM => HM là đương trung bình của ABCK . Do đó : BH = ĨĨK . (2) Hai tam giác bằng nhau : ABCK = ADAH (c.g.c) => BK = HD => HK = KD =Í>HK = KD. (3) Từ (2) và (3) suy ra đpcm. Mặt khác : (1) 4*0 = CK+DK+ÃĨỈ oKC + KD + KÃ = Õ. Vậy K là trọng tâm tam giác ACD. ». 1)ÃB + CD=ÃD + DB + CB + BD = AD + CB + DB + BD () = ÃD + CB. 2) 2NM = NB + ND = t(ÃB + CB + ÃD + CD) 2 = ị(ÃB + CD + CD + DB + ÃB + BD) 2 = ị(2ÃB + 2CD + DB + BỘ) = ÃB + CD 9 '-r- ỵ ^ () 15 3) AB = 2AE V..V ~j~ t\LJ £'/ĨLĩ AB + AC + AD = 2(AE + AG) = 4 AO. OẤ + ÕB = 2ÕE ÕC + ÕD = 2ÕG ÕA + ÕB + Õc + ÕD = 2(ÕE + ÕG) = 0 . 0 4) Ap dụng định lí đưồng trung' bình : A ADB: HE = ~DB _. f, =4> ĨĨE = GF <=> HEFG là hbh. ACDB:GF = tDB 2 j Mà OE + OG = õ nên OF + OH = õ. Chứng minh tương tự : EMGN là hbh => ÕM + ÕN = õ . Vậy EG, FH, MN đồng quy tại trung điểm o của mỗi đường. Bài3. ẼF = ÃF-ẪẼ = EãB + Ãc-(ÃM + ÃN)' 2 - — = 1 ÃB+ÃC-ỈÃB-ẬÃC 2[_ 2 3 = o gAB + ~AC =4 aB + ÌAG-.- ^ 2V2 3 J 4 3 • ■ Bài 4. Vì IA và MN là hai đương kính của đương tron (O) nến IMAN (và cả IE A' F) là hình chữ nhật (có 3 góc vuông). Ta có : IM + IN + IE + IF = IA + IA 1 = õ (do hai đương tron bằng.nhau). Bài 5. 1) AA'+ BB'+ CC' = GAGÃ + GBGB + GCGC = GA'+ GB'+ GC(GA + GB-f GC) = GG'+G 7 Ã : + GG’ + G t B' + GG' + G t C' = 3GG' + (TÃ/ + CÕB' + GÃT = 3GG '. 0 16 2) MN + PQ + RS = Ỉ(AC + CE + EẠ) = õ 2 v - V ' Theo câu 1) gọi G, G' là trọng tâm của hai tam giác MPR và NQS thì : õ = MN + PQ + RS = 3GGT' oG' = G. Vậy hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm. Bài E. A, H, D thẳng hàng o AH = kAD . Yêu cầu bài toán chuyển thành tìm k để M, H, N thẳng hàng. Ta có : MN = AN -am = Ìac- ỈAB. (1) 4 2 MH = AH - AM = k AD - 4ãb. (2) 2 M, H, N thẳng hàng MN = pMH Ị Ãc - ị ÃB = pkÃD -ị pÃB. 4 2 2 & Ãc + 2{p - 1)ÃB = 2pk(ÃB + ÃC) (2p — 2 — 2pk)AB = (2pk - 1)AC 3 í 2p — 2 — 2pk = 0 p 2 ^[2pk-l = 0 ^ k = 1 3 Vậy : ÃH = |ãD , MN = |mIỈ hay M, H, N thẳng hàng. Bài 7. Ta có : MC = (1 - m)MB o BC - BM = (m - 1)BM oBC = mBM. (1) ND = -mNB o BD - BN = mBN o BD = (m + 1)BN. (2) Từ (1), (2) :MN = BN -BM = —k~BD- —BC ' m +1 m = —t—(BC + CD)- —BC= mCD ~ BC (3) m + 1 m m(m + l) 2- H.HỌC 10 17 Mătkh ác: AM = AR -Ị- BM = nr, -I- — rer, = -H 1 - 00 + BC ITÌ m n . i5V ... ĨTT _ mCD-BC Từ (3), (4) : MA = (m + 1)MN <4- A, M, N thẳng hàng. Bải 8. PM = PB + BM = 4 ãẽ + ~BC = ẬãB + Ệ(ÃC - ÃB) 2 2 2 2 = — AC - AB (1) 2 PN = PA + AN = - -t AB + -AC. (2) 2 4 Từ (1), (2) suy ra PM = 2PN. Vậy p, N, M thẳng hàng. Bài'9. 1) MA + kMB = kMC o MÃ = k(MC - MB) = kBC. Tập hợp điểm M là đuờng thắng (Aj) qua A và (A ] )//BC. 2) MẨ + (1 - k)MB + (1 + k)MC = õ <4 MA + MB + MC + k(MC - Mb) = õ 3MG + kBC = õ (G là trọng tâm AABC) 44GM = ặẼC. 3 Tậ,p hợp điếm M là đương thẳng (A 2 ) qua trọng tâm G và (a 2 )//bc. 3) MA + (1 — k)MB -kMC = õ <f4MA + MB-k(MB + MC) = Õ 2MI - 2kMJ = õ (I là trung điểm AB, J là trung điểm BC) MĨ = kMJ . Tập hơp điểm M là đương thẳ ng u : đó là đương trung bình của tam giác úng vói đỉnh B. 4) MA + 2MB + 3MC = MA + MB + MC + MB -k 2MC 3MG = 3MG + MB + 2MC (G là trọng tâm tam giác). 18 Xét điểm I thoả : IB + 2IC = õ (I cô định). Ta có : 3MG + MB + 2MC = 3MG + MỈ + ĨB + 2 (mỉ + ĩc) = 3MG + 3MÌ + !b + 2ĨC = 3(mG + MĨ) 0 = 6M0 (O là trung điểm của IG). Vậy : MA + 2MB + 3MC = kẼe ^ 6M0 = kBC. Tập hợp điểm M là đương thẳng (A) qua o và (A)//BC. 5) Xét điểm I : IB — 2IC thì I cố định. MA - 2 MB + 4MC = MA - 2(mỉ + ĩ§) + 4 (mỉ + ĩc) =-MA + 2MÌ- 2ĨB + 4ĨC . 0 Xét điếm J : JA + 2JI = õ thì J cô định. Ta có : MÃ - 2MB + 4MC = MA + 2MĨ = MJ + JÃ + 2(MJ + JĨ) = 3MJ + JA + 2JĨ . Do đó : MA - 2MB + 4MC = kBC 3MJ = kBC. Tập họp các điểm M là đương thẳng (A) qua J và (A)//BC. Bài 10.1) 2 |mA + MB. + Mc| = 3|mB + MC| <^2|3MG|-3|2Ml| ^ImgUImĩI. (G là trọng tâm tam giác, I là trung điểm BC). Tập họp điểm M là đương trung trực đoạn GI. 2) |mẤ + MB - 2Mc| = |SĨB + Mc| ^ MA — MC + MB — MC = I 2 M 1 I (I là trung điểm của BC) <=> jcA + CbỊ = 2|mi| <í=> |mi| — |cj| (J là trung điểm của AB) Tập hợp điểm M là đương trồn (I, CJ). 3) |ma + MB - MÕ| = Ima - MB - Mcl ỊMA + MB + MC - 2 MC| = Ỉ 2 MÃ - (ma + MB + Mc)| «• Ỉ3MG - 2 MC| = I 2 MĂ - 3MG|. ’ (*) 19 Xét 2 điểm I, J cho bải : 3ĨG = 2ĨC và 2 JA = 3JG . ( *) 4=h3 (mỉ + IG) — 2 (mi + ic)| — Ì2 (m j + JA ) — 3 (mJ + JGr)| liv ỉtt C\T T/"il ! n /r T ri! T A r» T s~^ \ ịivxi ~i~ uiU — — ị—ÀYĩẹi ~r~ Zjf_i ị V — ù rj v_ỵ ị I, J cô" định. Tập họp điểm M là đương trung trực đoạn IJ. 4) Xét I và J cho bới : ĩc + 2ĨB = õ JA + 2JC = Õ |MC + 2MB| = |mẤ + 2MÕ| o |mỉ + ĩc + 2 (mĩ + ĩb)| = |mj + JẨ + 2(mj + Jc)| |3MĨ + !c + 2ĨBỈ = |3MJ + JẤ + 2JC| •*> ImỉI = |mj| Tập hợp điểm M là đương trung trực đoạn IJ. ĩc = 2ĨB 5) Xét: => I, J Cố định. JA = 2 JCj ImC - 2MẼ| = ImẤ - 2Mc| |(mỉ + ĩc) - 2 (m! + Ĩb)| = |mj + JÃ - 2(MJ + jc)| |-MĨ + ĨC- 2 ĩb| = |-MJ + JA - 2 jc| |m!| = |mj| Tập hợp điểm M là đưồng trung trực đoạn IJ. D. BÀS TẬP Tự LUYỆM Bai 1. Cho bôn điểm A, B, c, D tuỳ ý. 1) Chứng minh : a) ÃB + CD = ÃD + CB . b) ÃB - Ỡ5 = Ãc - Ẽ5. 2) M, N là trung điểm của AB và CD. Gọi o là trung điểm của MN và I là điểm tuỳ ý. Chứng minh : a) ÕA + ÕB + ÕC + ÕD = Õ. 20 b) IA + IB + IC + ID = 4IO. Bải a. Cho AABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABMN, BCEF, CAHK tuỳ ý. Chứng minh : FM + NỀ + KE = õ . Bài 3. Cho hình bình hành ABCD tâm o. Gọi M là điểm tuỳ ý. Chứng minh :• 1 ) ÕA + ÕB + Õc + ÕD = õ . 2) MA + MB Hr MC + MD = 4MO. Bài 4- Gọi M, N, p là trung điểm các cạnh BC, CA, AB của AABC. Chứng minh hai tam giác ABC và MNP cùng trọng tâm. Bài 5 . Cho AABC. Xét hai điểm I, J cho bồi IA = 2IB và 3 JA + 2 JC = õ. 1) Tính IJ phụ theo AB, AC. 2) Gọi G là trọng tâm AABC. Chúng minh I, G, J thăng hàng. Bài 6 . Cho AABC có M là trung điểm cạnh BC và o là trung , . _ >2 — điểm của AM. Xét hai điểm I, J định bơi : AI = ~ AB và 3 AJ = — AC . Chúng minh I, o, J thẳng hàng. 5 Bài 7. Cho AABC cô" định. Tìm tập hợp điểm M thoả : 1) MA + kMB + kMC = õ. 2) 2MA + (3 - k)MB + kMC = õ . 3) 2MA-(l + k)MB-3kMC = Õ (k thay đổi). Bài 8. Cho AABC. Tìm tập hợp điểm M thoả : 1) |mc + 3Mb| = |ma + 3mc|. 2) |2MA + M§| = |4MB - Mỗ!. 3) |4MẤ + MB + Mc| = | 2 MẤ - MB - Mcl . 21 Bài 9. Cho tứ giác ABCD cô định. í j Di ) DO cỉ 1 n h rị 1 nm I 1 * h no • ’/■ 8 /> I ĩ s—<r I ĩ s ‘ — í' ỉ b) Tìm tâp hop các điểm M : I 2 MA + MB + Mcl ■= 2. 2) Tìm tâp họp các điểm N, p, Q, R thoả : a) NA + NB + NC = ND . b) PA- 2PD = 2PC - PB . c) Iqa + 2Q§| = Iqc + 2Qd| . d) |ra t 3Rb| = Irc — 5Rd| . Bài ÍO. Chứng minh trong mọi hình thang, giao điểm của hai cạnh bên và trung điểm các cạnh đáy thì thẳng hàng. Bài 1 . Sử dụng quy tắc ba điểm và quy tắc trung tuyến. Bài a. sử dụng quy tắc ba điểm và quy tắc hình bình hành. Bài 3. Sử dụng quy tắc trung điểm và quy tắc trung tuyến. Bài 4. Su dụng quy tắc ba điểm và quy tắc trọng tâm. Bài 5. Ị) ĨJ = |ãC - 2ÃB. ; 5 2) Tính ĨG = 4(ÃC —5 Ãb). 3 Yêu cầu bài toán tuong đưong với 5IJ = 6IG . Bài B. Yêu cầu bài toán tucrng đuong vói 151J = 2410 . Bài T. 1) Tập hợp điểm M là đuơng trung tuyến AD của AABC. 2) Tập hợp điểm M là đuơng thẳng (A) qua I và (A)//BC với I, điểm chia đoạn AB theo tỉ sô —3/2. 3) Xét hai điểm cô" định I, J cho bơi : Í2ĨA-ĨB = Õ IJB + 3JC = õ. 22 Tập hợp điểm M là đưồng thẳng IJ. eài 8. 1) Gọi I, J là trung điểm của CB và CA ; E, F là trung điểm của BI và CJ. Tập họp điểm M là đương trung trục (A) của EF. 2) Gọi I, J cho bòi : • 2ĨA + ĨB-Õ 4JB — JC = õ. Tập hợp điểm M là đương trung trực của đoạn IJ. 3) Gọi G Ta trọng tâm AABC, I là trung điểm của AG. Tập hợp điểm M là đương tron Bài 9. 1) a) 2IA + IB + IC = ổ <^> I là trung điểm của đương trung tuyến AJ và AABC. ( 1 ) b) Tập họp điếm M là đương tron 1,-^ . 12 / 2) a) Tập họp điểm N là đương thẳng GD, vơi G là trọng tâm AABC. b) Tập hợp điểm p là đưòng thẳng EF vói E là trung điếm của AB và F là trung điểm của CD. c) Tập họp điểm Q là đương trung trực đoạn HK vói H, K chia các cạnh AB và CD theo tỉ sô" -2. d) Tập hợp điểm R là đương trưng trực đoạn uv với u chia AB theo tì sô" —3 và V chia CD theo tỉ sô 5. Bài í o„Hưóng dẫn : Gọi o là giao điểm của hai cạnh bên. M, N là OA OB trung điểm hai cạnh đáy AB và CD. Đặt k = —— = —— =*= 1 & “ ■ OD oc õa = -Vãd 1-k 1 ; Suy ra : ÕB = -^-BC =4> (l-k)ÕM = kMN. J 1 —k ÕM = —(ÃD + Ẽc) [ 2(1-k) 23 1. Định nghĩa - Tính chất a. Định nghĩa tích vô hướng của-hai vectơ Cho hai vectơ a và b . Tích vô hướng của hai vectơ a và b , kí hiệu a. b, là sô" thực, bằng tích các độ dài của các vectơ nhân vói côsin của góc họp bbi hai vectơ đó. a.b ;= |a||b|cos(a,b). b . Bình phương, vô hướng của môt vectơ Bình phưcrng vô hướng của một vectơ bằng bình phưong độ dài của vectơ đó. (Ãb) 2 = ÃB.ÃB = Ịãb| 2 = AB 2 . c. Điều kiện dê hai vectơ vuông góc Cho a ^ õ và b v± õ : a J_ b <ỉ=> a.b = 0. d. Tính chất của tích vô hướng ® a.b = b.a (tính giao hoán). • • a (b + c) — ab + ac (tính phân phôi vói phép cộng). © (ka)b = k(a.b) (tính kết họp). 2. Công thứxĩ hình chiêu a. Trục - Độ dài đại sô của vectơ trên môt truc ® Trục là một đương thẳng đã chọn điểm gốc o và vectơ đon vị e . Kí hiệu (o,e). © Cho hai điểm A, B trên trục (o,e). Ta luôn tìm được sô" m sao cho AB = m.e . Ta gọi m là độ dài đại sô" của vectơ AB. Kí hiệu : AB = m . © Cho ba điểm A, B, c trên trục (o,e). + Nêu AB, AC cùng hướng : ÃB.ÃC = AB.AC = AB.AC + Nếu AB, AC ngược hướng : ÃB.ÃC = ÃB.ÃC = -AB.AC b. Công thức hình chiêu Cho hai vectơ a và b . Gọi b' là vectơ hình chiếu của b lên giá của a, ta có : a.b = a.b'. B. CÁC OẠisẵG TOÁM Dang 1. TỂryi-i TÍCH VÔ HUÚTy E Phưtmg pháp Tuỳ theo giả thiết, ta có thế dùng các phưong pháp : 1) Dùng định nghĩa. 2) Dùng định Ịí hình chiêu. 3) Phân tích tích vô hướng thành nhiều tích dưổi dạng tọng, hiệu (nhơ các quỳ tắc vectơ) mà mỗi tích vô hương thành phần đều tính được. Đặc hiệt. a) a _L b => a.b = 0 . b) A, B, c thẳng hàng : A ơ ngoài đoạn BC : AB.AC = AB.AC ; A ơ trong đoạn BC : AB. AC = — AB.AC. Ví dụ 1. Cho hình vuông ABCD tâm o cạnh bằng 1. Tính : a) ÕA.ÕB ; ÕA.ÕC. b) ÃB.ÃC ; ÃB.ÃD ; ÃB.ÃO. c) ÃB.CD ; AB.DC . d) (ÃB + Ãd)(bĂ-ẽc). e) (ãb+ăc+ãd).(ăb + ã!5-bĩ3). 25 Q \ í SẠ Ị ị Ị_í A . Ị % Á r \(~'1 í\ A 2 -1/0 Uỳ vv.rx.i_/Ij — u ; UA.UU = -UA = — i/2 . K ì A/R _A P _ 1 • A 13 A tÁ _A . A p’ A /Ã A r\2 1 /ọ 0 ÃB.CD = -AB 2 - -1 ; AB.DC = AB 2 = 1. d) (ÃB + ÃB)(bĂ - BC) - ÃC.CA = —AC 2 = -2. e) (ÃB + ÃC + Ãd)(ÃB + ÃD~BD) = 2Ãc(ÃC-Bd) = 2AC 2 - 2ÃC.BD = 4. dụ e. Cho AABC đều cạnh a. về phía ngoài tam giác kẻ ba hình vuông ABMN, BCEF, CAHK. Tính các tích vô hướng : a) ÃN.ÃC ; ÃB.ÃH. b) ÃM.ÃC ; ÃM.BF. c) AM.AK ; ÃN.ÃH. d) ÃM.CH ; AM.BC. Giải a) AN.AC = AN.ACcos(90° + 60°) N H ÃM.BF = AM.BFcos(45° + 30°) = a 2 -Jỉ . A(v§ _ i) 4 • c) AM.AK — AM.AKcos(90 u + 60°) = — AM 2 sin 60° = —a 2 V3 . ẠN.AH = AN.AHcosl20° = . 2 d) ĂM.CH = (ÃB + Ãn)(ÃH - Ãc) = Ằ&£ti - ÃB.ÃC + AN.ÃH - ẰRÃQ (câu a)> 2 2 ” AM.BC = (ãS + Ãb)(ÃC - ÃỂ) = ÃN.ÃC - aRÃẸ. + ÃB.ÃC - AB 2 = (ÃN + Ãb).ÃC - AB 2 AM.AC - AB 2 73 + 1 1-73 a 2 - a 2 (câu b)) Dạng a. EHÍmiE eẲnySi thức nhở tích vo HUÚ1\II Phinomg pháp © Sử dụng các phưong pháp ơ Dạng 1 đế tính tích vô hướng rôi suy ra kết quả. © Đôi khi ta sử dụng phương pháp bình phưong để tìm đăng thức có chứa đại lượng là bình phương một độ dài. Ví dụ 1. Cho AABC có các trung tuyến AD, BE và CF. Chứng minh : AD.BC + BE.CA + CF.AB = 0 . Giải Sử dụng các quy tắc ba điểm và trung tuyên, ta có : AD.BC = Ỉ(ÃB + Ãc)(ĂC - ÃS) = Ỉ(AC 2 - AB 2 ) = hb 2 - c 2 ) 2 2 2 Tương tự : BE.CA = — (c 2 - a 2 ) ; CF.ÃB = ỉ(a 2 -b 2 ). 2 Suy ra : AD.BC + BE.CA + CF.AB = 0 . 27 Ví dọ a. Cho AABC có: nị , rrr 2^3 V-W ^ J £1' —— K —— y J y ^ A J-/_^ .... ^I ọ 1. a) Chung minh BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2ÃC.ÃB. (1) b) Suy ra góc A. ệ í 2. Tính B và c. Giải 1. a) BC = ÃC-ÃB =>BC 2 = AC 2 + AB 2 - 2ÃC.ÃB. (1) b) Tù (1) ta có : ÃC.ĂB = AC a +AB a -BC» 2 = ỉ(8 H- (Vẽ - V 2 ) 2 — 12 ) = 2(1 - Vã) Mặt khác : AC.AB = AC.ABcos A cosA = AC.AB 2 ( 1 -Vã) _ 1 2 V 2 (Vế — V 2 ) — 2 Vậy Â = 120° . 2. Tưong tự : cosB = bc2 + ba2 -AC 2 = I 2 + 6 + 2 - 2 VĨ 2-8 _ V 2 2 BC.BA 2.2a/3(V6 - V 2 ) _ 2 Suy ra : B =■ 45° và c = 15°. Vi dọ 3. Cho hình bình hành ABCD. Gọi M là điểm tuỳ ý. Chúng minh : MA.MC - MB.MD = BA.BC . Giải Gọi o là tâm hình bình hành, ta có : ■ MA.MC = (ÕA - ÕmXÕC - Õm) . MÃ.MC = ÕA.ÕC - (ÕĂ + Õc)ÕM + OM 2 = OM 2 - OA 2 . ( 1 ) Tuơng tự: MB.MD = OM 2 - OB 2 . (2) Từ (1) và (2) : 28 MÃ.MC - MB.MD = OB 2 - OA 2 = (ÕB 4- OaKqB - oa) — CB.AB = BA.BC (đpcm). Oạng 3. CHÍmiE MINH HAI VECTƠ VUDWG GÓC Phưmig pháp Vi dụ 1. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Từ điểm M tuỳ ý trên đương chéo BD, kẻ ME 1AB và MF l AD. Chứng minh DE _L CF . / Giải Vì AEMF là hình chữ nhật. Đặt EB = m thì AE = a - m A u B AF = EM = EB = m. CF.DE = (ĂF — ÃcXãẽ - Ãd) F = ATÃẼ. - ÃF.ÃD - ÃC.Ãl + ĂC.ÃD =-AF.AD - AB.AE + AD 2 = —ma — a(a - m) + a 2 = 0. ' Vậy CF ± DE . Vi dụ a. Cho hình thang vuông ABCD, đương cao AB và hai cạnh dáy AD và BC thoả : AB 2 = AD.BC. Chúng minh hai đương chéo AC và BD vuông góc nhau. Giải ÃC.BD = (ÃB + Ẽc)(ÃD - Ãb) = AĨbÃẼi - AB 2 + BC.ÃD - B&ÃB. = -AB 2 + BC.ÃD = -AB 2 + BC.AD = 0 . Vậy: ÃC.BD = 0 <=> Ãc ± BD. 29 Vẩ dụ 3. Cho AABC vuông tại A có AB = 3, AC = 4 và trung bLiytíĩi r\ i J. i ĩĩịị iÃìdÌÌ Jlí A,Ị_. SQQ rnn |Àịi I iị Ị t d-iắi AD.BE = Ỉ(ÃB + Ãc)(ÃE - Ãb) Lj = |( A&ÃẼ. - AB 2 + ÃC.ÃẼ - Ầ&ÃẸ.) = ỉ(ae.ac-ab 2 ). 2 BEXADo AD.be = 0 AC.AE = AB 2 =ỉ> AE = —. 4 ' Dạng 4» TÌM TẬP HỌP ĐlỂlVI Phuxmg pháp Các dạng cơ bản : Cho AABC cô' định 1) MB.MC = 0 : Tập hợp điếm M là đương tron đương kính BC. 2) MA.BC = 0 : Tập họp điểm M là đương thẳng (Ạ) _L BC tại điểm A. { Vi dụ 1 . Cho AABC. Tìm tập hợp các điểm M sao cho : 1) ĂM.ÃB = AM 2 . 2) MA (mB + mo) + (SẼB + MỒ) 2 = 0. 3) (ma + Mb)(m§ + Mc) = AC 2 . Giải 1) AM.AB = AM 2 4=^ ĂMÍÃB - Ãm) = 0 <44> ÃM.MB = 0 4=> 0. Tập hợp điểm M là đương tron đương kính AB. 2 ) mẩ(mb + mc) + (mb + mc) 2 = 0 <=> (mS + MC)(MA + MB + Mc) = 0 4=> (2MỈ)(3MG) = 0 30 <^> MĨ.MG = 0 (I là trung điểm BC, G là trọng tâm AABC ). Tập họp điểm M là đương tron đương kính IG. 3) Gọi I, J, o lần lượt là trưng điểm AB, BC, IJ. Ta có : (ma + M§) (mẽ + Mc) = AC 2 MỈ.MJ = (õĩ - om)(oj - õm) = 4 ^ OI.OJ - (oĩ + Õj) ÕM + OM' AC 2 ^OM 2 - A ° 2 + OJ 2 AC 2 IJ ; 4 4 4 16 Tập họp điểm M Ta đương tron AC 2 . 0,#AC 4 Ví dụ a. Cho A ABC. Tìm tập hợp điểm M thoà : 1) ÃM.ÃB = ÃB.ÃC. 2) MÃ.MB = MÃ.MC . 3) MA 2 = MB.MC. Giải 1 ) ÃM.ÃB = ÃB.ÃC <*• ÃBÍÃM - ÃC) = 0 <=> AB.CM = 0. Tập họp điểm M là đương thăng (A) _L AB và đi qua c. 2) MA.MB = MA.MC <=$> MẤ(mB - Mc) = MA.CB = 0 . Tập hợp điểm M là đương thăng (A) _L BC và đi qua A. 3) MA 2 = MB.MC (O là trung điểm BC) = (õb-õm)(õc-õm) = ÕB.ÕC - (ÕB + Õc) ÕM + OM 2 = OM 2 - oc 2 BC 2 Vậy : MA 2 = OM 2 - oc 2 MO 2 - MA 2 = oc 2 = , BC 2 <^(MO + MA)(MO-MAj = rV- BC 2 AĩKT BC 2 2 MI.AO = ^ IM.OA = 4 o 31 (1 ià trung điểm AO). n,: Tĩ 1.^.1. 1 • ■> > «- IA 7-N » uiyi -Í.A ÍCĨ iĩiiĩĩĩ ĩ/iiìC U v^Lieĩ ±VÃ ĩtíĩĩ V//-». 0 ——* ' ___ - . R(9 2 , . MA 2 = MB.MC o IH.OA = — =» H cố đinh. o Tập hợp điểm M là đường thẳng (Á) ± 8 À0 tại H. Ví dụ 3. Cho AABC đều cạnh a. Tìm tập họp điểm M thoả : 1) MA 2 + MB 2 +MC 2 =4a 2 . (1) 2) 2MB 2 - MC 2 = a 2 . (2) 3) 3MA 2 - 2MB 2 = MC 2 . (3) Giải 1) Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC. => GA 2 = — . 3 (1) ^(GÃ-GM) 2 + (GB-GM) 2 +(GC-GM) 2 =4a 2 3GA 2 + 3GM 2 - 2 (gã + GB + CĨc)gM = 4 á 2 . GM 2 = ỉ(4a 2 - 3GA 2 ) = a 2 3 Tập họp điểm M là đương trồn (G, a). 2) Xét điểm I : 2ĨB-ĨC = Õ=> I cố định. (2) <4> 2(mĩ + Ĩb) 2 - (mĩ + !c) 2 = a 2 MI 2 + 2IB 2 - IC 2 + 2MỈ(2ĨB - ĩc) = a 2 MI 2 = a 2 + IC 2 - 2IB 2 = 3a 2 . Tập họp điếm M là đường tron.(ì, aVã) vói I chia đoạn BC theo tỉ sô" 1/2. 3) Xét diểm I : 3IA — 2IB — õ <s> 4=7 = —. ' IB 3 (3)^3(mỉ + ĨÃ) 2 -2(mI + !b) 2 =('MÌ + IC) 2 <=t MI 2 + 3IA 2 - 2IB 2 + 2MĨ(3ĨÃ - 2ĨỖ) = MI 2 + IC 2 + 2MĨ.ĨC « ĨM.ĨC = ỉ(ic 2 + 2IB 2 ~ 3IA 2 ) = 45 a 2 . 2 2 32 Qua Mkè MH1IC thì : ĨM.ĨC - ĨH.ĨC = ỉ^a 2 => ĨH 2 13ay7 14 Tập hợp điểm M là đương thẳng (A) _L IC tại H. IA '= 2a IB = 3a IC = aV7. c. BÀI TẬP Bài í . Cho AABC đều nội tiếp trong đương tròn (O, R). 1) Tính các tích vô hướng : a) ÃB.ÃC, AB.BC. b) ÃB.ÃC + ÃB.BC. c) OẤ.ÕB + ÒB.ÕC -f ÕC.ÕA . 2) Cho M tuỳ ý trên đưbng trồn a) Tính MB.MC - ÕA.ÕM. b) Chứng minh MA 2 + MB 2 + MC 2 = 6R 2 . 3) Điểm M ; thuộc đương nào, nếu ta có : (ivpA + STB + + Src) = 0. Bài e. Cho hình chữ nhật ABCD tâm o. Cho M là một điểm tuỳ ý. Chứng minh : 1) MA.MC = MB.MD . 2) MA 2 - MD 2 = MB 2 - MC 2 . Bải 3. Cho AABC có trực tâm là H và M là trung điểm cạnh BC = a . Tính MH.MA . Bài 4. Cho hình bình hành ABCD. Qua đỉnh c, kẻ CE _L AB và CF _L BD . Chứng minh : BD.BF — BA.BE = BC 2 . Bài 5. Cho AABC cân tại A, có đương cao AH. Kè HD ± AC . Gọi M là trung điểm của HD. Chứng minh AM _L BD . Bài E. Cho nửa đương tron tâm o, đương kính AB = 2R. Gọi M, N là hai điêrn trẽn nửa đường tròn đó, sao cho AM cắt BN ta i T 1) Chứng minh AI. AM = AI.AB. 2) Tính ÃM.ÃỈ + BN.BI. Bài 7 . Cho AABC có BC = a, CA = b, AB = c. về phía ngoài tấm giác, kẻ hai hình vuông ABMN và ACHK. Chứng minh : 1) a) ÃN.ÃB = ÃC.ÃK. b) ÃN.ÃC = ÃB.ÃK. c) ^B.ÃC + ÃN.ÃK = 0. 2 ) a) aM.CĨ? + 2ÃB.ÃC = 0. . b) ÃM.ÃC - AM.BC = c 2 . c) MH.BC -G2ÃN.ÃC = a 2 . 3) Gọi o là trung điểm cạnh BC. Chúng minh AO _L NK . Bài s. Cho đương tron (O, R). Vẽ hai đương kính vuông góc AOB và COD. Gọi M là trung điểm BC. AM cắt oc tại N. Tính các tích vô hưóng : 1) a) ÃM.ÃO. b) ÃN.ÃB. 2) a) ĂC.ÃB . b) ẶC.ÕM. 3) a), ÃC.ÃM. b) ÃC.ÃN . Bài 3. Cho AABC, đặt CAB = (\. Vẽ hai hình vuông ABED, ACMN ỏ' cùng miền chứa tam giác ABC. Chủng minh : CD1BN. Bài lO.Cho hình thang vuông ABCD, đuờng cao AB, AD = 2BC. Kè AH _L BD , gọi M là trung điểm của ĐH. Chứng minh AMC = 90°. LỜI GIẢI Bài 1 . Ta CÓ cạnh tam giác đều bằng Ra/3 . 34 1 ) a) ÃB.ÃC = AB.AC cos 60° A = Ì A B 2 =Ar 2 . 2 2 ÃB.BC — AB.BC cos 120° = -ỉ AB 2 = --^R 2 . 2 2 b) ÃB.ÃC + AB.BC = Ãb(ÃC + Ẽc) - = 3ÃB.ÕC = 0 (do AB _L oc ).- _ + p 2 c) Ta có : OA.OB = OA.OB cos 120° = -. Suy ra : 2 ÕÃ.ÕB + ÕB.ÕC + ÕC.ÕÃ = . 2 2) a) Ta có : MB.MC = (ÕB - ÕM.)(ÕC - Õm) = ÕB.ÕC - (ÕB + Õc)ÕM + OM 2 = -'^ + r 2 -(õb + õc)õm ! 2 = + OA.OM do OA + OB + oc - 0 2 \ ' ____, TT 2 Suy ra : MB.MC - oA.OM = — . 2 , _, __ _, p 2 b) Ta có : MB.MC = OA.OM + ; 2 _, , + t T}2 MC.MA = OB.OM + —Ị —; 2 _ t + _ ( Tì 2 MA.MB = OC.OM + —ị—. 2 _ + _ + __ f _ ( _ ( _ + ,_ ( __ ( _,_ 4 ott2 MA.MB + MB.MC + MC.MA = ÕA + ÕB 4- oc OM + -XA- 2 0 Từ MA + MB + MC = 3MÕ suy ra : . MA 2 + MB 2 + MC 2 + 2 (mẤ.MB + MB.MC + MC.MẤ) = 9R 2 í ^ ì ■ => MA 2 + MB 2 + MC 2 = 9R 2 - 2 = 6R 2 . 2 J 35 3) AO cắt BC tại H thì H là trung điểm cạnh BC (M' A 4-M'B + M'c)UV1 'B + M'Cj = 0 3 M'0.2M‘H = 0 ti- M'ÒM'H-0 Suy ra M ; thuộc đương tron đương kính OH. Bài H. 1) ma.mc = (õẩ-õm)(õc-õm) = ÕA.ÕC - (ÕÃ + Õc)ÕM + OM 2 õ =-OA.OC + OM 2 = OM 2 - OA 2 . ' (1) Tương tự: MB.MD = OM 2 - OB 2 . . (2) Từ (1) và (2): MÃ.MC = MB.MĨD. . (3) 2) Vì o là trung điểm của AC và BD nên MA + MC — MB + MD (cùng bằng 2MO). (4) Bình phương (4) ta được : 1 MA 2 + MC 2 + 2MÃ.MC = MB 2 + MD 2 + 2MB.MD . Suy ra : MA 2 + MC 2 = MB 2 + MD 2 suy ra đpcm. Bài 3. MH.MẤ = HM.ĂM = Ị(hB + Hc)(ÃB + Ãc) 4 = t(ĩỉB.ÃB + hSÃQ + ÌĨSÃB, + HC.Ăc) = 4(hB.ÃB -f HC.Ãc) 4 = Ị(bh.bã + ch.cã) 4 = ị(ẼỠ.BÃ + CB 7 .CÃ) 4 = Ị(bã 7 .bc+cã 7 .cb) 4 — A' _ c, A ') BÕ = — Rf! 2 = — 4 4 4 Bài 4L Theo định lí hình chiếu : BC.BD = BF.BD ; BC.BA = BE.BA. 36 Do đó : BC(ẼD - ba) = BF.BE) - BẼ.BÃ Suy ra BC.ÃD = BẼ.BD - BẼ.BẶ o BC 2 = BD.BF - BA.BE (đpcmi Bài 5. ãm.bd==ỉ(ãh + ãd)(hd-hb) 2 -(ãhxãd)(hdxhc) 2 ị (ÃĨĨ.HD + ẤH.HC X ÃD.ĨĨD X ÃD. lĩc) 2 "ti 0^ (ah.hdxãd.hc) 2 1 2 ị(-HA.HD X ÃD.ĨĨC) 2 B A xi / m '\ Mà HA.HD = HD 2 (do AD 1 HD) ÃD.HC = AD.DC (do HD X AC). Do đó : ÃM.BD = ị(-HD 2 + AD.dc) : 2 H = -Ì(HD 2 xDA.DC ) 2 -' c = -^(hd 2 -hd 2 ) = 0. 2 Vậy AM X BD . Bài 6 . 1) Vì BM X AM nên theo định lí hình chiếu ta có : ÃB.ÃĨ = ÃM.ÃĨ. (1) 2) Tưong tự : BA.BI = BN.BI. (2) Cộng (1) và (2) : ÃM.ĂĨ X BN.BỈ = ÃB.ÃĨ X BA.BĨ = Ãb(ÃỈ + Ĩb) = AB 2 = 4R 2 . - Bài 7- 1) a) Do AN X AB và AK X AC nên AN.AB = AC.AK = 0 b) ÃN.ÃC = cbcos(90° X à) = ẤB.ÃK . B 37 fiES nti § c í~i~ ' c) AB.A(J = Jpc cos A ; s \. ( A 7\ T A T r 1 / -1 o ri 0 A \ X 11 ~.X11 ĩ. — ĨĨO Oĩío V XL ũĩ ĩỹ xn. / Ovĩừ X . K Do đó : ẮB.AC + AN.AK = 0. 2) a) ÀIVĨ.CK = (AN + ABjÍAK - Ãcj = ÃN.ÃK - ÃNÃC + ÃB.ÃK - ẶB.ÃC câul b) = ÃN.ÃK - ÃB.ÃC = -2ÃB.ÃC (câu lc)). Do dó : ÃM.CK + 2ÃB.ÃC = 0. b) ÃM.BC=(ÃN + ÃB)(ÃC-ÃB) = ÃN.ÃC - ẦRÃB. + ÃB.ÃC - AB 2 = (ÃN + Ãb).ÃC-AB 2 = ĂM.ÃC - c 2 . Do đó : ÃM.ÃC - AM.BC = c 2 . c) MH.BC = (ÃH - ÃM)ẼC = (ãc + ãk-ãb-ãn)bc = (NK + BC)ẼC = (ÃK - Ãn)bC + Bồ 2 = (ÃK - ĂnHÃC - ÃỂ) + a 2 = JãèỉKC - ẤK.ÃB - ÃN.ÃC + + a 2 = — 2AN.AC + a 2 (câu lb)). . Do dó : MH.BC + 2ĂN.ẨC = a 2 . 3) Ta có : ÃÕ.NK = i(ĂB + Ãc)(ÃK - Ãĩĩ) Z = |(ĂB.ÃK - ĂC.Ăn) = 0 (do câu lb)). Vậy AO .L NK . H 1) Kè MH _L OB : AOMH vuông cân tại H. Kẻ OE _L AC, ——— . Theo định lí hình chiếu : ta có : OH a) AM.AO = AH.AO R rVỗ R 2 + V2 R 2 . 38 b) ÃN.ÃB = AN.AM = AO.AB (AẠON - AAMB) = 2R 2 . 2 ) a) ÃC.ÃB = AO.AB = 2R 2 . b) Ke MK _L AC ta có : AAMK = AAMH nên AK = AH Rv/2 V 2 + 2 -p = R 4- —r— = —— R • 2 2 Vậy : ÃC.ÕM = AC.EK = AC.OM (do AC // OM)= R 2 ^2 . 3 ) á) ÃC.ÃM = AC.AK - RV 2 . 2 + A R = (V 2 + l)R 2 . ■ \ z i b) AOAC : AN là tia phân giác góc A nên : NC _ _ AC = _ RV 2 = ^ ;NC_ = NÒ AO R —V 2 1 NO-NC CO 1 + V 2 1 + v/2 ■=> CN = ——T=CÕ. 1 + V2 Vậy : ÃC.ÃN = Ãc(ÃC + Õn) = AC 2 + AC.CN = 2R 2 - CA.CN = 2R 2 - CN.CO. ỊÕ , r - Suy ra : AC.AN = 2R 2 — CN.CO = 2R 2 — —Ị- R — R v2 . Bài 9- Hai tam giác bằng nhau ABN và ADC cho ta NÃB = ỖĂD. Ta có : _ DÃN + 01 = 2 (nÃB + a) = 180° =+ DÃN = 180° - a.. cd.bn = (ãd-ạc)(ãn-ãb). = ÃD.ÃN - + ÃC.ÃB = ÃD.ÃN + ÃC.ÃB ■ = ÀD. AN cos DÂN + ẠB. AC CCS a. 39 = AB.AClcosll80 u - aj + cosaJ = 0 Suy ra : CD ± BN . Bài lO.Gọi E là điểm đối xứng của A qua M thì ADEH là hình bình hành, suy ra HE = AD . ÃM.CM = Ỉ(ÃH + ÃdXẽM - Ẽc) 2 = ị(ÃH + Ãd)(2BM - ÃB) 4 = t ( 2 J&ÍSm - ÃH.ÃD + 2ÃD.BM - AD 2 ). ÃM.CM = ì(—AD 2 - ÃH.ÃD + 2Ãd(ÃM - Ãb)' 4 --—--- \ / = ~(-AD 2 - ÃĨÌ.ÃD + 2ÃD.ÃM - ẬÃKẪB) = h-AD 2 - ÃH.ÃD + ÃD.ÃẼÌ (do ÃE = 2ÃM) 4 - - ; - V / = t[-AD 2 + ãd(ãẽ - ÃẼ)] 4 = ỉ(_ad 2 + ãd.hẽ) 4 = ị(-AD 2 + AD 2 ) = 0 (Do HE = ÃB). 4 Vậy ÃM 1 CM . D. BÀI TẬP Tự LUYỆN Bài 1. Cho đuơng tròn (O, R), đubng kính AOB. Gọi (A) là tiếp tuyên tại B. Trên (A) lây điểm M. MO cắt đương trồn tại E, F ; MA cắt đương tron tại H và AE cắt (À) tại K (MK cùng phía đối với B). 1) Cho BM = 2R a) Tính các tích vô hướng : AH.AM ; ĂE.ÃK ; ĂO.ĂB và 40 MH.MA ẻ ME.MF. b) Chúng minh ME.MF = 2ƠH.AM. 2) Cho M tuỳ ý trên (A). Chúng minh : a) MA.MB = ME.MF . b) MA.MH = MB.MO . Bài a. Cho hình thang vuông ABCD, đương cao AB = aV2 , cạnh đáy AD = a, BC = 2a. Gọi I là trung điểm đương cao ÁB. 1) Tính các tích vô hướng AB.AC; AC.AD; AD.BC; AD.DC ; BC.DC ; AB.DC . 2) Chứng minh CID = 90°. Bài 3. Cho AABC nội tiếp trong đương trồn (O, R). Xét điếm H cho bbi : OA + BC + oc = OH. 1) Tính AH.BC . Suy ra H là trực tâm AABC. 2 ) Cho BAC = 60°. Gọi M là trung điểm BC . Chúng minh OH1AM. Bài.4. Cho hình vuông ABCD tâm o. Từ điếm M chia đoạn AD theo tỉ SCI -ì kè MN // DB. Chứng minh : OM _L DN . 2 Bài s. Cho AABC. Tìm tập hợp các điểm M thoả : |mẤ + 2 MB - MÕj = ỊmẤ - 2 MB + MÕ|. Bài 6. Cho AABC vuông, cạnh huyền BC = 2a. Tìm tập họp các điểm M thoả : a) MẨ.MB = MÃ.MC. b) MB.MC = MA 2 . c) MB 2 + MC 2 - 2MA 2 = 4a 2 . Bải 7. Cho hình vuông ABCD, tâm o, cạnh a. Tìm tập hợp các điểm M thoả : a) MẤ.MC + MB.MD = a 2 . b) MÃ.MỂ + MC.MD = 5a 2 . 41 c) MA" + iVltí" + MU" = 5 MJJ" . B M-Ị* ' - í .1'U A u A A D / i ĩ \ i--, _ Ị. _ _ỹ riL,' „ u_ , UESM u a v_/iiO Doli CLIGIii ĩ\y ■ 3) v_/ ? i_J b Líỹ ỷ. L/ỉiulig Iiiiiiii ; AB.DC + BC.DA + CẤ.DB = 0. Suy ra trong tam giác ba đương cao đồng quy. Bài 3- Cho AABC đều cạnh bằng 3, lấy trên BC, CA, AB các điểm M, N, p mà BM = 1, CN = 2 và AP = X. Tính X để AM1PN. Bài lO.Cho hình thang vuông ABCD có đương cao AB = 3a, AD = a, BC = 2a. Gọi I la trung điểm của DC. 1 ) Chứng minh AIB = 90° . 2) Tập họp điểm M : MẴ.MC = MB 2 . HirỚMG DẪN - ĐÁP SỐ Bài 1. 1) a) ÃH.ÃM = ÃE.ÃK = 4R 2 , ÃÕ.ÃB = 2R 2 . MH.MA = ME.MF = 4R 2 . 2) a) Đưa điểm o vào, chú ý AEBF là hình chữ nhật hoặc dùng phép hình chiếu MA.MB = MẤ.MH = MB 2 . b) Định lí hình chiếu. Bài a. 1) ÃB.ÃC = 8a 2 , ÃC.ĂD = 2a 2 , ÃD.BC = 2a 2 , AD.DC = a 2 » BC.DC = 2a 2 , AB.DC = 8a 2 , ÃC.BD = Ãc(ÃD - Ă§) = ÃC.ÃD - ÃC.ÃB = -6a 2 . 2 ) ĨC.ĨD = (ÃC-ÃĨ)(ÃD-ÃĨ) = 0 (đpcm). Bài 3. 1) ấh.bc = (õh-õa)(õc-õb) = o. Tưởng tự : BH.CA = 0 (đpcm). 2) Để ý OBMC là hình thoi. ÕH.ÃM = 2ÕB.ÕC + R 2 = 0 (đpcm). Bài 4 . ÕM.DN = (ĂM - ÃÕXăN - Ãd) = 0 (dpcm). Bài 5. Gọi I là điểm đối xứng của c qua B 2IB - IC = 0 . 42 Bài G Bài 1 MĂ(2MB-MC) = 0^MA.MÍ = 0. Tập hợp điểm M là đương tròn đương kính AI. . a) M € (Aj): (Aj) JL BC tại A. b) Me (A 2 ): (A 2 ) vuông góc dường trung tuyến AD tại A. ■ c) Thay 4a 2 = BC 2 = (AC - AB)~ và chú ý ịằĩìg AB.AC = 0 ta được kết quả M G (A 2 ) : câu b). a) M thuộc đương tron (0, a). b) Gọi I, J là trung điểm AB và CD, suy ra M thuộc đường ' aVb' 0 tron o, c) Hướng dẫn : Yêu cầu bài toán tương đưong vói : MA 2 - MD 2 + MB 2 - MD 2 + MC 2 - MD 2 = 0 <=> 2(mE.DA + MO.DB + MJ.dc) = 0 (E là trung điểm AD). <£> (3ÕD - ÕẨ - ÕB -■ Õc)ÕM = 0 <=» (ÕD - ÕÃ.+ 55 - ÕB + 55 - õc) om = 0. <=> (ÃD + BD + Cd)ÕM = 0 2BD.ÕM = 0 ^ M 6 AC. Chú ý rằng : OA.OE = OD.OE = OE 2 ; ÕC.ÕJ = ÕD.ỌJ = 0J 2 . Câu c) có thể đưa trọng tâm G của AABC ta có : GA + GB + GC = õ . Yêu cầu bài toán tương đưong với : 3MD 2 = 3MG 2 + GA 2 + GB 2 + GC 2 3ÍMD - MG)(1d + MG) = a 2 36 _ t _ 4 On 2 * __ 2a 2 GD.MF = —(F là trung điểm DG) GD.KF — . 9 9 Suỳ ra : KF = (vói K là hình chiếu của M trên BD). 43 6 Vậy K= Onên Me AC. S3|ẺSS 23 Ị-ĩìvẤrìo’ ríâri * A "R ĨTT > ! — {1 lĩ-?._Tì A 1 TẠT'! — TiTĩ. TìT" 1 _. Ti A TìT! a- 0 OB ữ~D u liLlUiig Llciii • iLư.iưv — \i-/-ư — LjJr\. ị i_yv_y — JLJ — jLJÍri.,LjKj . * d Bài 3. Đáp Số : X = — . Bài 10.2) Gọi o là trung điểm của AC thì OA = OB = OC = - -^2 . 2 Yêu cầu bài toán tuông đưcrng vói : 2 ÕB.ÕM = OB 2 - ÕẨ.ÕC = 0 . Tập họp điểm M là đương thẳng (A) vuông góc vói OB tại o. A-1\l TẬP CHUMG 1 A. BÀI TẬP TỔMG HỌP • ■, '■ ‘ >' ■ : 1 '■ ■ ■ ■ ■ ■ ] Bài 1. Cho tam giác ABC. Xét hai điểm E và F thoả 2Ị- = — \ EC 3 , ẼB 2 và =Ị- = —. FC 5 1) Tính ÃE,ÃF theo ÃB và Ãc. 2) Gọi G là trọng tâm AABC. Tính AG phụ theo AE và ÃF. Bài 2. Cho tứ giác ABCD tuỳ ý. 1 ) Xác định điểm E thoả EA — 2EB + 4EC = õ . (1) 2) Định sô" k và xác định điểm F thoả MA - 2MB + 4MC = kMF .(VM). (2) 3) Tìm tập hợp .Jề= {m/|mẨ - 2MB + 4McỊ = 3 |md|} . Bài 3. Cho AABC nội tiếp trong đương trồn tâm o. Gọi H, G là trực tâm và trọng tâm tam giác, D là điểm đối tâm của A. 1 ) Chứng minh : 44 a) HA + HB + HC = 2H0 . b) ÕĂ + ÕB + ÕC = ÕH. 2) Chứng minh o, H, G thẳng hàng. 3) Tìm tập hợp điểm M thoả : Bài 4. Cho AABC đều nội tiếp trong đuòng tròn (0,-R). M là điểm tuỳ ý trong AABC. Kè MD, ME, MF lân lượt vuông góc vói ba cạnh BC, CA, AB. ■ _ 3 —> 1) Chúng minh MD + ME + MF = jrMO . JLJ 2) Cho M di động thoả |mD + ME + MfỊ = R . Tìm tập hợp trọng tâm của ADEF . Bài 5. Cho tứ giác ABCD có E, F là trung điếm của AB và CD. Gọi M, N là hai điểm cho bồi : MA + kMC-Õ . NB + kND = 0. o là trung điểm của MN. 1) Chứng minh : OE + kOF = 0 . Tìm tập hợp diêm o khi k thay đổi. 2) Xét hai điểm p, Q sao cho : PA + kPD = õ QB + kQC = Õ. Chứng minh : OP + OQ = õ . Bài G. Cho AABC đều cạnh a. Gọi D là điếm đôi xứng của A qua BC. _ , a 2 1) Chứng minh MB.MC = AM 2 — AM.AD + — (VM). 2) Tìm tập hợp điểm M thoả : 2 |ma + mb + mc + ho| = 9mg-mh + |ãh 45 a) MR.MCÌ = AM 2 4- — í) >j b) MB.MC = AM 2 . c) MB.MC = C. 2 Bài 1 . Tam giác ABC vuông, cạnh huyền BC = a. Tìm tập hợp điểm : ./6 = {m |(MÃ + MC)(MÃ + MB + MC.) = ka 2 }. Biện luận tập họp theo k. Bàn B. Cho AABC đều nội tiêp trong đương tròn (O, R). Tìm tập hợp điểm M thoả : MA.MB + MB.MC + MC.MÃ = ~. 2 Bài 3. Cho AABC đều, cạnh a, nội tiêp trong đương tron tâm o. Vẽ hình bình hành CBOI. 1) Chứng minh IA - 2IB + 4IC = õ . •2) Tìm tập hợp điểm M thoả MA 2 + 4MC 2 = 2MB 2 . 3) Tính ĨA.ĨB + ĨA.ĨC. Bài 1 o. Cho AABC có 3 cạnh a, b, c. Xét 3 điểm M, N, p định bơi: 2 MB + MC = õ ' 2NC + NA = 0 2PA + PB = õ. 1) Chúng minh hai tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm. 2) Vẽ hình bình hành ABCD. Chứng minh : DM + DN + DP = 2DB. 3) Chúng minh : AM.BC + BN.CA + CP.ÃB = - h a 2 + b 2 + c 2 ). 46 HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ Bải 1 . 1) ÃẼ AãB Gác ; ÃF = |ăB-|-ÃC. 5 5 3 3 2) ÃG = ^ÃẼ-^ÃF. 48 16 Bài a« 1) Xác định điểm E. Gọi G là trọng tâm AABC, I là'trung điểm cạnh AB và K là điểm đối xứng của G qua I. ; 4—; o Yêu cầu bài toán tương đương với : AE = ^-IC. Suy ra ê, 3 cách dụng điểm E. 2) Yêu cầu bài toán tuông đuong vói : 3ME = kMF(VM*»r n s [F = E (cô định). 3) . JK = Ịm I |me| = ImdI} = (A) : trung trực đoạn ED. Bài 3. 1) a), b) Sử dụng quy tắc trung điểm và tính chât đương trung bình. 2) (la) HG = ^HO (đpcm). 3 .■■■■. 3) Yêu cầu bài toán tưong đương vói : |om|I = |oa| . Tập hợp điểm M là đương tron (O, OA) tức là đương tron ngoại tiếp AABC. Bài 4. 1) Qua M, kẻ ba đường thẳng song song vói ba cạnh tam giác đều ABC, ta đuợc ba hình bình hành và ba tam giác đều nhận MD, ME, MF lam đuờng cao. Do o là trọng tâm A ABC, sử dụng quy tắc trung điểm và quy tắc hình bình hành suy ra đpcm. 2)'Ta có: |mD + ME +MF| = ||mỡ| ; ImD + ME + MF| = R; 7 MD + ME + MF = 3MG. 47 Suy ra: õg| = Ậ|õm| = ìr. A À Tâp hop điểm G là đương trồn ío : —ì ị i ị ị V À ) BàíS. l)a) ÕE = -|(mC + ND) ; ÕF = ỉ(mC + nB). Suy ra ÕE + kÕF = õ o € EF. b) Tập hợp điếm o là đoạn thẳng EF. 2) Ta có : ÕP = ỠM + k(ẼD — mo)] —5 11 .'ỊỊ _ Uop + oq = õ. OQ = ON + k (QC - NDj Bài B- 1) Gọi o là tâm hình thoi ABCD : _,_ 4 2 MB.MC = OM 2 ——-; 4 —— —_ _ 0 % 2 MA.MD = OM 2 - ——; 4 AM 2 - ÃM.ÃD = ÃM.DM = MA.MD . —. __ o _____ „2 Suy ra : MB.MC = AM — AM.AD + (đpcm). 2 2 ) a) MB.MC = AM 2 4- —. => ÃM.ĂD = 0 . 2 Tập họp cần tìm là (A ] ) 1 AĐ tại A. b) MB.MC = AM 2 = 4 > ÃK.ÃD = — AK = (K là hình 2 , 6 chiếu của M lên AD cố định). Tập hợp cần tìm là (A 2 ) _L AD tại K. a 2 + > ✓ụ MP. MP_ ATY/TĩATvr _n HPA.-. I._ _ ,. À* IV_Ị\ »_v w ivio.iVio — — w AÌVI.UÌVỈ = u . lặp hợp can tìm ià đương tròn đương kính AD. Bài 7. Gọi G là trọng tâm AABC và I là trung điểm cạnh BG. Ta xét hai trương họp sau : 48 © k = 0 : Yêu cầu bài toán tưoĩig đưong vói MI.MG = 0. ,/M là đuồng tron đưồng kính IG. ® k ^ 0 . Gọi o là trung điểm IG. a 2 Yêu cầu bài toán tuong đưong với OM 2 — Ệ— (2k +1). 12 k<-ị: .M = 0. 2 k = -ị: {o}. 2 __, o 2 __ + Bài B. Từ MA.MB = OM 2 - + OM.OC => OM 2 = 2R 2 . Tập họp 2 điểm M là dường tròn (0,R\Í2 ). BàiB. 1) !ấ-2ĩb + 4!c = ĩĂ + ĩb + !c + 3(ĩc-ĩb) = 3(ĩÕ + !b) = Õ. 9o 2 ■ 2) MA 2 - 2MB 2 + 4MC 2 = 0.=> IM 2 = -Ệ-. Tập họp điểm 3 I, 3) Gọi H là trung điểm của BC : ĨA.ĨB + ĨĂ.ĨC = 2ĨA.ĨH = ậa 2 . 3 Bài 1 0.1) Gọi G là trọng tâm AABC. Chứng minh : GM + GN + GP = Õ 2) Suy từ câu 1) 3) Từ MA.BC = AB.BC + ^BC 2 suy ra : AM.BC + BN.CĂ 4- CP.ÃB = - ị (a 2 +b 2 + c 2 ). 6 '4-H.HỌC10, M là đương trồn aVẽì 3 / 49 Câu 1. Trong các dữ kiện sau, câu nào xác định được 1 vectơ duy nhất ? A) Hai điểm phân biệt. B) Hướng một vecto. C) Độ dài một vectơ. D) Hướng và độ dài.. Câu 2. Cho hình bình hành ABCD. Từ đỉnh A, ta vẽ được bao nhiêu vectơ có gốc là A. A) 1. B) 2. C) 3. D) 4. Câu 3. Cho AABC. Phát biểu nào sau đây đúng ? A) . Ai . e R . B) AB y AC = 1 . IabI.IbcI.IcaI BC C) |ãb + bc|>ãc. D) |ãb + bc + õa| = õ. Câu 4. Cho AABC. Phát biểu nào sau đây sai ? Ax ÃB-ÃC ' : ÃB + BC-CA g BC . IbcI C) ÃB-ÃCVÕ. D) ÃB + BC-ÃC = Õ. Câu 5. Cho AABC đều, cạnh a. Phất biểu nào sau đây sai ? A) |ÃB + Ẽc| = a . B) IãB - Ãcl = a . C) |ÃB + Ãc| = a. D) IãB - cSl = a . Câu E. Cho hình bình hành ABCD tâm o. Phát biểu nào sau đây sai ? A) Ãổ + Õc ■= Ãc . B) ÃB + ÕD = Ão. C) ÃB + CD = 0 . D)ÃB + ÃC = BC. Câu 7. Cho tứ giác lồi ABCD. Phát biểu nào sau đây sai ? A) ÃB + BC + CD + DẤ-Õ. B) ÃC + BĨ3 = ÃB + CD. C) ÃB + CD = ÃD + CB. D) ÃD + BC = ÃC + BD. Câu B. Cho hình bình hành ABCD tâm o. Phát biểu nào sau Câu 9. đây sai.? A) ÃC-+ BD = õ . B)ÕC + ÕB = ÃB. C)ÕA + ÕC = ÕB + ÕD. D)ÕA-ÕB = CD. Cho AABC. Gọi I, J, K là trung điểm của BC, CA, AB. Điểm M trong mặt phang thoả 2MA + MB + MC = 0 . Hồi phát biểu nào sau đây sai : M trùng với A) điểm I. B) trung điểm của AI. C) trung điểm của KJ. D) tâm của hình bình hành AKU. Câu lũ. Cho AABC. Điểm N thoả quan hệ NA-NB + NC = Õ thì N trùng vói : A) Trọng tâm AABC. B) Đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCN. C) Trung điểm cạnh BC. D) Đỉnh B. Câu 1 1 - Cho AABC có trung tuyến AD. Gọi M là trung điểm của AD. BM cắt AC tai N. Tỉ số NM NB có trị sô" là : Cãu í B. Cho AABC đều, cạnh a nội tiếp trong đương tron târa O. Cho điểm M tuỳ ý trên đương trồn, MA + MB + MC có giá trị : A) 3a. B) aVã . C) Ah D) Aỹ 3 6 Câu 13 . Cho AABC. Tập hợp các điểm M nào thoả các quan hệ sau đây là tập hợp 0 ? A) |mẩ+mb| = |ma+mc|.b) MÃ + MB + MC = õ. C)MB + MC = BC. D) MB = MC. 51 Câu 14. Cho AABC có trung tuyến AD. Gọi G là trọng tâm tam • ✓ V TỊ ar -Ị \ • />' i N / T>1_ ' I 1 » /ỹ. __ y . _ 4 y- ỊỊ y . ' «■> g-Ịo 0 ỰQ j\/j[ i QIÔ1T1 tuy y irnal OISLI 11 £10 Sciu Qciy ici Bell . r A) GA + GB + GC = õ . B) GB + GC = 2GD. DA -. _ . . C) G==r = 2. D) MA + Mtí + MC = 3MG . DG Câu 1 5. Cho tam giác ABC có phân giác trong là AM. Phát biểu nào sau đây là đứng ? . s MB ÃB MB AB A)G=A = -4=G. = MC AC MC AC C) MB = AB D) MB + MC = BC . MỔ AC Câu 185. Cho MNPQ là hình bình hành. Phát biểu nào sau đây là sai ? A) MN = PQ. B) MN + MQ = MP . C) MN4-NP = MP . D) MN-MQ = QN. Câu 1 7. Gọi E, F là trung điểm của các cạnh AB và CD của hình bình hành ABCD, tâm o. Đương chéo AC cắt DE và BF tại I và J. Phát biểu nào sau đây là sai ? A) Ãĩ = ĨJ = JC . B)ÕE + ÕF = Õ. , C)ÕĨ = ÕJ. D) ĨA + ĨB + ĨD-Õ. Câu 18. ABCD là hình thang, hai đương chéo AC và BD gặp nhau tại o. Gọi M, N là trung điểm của hai cạnh đáy AB và CD. Đương thẳng qua o và song song vói hai cạnh đáy cắt hai cạnh bên AD và BC tại E và F. Phát biểu nào sau đây là sai ? A) ÕE 4- ÕF = õ . B) ÕM + ÕN = Õ. C) ÕM//ÕN. D) QA ± QB ± QC . i - Q - g - = ÕM + Ổn . 2 52 Câu 1 3. Cho hai hình bình hành ABCD, ABEF chung cạnh AB và AD không cùng phưong vói AF. Phát biếu nào sau đây là đứng ? A) ÃD + ÃF = ÃD . B) ĂE + Ãc = ÃB . C) ÃF + ÃB + ÃD = ÃE + ÃC. D) CE = DF . Câu ao. ABCD là hình chữ nhật tâm o. Phát biếu nào sau đây là đứng ? A)5Ã.S±ÕD. B) Ãõ,s±a. 2 2 C)ÃC = BD. D) ÕB + +ÕD = BD. Câu 0 1. Cho a^o và b ^ 0 . Nêu |a + b| •= |a — b| thì : A) a//b . B) a = b . C) a _L b . D) a + b = 0 . Cãu gg. Cho a ^ Ổ và b ^ 0 . Nếu |a + b| — |a| + |b| thì : A) a và b cùng huớng. B) a và b ngược hướng. C) a = b . D) a ± b . Câu 23. Cho hình vuông ABCD, cạnh bằng 1. Biểu thức (ăb + ãc + ãd)(bă + bc) có giá trị : A) 0. B) 8. 0 4^2. D) 16. Câu 24. ABCD là hình thoi, cạnh a, tâm o. Biểu thức (õẩ + õbHõc + õd) CÓ giá trị : A) -a 2 . B) a 2 . C) “4a 2 . D) 4a 2 . Câu 25. AABC đều cạnh bằng 1. về phía ngoài tam giác, vẽ tam 53 giác ABD vuông cân tại A. Biểu thức ÃD.ÃC có giá trị : A) 2 " B) 2 ' C) -ệ. Đ)ệ. 2 2 ' Câu 26. Cho AABC đều cạnh bằng v3 , nội tiếp trong đuờng tròn tâm o. Biểu thức Oa(ơB + Õc) có giá trị : A) 1. B)|. 2 C)-f. D)-l. Câu 07. Cho ABCD là hình vuông. Phát biểu nào sau đây là sai ? A) ÃD.ÃC = ÃC.ÃB . B) AB.DC = 0. C) ÃC.BD = 0. D) ÃC.ÃB = AB 2 . Câu 28. Gọi AB và CD là líai dương kính vuông góc của đương tròn tâm o. Phát biểu nào sau đây là đúng ? A) ÃC.ĂD = ÃB.CD. B) ÃB.ÃC + ÃB.ÃD = 0. C)ÃB = CD. D) ÕÃ(ÕB + ÕC + Õd) = 0. Câu E9. ABGD là hình vuông tâm o. Phát biểu nào sau đây là đũng ? A) ÕA + ÕB + Õc + ÕD = õ . B) ÕA.ÕB = ÕC.ÕD. C) ÕA.ÕC = ÕB.ÕD. D) Cả ba câu trên. Câu 30. Tam giác ABC đều, nội tiếp trong đương tron tâm o. Phát biểu nào sau đây là sai ? A) ÕA + UB + UC = Õ. B) (ÃB + BC + CÃ) + (ÃB + BC-CÃ) = 0. C) õa(õb + õc) = o. D) Bc(ÕB + Õc) = 0 . 54 Câu 3 1. Cho hình thang vuông ABCD, đáy lớn AB, đáy nhỏ CD, đương cao AD = 2, nhận I làm trung điểm sao cho ẤBÌ = ỈBC = 30°. BI cắt CD kéo dài tại E. Biểu thức ĨẨ(ĨB + ĨD-Ĩe) có giá trị : A) 2. B)n/3. C)l. D)Ị Câu 32. Cho AABC vuông tại A, có B = 60°. Kè đương cao AH và trung tuyên AD. Phát biểu nào sau đây là đúng ? A) BA.BC = 2BA.BD . B) BA.BC = 4BA.BĨĨ . C) BA.BC = 4BH 2 . D) cả ba câu trên. Câu 33. Cho hình bình hành ABCD. Đặt AB = a, AD — b. Phát biểu nào sau đây là sai ? A) ă + b = Ãc . C) dt(ABCD) = a.b. B) a — b = DB . r _ T AD' D) a.b = —— ; —— 2 BD Câu 34. ABCD là hình chữ nhật. Một học sinh chứng minh AB = DC qua 4 bưóc : Ạ) Vì A = 90° =*> ÃD.ÃB = 0. B) Vì D = 90° =4> AD.DC = 0 . C) Từ ÃD.ÃB = AD.DC =» ÃB = DC. D) Vậy ABCD là hình chữ nhật, suy ra AB = DC. Hồi bước nào sai ? Câu 3 5. Cho ABCDEF là lục giác đều nội tiêp trỏng đương trồn tâm o. Phát biểu nào sau đây là sai ? A) ÃB.ÃD = ÃF.ĂD. B) ÃB.ẼC = ẼD.ẼC . C) ÃB.ẼC = ÕC.ẼC . D) ÃB.ÃD = ÃO.AD . 'ị y Câu 3 6. Hai hình vuông ABCD và AEFK được săp như hình- vẽ. Cho biết K là trung điểm của cạnh AB. Phát biếu nào sau đây là sai ? 55 A)ÃB.AF = AB.AC. 'n \ /\ f _1 AO :_ OA OÌR C) ÃC.ÃF = 0. D) ÃC = 2FB. Câu 37. Cho AABC. về phía ngoài tam A E giác, vẽ hai tam giác vuông cân tại A là ABE và ACF. Phát biểu nào sau đây là sai ? A) ÃE.ÃB = ÃC.ÃF . B) ÃE.ÃC = ÃB.ÃF . C) ÃE.ÃF = ÃB.ÃC. D) Trung tuyến AM của AAEF là đương cao AABC. Câu 38. Cho a ^ 0, b VÉ 0. Mệnh đề nào sau đây là sai ? A) |a| = |b| => a = b . B) |a + b| = |a - b|. C) a.b = 0 và b.c = 0 => a.c = 0. D) Cả ba câu đều sai. Câu 33. Cho a ^ 0, b vt 0. Mệnh đề nào sau đây là sai ? A) a.b = |a|.|b|cos(b,a). , Ị . B) ã.b = i (|ă + b|) — (|a —b|) C) a.b = Ậ(a + b) —(a —b) D) a.b = 4(a + b) +(a-b)" 4 í Câu 40. Cho AABC có AB = 3, AC = 4 và BAC — 4:0°. về phía ngoài tam giác, vẽ hai hình vuông ABFE và ACMN. Gọi o là trung điểm của EN. Để chứng minh Ào _L BC ^.một học sinh lập luận qua ba bước : ■ ■ ' ỉ (I) Ãõ = ~(ÃẼ + Ãĩĩ) và BC = Ãc - ÃB. Suy ra : 2 ' 56 A0.BC = Ậ(ÃẼ.ÃC - ÃẼ.ÃB + AN.AC - AN.AB). 2 (II) Vì : ẤE.ÃB = ÃN.ÃC = 0 và ÃE.ÃC = AN.AB = 12cosl30 11 . (III) Vậy AO.BC = 0 4* ÃÕ -L BC . Chọn mệnh đề đúng. A)Chỉ(I). B) Chỉ (II). C) Chỉ (III). D) Cả (I), (II), (III). Câu 41. Cho hai điểm A, B cô định. Quỹ tích các diêm M thoa |mầ + MẼ| = ImÃ - MBỈ là : A) Đương thẳng AB. B) Đường thẳng (Aj) _L AB tại A. C) Đường trung trực (A 2 ) của đoạn AB. D) Đương tron. Câu 42. Cho AABC. Quỹ tích các điểm M thoả AB.AM = AB.AC là : A) Đương thẳng AB. B) Đương thẳng () _L AB tại A. C) Đương thẳng (A 2 ) _L AB tại c. D) Đưồng trung trực (Ag) của AB. Câu 43. Cho AABC. Quỹ tích các điểm M thoả AB.AM = AM 2 là A) Đương thang AB. B.) Đưồng thẳng (A 1 ) ì. AB tại A. C) Đương trung trực (A 2 ) của AB. D) Đương tron đường kính AB. Câu 44. Cho AABC. Quỹ tích các điểm M thoả mÃ(mb+mc) + (mb + mc) 2 = 0 là : A) Đương trồn đương kính BC. 57 B) Đương tròn khác. ỉ_, > uương tron Gương í^mn /\H D) Đưbng tron đương kính AC. Cáu 45. Cho ABCD là hình chữ nhật. Quỹ tích các điểm M tho ả MA + MB + MC - MD là : A) Đương chéo BD. B) Đương chéo AC. C) Đương trồn qua A, B, c. D) Đương thẳng (A) _L BD tại D. Câu 46. Cho ABCD là hình chữ nhật. Quỹ tích các điểm M thoả |mẨ + MB| = |mÕ + Md| là : A) Đương thẳng AB. B) Đường trung trực cạnh AD. C) Đương trung trực cạnh AB. D) Đương trồn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD. Câu 47. Cho AABC. Xét MA + MB - MC = 2CB . Một học sinh phát biếu : . A) Điểm M nằm trên cạnh BC. B) Điểm M nằm trên đưồng trung trực cạnh BC. C) Điểm M là đỉnh thứ tư của hình bình hành ABCM. D) Điểm M là trọng tâm AABC. Câu nào đứng ? Câu 48. Cho AABC. Quỹ tích các điểm M thoả ma!mb = ma.mc là : A) Đương thẳng AB. B) Đương' thắng í A. Ị I AB tai c. C) Đưòng thẳng (A 2 ) I BC tại A. D) Đương trồn đương kính AB. 58 Câu 49. Câu 50. Câu 3. Câu 4.' Câu 5. Câu 6. Câu 7. AABC vuông tại A. Quỹ tích các điểm M : MB.M£ = MA 2 là : A) Đương thẳng BC. B) Đưbng tron đương kính BC. C) Đương thẳng (A 1 ‘) -L BC tại A. D) Đương thẳng (A 2 ) vưông góc vói trung tuyên tại A. Cho AABC vuông tại A. Quỹ tích các điểm M thoả : MB.MC = MA.BC + MA 2 là : A) Đương thẳng AC. B) Đương thẳng AB. C) Đưồng thẳng BC. D) Đường trưng trực cạnh BC. GIẢI THÍCH - HƯỚNG dẦM AB + AC không cùng phương vói BC . số thực |ÃB + BC| = |ÃcI không thể so với AC . |ÃB + BC + CẨ| = O^Õ. Vậy câu A). ÃB - Ãc > õ <=> ÃB > Ãc là sai, vì ta không thể so sánh hai vectơ. Câu C). Kè đương cao AH thì |aB + Ac| — 2|ah| = aV3 . Câu C). ÃB + ÃC = BC^ÃB + ÃC-BC = õ ^ÃB + ÃB = Õ^ÃB = Õ . Câu D). ãc + b5 = ãb + cd<^ãc-ãb = cd-bd <Ễ=> BC = CB . Câu B). 59 Câo B. AC + BD = 2(ơc + OD) = BC VÉ õ. Câu A). Câu 3. 2MA + MB + MC = 0 MA H- IVÍB + MẢ + MC = õ /. Myi XV “ị - ÍVU j “ 0 M là trung điểm của đoạn thăng KJ, và dĩ nhiên, là trung điểm của AI và là tâm của hình bình hành AKIJ. Câu A). Câu 1D. na-nb + nc = õ^na = nb-nc = cb ^ ĂN = BC ABCN là hình bình hành. Câu B). Câu 1 1. Kẻ DE // BMN. AADE : NM ■= ẬẼD ; ACBN : ẼD == -NB 2 2 Suy ra NM = -ỈNB . Câu B). 4 Câu 12 . Vì AABC đều nên o là trọng tâm tam giấc VMg(O): (ma + MB + Mc) = 3 |mo| = 3R = a^/3 . Câu B). Câu 13. M = ÍM/MB = Mc} = 0 vì MB = MC MB-MC = õ <=> CB = õ . Sai. Câu D). Câu 14. Câu C) sai, vì DA = 3DG . Câu C). Câu 1 5. Câu A) sai vì ÃB và Ãc không cùng phương. Câu C) sai vì MB và MC ngược hưóng. Vậy câu B). Câu 1 6. Câu A) sai vì MN = QP . Câu A). Câu 1 7. Câu C) sai vì OI + OJ = õ. Câu C). Cãu 1 B. Câu A) đứng vì dùng tính chât song song chúng minh được OE = OF. Câu C) đứng : tính chất hình thang. Câu D) đúng : Quy tắc “trung tuyến”. Câu B). / 60 Câu 1 9. Câu 22. Câu 23. Câu 24. Câu 25. Câu 285. Câu 27 ABCD là hình bình hầnh ABCD là hbh o DC = ÃB ABEF là hbh ÃB = FÉ DC = FE« DCEF lầ hbh <4- CE = DF . Câu D). Câu A) và D) sai, vì ÕB + ÕD = õ. Câu C) sai vì AC và BD khác phương. Vậy câu B). |a + b| = |a — b| => (|a + b|) = (|a —b|) =>a 2 +b 2 + 2ab = a 2 +b 2 .-2ab ^ a.b = 0 ^ a 1 b . Câu C). |a 4- b| = |a| + |b| => (|a + b|) = (|a| + |b|) => a 2 + b 2 + 2a.b = a 2 + b" + 2|a||b| =>■ a.b = |a||b| => cos(a,b) = 1 <& a và b cùng bướng. Câu A). (ÃB + Ãc + Ãd)(ẼA +BC) = 2ÃC.BD = 0 . Câu A). Gọi E, F là trung điểm hai cạnh AB và CD. (ÕA + Õb)(ÕC + Õd) = 4ÕE.ÕE = -40E 2 = -a 2 . Câu A). AD.AC = AD.AC cos (90° + 60°) = lxlx(—sin 60°) = ——Câu C). /Li AABC đều, cạnh bằng \ís nên tâm o là trọng tâm và n/3 3 đương cao tam giác bằng Vã.—- =■ — - Vậy : © Zj /-j ÕẨ(ÕB + Õc) = ÕẤ(-Õa) = -OA 2 '2 3 j 2 , 32 , 1. Câu D). . Vì ÃB = DC => AB.DC = AB.DC = AB 2 . Câu B). 61 Câu 08. AB.AC + AB.AD = AB(AC+ AD) = AB a . Câu B) sai. i ^ K _L_ ì í ' 1 ị i Ị I Ị —— ị ì /\ ^ ;■ j yj _j_ Ị' ị Ị 1 V í Ú / _ ri ĩ Câu D) sai. Câu C) sai vì AB _L CD . Vậy chọn câu A). Eâo sa. Do tính chất hình vuông : hai đương chéo bằng nhau, vuông gốc tại trung điểm mỗi đương. Câu D). Câu 3 0. Tam giác ABC đều nên o là trọng tâm, nên : ÕA(ÕB + Õc) = Õa(-Õa) = -OA 2 . Câu C). Câu 3 1. ỉa(ĩb + íd-ĩe) = ĩa(ĩb + ẽd) = ĩa(ĩb + ãb) ĨA.ĨB + ĨA.ÃB = IA 2 = 1. Câu C). Câu 32. Đặt AB = a => BC = 2a,BD = a,BH BA.BC = a.2a.ị = a 2 2 —4—♦ 1 a 2 BA.BD = a.a.i = ị 2 2 .2 a 1 a BABH — = — . Vậy câu A), B) đứng. 2 2 4' BA.BH = BH.BH = BH 2 . Câu C) đúng. Chọn câu D). Câu 33. dt(ABCD) =/.-t-AB.AD sinA. i a.b = |a|.|b|cos(a,b) = AB.ADcosA . Câu C) chỉ đúng vói sin A = cos A « A = 45°. Vậy câu C) Câu 34. Câu C) sai, vì ã.b = ă.c^b = c . Ví dụ ABCD là hình vuông cạnh a thì AB.AC = AC.AD = a 2 => AB = AD là sai ĩ. Câu C). Câu 35. ÃB.ÃD = ĂO.ÃD o Ãd(ÃB - ÃÕ) = 0 Ăd(Õb) = 0 AD_LOB. Câu D). 62 ÃB(AF - ác) = 0« ÃB.CF = 0 <4> AB J_ CF (sai). Vậy câu A). Câu 3 7 . Vì ẼAF = TỤ - A nên cos EAF = - cos A . Vậy ÃẼ.ÃF = -ÃB.ÃC . Câu C). Câu 38. Câu A) và C) sai qua ví dụ sau : Cho ABCD là hình vuông. ÃB.ÃD = 0 AD.DC = 0 ÃB = DC. => AB.AD ■= AD.DC => AB.DC = 0 sai, vì * AB = AD => ÃB AD . Trong lúc đó, vì câu B) đúng nên câu D) sai. Câu D). Câu 33. a.b =i(a 2 + b 2 + 2ab-h a 2 + b 2 - 2ab) = —(a 2 + b 2 ) ; (1) 4 z a.b = |a||b|cos(a,b). (2) So sánh. (1) và (2):. cos(a,b) = ^ 1 ÌẲÍ-<l <^a 2 +b 2 < 2|a||b| ^ (a - b) <0 2|a||b| chỉ đứng nêu a = b (trái giả thiêt a,b tuỳ ý !). Vậy câu D). Câu 40. Câu D). Cãu 41 Gọi I là trung điểm của AB. Yêu cầu bài toán trơ thành I 2 M 1 I = lẼÃl o mi = “AB (không đổi). Quỹ tích là đuờng 2 tròn I ,-ab 12 ì Câu D). Câu 42. Yêu cầu bài toán trơ thành : ÃB.ÃM - ÃB.ÃC = 0 o ÃB(ÃM - Ãc) = 0 44- ãb(cm) = 0 <s> cm _l ab «Mễ (A 2 ). Câu C). - 4 * As» í 611 csu bai toan tro tliàĩiii . AB.ÃM-AM 2 = 0 Ãm(ÃB-Ãm) = 0 •» ẤM.MR = 0 #MA1MB <=> M thuộc đường tròn ■ đương kính AB. Câu D). Câu 44. Gọi I là trung điểm cạnh BC và G là trọng tâm AABC. Yêu cầu bài toán trỏ' thành : (mB + MC)(MA+MB + MC) = 0 ^2MỈÍ3MG) = 0 ^ 6MỈ.MG = 0 ^ MI ± MG <=> M thuộc đương trồn đương kính IG. Câu B). Cíâu 45. Gọi G là trọng tâm AABC. Yêu cầu bài toán trò' thành 3MG = MD^ 3MG = MG + GD <^> 2MG = GD ^MeBD. Câu A). Câu 46. Gọi ĩ, J là trung điểm các cạnh AB và CD. Yêu cầu bài toán trò' thành : |2MĨ| = |2Mj| <=$> MI = MJ ^ M thuộc đường trung trực đoạn IJ. M thuộc đương trung trực cạnh AD. Câu B). Cau 47. Yêu Cầu bài toán trò' thành : MẤ + MB = MC + 2CB MA + MB = CB + MC + CB ^MA + MB = MB + CB 4* MA - CB ABCM là hình bình hành. Câu C). Cãu 4B. Yêu cầu bai toán trỏ' thành : 64 MA.MB - MA.MC = 0 MẤ(mB- MÕ) = 0 «■ MA.CB = 0 MA _L BC o M e (A 2 ) . Câu C). Câu 49. Yêu cầu bài toán trơ thành : (ma + Ãb)(mÃ + Ãc) = MA 2 Ĩ&K' 2 + MÃ (ÃB + Ãc) + .ĂRáC = _MẤ" 2 ^ 2MẠ.AI = 0 (I là trung điểm BC) ^MAl AI ^Me(A 2 ). CâuD): Câu 50-■Yêu cầu bài toán trồ' thành : (ma + Ãb)(mĂ + Ãc) = MA.BC + MA 2 <s> ĩ&ỉC 1 +MÃ(ĂB + Ãc) + ỉẽ^KC = MA.BC + JVEẤ^ 2 <^> MA.AẼ = MẤ.BC (E là đỉnh thứ tu- của hình chữ nhật ABEC) «MÃ(ÃẼ-BC) = 0«2MĂ.CẼ = 0^MA1CE « MA 1 AB «■ M e AC. Câu A). 5-H.HỌC 10, 65 Oiuntig II. ETSk & _ HỆ THỦ1C LUipiyE TRQHIE ‘AM GIÁC VÀ ĐUtmỉG TRÙM § 1. HỆ THÚC LUtmiG TRONG TAM GIÁC A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT _ ^ 1. Định lí côsin © Kí hiệu : Cho AABC có các góc là A, B, c, cạnh dối diện tương ứng theo thứ tự đó là a, b, c. • Công thức : . a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cổs A b 2 = c 2 + a 2 - 2caeosB ^ c 2 = a 2 + b 2 — 2abcosC 2. Định lí sin © Kí hiệu : R là bán kính đương tròn ngoại tiếp AABC. © Công thức : Kí hiệu : m , m b , m c là các trung tuyến vẽ từ các đỉnh A Lílw Công thức b 2 + c 2 a 2 2 4 c 2 + a 2 c<! ph 2 4 a 2 + b 2 c 2 2 4 5n g thúc tính diện tích tam giác Kí hiệu : s là diện tích tam giác ABC. h a ,h b ,h c là các đương cao vẽ từ các đỉnh A, B, c r là bán kính đương trồn nội tiếp của tam giác. 2p = a + b f c là chu vi tam giác. Công thức : s = ị ah = ịbh, = ịch 2 2 2 s = ẶabsinC == ịbcsin A = ịcasinB 2 . 2 2 g _ abc 4R s = pr S = J p(p-a)(p-b)(p-c) Ví dụ 1 . Cho AABC có a = 13, b = 8, c — 7. 1) Tính góc A, suy ra s, h a , R, r, m a . 2) Tính s, suy ra A, h a , R, r, m a . Giai 1 ) Ap đụng uỊniì li CỔSÌ11 : 1 2 I b + c 2bc a 2 = b 2 + c 2 - 2bc cos A A> cos A =+> A —120°. s = ịbcsin A = Ỉ 56 .+. = uTã . 2 2 2 „ 1 , , 2S 2.1473 2873 s = -=-ah„ +> h- = —- = ‘ = —r 2 a 13 13 0 abc „ abc 7.8.13 I 3 V 3 4R 4S 4.1473 3 „ __ 2S _ 2.1473 _ R a + b + c 7 + 8 + 13 2 — a 2 m b 2 + c 2 a 2 49 + 64 169 _ 57 rn 757 2 4 2 .4.4 2) 2p = a + b + c = 7 + 8 + 13 = 28 =7* p = 14 . s = ,Jp(p — a)(p - b)(p — c) = Vl4(l)(6)(7) — I4V3 2S _ 28^3 _ 73 s = 7 bc sin A =+ sin A = 7— = 2 bc 56 =7 A = 60° A = 120°. s A = 60 : a 2 = b 2 + c 2 — 2bccos60 ' 1 ' ,2 = 64 + 49 - 2(56) ® A = 120° : a 2 = 64 + 49 - 2(56) Vậy A = 120°. *+, . . ... 2873 1373 Tưong tự câu 1) : h„ = - _ , K = — r— , r 113-56 = 57 (loại) = 113 + 56 = 169 (nhận) 73 n+ 757 13 3 2 Vi dụ a. Cho ẠABC nội tiếp trong đương tron tâm o, R = 76 , biết B = 45°,c = 60°. 1) Tính các cạnh tam giác. 68 2) Tính s, sinA, h a , r. Giải 1) Áp dụng định lí sin : a _ b _ c sinA sinB sinC 2R b = 2RsinB = 277. 77 2 73 277 c = 2R sin c = 276.77 = 372 . 2 Ap dụng định lí côsin : c 2 — a 2 + b 2 — 2bccosC a 2 - 2\/3a — 6 = 0 a = 77-3<0 a = 77 + 3 > 0 (nhận) <+ a = 77 + 3 . 2) s = iacsinB = 1-372(77 + 3)=- = ậ(77 + 3). 2 2 2 2 o 11_._ * ._ . 2S 3(77 + 3) 77 + 3_7ẽ + 77 s = bc sin A +> sin A = -— = ' ' = r= = - —-- . 2 bc 377.277 276 4 ■ 1 , , 2 S 3(77 + 3 ) s = 2 ah a =*■ h a = — - —^— a 77 + 3 3(77 + 3) = 3 o .... . .. s 3173+3j 3 + 77 D = pr=>r = — =-7=——7=— —J= = - 7=- — 7= p 3 + v3+2Vh+3v2 I + V 3 +V 2 Vi dụ 3 . Cho AABC cân tại A, góc đáy B = c = 30°, cạnh đáy BC = a = 77. 1) Tính R, r. 2) Tính (m 1 ,-m a )(m b +m a ). . Giải 1) Áp dụng định lí sin : a sin A 2R =+* R a 2 sin A 2 . 77 77 69 b = c = 2Rsin30° = 2.4 = 1 . 1 s _ s 'S — — bc si Ĩ1A 2 2 2 4 s = pr => r = 2S ; ■ = . T 1 4 = 21,(2 - 73 ). a + b -j- c yJ3 + 2 2 2) ( m l, ~ m a')( m b + m a) = m b ~ m ẩ _ 2a 2 + 2c 2 - b 2 2b 2 + 2c 2 - a 2 _ - - _2a 2 — b 2 — 2b 2 + a 2 _3 /2 r 4 - 4 Va ậ(3-l) = -I 4 2 CHỬNG ỈVIiNH CJUAN HỆ GIỮA CÁC YỂU TỐ TRONG TAF GIÁC Vi dụ 1. Chứng minh với mọi tam giác vuông, hai cạnh góc vuông b, c ta có quan hệ : b + c = 2(R + r). Giai s = ““ bc bc bc Ọ . -ỵ* —__ _ s = p r 2p b + c + 7b 2 +c 2 bc (ồ -\- c — ^/b+ c ■) b + c — Vừ “h c 4r = — -— -- =--—T— - 2bc 2 = 2R =ỉ> a = 2Rsin90° = 2R = Vb 2 + c 2 . a sin A Vậ- 3 ^ : 2r = b + c — 2R 7 =Ị> b + c = 2 (R 4- r). Ví dụ H- Chứng minh vói mọi tam giác ABC, ta có : „ 2 , T 2 . „2 Q _L_ 0 ì cotA + cotB 4- cotC 4S 70 Giải Áp dụng định lí côsin và sin cho góc A : _ A b 2 +c 2 -a 2 cos A = - —-— -R Ị sin A Tưcmg tự : 2R 2bc cotB: cotC cot A R(b 2 + c 2 - a 2 ) abc R(c 2 + a 2 - b 2 ) abc R(a 2 + b 2 -c 2 ) Suy ra : cot A + cot B + cot c abc a 2 + b 2 + c 2 _ a 2 + b 2 + c 2 abc R 4S Vá dụ 3. Chứng minh công thức diện tích tam giác ABC ; s = ỉ(a 2 sin2B + b 2 sin2A). 4 . Giải ì(a 2 sin 2B + b 2 sin 2 à) = ị(a 2 sin B cos B + b 2 sin A cos à) 4 2 b a 2 +c 2 -b 2 Ị b 2 a b 2 + c 2 — a 2 2R ’ 2ac 2R 2bc \ , a 2 , 1 2 1 í ab (a 2 '-b 2 +c 2 ) . 4Rc 4Rc ab .(2c 2 ) = ^ = s ab (b 2 +c 2 -a 2 ) 8Rc 4R Bạng 3. IXIHẬN DẠNG TAM GIÁC Vá 'dụ 1. Chứng minh nêu các cạnh tam giác thoả b 3 + c 3 - a í b + c - a = a b a , c , —I— — 1 + _ c a ac ( 1 ) ( 2 ) 71 thì đó là tam giác đều. Giai Ta có : (1) <=> b 2 + c 2 cr o II ỈO t>c (3) (2) a 2 + c 2 CQ II o cỗ 1 (4) Theo đinh lí hàm số cosin : a 2 = b 2 +c 2 - 2bccosA. (5) b 2 = c 2 + a 2 - 2ac cos B . (6) Từ (3) và (5): cos A = ỉ 4=> A = 6.0° . 2 Từ (4) và (6): cosB = 4 «=> B = 60°. 2 Vậy AABC đều. Ví dụ a. Nhận dạng tam giác ABC nếu ta có : s == ì(a + b — e)(a — b + c). 4 Giải s = Vp(p-a)(p-b)(p-c), p a + b + c ^ 4S — \Ị{ a + b + c)(a ; b — ,.c)(a — b. + c)(—a 4- b + c). So vói giả thiết thì : (a + b + c)(b + c -a) = (a + b - c)(a - b + c) <^> (b + c + a)(b + c - a) = [a + (b - c)][a - (b - c)] <^> (b + c f - a 2 = a 2 - (b - c) 2 (b + c) 2 + (b — cý 2a b 2 + c 2 = a 2 <44 AABC vuông tại A. Cách khác. s — ị'(a + b — c)(a — b + c) 4 4 [a + (b - c)][a - (b - c)] = \ (a 2 ) - (b - c) 2 72 b 2 + c 2 — 2bccosẠ — (b 2 + c 2 — 2bc) 2 a 1 1 4 ỉbc(l-cosA) và s = AbcsinA 2 2 Vậy: 1 — cosA = sinA => A = 90 Vá dụ 3- Tìm tính chất đặc biệt của AABG nêu ta có : 2acos A = bcosC + ccosB Giải Áp dung định lí sin : Yêu cầu bài toán tuong đưong vói : 2(^íĩ( sin A)cos A = sinB)cosC sinC)cosB 2sin A cos A = sin (B + c) = sin A cos A = 4 (do sin A ^ 0 )<ỉ=> A = 60° . 2 Vậy AABC có góc A bằng 60°. c. BÀI TẬP Bài 1. Cho AABC có cạnh AB= b = 4, AC = c = 3, BC = a>5 và diện tích s = 3 Vã. 1) Tính góc A và cạnh a. 2) Tính các bán kính của đương tron ngoại tiêp và đương tròn nội tiếp tam giác. Bàia. Cho AABC có chu vi 2p = 3 + ^3 sao cho A = 30 và B = 2C. 1) Tính các cạnh tam giác.. 2) Tính độ dài đương phân giác trong AD của tam giác. Bải 3. Cho AABC có a = 13, A =.120° , b + c = 15 (b > c). 1) Tính b, c và s. 2) Tính R, r và m a . 73 Bài 4- Cho AÀBC có a = 2\/3 , b = 2 V 2 và c = \Ỉ6 — V 2 . Ị Ị ị 'Ị Ị-Ị h r» 0 o 0 'C\ /X K Ị ' «1 -Ị ó +- o VVÍ o—' Ó n 1/ iiim V/UU gui íi, u, V cưa tam gictC. 2) Suy ra giá trị sin 15°. Bài 5. Cho hình bình hành ABCD, tâm o, đưbng chéo AC = 4 và đương chéo BD = 2 hợp vói nhau góc 60°. Cho biết AB < BC. 1) Tính các cạnh và diện tích hình bình hành. 2) Tính tích R.r của các bán kính của hai đương tron ngoại ị và nội tiếp AABC. Bài e. Tam giác ABC có b + c = 2a. Chứng minh : 1) 2sinA = sinB + sinC. 2) A=A+A K K ho Bài 7. Nhận dạng AABC nếu ta có : mị + mj = 5mJ . Bài B. Cho tam giác đều ABC cạnh a. Trên các cạnh AB, BC, CA lấy các điểm M, N, p cho bồi AM — BN = CP = X (0 < X < a). Tìm X để dt(MNP) = ỉdt(ABC). 3 Bài 3. Cho AABC có đương phân giác trong góc A là AP = m. 1) Cho A = 120° . Chứng minh : — = ì 4 - — m b c 2) Cho A tuỳ ý. Gọi I là trung điểm của AD. Qua I, kẻ IEF (E e AB, F G AC ) sao cho dt(AEF) = ỉdt(ABC). Chứng minh : AE + AF 1 AB + AC “ 2' Bài lO.Cho AABC và phân giác AD = 12. Cho DC = 6 và DB = 4 . Tính hai cạnh AB và AC của tam giác. 74 3 SI 1 1, A . 2S 73 _A = 60 1 . 1) s = 7bcsinA =!> sinA = — = y- => , 2 bc _ 2 [Â = 120°. Mà a 2 = b 2 +c 2 -2bccosA > 25 (do a > 5) nên : J sA< A±A^ = ^±^ = o=,Âtù. 2bc 2.12 Vậy A = 120° . Do đó a 2 = b 2 + c 2 - 2bccos A = 16 + 9 - 2.12 Suy ra : a — V 37 > 5 . a _ — a 2 ) 37 sin A s = pr => r Bài a. 1) Ta có „„ „ a 7ĨĨĨ 2R =7 R = ——;-— — — • 2sinA 3 _ _ s _ 373 = 73(7-737) p 7 + 7 3 7 ~~ 2 " 2 . A = 3C B = 2C =+ A + B + C = Í80° c A = 90° B = 60° c = 30° Tacó: = = = . 2p , 2. sin A sinB sinC sin A + sinb + sinC ra : a = 2 sin 90° = 2 b = 2 sin 60° = Vã [c = 2 sin 30° = 1. 2) Do A = 90° nên ỄÂD = DĂC = 45°. ẠABD : ^ n - =t — =7> BD = ^ AD sin 45° sin 60° 3 AACD : , CD -r = , A ^ --y =7 CD = V 2 AD. sin 45° sin 30° suy 75 Bài 3 Bài 4. Do đó : 2 = ^ 6AD + \/2AD => AD 6 Ị n Ị Ị o , n \À[\Ịc 3J Vây r «ỹ A[\ _ ^ /o(o /0ì 2 V ^ V " Cách khác. Ta có : dt(ABC) = dt(ABD) + dt(ACD), do đó : ị bc = +AD sin 45° + ị bAD sin 45° 2 2 2 & <+> AD 7 , - - - = — 73 T = 1 42 3 - 73 . (b + c)sin45 (v§ + 1 ) 1 2 72 1) a 2 .= b 2 + c 2 - 2bc cos A <^> b 2 + c 2 + bc = 169 . b + c = 15 => b 2 + c 2 + 2bc = 225 . Lây (2) - (1) vế theo vế ta được : bc = 56. Vậy b, c là nghiệm phưong trình : t 2 -15t + 56 = 0+> Do b > c : b = 8, c = 7. t = 7 t = 8. s = ỉbcsin A = ị(8)(7) 2 2 2) a sin A 2R => R == a 14 + . 13 13+ s 2sin A 2.14+ 2 . + + . s = pr => r = — p 7 + 8 + 13 b 2 + c 2 a 2 49+64 169 _ 57 2 4 “ 2 4~ ~~ ~4~ m m. +7 b 2 + c 2 — a 2 8 + ( + - +) 2 -12 2 ( 2 +)(+-+) 1) cosA 2bc Suy ra : A = 120° . C0=E _ c 2 + a 2 -b 2 _ (+-+/+12-8 _ + 2ca 2 (+-+)( 2 +) 2 ( 1 ) ( 2 ) => B = 45°. 76 Vậy: c = 180° -(120°+45°) = 15°. 2) sinC =|sinB => sin!5° = V = Bài 5. 1) AB 2 = OA 2 + OB 2 - 2OA.OBcos60 1 1 \ 4 + 1 — 2(2)(1) 12 3. Suy ra : ÁB = Vã . AD 2 = OA 2 +OD 2 -2OA.ODcosl20° = 4 + 1 - 2(2)(l)[-tj = 7 V 2, Suy ra : AD = VỸ . dt(ABCD) = 4dt(OAB) = 4 .|oa OBsin60" = 2n/Ỗ . 2 ,S.ìdt(ABCD) = 75.+£™ 2 4R = ị(AB + BC + CA)r 2 AB.BC.CA _ 2V2Ĩ 2(AB + BC + CA) “ 4 + a/3 + a/ỹ ' Vậy : R.r = Bài E. 1) Áp dụng định lí sin : b + c = 2a <+> 2RsinB + 2Rsinc = 2(2R)sinA +> sinB + sinC = 2sin A. ^ 1 , 2 a 2a b + c 2) S--ah„ 2S - 2S b c _ _b__ + _s_ _ J_ + J_ = 2S + 2S " bh b ch c " h b h c ' Bài 1. Áp dụng định lí trung tuyên : Yêu cầu bài toán tuong đucmg vói : V 2 + a 2 b 2 ' + 'a 2 +b 2 c 2 — 5 [b 2 +c 2 a 2 t 2 " 4 , 1- 2 ~'T. i 2 " 4 , <=> 4a 2 + b 2 + c 2 = 10b 2 + 10c 2 - 5a 2 ^ + c z <^> AABC vuông tại A. eãi s. AÁIvíP : ĨVỈP 2 = (a - xf + X 2 - 2x(a - x)cos60° • — Sx 2 — /ÍQV J- \ n ( Wv) Do AAMP = ABNM = ACPN nên yêu cầu bài toán trơ thành : MP . 2 77 a s ~ «MP : 4 a ~3 9x — 9ax + 2a = 0 X = a/3 X = 2a/3. eài 3. 1 ) Ta có : dt(ABC) = dt(ABD) + dt(ACD), do đó > 0 ° 73 — bc sin 120 ° = ỉ cm sin 60° + ịbmsin60° 2 2 2 ). 7 => bc = cm + bm (do sin 120 ° = sin60 l 111 , , <74> — = —+ — (đpcm). m b c 2) Đặt AE = X , AF = y , ta có : dt(AEF) = dt(AEI) + dt(AFI)<=> xysin A = (x + y)AIsinẠ 2 2xycos— = (x + y)AI. (1) .; ẨmẤ . ... 7 .. '' Ả , : Tuông tự: 2bccos—■ = (b + c) AD . (2) Do I là trung điểm của AD nên từ (1) và (2) cho ta : X + y 2xy 7777 (3) b + c bc Vì 4dt(AEF) = dt(ABC) =>■ 4xy = bc . (4) rp " / Q V s Ị A s AE T AF 1 1 ừ (3) và (4) suy ra —— = —. AB + AC 2 Bài 1 o. Đặt ADB — (V. AABD : AB = 144 +16 — 2(l2)(4)cost\. = 160 — 96cos(v. AACD : AC 2 = 144 + 36 - 2(l2)(6)cos(l80° — cv) 78 = 180 + 144cosc\ Ta có : AB 2 160 — 96COSCY Í4 n9 ' AC 2 180 + 144cosc\ 19 4 720 1 <s=> coso = —— = — 9 1440 2 «. « = 60°. Kẻ AH X BC thì DH = ệAD = 6. Ị AC 2 + AB 2 = 2AD 2 +1BC 2 = 338 I 2 AC 2 - AB 2 = 2BC.HD = 120 = 4 > AC 2 = 229 AB 2 = 109. Vậy AC = ^229, AB = VĨÕ9 . D. BÀI TẬP Tự LUYỆN Bài 1. Cho AABC nội tiếp trong đưòng tròn (o, R) với A = 60°, c = 45°. 1) Tính các cạnh tam giác. 2) Suy ra giá trị sin 105°. Bài 2.. Cho AABC có a = Võ, b = 2, c = Vã +1. 1) Tính các góc tam giác. 2 ) Tính h a , R, r . Bài 3. Cho AẤBC có bc = a 2 . Chúng minh : 1 ) sinB.sinC = sin 2 A . 2 ) h b .h c =hĩ Bài 4. Cho AABC vuông tại A. Chúng minh : mị + m 2 = 5m 2 . Bài 5. Cho AABC vuông tại A, trung tuyến AE. Qua trọng tâm G của tam giác ABC kẻ đuồng thẳng cắt AB, AC tại M, N sao chọ : dt(AMN) = — dt(ABC). ( 4 . . . 1) Chúng minh : 3xy = bx + cy vói AM = X ; AN = y . 79 'Á) Xac dinh VỊ trí cua M trên cạnh AB đế bài toán có lơi eải Cho AABC nội tiếp trong đương trồn (O, R) sao cho đương cao AH = R. Chứng minh : sin B. sin c = — . .2 Bài 7. Cho AABC có hai trung tuyến BM = 6, CN = 9 họp vói nhau một góc 120°. Tính các cạnh tam giác. Bài Cho AABC có góc A = 60°, nội tiếp trong đương tròn bán kính R = 2. Gọi I là tâm đương tron nội tiếp của . AABC. Tính bán kính R' của đương trồn (IBC). Bài a. Cho AABC góc A nhọn. Kẻ hai đương cao CE và BF. Cho biết ‘ ' EF = 2 V 2 (1) dt(AEF) = tdt(ABC). (2) 9 1) Tính cosA. 2) Tính bán kính đương trồn ngoại tiếp AABC. Bài 1 o. Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tìm tập hợp điểm M thoả o a 2 2MA 2 + MB 2 + MC 2 = 22-. 2 HirỚNG DẪM - ĐÁP SỐ Bài 1. 1) Ap dụng định lí sin : a = 2Rsin60° = RVã ; c = 2Rsin45° = RVỖ . Ap dụng định lí côsin : a 2 = b 2 + c 2 -2bccos A 44> b 2 -(R\/2)b -R 2 — 0 b = ^( N /2- N /ẽ)<0 (loại) b = -^(V2 + V6) (nhận). 2 80 Bài 2. Bài 3, Bài 4. 2) sinB b V6+V2 2R sin 75° = sin 105 ( 1) Ta có : cos A = ị => A = 60° ; cosB = => B = 45° . 2 2 Vậy c = 75°. = V2. 2 sin A s Vã + 1 0 X1 . -p _ Vẽ" + V2 -p 2 ) h = csinB =- —.— K a 2 0 1 , . . Vã / rz ^ \_s V3 + 1 2 ; 2 p V3 + V2+I 1) Áp dụng định lí sin : bc = a 2 <=>■ sin B. sin c = sin 2 A . 2) Từ s — ịah„ = ịbcsin A =4* sin A = ^ . 2 2 ỉ bc Tính tuong tự cho sin B và sinC và suy kêt quả từ câu 1 ). Áp dụng định lí trung tuyên tính m b và m c và chứ ý m. (do BAC- 90 0 ) Bài 5. Bài G. Bài T. Sử dụng công thức diện tích dt(AMN) = dt(AMG) + dt(ANG)=> 3xy = bx + cy. 4dt(AMN) = 3dt(ABC)=> 4xy = 3bc . Từ (1) và (2) : 4x 2 - 9cx + 3c 2 = 0 =4> X = ' 9 " ^ 8 s = 4 bc sin A = ị aR =$■ bc =. r~ ~ — 2R 2 ; 2 2 sin A bc = 4R 2 sin B. sin c . Suy ra đpcm. Gọi G là trọng tâm AABC. AGBC : a 2 — GB 2 + GC 2 - 2GB.GC cos 120° = 76 Suy ra : a = 2 VĨ 9 . 2 . u 2 c 2 oa a +c b , Q 1 ■ _ 2 _ a + b 36 = m b = ——r —— ; 81 = m* = —- ( 1 ) ( 2 ) 2c 5 ■ 4 6- H.HỌC 10 81 uuy 1 Gi 2 c 2 Ok 2 b ! 8 fb = 47Ỹ 2 b“ - c 2 = 172 lc = 2VĨ3- Bài B. (ABC): BC = 2Rsin A = 2V3 (IBC): BC = 2R’sinBĨC = 2R'sinl20° Q p, 2V3 Suy ra : R 2 sin 120 Bài 9 . AE = X, AF = y. xy = ^bc 9 AAEC ^ AAFB => xc = yb ._, 1 2V2 cos A = — => sin A = 1 3 3 y (ABC): R BC 9 2sinA 2 Bài 10 . Gọi H là trung điểm cạnh BC và o là trung điểm của AH 3a — = 2MA 2 + 2MH 2 + ịBC 2 2 2 Tập hợp điểm M là đuơng tron o, OM a § a. HỆ THÚT LUỊmiE ™orue ĐLltmiG TRÒry A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1. Phưtmg tích một điểm đôi vói đircmg tròn a) Định nghĩa. Cho đuơng tron (C) tâm o, bán kính R và một điểm M tuỳ ý. Phưong tích của điểm M đốì vói (C), kí hiệu .5^/(0, là sô" thực OM 2 - R 2 . -A/(C) = d 2 -R 2 (d = OM). 82 h) Quan hệ giữa phutmg tích và đuờng tròn ;^M/(C) > 0 ^ M ò' ngoài (C). ; ^M/(C) < M ơ trong (C). €(C). c) Tính chất của cát tuyên Qua M, vẽ cát tuyến tuỳ ý MAB thì : •4(0 = MA-MB = MÃ.MB . Nếu M ò ngoài (C). Ke tiếp tuyến MT cho (C) : •4(0 = MA.MB = MT 2 3 . Nếu M ơ trong (C) : 2. Tú* giác nội tiêp đường tròn a) Tứ giác nội tiếp . cho 4 điểm A, B, c, D. Gọi M là giao điểm của AB và CD. ABCD nội tiếp đương tron 4> MA.MB = MC.MD. b) Tiếp tuyên dưòng tròn. Cho tam giác ABT. Phía ngoài đoạn thắng AB lấy điểm M. MT tiếp xúc đương tròn ngoại tiếp AABT 4> MA.MB = MT 2 . 3. Trục đẳng phương của hai đường tròn a) Định nghĩa. Cho hai đương tron (O, R) và ( 0\ RA Trục đắng phương của co, R) và (O’, R’) là tập họp những điểm có ị cùng phưong tích đôi vói hai đương trồn đó. (A) = {m /.Q^Ị/(o) = '^M/(0')} 83 b) Định lí. Trục đẳng phưong của (O, R) và (O’, R’) là đưồng thăng IÃ) vuông góc vói chuồng nôi tâm uo tại uiém iri cach trnnơ hiếVp T C 11 ? t)D’ mní rtnpn TTT rhrnr* rtiríh hrri • ^ R 2 -R' 2 IH = 200 ' c) Tính chất. © Trục đẳng phương vuông góc với đương nôi tâm © Khi (O, R) và (0\ R’) cắt nhau tại A, B thì trục đẳng phương là AB. © Khi (O, R) và (O’, R’) tiếp xúc nhau thì tiếp tuyến chung đi qua tiếp điểm là trục đẳng phương. B. CÁC DẠNG TOÁN lạng 1. Tấrun PHUtmiG TÍCH CỦA MỘT ĐlỂM Đối vói ĐLnìmiC TRòrn Phưtmg pháp • Sử dụng định nghĩa : .5^/(0) = OM 2 - R 2 . © sử dụng tính chất cát tuyến : « : ^M/(o) - MA.MB = MA.MB. Đặc biệt là tiếp tuyến : .9^/(0) = MT 2 (M ơ ngoài (O)). VỂ dụ 1. Cho hai đương trồn (O, R) và (O’, R’) cắt nhau tại A, B , . V _ „ * _ 24 biết rằng 00’ = 5a, R = OA = 4a và AB = -—0 .. \ . 5 1) Tính ởị, no) và :9^ /(or 2) 00 n AB = H . Chứng minh = ọ/ì ' — ~ o HAO) HAO) Gỉ ả ỉ 1) 9f v/(ní = 00 /2 -R 2 = 25a 2 - 16a 2 = 9a 2 . 84 Do HA = ~a^OH = pa và 0'H = |a. 5 5 5 Vậy (VA = R' = 3a A> AOO'A vuông tại A. •^0/(0') = OA 2 = 16a2 • b) -Au,, = • Ao-» = HÃ-™ = -HA 2 = -tga 2 . Ví dọ a. Cho AB = 2R là đương kính của đương tron (O, R). Gọi H là trung điểm của OA. Qua H dựng dây PQ _L AB và I là trung điểm của HP. AI cắt (O) tại M. Tính IM. Giải Ta có : #> mo) = IM.IA = IP.IQ , trong đó ĨP = ^^~, 3Ra/3 ta Ra/ỹ £1 TT\/r_ ỠRa/ỹ IQ = ——— , IA = — 7 —. Suy ra : IM = TA— . ^ 4 4 28 VÉ dụ 3 . Cho đưbng trồn đương kính AB = 2R. Hai dây cung tuỳ ý AM và BN gặp nhau tại H. Tính Ổ^(BHM) + -^B/(AHN)• Giải Kề HE _L AB =*. E e (BHM) và E s (AHN). •Abhm, + -Aahn, = ÃE-ÃB + ẼE.BẨ = Ãb(ÃE + ẽb) = AB 2 = 4R 2 . Dạng a. CHÚ1XIG MINH TỬGIÁC NỘI TlỂP Phutmg pháp [ABnCD =,M A, B, c, D thuộc đương tròn <£> . ỊmA.MB = MC.MD. Ví dụ 1 . Cho AABC vuông tại A, đương cao AH. Gọi I là trung điểm của BH và J là trung điểm của AH. E là điểm đôi 85 xúng cúa A qua H. Chứng minh tứ giác 1JCE nội tiêp. ° ỵ ° % ' v_ ^ *"**’ ‘ Jt Tĩí J_l_ _ 1_J-_-_ A A TI _o_- J_ _ • A A _ _ _ ATT. JL£vJ úilULG lULL/llg ÚI Ulig i_iĩiiJC V u.Uiig Lũi li. \JLULiJii£^ Ccto XIlXÌ . XJ A 2 __ TLip’ Ũp ,. /I XJ T 2 — _ ọxjf ĩĩ r iin — —X XJ J. 11 Ky w drxxd — —ZxXX.XXL/ <=> -HE.ĩS = -HĨ.HC (doHE=-2HJ) ĨĨẼ.HJ = HĨ.HC . Suy ra đpcm. Vi dụ e. Cho AABC, đường cao AH. Lấy điểm E tuỷ ý trên AH, đương tròn đương kính AE cắt AB, AC tại M, N. Chứng minh BMNC nội tiếp. Giải Ta có : BHẼ = BMẼ = 90° = 4 > Tứ giác BMEH nội tiếp' ÃM.ÃB = ĂE.ÃH => - _ + _ f _ + _ + ÃN.ÃC = AE.AH. Tương tự : AM.AB = AN. AC. Vậy BMNC nội tiếp. Ví dụ 3. Gọi BE và CF là hai đương cao của AABC. M, N là trung điểm của AB và AC. Chúng minh MNEF nội tiếp. V Giải BCEF nội tiếp => ÃB.ÃF = ÃC.ÃE =» 2ÃM.ÃF = 2ÃN.ÃE ■ => ÃM.AE = ÃN.ÃE . Vậy MNEF nội tiếp. Dạng 3. CHỬRIG ĨViIr%Ji-i TỉlỂP TUYỂry Phutmg pháp 86 Vi dọ 1» Cho hai đương tron (O) và (O’) cắt nhau tại A, B. Lấy điểm M tuỳ ý trên AB và ơ ngoài hai đương tron. Vẽ tiếp tuyến MD cho (O) và cát tuyến MEF cho (O’). Chúng minh MD tiếp xấc vói đương tron (DEF). Giải ;/° M/(0) = MD 2 = MA.MB ^ M/iơ) = ME.MF = MA.MB => MD 2 = ME.MF. Vậy MD tiếp xúc với đương tròn (DEF) tại D. Vi dụ 2. Cho đương tròn đương kính AB, MN Ịà dây cung tuỳ ý. Đương tron đương kính MB cắt AB tại c, đương thẳng CM cắt AN tại E. Chúng minh AM tiếp xúc vói đương trồn.(MNE). Giải ^/(MB) = AM 2 = ÃC.ÃB ^A/(BCEN) = ÃE-ÃN = ÃC.ÃB =» AM 2 = AE.AN. Do đó AM tiếp xúc vói (MNE) tại M. Ví dọ 3. Cho đưồng trồn (O) ngoại tiếp AABC. Kẻ hai đương cao CE và BF của tam giác. Qua A kẻ (A)//EF, (A) cắt CB tại D. Chứng minh DA là tiêp tuyên của (O) tại A. Giải Ta có : EFCB nội tiếp => ACB = AEFI -r—r- STB v ^ ___ =4> ACD = BAD. (A)//EF => ẼÃD = ẤẼF Vậy AACD- ABAD ^ =>■ DA 2 = DC.DB '■ y DA DB ^DA 2 = DC.DB. Do đó DA tiếp xúc vói đương tron (ABC) tức là đương trồn (O). 87 Dạng CHimie MII\IH MŨI QUAN HỆ GILTA CÁC ĐOẠN THANE Ví dụ 1. Gọi A, B là hai điểm trong đương trồn (O, R) sao cho /LỊ ễ-ị — ị-<f xrcì ị Ị 10 tmrìn' rĩi nm o ZÃ M. í ịnn Ã §J» tr v\ UfV! — it V cl w icl LI ưilg.UioIII Clìct v^uLci r\, XJ V6 liixl íln song song, .cùng hướng cắt (0) tại M, N. Chứng minh qp2 AM.BN = —. 4 Giẩi NO gặp (0) tại E thì AOBN = AOAE (c.g.c)=4> M, A, E thẳng hàng và AE = BN. Ỗị m = -AM.AE = OA 2 - R 2 = =* AM.BN = . Vế dụ s. Cho đương tron tâm o, đương kính AB. M là điểm tuỹ ý trên đương trồn. Kẻ MH _L AB. Đương tron (M, MH) cắt đương tròn (O) tại EF. Dây EF cắt MH tại I. Chứng minh IM = IH. Giẩi Ốf /(0) =ĨẼ.ĨF = OI 2 -OM 2 111' • HO 2 - (MH 2 + HO 2 ) = IH 2 -MH 2 . (1) íp ỉm = ĨE.ĨF = IM 2 - MH 2 . (2) Từ (1) và (2) ta có : IH 2 =IM 2 =>IH = IM. Vi dụ 3 . Cho nửa đương tron tâm o, đương kính AB. Kẻ oc _L AB và Bx là nửa tiếp tuýến tại B. Cho M là điểm tnv V trộ.n C.ỊIĨI.CT nh.ọn t.ir Rí") A]V/r ppỊ +-QÌ IM n "R-v vxAy j "i vii piiLiii ÚU w . lAi-Vi vcit w ucii 1N, vỹcíú JL>À tại E. Kẻ OH±AM. Chứng minh hai đương tron (CNM) và (CHE) tiêp xức nhau tại c. 88 Giải Tứ giác OBMN nội tiếp : AN.AM = AO. AB = 2R 2 = AC 2 . Vậy AC là tiếp tuyến vói (CMN) tại c. AABE vuông tại B có đương cao BM : ÃM.ĂE = AB 2 = 4R 2 => 2ÃH.ÃE = 4R 2 (do H là trung điểm AM) => ÃH.ÃE = 2R 2 = AC 2 . Vậy AC là tiếp tuyến vói (CHE) tại c. Suy ra hai đương tron (CNM) và (CHE) tiêp xức tại c. Dạng 5. DÙmB PHUtmiG TÍCH CHỬMG MINH Đ!EM cổ ĐỊNH. TÌM TẠP hợp ĐIỂM Ví dụ 1. Cho đưồng tron (O, R) và điếm I cô định không năm trên đuờng tron. Gọi MN là đương kính di động cúa đương tròn. Chứng minh đương tron (IMN) luôn luôn đi qua một điểm cô" định. Giải Đưồng tron (IMN) cắt đương thẳng OI tại J. = ÕJ-ÕĨ = ÕM.ÕN = -R 2 .. _ + p2 p2 Sưyra: OJ = -= = - — (OI = a). I OI a Điểm J nằm trên đương thắng cô định OI R 2 và cách điểm o cô định đoạn —■ nên phải cô ' ■ a định. Ví dụ a. Cho đương trồn (o, R) và điếm A cô định cho bơi OA = ^. Gọi BC là dây cung quay quanh A. Vẽ đương 2 tròn đương kính BC và MN là dây cung vuông góc vói BC tại A. Tìm tập hợp điểm M và N. 89 •y\ /( 0> = Aiỉ.ẦC = OA 2 -R 2 = -^-R 2 .(l) •^A/(BC) = AB.AC = AIvI. AN = -AM 2 =-AN 2 . (2) Từ (1) và (2): AM 2 = AN 2 = — 4 Tập họp điểm M, N là đương trơn A, rS' 2 , Vi dụ 3- Cho A cô" định ỏ' trong (O, R) cho bơi OA = ——. M là 3 điềm di động thuộc đương trồn. Đương thẳng vuông góc với AM kề từ o, gặp tiếp tuyến vẽ từ M tại N. Tìm tập họp điểm N. Giải Ta có AM cắt ON tại I. Qua N kè NB _L OA . Tứ giác ABNI nội tiếp : ÕĨ.ÕN = ÕA.ÕB . (1) AOMN vuông tại M, đường cao AI: ÕLÕN = OM 2 = R 2 . (2) Từ (1) và (2) : ÕÃ.ÕB = R 2 =4> ÕB = T,- = ^ 2R 2 (không đổi). Vậy B cô định. Tập họp điểm N là đương thẳng (A) _L oa tại B mà OB = -5—. • 2 Dạng G. CÁC BÀI TOÁrn CÓ LIÊI\I QUAIM ĐEN TRỤC ĐANG PHUtmiB Vi dọ ĩ. Cho AABC nội tiếp trong dượng tron tâm o. Đương thẳng vuông góc vói AB tại B cắt AC tại D, đương thẳng vuông' góc với AC tại c, cắt AB tại E. Gọi M, N là trung điểm của AE và AD. Chứng minh OA _L MN . Giải CẸ cắt BD tại H thì H là trực tâm của AAED nên AH cắt ED tại I thì AI JL ED. Đương tron (ACE) tâm M và đương trồn (ABD) tâm N đều qua I nên AI là trục đẳng phương của hai đường tron đó. Vậy AI _L MN . Mặt khác, tứ giác ABHC nội tiếp đương tròn đương kính AH nên o là trung điểm của AH. Vậy AO là trục đẳng phương của các đương tron (ACIE) tâm M và (ABID) tâm N nên AO _L MN. Ví dụ a. Cho AABC có các trung tuyến BE và CF. Gọi Ccv.) là đưòng trồn đưồng kính BE ; (3) là đương trồn đương kính CF. (a) cắt (3) tại H, K. Chúng minh A, H, K thẳng hàng. Giải Do HK là trục đẵng phương của (a) và (3). Yêu cầu bài toán tưong đưong vói : AeHK«,^ w = r/ AW . Cách 1. = /yy,, với I là trang điểm của BM. ãb.ăe = (ãĩ + ĩb)(ãỉ+ĩe) = (ÃỈ + !b)(ÃỈ-Ĩb) = ai 2 -ib ? -=. 3^ /(i) . Vậy: •A,(I> = ÃB-AE = ỈAB.ÃC. 2 (1) Tương tự : •A/U)=ÃC'ÃF = ỈÃC.ÃB. 9 (2) (J là trung điểm của CF). 91 Từ (1) và (2) : A/(ỉ) V/ A/(J) Cách 2. ■ý? „ ' y A/(c AI 2 - IB 1 A hl* í 3 lJD ư Lị ’ * jĐilí ứ Tưong tự : Từ (1) và (2) AB 2 AC 2 BE 2 2 ~~8 2 ~~ _ c 2 ( b 2 1 ía 2 + c 2 b 2 ' T= ¥ 8 ~2l 2 T, _ b 2 + c 2 -a 2 4 , y /) _ b 2 + c 2 — a 2 ,j/ Á/(3) “ 4 suy ra đpcm. ( 1 ) ( 2 ) VỂ dụ 3. Cho hình thang vuông ABCD, đường cao CD. Gọi (C) là đương trồn (A, AC) ; (c0 là đường tron (B, BD). (C) và (CO gặp nhau tại E, F ; EF cắt DC tại I. Chúng minh IC = ID. Giẩi I e EF ,9f /(b) = Í/Ị /{ƠÌ 44- AI 2 - AC 2 = BI 2 - BD 2 <4- DI 2 - DC 2 = CI 2 - DC 2 44- DI = CI. c. BÀI TẬP Bài 1. Hai dây cung AB và CD của đương tròn (Ồ) cắt nhau tại E. Hãy tính EC và ED nếu cho biết : EA = 12, EB = 16 và CD = 32. Bài E. Cho đưồng tròn tâm o và I ở trong đương tron đó. Qua I vẽ dâv cunợ AB tuv V và d.ậv r*i 1 r>. <y ETi 1 I Oĩ T-iívn' hrvấn •'”“6 * ư j J OLiiig iltL i . i icp tuycli vói (O) tại E, F gặp nhau tại c. Chứng minh tứ giác OACB nội tiếp. Bài 3. Cho đương tron đương kính AB. Kẻ hai dây cung ‘tuỳ ý AM, AN. Qua M kẻ MH _L AB . MH cắt AN tại K. 92 a) Chứng minh AM tiếp xúc vói hai đương tron (MBH) và (MNK).' b) AM cắt BN tại c, AN cắt BM tại D và AB căt CD tại E. Chứng minh : AM.AC = AB.AE = AN.AD . Bài 4 . Cho điểm I ơ ngoài đương tron (O, R) định bồi OI = 2R. Kẻ cát tuyến tuỳ ý IAB. Hai tiêp tuyên vói (O) tại A, B gặp nhau tại M. Kè MH _L OI. MH cắt AB tại N ; OM cắt AB tại E. 1 ) Tìm tập họp điểm M khi IAB quaỵ quanh I. 2) Chúng minh IA.IB = IN.IE, EN.EI = EA^. 3) Hai đương trồn (NHA) và (NHB) tiếp xúc với (O). 4) Chứng minh : NH.NM = HN 2 — — R 2 . 3R Bài 5 . Cho điểm A ơ trong đưồng tron (O, R) mà OA = . M là điểm tưỳ ý trên (O). Đương tron ngoại tiếp AO AM cắt tiếp tuyên của (O) tại M ơ tại điêm N. Chứng minh trục đẳng phưong của (O) và (OAM) luôn luôn đi qua mọt chem cố định. Bài e. Cho nửa đương tron tâm o, đương kính AB. M là điêm tuỳ ý trên nửa đương tron đó. Kè MH _L AB. Đương tron đương kính MH cắt MA, MB lần lượt tại E, F và cắt đưồng tron (O) tại K. Chứng minh AB, EF, MK đồng quy. Bài 7. Cho đương trồn (O, R). Từ. điếm A ơ ngoài (O) kê dây cung ABC và hai tiếp tuyên AE, AF vói (O). EF căt OA tại H và cắtBC tại M. Kè AN 1 OM . 1 ) Chúng minh OHBC nội tiêp. 2) Tính ÕM.ÕN . Bài 8 . Cho (O, R) và (0\ R’) cắt nhau tại A, B. AB căt 00 tại I, 1 ) Qua I, kẻ đương thẳng (A) tuỳ ý, (A) cắt (O) tại M, N và cắt (O’) tại p, Q. Chứng minh : IM.IN = IP.IQ . 93 2) Trên AB, về phía ngoài hai (tuồng tron, lấy điểm J. JM cat (U) tại iíl, J(cè cat (O j tại r . va) Chứng minh MEFQ nôi tiếp. -► „ AP 2 b) JM. JE = JI 2 - —— . 4 Bàã 3. Cho AABC nội tiêp trong đương tròn (O, R) vói góc A nhọn. Gọi I là trung điểm BC. Đương trồn (OAI) cắt BC tại D, cắt (O) tại F và AF cắt BC tại E. 1) Chứng minh : a) ẼB.ẼC = ẼD.ẼĨ . - b) DA 2 = DB.DC . 2) Chúng minh DA là tiêp tuyên của đương trồn ngoại tiếp AAEI. Bải lO.Cho đương tron (O, R), đưồng kính AB. Từ điểm c ơ ngoài (O) kè tiêp tuyên CT và kè CD _J_ AB tại D. Đương thắng qưa T vuông góc vói oc tại H, cắt AB tại M và CD tại N. Chứng minh : 1) MH.MN = MA.MB ; kết luận. 2) Chúng minh CT tiếp xúc vói đương tròn (TND). LỜS GIẢI Bài 1. Đặt EC = X và ED = y. © E ồ’ trong (O) : [ 0 < X < 32 và 0 < y < 32 x + y = 32 xy = 192. Vậy: iíiU ED = y = 24 EC-k = 24 ED = y = 8. 94 ® E ơ ngoài (O) : 0 < X < 32 < y y — X = 32 => X 2 + 32x —192 = 0 . xy = 192 a. p = —192 < 0] _ _ Vì : _ 1 =>• X-I < Xo < 0 (loại). S = -32<0 j :/[ m = ĨA.IB = ĨE.IF =. -IE 2 . AOEC : ĩo.ĩc =-IE 2 Từ.(l) và (2) : ĨA.ĨB = ĩõ.ĩc. Vậy tứ giác OACB nội tiêp. 3.1) AAMB : AM 2 = AH.AB : AM tiếp xúc (MHB) tại M. Tứ giác BHNK nội tiếp : ÃH.ÃB = ÃN.ÃK. Suy ra AM tiếp xức (MNK) và A (MBH)tạiM. 2) AACD : B là trực tâm, suy ra AB _L CD tại E. Các tứ giác BMCE và BNDE nội tiếp cho ta : AM.AC = AB.AE = AN.AD . 4. 1) Năm điếm M, A, H, o, B cùng năm trên đương trồn đương kính OM (gọi là đường trồn (C)). AB là trục đăng phương của (O) và (C). Do I e AB nên : ĨA.ĨB = ĨH.ĨO = IO 2 - R 2 = 3R 2 . (1) Do đó : ĩĩĩ = (không đổi) => H cố định. Tập họp 2R 2 diểm M là đuòng thẳng (A) 110 tại H (nấm b ngoài đường tròn (O)). 2) Tứ giác OENH nội tiếp :: ĨH.ĨỒ = ĨN.IE . Từ (1) và (2): ĨA.ĨB = ĨN.ĨE. (2) Bài 5 Bài e Vói AIOM thì N là trực tâm nên : Li’ ị\Ị Í-Ị ụ U'ế \ LịM\/Ị íQ\ XNÌN.iA/I —ILU.iLIvI . {Ó) AAOM : EA 2 = -ẼÕ.ẼM. (4) Từ (3) và (4): ẼN.ẼỈ = EA 2 . 3) AAOM: ME.MO = MA 2 . (5) Tứ giác OENH nội tiếp : ME.MÕ = MN.MH (6) Từ (5) và (6) : MA 2 = MN.MH. Vậy MA tiếp xức vói (ANH) tại A, mà MA là tiếp tuyến với (O) tại A nên (ANH) và (O) cùng tiếp xúc vói nhau tại A. Tương tự (BNH) và (O) tiếp xúc vói nhau tại B. Kêt luận (ANH) và (BNH) tiếp xúc vói đương tron (O). 4) NH.NM = NẤ.NB = (ĨA.ĨnHĨB- Ĩn) = ĨA.ĨB + IN 2 - ĨN (ĨA + !b) = 3R 2 + IH 2 + HN 2 - 2ĨN.ĨE = 3R 2 + ^R 2 - 2Í3R 2 ) + HN 2 = HN 2 -Ẹr 2 . 4 4 - Trong đương trồn (OAM) : OAN — 90° do OMN = 90°. Do đó tâm (AOM) là trúng điểm đoạn ON. Vậy đường thắng (A) qua M và (A) AON là trục đẳng phương của (O) và (OAM). (A) cắt OA tại H : ÕA.ÕH = ÕĨ.ÕN = OM 2 = R 2 . Suy ra OH = ^-R . Vậy H cô" định. , 3 . MEHK là hình chữ nhật. ME.MA'= MH 2 — MF.MB nên ABFE nội tiếp. Cho EF cắt AB tại I. Mi 96 Bài 1. Bài 8. Bài 9. 7- H.HỌC I e EF =>■ .^ /(MH) = ỚỸAABT® =4> ĨK.ĨM = ĨF.ĨE -V y? _ /50 ^ 1/(0) “ *^I/(MH) Vậy I thuộc trục đẳng phưong MK của (O) và đưòng tròn đương kính MH hay AB, EF, MK đồng quy tại I. 1) Ta có : ;9^ /{0) = AE 2 = ÃB.ÃC AAEO : AE = AH.AO Suy ra ÃB.ÃC = ẶH.ÃÕ. Vậy BCOH nội tiếp. 2) AHMN nội tiếp AOAE : ÕM.ÕN = ÕH.ÕẤ ; ÕH.ÕA = OE 2 = R 2 . Suy ra :ÕM.ÕN = R 2 . 1) (o, R): ĨM.ĨN = ĨA.ĨB. (oR'): ĨP.ĨQ — LA.ĨB. Suy ra : ĨM.ĨN = ĨP.ĨQ . 2) Tưong tự : JE.JM = JF.Jq(= JÃ.J§). Vậy MEFQ nội tiếp. Ta có : JE.JM = JA.JB = (JI + ĩẵ)(ji + ib) = (JI - ĩb)( JI + ĩb) = JI 2 - IB 2 = Jĩ 2 - IB 2 = JI 2 - Ị AB 2 . 4 1) a) AEF là trục đẳng phương của (O) và (OAI) nên : =^ẼB.ẼC = ẼD.ẼĨ.' •’^E/(0) = EB.EC = EA.EF A/ÍOAI) = ED.EI = ẼÃ.ẼẼ b) Do DĨÕ = 90° =4> DÃÕ = 90°; = DA 2 = DB.DC . [0 97 (1) 2) Ta có : Ị7» 'O ‘ỊTt /“1 ; ^ Ỵ\ Ị \ ịB jụ ư í Ị j 1-1 ’ j ■= mnõ 4- DE 2 - DẼÍDB + 55) = DB.DC + DE 2 - 2DẼ.DỈ . ed.ei = -dẽ(dỉ-de) = DE 2 -DE.DĨ. (2) Từ câu la) và (1), (2) : DB.DC = DE.DĨ . (3) Từ lb) và (3) : DA 2 = DE.DĨ Vậy DA tiếp xúc với (AEI) tại A. 0 .1) Tứ giác OHDN nội tiếp : MN.MH = MO.MD = -õm(õd-õm) = OM 2 - ÕM.ÕD . MN.MĨỈ = OM 2 - ÕH.ÕC = OM 2 - OT 2 - MẤ.MB. Suy ra tứ giác ANBH nội tiếp. 2) Ta có : c ONDH nội tiếp : CD.CN = CH.CO AOTC: CH. co = CT 2 =>CT 2 = cd.cn/ Do đó CT tiếp xúc vói đương tron (NDT) tại T. D. BÀI TẬP Tự LUYỆM . Cho đương trồn tâm o, đương kính AB = 4. Kệo dài OA một đoạn AE = 2. Vẽ cát tuyến ECD. Tính EC, ED, AC, AD và BD nếu CD = 2v2 . Bài á. Cho đương tron tâm o và đương thẳng (A) không cắt (O). Trên (A) lấy M tuỳ ý. Kẻ OA _L (A) và từ M kè hai tiếp tuyến ME, MF vói (O), OM cắt EẸ tại N, OM cắt (O) tại H và K. 1) Chứng minh OE tiếp xúc vói (EAB). 2 ) Chứng minh MH.MK = MN.MO. 3) Kẻ dây cung tuỳ ý CND. Chúng minh OCMD nội tiêp. Bài 3. Cho đương trồn (O, R), đương kính AB cô" định. Gọi (A) là tiếp tuyến vói (O) tại B. MN là đương kính di động. AM và AN cắt (A) tại E và F. 1) Chứng minh MNFE nội tiếp. . 2) Chúng minh đương tron (AEF) đi qua một điểm cô định. 3 Gọi J là trung điểm EF, MN cắt (A) tại I. Chứng minh : IA JL oJ. Bài 4. Cho đương tron đương kính AOB = 2R. Gọi c là điểm đôi xúng của o qua B. (A) là đương thắng vuông góc vói AB tại c. Lấy M tuỳ ý trên (A), MA, MB cắt (O) tại E và F. EB cắt (A) tại N. 1) Chứng minh A, F, N thẳng hàng. 2) Chứng minh đương tròn (MEFN) đi qua hai điểm cô định. Tính >^C/(MEFN) • 3) Tìm tập họp tâm các đương trồn ngoại tiếp AAMN. 4) EF cắt (A) tại I, FC cắt AM tại J, EC cắt AN tại K. Chứng minh I, J, K thẳng hàng. Bài 5. Cho đương tròn tâm o, đưồng kính AB, EF là dây cung vuông góc với AB tại trung điểm H của AO. Gọi M, N là hai điểm tuỳ ý trên cung lớn EBF. AM, AN cắt EF tại p và Q. 1) Chúng minh MNQP nội tiếp và AE tiếp xúc vói haỉ đương tròn (EPM) và (EQN). 2) EF cắt MN tại I. Chúng minh : 99 TF,■ TF r= TP TỌ - m 2 3R EgỊ-is gr* Ể 'hA /iirryr' rr rrhrì ị ĩ ĩ ịv Ị TTQ A _r%* fvẠ-nrv í ỉ Ị Ị rịỊỊạ h_rv*Ị OẼdi 0» Vyíìu QUuiig LIOíi vU, xvỳ V ci rÌL u Li Uiig \ú/ UỊiiIi Uui Cho M tuỳ ý trêp đương trồn. Tiếp tuyến tại M và đương thẳng qua o, vuông góc với AM gặp nhau tại N. Tìm tập hợp điểm N. Bài 7. Cho AABC vuông tại A, kẻ đương cao AH và đương tron đương kính CH. Đương trồn tâm B, bán kính BA cắt đường tron (CH) tại D và E. Chứng minh BE, BD tiêp xức "với đương tron (CH) . Bài 8 . Cho đương tron tâm o và dây cung AB. Gọi CDTà đương kính vụông góc vói AB tại H. Cho M là điểm tuỳ ý trên AB. Tiếp tuyến tại A cắt CD tại E. Kẻ EK _L OM . 1) Chứng minh OA tiếp xúc với đương tron (AMK) và OB tiếp xức với đương trồn (BMK). 2 ) Gọi I là trung điểm của OE. Chứng minh OH 2 +OI 2 =hi 2 -oc 2 . Bài 9. Cho AABC nội tiếp trong đương tròn (O). Gọi D là trung điểm của BC. Đường tron ngoại tiếp AOAD cắt BC tại E và cắt (O) tại M, AM cắt BC tại F. Chứng minh EA tiếp xúc với (O) tại A và tiếp xúc vói (DFA) cũng tại A. Bài 10 . Cho CD là đương kính của đưồng trồn (O, R). Trên CD lấy hai điểm A, B mà OA.OB = R 2 . Chúng minh : ~ = AB 2 . V ^A/(0) + 1 2 ) B/(0) 1 ,y A/(0) y /3 B/(0) T~> 2 li 100 HƯỚNG DẪN - ĐÁP SỐ Bài 1. Đáp Số : EC = VĩĩV2, ED = VĨ 4 +- V2., AC = V 6 - 2 V 7 , AD = ^6 + 2^7, BD = . BàiB. 1) OE 2 = ON.OM = OB.ÕẤ . 2) .9* /(0) = ME 2 = MĨỈ.MK ; AOEM : ME 2 = MN.MO. Từ đó suy ra đpcm. 3) :9ị m = NC.ND = NẼ.NẼ = NO.NM. Bái 3. 1) AM.AE = AN.AF = 4R 2 . 2) Qua điểm D đôi xứng của A qua B. 3) Chứng minh AI là trục đẳng phucrng của (O) và (AEF). Bài 4. 1)AFN = 180°. 2) .9^ /(MEFN) = -3R 2 . Hai điểm cô' định u, V đối xúng qua c mà CU = cv = rV3 . 3) Đương trung trực (Ạ) của đoạn AL với CL = R. 4) I, J, K nằm trên trục đẳng phưong của hai đương tron (AMN) và (CEF). Bài 5. 1) ÃP.ÃM = ĂQ.ÃN = ÃH.ÃB = AE 2 = +R 2 ■ I/(MNQP) • Bài B, Tập hợp điểm N là đương thẳng (A) _L OA tại H mà OH = 4R/3. Bài 7. BH.BC = BA 2 = BE 2 = BD 2 . BàiB. 1) Ớ^ /(MNEK ) = ÕM.ÕK = ỘĨĨ.ÕE , AOAE : OA 2 = ÕĨĨ.ÕE . Suy ra OM.OK = OA 2 = OB 2 , suy ra đpcm. 2) He AB là trục đẳng phương của (O) và đương trồn (I) tức là đường tròn qua năm điểm o, A, E, K, B nên > su y ra đ P cm - 101 Bài 9= ODE = 90° =4> OÁE = 90° : Đương tron (o) nhận EA làm tiếp tuyến và EE.ED — EI.EO — EA“ (EỌ _L AM tại ĩ), nên đường tròn (DFA) nhân EA làm tiến tuvến. Bài 10.1) ,yp o) = = OA 2 + OB 2 - 2R 2 = (ÕÃ - Õb) 2 = AB 2 Bài 1 - Nhận dạng tam giác ABC có các góc thoả : 4 sin 2 A - 4 Vã sin A +3 tan 2 B - 2V3 tanẸ + 4 = 0. Bài a. Cho AABC có hai trung tuyên BM và CN vuông.góc nhau. Chúng minh : b 2 + c 2 = 5a 2 . Bài 3. Cho AABC có b 2 +c 2 = 2a 2 . Chứng minh : a 2 1) cot A = 4S 2) 2 cot A = cot B ± cot C. .' ■■ ■ ■' ......... Bải 4. Cho AABC có trung tuyến AD. Qua trung điểm I của ÁD kê đương thẳng cắt AB, AC tại E và F sao cho đt(AEF) = Ịdt(ABC). 4 AE AF 1) Chứng minh —— + —V = 1. AB AC 2) Tìm vị trí của EF nếu dt(AEF) max , Bài 5» Cho AABC cân có BAC = 20°. Chiíng minh a 3! + b 3 = 3ab 2 Bài e. Cho đương trồn (O, R) và điểm A cách tâm o đoạn OA = 3R . Gọi (C) là đương tron tâm I thay đổi nhung luôn 102 qua A sao cho (C) cắt (O) tại.BC. Tiếp tuyến vói (C) tại A gặp BC tại M. Tìm tập họp điểm M. Bài 7. Cho AẨBC nội tiếp trong đương tron tâm o. Kẻ đương trồn tâm B, bán kính BA, đưòng trồn này cắt (O) tại D và cắt BC tại E và F, AD cắt BC tại M. 1 ) Chứng minh BE.BF + BM.BC = 0 2) OB cắt (O) tại I và cắt (B) tại J, K và cắt AD tại Q. Chứng minh : IB.IQ = IJ.IK . Bài B. Cho đương tron tâm o, đương kính AB = 2R. Gọi I là một điểm ơ trong (O), AI và BI cắt (O) tại M, N. Kè IH _L AB. 1) a) Chứng minh AN, HI, BM đồng quy tại J. b) HI cắt (O) tại K (K ơ trong AJAB). Chứng minh AK tiếp xức VÓI đưồng trồn (KIM). c) Tính ÃĨ.ÃM + BĨ.BN. 2 ) OI cắt (O) tại c. Giả sử IH = IC. Tiếp tuyến vói (O) tại c cắt AB tại E. Chứng minh : EH 2 = EA.EB. Bài 3. Cho đương trồn tâm o, đương kính AB. Lây điểm c tuỳ ý trên đương tron. Gọi (A) là đương trồn tâm A, bán kính AC. Đương trồn (A) cắt (O) tại K và cắt AB tại I và J, CK cắt AB tại H. Chứng minh : 1) BĨ.BJ = BH.BA . 2) ĨB.HJ = ĨA.HB. 3) IJ 2 = 8ÃO.ÃC. Bài 1 o„Cho đường tròn tâm o và dây cưng BC nhận M làm trung điểm. Gọi (o') là đương tron đi qua o, M . (o') cắt (O) tại A, Đ và cắt BC tại E nằm ngoài (O). AD cắt BC tại F, AD cắt OE tại K. 1) Chứng minh OBCK nội tiếp. 2) EA 2 = ẼF.ẼM . s 3) EM 2 =EA 2 +-BC 2 . 4 103 Bài 1. Yêu cầu bài toán tucmg đucmg vói : (2sin A - yl$y + ÍV3 tanB - lf = 0 => c = 90 u Tam giác vuông tại c. Bài 2. Yêu cầu bài toán tuong đương với : /0 \ 2 í o \ 2 Bài 3. 1) a BM b 2 + c •CN = BC 2 «b 2 +c 2 becosA ■ . = cot A . 5a 4S 4S 2S 2) Ap dụng định lí côsin và sin : 2sinBsinCcos A = sin 2 A =>• 2cot A sin A sin B sin c _ sin(B + c) sin B. sin c = cotB + cotC. Bài 4. 1 ) dt(AEF) = dt(AEI) + dt(AFI)^ - s = 4 2AB 2 AF s <*1 2) Áp dụng bất đẳng thức Cô-si : . AE AE AB AC dt(AEF) max >2 s ÍAE.AF AB.AC 2AC 2 AE AF AB + AC s dt(AEF) < AE — 4 AB AF AC <^> EF//BC. Ề3 £11 riB ■ ■ .. *■_ ■ K 2 nh X z'k nknn A n T31\/r -í-.-. = T\/r A Ư _ aKJ ive piiaii Ma.c jdìvì tu co : MA =-—, MU — -—— a+b a+b 1 b 2 sin 9(1^ AABM : MB = n MA sin 40° 2cos20° a + b ACBM:MB = 5H^^MC = 2cos40°.^j-. (2) sin 40° a + b Từ (1) và (2) : b = 4a cos40° cos 20° = 2a(cos 60° + cos 20°), suy ra : cos 20° ^ Ad. 0 2b 2 — a 2 (A.\ Định lí côsin : cos20 =——— 2 —• ■ 2b 2 Từ (3) và (4): a 3 +b 3 =3ab 2 . Bài B. Hướng dẫn : ^/(O) = Í^M/(C) ^ M 0 2 ~MA 2 = R điểm M là (A) _L OA tại H cố định cho bơi JH = ^ (với J là trung điểm của OA). c ■0' Bái 7. 1 ) Từ MẼ.MẼ = MB.MC suy ra : ^ (ẼE - ẽm)(bF - ẽm) + BM (Ẽc - BM) = 0 o BE.BF + BM.BC = 0. 2) AD _L JI và BÃÌ = 9Ổ° ^ = IA „ =4- đpcm. IQ.IB = IA Z Bài 8. 1) a) J là trực tâm AIAB. b) AK 2 = ÃĨĨ.ÃB = ÃĨ.ÃM . c) ÃĨ.ÃM + BĨ.BN = 4R 2 . 2) Gọi (I) là đương tron tâm I, bán kính IH = IC thì (I) và (O) tiêp xúc nhau tại c và AB tiêp xúc (I) tại H, suy ra đpcm. Bài 3. 1) Dùng .^B/(A) và AABC vuông tại c có đưbng cao CH thi BĨ.BJ = BH.BA . (1) 2) Từ (1) suy ra : BLBJ = (ẼJ + JỀ) (bĩ + !Ẩ) ^ BH.IA + JH.BI = 0 =» ĨB.HJ = ĨA.HB . 3) Từ AC 2 = ÃH.ÃB =» IJ 2 = 8ÃC.ÃO. 105 Bài 1 o„ 1) Do OME = 90 u nên OE là đương kính của (o') và EA rinn ynn \ ĩ An íiì \ i. Lị **' ĩ Lị* 1/ iẠ/ \ ikLiU vui Ĩ.Oỳ —r' — 5 li r\ r Vjị / . 2) Tứ giác OMFK nội tiếp, suy ra đpem. 3) Từ EA 2 — AB.EC = EM 2 -—BC 2 suy ra đpcm. 4 B» CÂU HỎI TRẮC MGHIỆtVi Câu 1 . Cho AABC có a = 7, b = 8, c = 5. Sô" đo góc A là : A) 30°. B) 45°. C) 60°. D) 120° . Câu a. Cho AABC có a = 8, b = 6, c = 4. Độ dài đương trung tuyến từ A là : A) 10. B)7ĨÕ. C) 2Võ . D)Vẽ. Câu 3. Cho AABC có a = 5, b = 8, s = 10. Sô đo góc c là : A) 30°. ' B) 150°. C) 120° . D) 30° hoặc 150° . Câu 4. Cho AABC có b = V3, c = V2,cosA= — V 2 / 2 . Diện tích s bằng : A) s /3 . B) — . ” 2 0 Vẽ. D) 2 Vã. câu s. Cho AABC có a — 2 V 3 , b = 2 V 2 , c — V6 — V 2 . Sô đo góc Abằng : A) 120°. B) 60°. ■ C) 45°. D) 30°. Câu e. Cho AABC có a = 6, c = 4, m b = n/ĨÕ , b có giá trị : A) 8. B) 5. C) 2 V 2 . D) 4 V 2 . 106 Câu 7. Các cạnh của AABC thoả -—— — a 2 . Giá trị góc b + c-a A là : ' A) 30°. B) 45°. C) 60°. D) 120°. Câu 8. Cho AABC . Kết quả nào sau đây sai ? A) S —ịbcsinA. = . .2 4B _ C) s = pr. D) s = ^2p(p - a)(p — b)(p — c) . Câu 9. Cho AABC . Kết quả nào sau đây sai ? A) a 2 = b 2 + c 2 — 2bccos A . B) a 2 = b 2 +c 2 -2b.c . C) cosA a 2 - b 2 - c 2 2bc D) cos A a.b a b Câu 1 1 Câu 1 a. Cho AABC câu nào sau đây sai ? . sin A sin B sinC A) • a b c B) a = 2Rsin A . C) a = b + c => sin A =.sin B + sin c . D) a 2 = bc => cos 2 A = cosBcosc. AABC có ba cạnh a = 4, b = 3, c = 2 dùng cho các câu 11, 12, 13, 14, 15 và 16. Tam giác ABC có tính chất: A) vuông tại A. B) vuông tại B. C) vuông tại c D) có 1 góc tù. Diện tích s bằng : A) VĨ5 ' B) 3^15 107 C) 3-Jl5 . D) VĨ5. Câu 1 di. Giá trị của sin A băng : „/Ị~5 _ /Tk A) 4 C) B) D) 2 15 4 Câu 1 4. Bán kính R của đương trồn ngoại tiếp tam giác bằng _8_ • 15 ' VĨ5 A) 8>/Ĩ5 . 8 C) VĨ5 B) D) 8 Câu 1 5. Bán kính r của đương tron nội tiêp tam giác bằng A) C) VĨ5 12 VĨ5 6 B) D) 2n/Ĩ5 3 VĨ5 Câụ 1 e. Xét bôn kết quả : A) s = 3 sin A . C) Rr = ^. 3 B) Góc A tù. D) sin A < r . Biết rằng trong đó có một kết quả sai. Hỏi câu nào sai ? Câu 17. Các cạnh của AABC thoả b 2 +c 2 < a 2 . Phát biểu nào đứng ? . A) A < 90°. B) A > 90°. C) B > 90°. D) c > 90 ° Câu la. Cho AABC có A = 3C, B = 2C và chu vi 2p — 3 Ị ■ _ ^ s Ph át. ìlipn Ti p. .Qp. 1 JL iiu L* MÁC/ U iiuó ƯUÍ . A) a = 2. C) C = 1. B) b = Vã, D) s = 2V3. Câu 1 a. Cho AABC nội tiếp trong đường tròn bán kính R = 6. 108 Biết rằng chu vi tam giác 2p = 13. Biểu thức sin A + sin B + sin c có giá trị : Ậ| B)V 12 ' 6 ịị. D)^-. 13' 13 A)^. B) 12 C)—. D) Câu ao. AABC có B = 60°, c = 45°, b = 3V2 . Cạnh c có giá trị : A) 3. C) 2V3. B) Vã: mế. Câu e 1. AABC có b = 3sỈ2, c = 2 V 3 , góc c = 45°. số do của góc B là : A) 90°. B) 60°. 0 45".. D) 30°. câu E2. Cho AABC có a = 5, b = 4, c = 3. Tích Rr co gia tri : A) ị. B) ị. 2 5 , C) 5. D) Kết quả khác. Câu 03. AABC có A = 120 ", b + c = 15 (b > c) va a = 13. Để tính b và c, một học sinh lập luận qua ba bước sau : (I) a 2 = b 2 + c 2 — 2bc cos A . Do A = 120° nên cosA = suy ra : b 2 + c 2 -h bc — a 2 — 169 . (II) Vì b + c = 15 => b 2 + c 2 + 2bc = 225. Từ (1) và (2) suy ra bc = 56. (III) Vậy b, c là hai nghiệm của phưong trình ít — 7 = c 1 _ 2 ( 1 ) ( 2 ) t 2 — 15t + 56 = 0 4=^ 8 = b. Chọn mệnh đề đúng ? A) Chỉ (I). B) Chỉ (II). C) Chỉ (III). D) Cả.(I), (II), (III). 109 Câu B4. Cho ÁABC có a = 13, b = 8, c = 7. Phát biểu nào sai ? A \ ắ ió.o A f A rx,/ VjfUC .rĩ. Ui, C) ab = -28 . ỊT> \ Ạ -Ị o rị ỳ — XúD D) S = 14V3. _ , h r íì 2 — Câu 05. Cho AABC có ba cạnh thoả — + ^ = 1 thì A có sô" c b bc đo là : A) 30°. B) 45°. C) 60°. D) 90°. EãiB SG, ABCD là hình bình hành có hai đương chéo AC = 4a, BD = 2a vạ tạo thành góc 60°. Diện tích hình bình hành bằng : A)S = 4a 2 73. B)S = a 2 73. C)S = 2a 2 73. D)S = —. 4 Câu 27. Cho hình bình hành ABCD có AB = Vã, AD = V 2 . AC 2 + BD 2 có giá trị là : Ả) 10. B) 5. C) Vẽ. , D) 6 Câu B8. Cho AABC nội ti ếp trọng đương tron, b á n k ính R = 1, biết góc c = 45°, cạnh a = V 3 . Cạnh b có giá -trị là : AạỊ 76 + 72 2 2 ' ' C) cả 2 kêt quả A và B. D) Kêt quả khác. Câu ga. AABC có góc A = 45° , diện tích s, nội tiếp trong đương tron bán kính R. Phát biểu nho đung ? A) BC = rV2. B) 2S = ÃBAC . ■C) AB 2 +AC 2 = 2R 2 +4S. D ) Cả ba câu trên đều đúng. Câu 30. Tam giác ABC có các cạnh và góc thoả : 110 a — 2bcosC |b 3 +c 3 -a 3 __ 2 ——-— 3. . b + c — a là tam giác : A) cân tại A. B) A = 60°. C) Tam giác đều. D) cả ba câu trên. Câu 3 1. Cho đương trồn (O, R). .9^/(0) là : A)-R 2 . B) R 2 . C) 0. D) Kết quả khác. Câu 32. Tam giác ABC vuông tại A, cạnh huyền BC-= 2 và nọệ. tiếp trong đương trồn tâm o. Gọi G là trọng tâm tam giác. 9%n ữì là số : A)—9/8. B) -8/9. 0-1/3. D) -1/2. Câu 33. Qua điểm A nằm trong đưcmg tròn tâm o, kẻ dây cung MAN sao cho MN = 18 và 5AM = 4AN. ;'5^ (0) là số : A) -18. B) -72. 0-80. 1) 00. Câu 34. Qua M ở ngoài đường tròn tâm o, kè cát tuyên- MAB sao cho A chia đoạn MB theo tỉ — 3 . Cho biêt MA = 3. là sô : A) -12. B) 12. C) 16. D) ệ-. lo Câu 3 5. Cho điểm A cách tâm o của đương trồn (O, R) một đoạn OA = 2R. Qua A, kẻ tiếp tuyến AT. OT cắt đương tròn tại F, AF cắt đương trồn tại E. Phát biêu nào sai ? A)./^ 01 = 3R 2 . B)AE = M. C) AF = R-JĨ. D) AE.AF = 3R 2 . 111 Câu 36. Tam giác ABC đều nội tiêp trong đương tròn (O, R). Gọi -TX ici Li'ung Qiem CcUìĩi r?ĩ_/ ìrĩiãXt 01013 TÌSO SỠ1 ^ A) '^0/(ABC) = ~~R 2 • B) ; ^A/(0) = 0- C) rs° moì = -1R 2 . D) g» mo> =I (.9^,0 ,+). Câu 3 7. A là một điểm tuỳ ý đối với đưbng tròn (O, R). Phát biểu nào sai ? Qua A, kẻ cát tuyến AMN. A) r/> MOì = OA 2 - R 2 . B) Í/> M0) = ÃM.ÃN. C) :'J% 0) = ÃM.ÃN. D) :/> N{0) = AM.AN. Giả thiết sau dùng cho hai câu 38 và 39 : Từ A ỏ- trong đương tron tâm 0, bán kính R = 24, kẻ dây cung MN sao cho MN = 36 và 5AM = 4AN. Câu 30. Ổa/( 0 ) bằng : A) —320 . B) -280 . C) —540 . D) Kết quả khác. Câu 3 3. Khoảng cách OA là : A) 12. B) 13. C) 16. D) 20. Câu 40. ABCD là hình thang cân, ADV/ BC và AD = 2BC = 2R, nội tiếp trong đương trồn (O, R). Kẻ BH J_ AD thì ỈP m0) bằng : A)-E B)-ệR 2 . 2 4 C)-!r 2 . D)-4R 2 . 3 Câu 41- APíCD Ị o IịÌtịIỉ tùnlỉ tì íí Tí Vì f âm r»csTìV> Ạ T?_ c n 0r .Ị. — “ 5 - Ạ '->*-• iiiiiii Ưiiiii iiciiiii l/ciili , caíiíi £\XJ — Ư, cami AD = 13 và đưòng chéo BD = 12. Phát biểu nào đứng ? A) Trung tuyến BE của AABD dài ~ . B) BA.BD = o. 112 C) «^0/(ABD) — 36 . D) Cả ba câu trên. Câu 42. Cho AABC đều, cạnh a, nội tiếp trong đương trồn tâm o. OA cắt BC tại H. Qua H kẻ dây cung MHN sao cho HM = 2HN thì HM có giá trị bằng : A) a\/2 . B) 2aVỖ . C) — 2 -. D) Ạh 2 4 Câu 43 . Cho AABC nội tiếp trong đương trồn tâm o. Hai đương cao BB’ và CC’ cắt nhau tại H. AH cắt BC tại A’ và đương tron (O) tại D. Phát biểu nào sai ? A) ÃC'.ÃB-ÃH.ÃÃ'. B) ÃH.ĂÃ' = ÃB'.ÃC. C) ÃC\ÃB = ÃB'.ÃC. D) ÃH.ÃÃ'.ÃB.ÃC. Câu 44. Giả thiết như câu 43. Phát biểu nào đúng ? A) ÃTẼ.Ã^C = Ã^.ÃÃD .B) -ÃH.Ã7Ã. C)A'H + A'D = 0. D) Cả ba câu đều đúng. Câu 45. Cho AABC. Hai đương cao BE và CF gặp nhau tại H. EF cắt CB kéo dài tại I. Phát biểu nào đứng ? A) IA 2 = IE.IF. B) IH 2 = IE.IF. c ) IE.IF = IB.IC. D) IA 2 = IB.IC. Câu 4G. Cho hai đương trồn (O), (o') tiêp xức ngoài tại I. Vẽ hai tiếp tuyến chung ngoài (AjJ và (A 2 ) và tiêp tuyên chung trong (A 3 ). Trục đẵng phưong của (O) và (O') là : A) (Aị), . B) (A 2 ). C)(A 3 ). D)00’. Câu 47. Cho tam giác ABC. Ba đương cao AA', BB', CC' căt nhau tại H. Phát biểu nào sai ? A) (ACHB 1 ) và (BC'HA') có trục đẳng phương là CH. B) (AC'HB') và (CB'HA') có trục đẳng phương là BH. 8- I I.HỌC 10 113 C) (AC'HB ) và (ABC) có trục đẵng phương là AH. I 3 1 Ỷ ỈỊ0TVỊ H PQ ATI n ơ p ị-* T O' '|p p Ĩ-Ị p A 1 fỴị K ^ rĩ 1 J.k,-V, p. 4-y.p.p. (ACHB 1 ), (BCHA'), (CB'HA'). Câu 48= Cho hình bình hành ABCD tâm o Crfìị M là tnmcr rtịprr! - v_^ . MVÌ XVi. iu ui Liiig CLioXii của DC, AM cắt BC kéo dài tại N. Phát biểu nào đúng ? A) DO tiếp xức với (OMC) tại o. B) DN tiếp xúc với (NMC) tại N. C) Tứ giác OMNB nội tiếp. D) Tứ giác OMDA không nội tiếp được. Câu 43. Gọi AB và CD là hai đương kính vuông góc của đương trbn tâm o. Lây M tuỳ ý trên cung phần tư BC . AM cắt CD tại N. Phát biểu nào sai ? A) Tích AN.AM không thay đối. B) AC tiếp xức vói (CNM) tại c. C) DM tiếp xúc với (MCN) tại M. D) NA.NM = NC.ND. Câu 50. Gọi (A)là tiếp tuyến tại đầu B của đưồng kính AB của đương trồn tâm o. MON là đương kính tuỳ ý. AM và AN cắt (A) tại E và F. Phát biểu nào sai ? A) AM.AE = AN.AF. B) AB là trục đắng phưong của (O) và (AEF). C) ; ^B/(AEF) = —4R 2 . D) *^o/(AEF) = • GIẢI THÍCH - HƯÓNG DAN Câu 1. Câu g. cosA = - + t —— = A = 60°. Câu C). 2 bc 2 mẵ=k+L-A = 1 0^ mo= VĨ^.Câu B). ẨLì 4b 114 Câu 3. Câu 4- Câu 5. Câu O. Câu T. Câu B- Câu SL Câu 1 o. Q _ 1 , . „ „ _ 2S _ 1 c = 30° _ 2 ab 2 Ịc = 150°. /9 /9 cos A = =>• A = 135° => sin A = < 2 2 s = ỉ bc sin A = ị V3 • V2 • ~~ = ệ- . Câu B). 2 2 2 2 cos A = — + c — — = ---Ị => A = 120°. 2bc V 2 (Vổ — V 2 ) 2 Câu A). 2 c 2 + a 2 b 2 b 2 — 2(c 2 +a 2 )-4mK = 104 - 40 = 64 => b = 8. Câu Yêu cầu bài toán tưong đưong : b 3 + c 3 - a 3 = a 2 (b 4 c - a) b 3 + c 3 = a 2 b + a 2 c 44 (b + c)(b 2 - bc + c 2 ) = a 2 (b + c) 44 a 2 == b 2 + c 2 - bc (do b + c 0 ) á‘ b 2 +c z -a : 2bc 44 44 bc = b 2 + c 2 — a 2 =4 = cosA A = 60°. Câu C). 2 s = «y/p(p — a)(p - b)(p — c). Câu D). „ A b 2 + c 2 - a 2 cos A =--Y-— . Câu C). 2bc a 2 == bc 44 4R 2 sin 2 A — 4R 2 sinBsin c 44 sin 2 A = sinB.sinC. ,(1) Nếu có cos 2 A = cosB.cosC.' (2) Lây (2) - (1) vế theo vế : cos 2 A — sin 2 A = cosBcosC — sin Bsin c 44 cos 2A = cos(B + c) = — cos A 44 2cos 2 A 4 - cos A - 1 = 0 115 cos A Câu 1 1 . cos A j_ vy GOS A = A : 2 h 2 1 r 2 o 2 D c ci 2bc A — 1 80° (loại) A = 60°. 4 ' < 0 =4 A tù. Câu D). 3VĨ5 Câu 1 a. s = ựp(p-a)(p-b)(p-c) = VlO.3.2.5 = v . Câu B). Câu 1 3. cosA b 2 + c 2 - á‘ 2bc sin 2 A = 1 — cos 2 A ^ 1 m 4 ; ^ =4 sin A = -Ị^~ > 0 . Câu A). 16 4 3VĨ5 £1 7 / \ / 1 \ / ~T 3vl5 âbc_ 8 Cãu 14. ÍS = Jp p — a p - b p — c =———; K = —— — 7 = . VHVH AK AH ) 4 4S % /Ĩ5 Câu C). ■ s = 7p(p - a)(p - b)(p - c) = ^ỄỀ. ; r =A = . Câu C) 4 p 6 [ . A 2S Câu 1 5 Câu 1 B. Ta có : s = -^bcsin A 2 44 s = pr bc s r = 2S s sin A < r 44 —— < — 44 2p < bc . Vậy sin A < r là sai. bc p Câu D). Câu 1 T. cos A = — . . . — < 0 =4 A tù. Câu B). 2bc Câu í e. Vì A = 3C và B a b a _ b _ c _ zp 1 s 1 3 • \ 2 2 2 . \ _ Vậy : a = 2, b = \Í3, c = 1. Câu D). /"'í .. .n or\0 T~> 'íị.ạO a aaO o .,, c =4 c = 30 ,B = 60 , A — ÙU . ouy ra 2 p 2. 1-16 Câu 13. 2p = a + b + c = 2R(sin A + sinB + sinC). Suy ra : sin A + sinB + sinc = —“ = —. Câu A). ■ 2R 12 Câu eo. 7 ^ 7 — = 7 c — => c = ^ Sin ~~ = 2 Vã . Câu C). sinB sinC sinB Câu e 1 . 7 ^— = 7 ^— => sinB = —sin c = =>-B = 60° . Câu B). sinB sinC c 2 Q — a ^ c nU 5 Câu ee. Ta có : 4R =$> Rr = -7— = ^ . Câu A). Q _ w 4 P 2 s = pr Câu 23. Câu D). Câu 24. cos A = k jlV -— = —ì => A = 120°. Câu B). 2 bc 2 k a 2 Câu 25. —+ -^-- 7 — = 1 4 ^ b 2 + c 2 -a 2 = bc c b bc _ » b 2 + c 2 — a 2 1 A ~ n 0 cos A = -—7 -— = V => A = 60 . 2 bc 2 Câu C). Câu 2 E. Gọi o là tâm hĩnh bình hành. s = 4 dt(OAB) = 4 .ỈOA.OBsin 60° 2 = 2(2a)(a)V = 2a 2 Vã. Câu B). V 2 , Câu 27. Gọi o la tâm hình bình hành ABCD. AABD : AB 2 + AD 2 = 20A 2 +|bD 2 40A 2 4 -BD 2 _ AC 2 + BD 2 2 2 Suy ra : AC 2 + BD 2 = 2(AB 2 + AD 2 ) = 10 . Câu A). 117 +- = 2R =4. c = 2(1) • Ạ = + . c 2 = a 2 b 2 - 2abcosC <ỉ=> b 2 - 2a cosC(b) + a 2 — c 2 +> ìv — v'6b + 1=0 Vẽ-V2 <+ b = b = 2 V6+V2 (loại) s • p _ b Võ + V 2 TTA 1 Vổ — V 2 ~, A A X VÌ sin B = —— = -——-> 1. Vậy b = ———-. Câu A). 2R 2 2 Câu sa. 1) 2S = AB.ACsinA = AB.AC cos A (vì A = 45° =>• cos A — sin A) = ÃB.ÃC. /+. _ 2) BC = 2RsinA = 2R.= = R+. 2 3) BC 2 = AB 2 + AC 2 = 2AB.AC cos A = AB 2 + AC 2 - 2AB.AC sin A = AB 2 + ÁC 2 - 4S <s> AB 2 + AC 2 ' = BC 2 + 4S = 2R 2 + 4S. Câu D). Câu 30. a = 2b a 2 + b 2 — c 2 N 2ab AABC cân tại A. b 3 +c 3 -a 3 <+> a 2 = a 2 + b 2 - c 2 +> b = c b + c — a = a -+> b +c =a b + a c b 2 + c 2 — a‘ cos A = 2bc AABC đều. Câu D). <+> b 2 - bc + c 2 — a 2 (do b + c ^ 0 ) <+> b 2 + c 2 - a 2 = bc . . I^A = 60°. 2 Câu 3 1 „ íP om = oo 2 - R 2 = -R 2 . Câu A). Câu 3 5. OG = ị OA = Ậ và R = OA = 1 , suy ra : 3 3 118 = A T *^G/(0) — Q L . Câu B). Câu 3 3. Do A e MN nên AM AN AM + AN 18 [AM = 8 AN = 10 => í/i /(n , = - AM.AN = -80 . Câu Ọ), Cãu 34. Yêu Cầu bài toán tuông đưong với : ĂM = -3ÃB ^ ÃM + 3ĂB = 0 => 3MB = 4MÃ __ (A 4 *^M/( 0 ) = MA.MB = MA ^MA = ~ • 9 = 12. Câu B). 13 / 3 Câu 35- ,9^ ỵ(0) = AT 2 = OA 2 - R 2 = 3R 2 . AF 2 = AT 2 + TF 2 ■> =3R 2 +4R 2 =7R 2 . A 3R 2 AE.AF = 3R 2 =» AE = RV7 = ®Ịị!Ĩ, CâuB). Câu 36. '^B/(o) ~b '^C/(0) — ^ mu OH 2 -R 2 =--R' Câu D). Câu 3 7. A ơ ngoài (O, R) : ,9^ /(0) - AM.AN > 0. A ơ trong (O, R) : /5^/(0) = — AM.AN < 0 . Câu D). AM AN MN 36 „ Câu 38. — = —— = — = — 4 4 5 9 9 AM = 16 AN = 20. Vậy ỉ'jị m = -AM.AN = -320 . Câu A). Câu 3 3. Ta CÓ ọp < . ' y kìío) R = 24 =4- OA 2 = R 2 + ứ 256. Suy ra OA = 16. Câu C). fT"ĩrậ B B HA.HD RÍ3R V* Ị V/ 1 B X // c Câu 41 . ABAD : m /R 2 p ân BA 2 + BD 2 AD 1 H o R 2 4 25 + 144 169 169 2 4 13 AD Suy ra : m B = BE ’2_f.r2 = 25.169 " 4 4 ■+/(ABD) = OE z -EB ; . Câu A), B) đúng. -36. Câu D). Câu 42, HAO) -HM.HN = -a 2 , suy ra : A HM a 2a +> HM 2 = 2a 2 HN HM =>HM = aV2. Câu A). Câu 43. ÃH.ÃÃ' = ÃB.ÃC . Câu D). ÀH.AÃ , =ÃỆ T .ÃC (HA'CB' nội tiếp). Suy ra AB = AB / (sai). Vậy câu D). Câu 44. A) đúng do .^, /(0) . B) đứng do AA'BH - AA'AC. C) đúng do suy từ A) và B). Vậy chọn câu D). Câu 45. Câu C) đúng do tứ giác BCEF nội tiếp. Câu 46. (Ag). Câu C) đúng. Câu 47. Câu C) sai vì trong tam giác ABC tuỳ ý, đương cao AH không phải luôn luôn vuông góc vói OH. Câu C). Câu 48. Câu D) đúng, vì nếu (OMDA) nội tiếp thì : CO.CA = CM.CD=+ CA 2 = CD 2 +> CA = CD . 120 Hình bình hành ABCD không cồn Ax o^^/ 7 tuỳ ý. Câu D). /AtvnT / Kẻ MH ± CD. D M \/ C AMCD : DM 2 = DC.DH. (1) N Nếu câu C) đúng thì : c DM 2 =DC.DN (2) Từ (1) và (2): DN = ỘHN = H (sai). Câu D). A Câu B) sai, vì gọi I là trung điếm của EF thì I là tâm đường tron P) ngoại tiếp AAEF. Vì AB không vuông góc vói OI nên AB không phải là trục đăng phương của (O) và (AEF). Câu B). ®ÁP'ÁN eÃU HỎI mắc CHUOT1G 11 Ịa_ 23 c 24 B__34_B c 25 c 35 B JD JB "_A I J TiU -t- •». c 43 D 46_c D_ 28 A 38 A_ 48 D 39 c 49 D Toạ dộ của diêm và của vecter a) Hệ trục trong toạ độ • Kí hiệu (o, e 1 ,e 2 ) vói o là giao điểm của Ox, Oy ; ©1 -L e2 |ei Ị = |b2'| — b) Toạ độ một điếm ® Cho điểm M tuỳ ý trong mặt phang Oxy. Cặp sô' (x ; y) gọi là to ạ độ của điểm M, kí hiệu M(x ; y) nếu ÕM = xei + ye 2 . M(x,y) OM = xei + ye 2 c) Toạ độ một vectơ ® Cho vectơ u = AB: u = (uj;u 2 ) <£> u = Ujei +U 2 e 2 d) Hai vectơ bằng nhau ® Cho a = (a 1 ;a 2 ), b = (b 1 ;b 2 ) : •tơ và hai đẩu AB = (x b -x a ;y B -y A ) 1(2) Các phép tính vectcr a) Công thức Cho hai vectơ a = (a 2 ; a 2 ), b = (b,; b 2 ) và sô k 0 b) Hệ quả c) Các kết quả khác © Độ dài một vectơ : a = V /„2, 2 a i + a 2 Khoảng cách giữa hại điểm : AB = ^/(x b -x a ) +(y B -y A ) GÓC giữa hai vecto’ : B. CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1. XÁC ĐỊIMH MỘT ĐlỂlVI Phưong pháp Ví dụ 1 . Cho hai điểm A(—3 ; 3) và B (4 ; 4). a) Tìm điểm MeOy để AMB = 90° . b) Tìm điêm N G Ox đế A, B, N thẳng hàng. Giải a) M(0 ; y) G Oy <Ễ=> ÃM.BM = 0 (3)(-4) + (y — 3)(y — 4) = 0 ^ y 2 -7y = 0 <G> y ^ y = 7. ■■ Vậy Mj = o và M 2 (0 ; 7). b) N(x ; o) G Ox . ■' Để A, N, B thẳng hàng AN //AB 124 77 X -Ị- 3 1 77 X -24 Vậy N(-24;0). Vídụa. Cho AABC có A(0;5), B(-2;-X), c(4;2). Xác đinh chân đương cao AH của AABC. Giải ÃH _L BC H (x ; y) là chân đương cao AABC 77 77 77 BH//BC 6x + 3(y -5) = 0 x + 2 _ y + 1 6 “3 X = 2 y = i. • Vậy H(2 ; 1). Vi dụ 3. Cho A(2 ; 4), B(-l; 0), c(10 ; - 2). Xác định điểm M và N là chân các đương phân giác trong và ngoài BAC của AABC. Giải [ AB 2 = 9 -f 16 = 25 AB _ 1 Ta có : _ __ " _ _=> "X77 - õ • AC 2 = 64 + 36 = 100 AC 2 M(x ; y) là chân đường' phân giác trong góc A khi và chỉ khi MỀ = _4§. = 2MB + MC = Ỗ MC AC 2 |2(-l-x) + (10-x) = 0 [2(0-y) + (-2-y) = 0 jx = 8/3 Hy = -2/3. Vậy M(8/3 ; - 2/3). 125 N(x ; y) là chân đường phân giác ngoài góc A khi và chỉ khi N ts ÁJB 1 MP = Xn = 9 ^ N (~ 12 ’ 2 )- Bạog OHÚ1\ÍE MlRklH MỘT TÍNH CHẤT của một hình 'ídụi. Cho A(—3 ; - 2), B(3 ; 6), C(11;0), D(5;-8). Chúng minh ABCD là hình vuông. Giải ÃB = (6 ; 8) DC = (6,8) ÃD = (8 ; — 6) ÃB = DC ÃB.ÃD = 0 ^ ABCD là hình vuông. AB = AD í dụ a. Cho bôn điểm A(-3;-2), B(3;6), C(l;-5), D(ll;0). Chúng minh AD là đương phân giác ỄÃC. Giầi ẴB = (6; 8) — _ „ _ :_ ~ _ 0 , => AB.AC = 0»AB1 AC => BAC = 90°. AC = (4 ; — 3) ẤD = (14;2) ; cos(ÃD,Ã c) = = -L =» DAC = 45°. V25.V2ÕÕ 72 Vậy AD là phân giác BAC. dụ 3. Cho bốn điểm A(-l;2), B(l;0), C(5;4) và D(l;6). Chúng minh tứ giác ABCD nội tiếp. Giải BA —.í —2 : 2ì —__, „__ A ) Á => BA.BC = 0 ABC = 90°. BC = (4 ; 4) DĂ = (2;4) — — „ ___ AC ; '' ^DA.DC = 0«ADC = 90°. DC — y 4 J 2) 126 Vậy ABCD nội tiếp trong đương tròn đương kính AC. Bài 1 . Cho ba điềm A(5 ; -8), B(-3 ; — 2), C(ll ; 0). 1.) Chứng minh AABC vuông cân. 2) Xác định điểm D mà ABDC là hình vuông. Bài g. Cho AABC có A(2 ; 0), B(0 ; 2), C(0 ; 7). Tìm điềm D để ABCD là hình thang cân. Bải 3. Cho A(1 ; -5), B(4 ; -1), C(ll ; 0), D(5 ; -8). Tính diện tích tứ giác ABCD. Bài 4. Cho A( — 2 ; - 2), B(5 ; — 4). 1) Tính toạ độ trọng tâm AOAB . 2) Tìm điểm c để AABC có trọng tâm là điểm (2 ; 0). Bài 5. Cho 4 điểm A(1 ; 3), B(0 ; 5), C(4 ; 2) và D(-2 ; -1). Chúng minh D là trực tâm AABC . Bải 5. Cho A(Q ; 5), B(1 ; 2), C(6 ; 7). Chứng minh D(2 ; 3) là chân đường cao từ A của AABC. Bài 7 . Cho 5 điểm A(1 ; 3), B(6 ; 5), C(- 1 ; 7), D(2 ; 5) và E(0 ; 5). 1) Chứng minh 2BE = 3BD 2) Chúng minh D là 'trọng tâm AABC . Bài 8 . Cho AABC có A(4 ; 3), B( — 2 ; — 1), C(8 ; — 1). 1) Xác định trọng tâm G, trực tâm H và tâm đương trồn ngoại tiếp I của AABC . 2) Chứng minh H, G, I thắng hàng. / Ị— : • lài 3. Cho a(o ; -Jĩ), B A ; 2V2 , c V2 ; \ 2 /V ■ã 1) Tính các góc của AABC, suy ra tính chất. 2) Tìm tính chất tam giác không qua việc tính góc. 127 Bài 1 o. Cho AABC có A(4 ; 3), B(0 ; - 5), C( - 6 ; - 2). .1/ onirng rnin n L \ /Á h i y vư 0Ti Í7 X/S.T £5 2) Tìm tâm I của đương tron ngoại tiếp tam giác. 3) Tìm tâm J của dương tròn nội tiếp tam giác. LỜI GIẢI Bài 1 . 1) Ta có : ÃB = (-8;6) ÍÃB.ĂC = 0 •__ .-■=>■ __^ _ ( AC = (6 ; 8) ÃB = Ãc = 10. Vậy AABC vuông cân tại A. 2) Nhồ' câu 1) nên chỉ cần định D(x ; y) để ABDC là hình bình hành. ABDC là hình bình hành <=> BD = AC [ X + 3 — 6 y + 2 = 8^|y — 6 D(3 ;6). Bài a. © ABCD là hình thang cân, đáy BC // AD. Yêu cầu bài toán tưong đương vói : ‘|x = 2 5(x - 2) = 0 Ịy = 9 X 3 + (y — 7) 2 = 8 ^ |x = 2 |y = 5 (loại). Vậy D(2 ; 9). • ABCD là hình thang cân, đáy AB // CD. Yêu cầu bài toán tưong đương vói : AB cùng phương CD 2x = —2(y —7) |ệc| = lÃD| j(x — 2) 2 + y 2 = 25 |y = 7 —X ^ ] r, |x 2 — 9x rf 14 = 0 BC cùng phương AD ÃbU CD 128 X = hloại) y = 5 X = 7 y = 0. Vậy : 1X7 ; 0). Tóm lại : Dj (2 ; 9), D 2 (7;0). _ , ÍĂB = (3 ; 4) Bài 3. Ta có: _„ v 7 =$> 2AB = DC => AB // CD. DC = (6 ; 8) Vậy ABCD là hình thang. Mặt khác : ĂB = (3 ; 4) _ v ’ 7 => AB _L AD. AD = (4 ; — 3) Vậy ABCD là hình thang vuông. 1 3 Q 75 s - ị(AB + CD) AD - ị AB.AD = ^.5.5 = ~ . 2 2 2 2 Bài 4. 1) Trọng tâm G của tam giác OAB có toạ độ : X = t(0 - 2 + 5) = 1 ; =>G(l;-2). y = |(0-2-4)=-2 2) Yêu cầu bài toán tuong đuong với : 2 = -(-2 + 5 + x c ) * =>.c(3 ; 6). 0 = |(-2-4 + y c ) Bài 5. Ta có : <55 — f 3 ’ AD.BC = 0 AD là đương cao từ A BC = (4 ; — 3) ~~ [ ^ ^ =4> BD.CA = 0 BD là đương cao từ B. CA — (—3 ; l) 9-H.HỌC10 129 'y = 7-x I r__ o , , 1 Vậy D là trực tâm AABC. Bài B. Ta có : ^^-^ÃDXBC . (1) BC = ( 5 ; 5) BD = ( 1 ; 1 ) =>• BC cùng phương BD . (2) Từ (1) và (2) suy ra D là chân đương cao kẻ từ A của AABC. Bài 7= 1) Ta có BẺ = (—6 ; 0) í —. _z ; =>2BE = 3BD. BD = (—4 ; 0 ) X, ; — 4(1 + 6 — 1 ) — 2 2) Gọi G là trọng tâm AABC Vậy G = D . 1) Toạ độ của trọng tâm G : x = ỉ(4-2 + 8) = y> c „ l 3 =* G y G= ±(3 + 5 + 7) = 5. o 10 1 ' 3 ’3 ÃH.BC = 0 |l0(x-4) = 0 BH.CÃ = 0 |-4(x + 2) + 4(y + l) = 0 =ỉ ’ IA = IB = IC «. (-?* - 2 + 25 = 4x + 2y + 5 Ị—8x — 6y + 25 = —16x + 2y- 8x — 6y + 25 = — 16x + 2y + 65 X — y — 5 — 0 2) IH — (1,7) í 1 7' 3’3; . TTT _ Oĩn' . 3^- => iri = oivi => ClpCIIÌ. 130 cosB V2 cosC -ị + 3 1 =J-= = -4 => ẤBC = 45°. 10 §0 V2 4 V 4 .72 1 + CB 3 '10 20 4 14 72 . 372] 2 ’ 2 -4 =* ẤCB = 45° 72 Tam giác ABC vuông cân tại A. V2 2 ) ÃB ;V2 / Ăc = n/2; V V2 ÃB.ÃC = 0 =ặ> BÂC = 90°. Vĩõ IabI = |ac| = ■ Vậy AABC vuông cân tại A. 2 Bài 1 0.1) BA = (4 ; 8) — — „ „ _ t => BA.BC = 0 ABC = 90°. BC = (—6 ; 3) 2) Do ABC = 90° nên tâm I là trung điểm cạnh huyền AC 11 khi và chỉ khi I 3) Phân giác.trong góc B là BE. ẼA BA 4 EC BC 3 Phân giác trong góc c là CF. FA CA 5 3EA + 4EC = õ => E 12 1 7 ’ 7 CB 3ẼA + 5ẼB = õ F J là tâm đương trồn nội tiếp tam giác ABC khi và chỉ khi BJ//BE T/ ^ . CJ // CF J G BE n CF 4=> 131 D. BÀI TẬP Tự LUYỆN Bài 1. Cho AABC có A(ll ; 0), B( — 3 ; -2), C(l; -5). Tính diện tích AABC. Bài B. Cho A(-9 ; - 10), B(0 ; 2). 1 ) Tìm điểm c để CA + 2CB = õ . 2) Tìm điểm D để DA = 4DB. Bài 3. Cho 5 điểm A(3 ; 6 ), B( — 3 ; -2), C(0 ; 2), D(-9 ; -10), E(9 ; 14). Chứng minh : 1) CA _ | BA _ 1 CB ~~ BD BC _ Ẽc _ 1 BD — ẼD — 2 ■ Bài 4. Cho AABC có A(3 ; 2), B(-ll ; 0), C(5 ; 4). Tính toạ độ trọng tâm G và trực tâm H của AABC. Bài 5. Cho 3 điểm A(7 ; 2), B(3 ; 1), C(0 ; 5). Tìm điểm D để ABCD là hình thang cân có hai cạnh xiên là AD và BC. Bài 6 . Cho A( — 1 ; - 2), B(3 ; 1), C(0 ; 5). Tìm điểm D để ABCD là hình vuông. Bải 7- Cho A(3 ; 3), B đều. Bải 8. Cho A( — 1 ; 8), B(1 ; 6), C(34). 1) Chứng minh A, B, c thắng hàng. 2) Cho thêm E( — 1 ; 12) và F(9 ; - 6). Tìm D để B, c, D và E, F, D thẳng hàng. Bài 3. Cho AABC vói A(4 ; 3), B( - 2 ; -1), C(8 ; - 1). Tìm tâm đuơng tron ngoại tiếp AABC. Bài 1 o. Cho A( - 4 ; 1), B(1 ; 4). ——■ Chứng minh AOAB 2 2 ) 132 1) Tìm c để OACB là hình vuông nhận AB làm đương chéo. 2) Tìm E, F để ABEF là hình vuông nhận AB làm cạnh. Bài 1 1. Cho AABC vói A(1 ; 8), B( — 2 ; — 1), C(6 ; 3). 1) Xác định trực tâm H, trọng tâm G và tâm đưồng tron ngoại tiếp I của AABC. 2) Chứng minh H, G, I thẳng hàng. 3) Chứng minh BCHI là hình thang. 4) Gọi D là điểm đôi xứng của A qua I. Chứng minh tứ giác ABDC nội tiếp. . 5) Tìm điểm E để BCED là hình thang cân đáy BC. 6) Chứng minh E thuộc đương tròn (ABCD). 7) Gọi K là điểm chia đoạn DE theo tỉ'số’ —1/2. Chứng minh A, G, K thẳng hàng. . • 8) Chứng minh BC, DH, GK có cùng trung điểm. HưỚMG DẪN - ĐÁP SỐ Bai ĩ « s — 25 . Bài a. C(-3 ; -2), D(3 ; 6). Bài 3= Kiểm tra 5 điểm A, B, c, D, E cùng nằm trên một đương thẳng. Bài 4. G( - 1 ; 2), H 25 _58 3 ’ 3 Bài 5- D 132,118 17 ’ 17 Bài G. D( — 4 ; 2). loại D’(4 ; 6) vì ABCD’ là hình bình hành. _ _ . [OA = OB • Bài 7 . Hướng dân : Chứng minh ị ___ „ => A OAB đêu. ỊAOB = 60° Bài 8. D(4 ; 3). • 133 'T?.( a • _ 1 ì 2 ) |f(-1;-4) Bài 1 1.1) H(3 ; 4), G hoặc 5 10 3 ’ 3 J ÍPb_2 • 9) ị \ ' / |f(-7;6). ,1(1.; 3). 5) E(5 ; 0). _ 6 ) Chứng minh EẨ _L ED . 8 ) Trung điểm chung M(2 ; 1). E. ẮP DỤNG PHLTOMG PHÁP TOẠ ĐỘ CHÚrNG MINH BẤT ĐÀNG thức và tìm giá trị LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT Phưoiig pháp 1. Cho AABC có các cạnh a, b, c. Ta có : lb-c|<a<b + c hay |AC-AB| < BC < AC +AB. Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi AB cùng phuong với AC , trong dó AB = A B -x A f+(y B -y A ) 2 • Nhu vậy ta chọn A, B, c có toạ độ thích họp, dĩ nhiên hên quan vói bất đẳng thức, chứng minh rồi sử dụng một trong hai bất đẳng thức ơ trên suy ra kết quả. 2. Cho hai vectơ u = (a ; b), V = (x ; y), ta có : )=l u.v ax + by u V V 'a 2 +b 2 W lỵ 2 _|_ y 2 |ax + by| Kì Va 2 + b 2 :.y/x 2 + y 2 Do cos(u, V <í=> |ax + by| < Va 2 + b 2 .^jx 2 + y 2 . (1) Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi a cùng phưcmg vơi b , tức là ay = bx . Chú ý. (1) gọi là bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki cho 4 sô thực a, b, X, y tuỳ ý. VỂ dụ 1. Chứng-minh rằng với mọi số a, b,c ta có : Va 2 + ab + b 2 + Va 2 + ac + c 2 >.J'b 2 + bc + c 2 . Giải Xét A(a ; 0), b| b ; ,c l 2 2 ) c a/ 3 ì rp — — ; — -—c . Ta có : ,2 2 J AB -\ AC = ỵ BC.J ỉí b ' l 2 , 2 + l^b l 2 , 2 " — a/ a -Ị- ab T b j ỉí - ì l 2 J 2 + { rz \2 x/3 /2 2 - —c = va + ac + c ; l 2 J ' c ^ b' , _ 2 + 2, 2 • + f /77 /77 \2 -—— c-—b = Vb 2 +bc + c 2 V 2 2 J Từ BC < AB + AC suy ra : \j b 2 + bc + c 2 < Va 2 + ab T b 2 + a 2 -ị- ac + c . VỂ dụ B. Cho hàm sô": y = \Ịx 2 — 8x + 32 + -\/x 2 — 6x +18 . Tìm giá trị nhồ nhất của hàm sô y. Giải Ta có : X 2 - 8x + 32 = (x — 4) 2 +16 > 0, Vx ; x 2 -6x + 18 = (x-3) 2 + 9>0,Vx. Tập xác định D y = M . Xét hai điểm sau : 135 OA = -n/x 2 - 8x + 32 OB = Vx 2 -6x + 18 . ^ /70 _■ ) _ rz r> — \ị ị —ị— / —- f"w/ / X aU Ý X I 1 — ú V Do OA + OB > AB và dâu “=” xảy ra khi OA cùng phưcmg với OB, tức là : í Ạ /„ 4 e Ị ^ TÊ , ỉ ' Ịb(x — 3 ; 3) /Ị \ Vx 2 -8x + 32 + Vx 2 -6x + 18 > 5 V 2 3(x — 4 ) .==■—4(x — 3) y > 5 V 2 Vậy miny = 5 V 2 khi X = 24 7 Ví dụ 3. Cho a>c>0vàb>c>0. Chứng minh : Vc(a - c) + Vc(b - c) < Vãb . Giải Áp dụng Bất đầng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho 4 sô" Vẽ, Va — c, Vb — c, Vc ì ta có : |Vc.Vb-c + Va - c.Vc| < Vc + a - c.Vb — c + c => V c(b-c) + Vc(a — c) < Vã.-Vb == Vãb (đpcm). Vi dụ 4. Cho 01 là một góc tuỳ ý thuộc (o° ; 180°). Xét : (1 - X 2 ) cos a - 2x sin a y =- 77"2 - 1 + x 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhồ nhật của y. Giải Ta có : 1 + X 2 > 0, Vx =>■ D y = R . Áp dụng Bất đẳng thức Bu- nhi-a-cổp-xki cho 1 - X 2 , - 2x, cosa, sina ta được : |(l — x 2 )cosa - 2xsina| < \j{ 1 -x 2 ) + 4x 2 .Vcos 2 Oí + sin 2 a < V(l + X 2 ) Vĩ<l + X 2 136 (l - x 2 )cosa - 2xsina . ; 11 . 1 + x 2 Dấu “=” xảy ra khi : (l - x 2 )sina = -2xcosot <^> X 2 sina - 2 xcoscy - sina = 0 cosa — 1 > n X = —-7—-< U sma (do sina > 0 ) cosa + 1 ^ n X = —-7—-> 0 sincY TTÔ . .. cosa.+ l. Vậy: miny = — 1 khi.x .=—7 -; xgr sin a . . . . cosa — 1 mạx y = 1 khi X = — 7 - . xeM sina BÀI TẬP Bải 1. Chứng minh rằng với mọi X ta có : -1 < \jx 2 + X + 1 - \Ịx 2 — X + 1 < 1 . í 1 \ Ỉ 3 ' ĩ -/3 Hướng dẫn : Xét 3 điểm A(—X ; 0), B — ; , c -~r ; —- •12 z ) \ z z ) Sử dụng IAB - AC| < BC . Chứ ý dấu “=” không xảy ra ! Bài 2. Cho y = sfx + 4^1--^ . Tìm giá trị lớn nhất của y. Hướng dẫn : Tập xác định Dy = [0 ; 2 ]. Áp dụng Bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki cho 1, 2 V 2 , Vx, y/2 — X ta được max y = 3 V 2 khi x = \ e [0 ; 2 ]. [0 ; 2 ] J 9 Bài 3. Chứng minh Vx <E [— 1; 3] : -10 < 4x/3 — X — 3 vx +1 < 10 . Hướng dẫn. Áp dụng Bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki cho 4 số 4, -3, V3-X, Vx + 1 . 137 1. Phmmg trình tham sô - phưong trình chính tắc a) Phuơng trình tham sô © a ^ 0 là vectơ chỉ phương của đưÒTig thắng (A) nếu giá của a song song hoặc trùng vói (A). ® Cho đưòng thẳng (A) đi qua M 0 (x 0 ;y 0 ) có vectơ chỉ phương a = (a 1 ;a 2 ). Phương trình tham sô" của đương thang (A) là : fx = x 0 +a,t /99 \ 0 ' a^ + a^o [y = y 0 + a 2 t v ; (1) b) Phĩimig trình chính tắc @ Phương trình chính tắc của đương thẳng (A) đi qua M 0 (x 0 ; y 0 ) có vectơ chỉ phương a — [a ỉ ; a 2 ) là : *-*o = y-y„- ( 0 ) (2) hệ sô" góc của ); y 0 ) có hệ sô" (3) ® Nếu a 1 đưồưg tt Phương góc k là 5* 0 thì tỉ sô k = — đươc goi là a i Lẳng (A). trình đương thẳng (A) qua M 0 (x ( S3 1 o II . pr X 1 X o 2 . Phưong trình tông quát n ^ õ là vectơ pháp tuyến của đương thẳng (A) nếu giá của n vuông góc vói (A). 138 © Cho đương thẳng (A) đi qua M 0 (x 0 • y 0 ) có vectơ pháp tuyến n = (A ; B). Phưong trình đương thẳng (A) là : A(x-x 0 ) + B(y-y 0 ) = 0 (4) © Phương trình bậc nhât hai biên X, y có dạng Ax + By + c = 0 (A 2 + B 2 ^ o) (5) được gọi là phương trình tổng quát của đương thăng (A) o vectơ chỉ phưong a = (-B ; A) © Đương thắng (A) có : ♦ vectơ pháp tuyến n = (A ; B). Vi trí tirong đôi của hai đường thang Cho hai đương thẳng (A 1 ): Ả Y X + B x y + C ỵ = 0 ; (A 2 ): A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, ® (Ai) cắt = (6) (^l) — (A*i) 0 A 1= B l= C ỉ a 2 b 2 c 2 Góc giữa hai đưàmg thẳng Góc tp giũa hai đương thẳng (Aj) và (A 2 ) là : cos^p |A x A 2 + B x Br 'a 2 + b^a 2 + b 2 Nếu (Aj) -1 (A 2 ) ta được : (Aị) _L ( A 2 ) <=/■ A-LA 2 + BịB 2 = 0 j (Aj) -h (^ 2 ) ^ ^"1 '^"2 = • 5. Khoảng cách từ một diêm đên đuòng thẳng Bo CÁC TOÁH Dạng 1 . VlỂT PHUOTyE THÌmH ĐUtrmG ThẲ|\IG Phưong pháp 140 Ví dụ 1. Cho A(5 ; - 1), B( - 4 ; - 2), C(8 ; 4). Viết phưong trình 1 ) Trung tuyến AM. 2) Đương cao AH của AABC . Giải a) Toạ độ trung điểm của BC là M(2 ; 1). Vectơ chỉ phuong của AM là AM = (“3 ; 2). Phương trình AM : 2(x-5) + 3(y + l) = 0^2x + 3y i -7 = 0. b) Vectơ pháp tuyến của AH là BC = (12 ; 6). Phương trình AH : 12(x -5) + 6(y +1) = 0 2x + y - 9 = 0 . Vi dụ a. Chò ba đương thẳng : (áỵ ): 2x — y + 5 = 0 (d 2 ): -X + y +1 =. 0 ' - (d 3 ): 3x + 4y -5 = 0. Gọi Alà giao điểm của (dy) và (d 2 ). Viêt phương trình : 1) (A l ) qua A và (Aj)//(d 3 ). 2) (A 2 ) qua A và (A 2 )_L(d 3 ). 3) (A 3 ) qua A và (A 3 ) họp vói (d 3 ) góc 45°. Giải Ta có : (d 1 )n(d 2 ) = A(—6 ; —7). 1 ) Phương trình (A 1 )//(d 3 ) : 3(x + 6) + 4(y + 7) = 0 3x + 4y + 46 = 0 . 2 ) Phương trình (A 2 )-_L(d 3 ) : 4(x + 6) —'3(y + 7) = 0 4x — 3y + 3 = 0. 3) Vectơ chỉ phương của (d 3 ) là a 3 = (-4 ; 3). Gọi k là hệ sô góc của (A 3 ) thì vectơ chỉ phương của (Aạ) là b 3 = (1; k). Ta có : 141 COS45' -4 + 3k| V \ Ị í — 7k 2 + 48k -7 = 0 ■24-25 k 7 -24 + 25 _ 1 7 7 Phương trình (Ag) có dạng : y = k(x-x A ) + y A 7x + y + 49 = 0 X — 7y — 43 = 0. Ví dụ.3. Tìm phương trình cấc cạnh của AABC biết đỉnh B(2 ; - 7), phương trình đường cao AH :3x + y+ ll = 0 và trung tuyến CM : X + 2y + 7 = 0. Giải Phương trình cạnh BC : (x — 2)-3(y + 7) = 0 <+> X — 3y — 23 = 0. Ta có : BC n CM = c(5 ; — 6) ; A e AH <+> 3x Á + y A + 11 = 0 MeCM«+(x A +2) + 2.ỉ(y A -7) + 7 = 0 A(-4,l). Vectơ chỉ phương của AB là AB = (6 ; - 8). Phương trình AB : 8(x + 4) + 6(y - +) = 0 <=> 4x + 3ỵ + 13 = 0 . Tương tự, phương trình AC : 7x + 9y + 19 = 0 . Dạng a. V| TRÍ TUtHMG Đối E1ỮA HAI OUỪKIE THAIMG PhưoiỊg pháp Sử dụng công thức (7), hoặc có thể dùng phương pháp định thức giải và biện luận trực tiêp hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. 142 VẾ dọ 1 . Cho hai đương thẳng : (d 1 ): mx - y + 1 — m = 0; (d 2 ): -x + my + 2 = 0. Tuỳ theo m, biện luận vị trí tương đôi giữa (dj) và (d 2 ) ■ Giải • m = 0 : (d,):y = l ; (d 2 ) : X = 2, do đó (d 1 )n(d 2 ) = 1(2; 1). ® mVO : (dj) cắt (d 2 ) (d,)//(d 2 )«. (di) — (d 2 ) <=t Vậy: m -1_, — 1 m m _ —1 Tĩ “ 7n~ [m = ±1 x 111 44> I =4> m m 1 - m m^-1 1-1 2 ra -1 _ 1-m jm = ±l -1 m 2 1 m = — 1 ♦ m = 1 <=> (dj)//(d 2 ); ♦ m --1 4=>(d 1 ) = (d 2 ); ♦ m s* (dj) cắt (d 2 ). = 1 . => m = — 1. Vá dọ e. Cho hai đương thẳng : (dj): (m — 3)x'+2y + rn 2 — 1 = 0 ; . , ■ (d 2 ):-X + mý + (m -1) 2 = 0. Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau. Xác định giao điếm. Giải m - 3 2 (dị) cắt (d 2 ) D — — 1 m VÉ 0 4=> m 2 — 3m + 2^0 <^> m 1 m v±2. 143 Khi m ^ 1 và m 2 , toạ độ giao điểm của (d 1 ) và (d 2 ) X 1 — nb ọ li — m ) m L J x j— \X — iliỹ íliị D m 2 — 3m + 2 (1 — mjým z - m + 2) _ m~ - m + 2 (m-l)(m-2) 2-m y Dy D m - 3 1 m (1 — mỳ m — 3m + 2 (1 - m)(m 2 - 3m + 4 ) (m — l)(m — 2) 1TT - 3m 4- 4 2 — m Vây: (d 1 )n(d 2 ) = M m - m + 2 m 2 -3m + 4 2 - m ’ 2 - m Dạng 3. TÍRdH BÓC EILTA HAI ĐUÙIMG THANG Phưtmg pháp ® Sứ dụng công thức (7), nêu biêt cặp vectơ chỉ phương hoặc cặp vecto pháp tuyến. ® Nêu biêt hệ sô góc có thể dùng công thức bể sung sau : kj-k 2 tan(d,,d 2 ) 1 + k^.kr VI du 1 Tìm góc nhọn hợp bơi hai đương thẳng : (d 1 ):4x-2y + 5 = 0 ; (d 2 ): x-3y + l = 0. Giai Vectơ pháp tuyến của (dj) là ni = (4 ; -2); \J pr*t.A' ổ tì ÌmivÔt' ỉ~*i\ Ci í rỉ \ lò Tt / Ị . Q\ * Cuiúu^cii CLLci ^U -2 Ị ICX II2 — y ± j — ÓJ . Gọi 9 là góc nhọn của (dj) và (d 2 ), ta có : cosip = cos(ni,n 2 ) = - 7 ^- + = -Ặr =>. ư> = 45 °. V 20 .VĨÕ V 2 144 Vi dụ 2. Cho hai đương thẳng (A): Tãx — y + 7 = 0 ; (d): mx + y + 1 = 0. Tìm m để (A) họp vói (d) góc 30°. Giãi Ta có : ĨÌA — (V3 ; — l), nd = (m ; 1). Yêu cầu bài toán tương đương vói : mTẫ — 1 74.7m 2 +1 =» m = — 73 3 VẾ dọ 3. Cho AABC có A(2 ; 0), B(8 ; 3), C(1 ; 2). Tìm phương trình đương phân giác góc BAC. Giải Gọi k là hệ số góc cửa đương phân giác AM. Vecto- chỉ phương của AM là AM = (1; k). Vectơ chỉ phưong của AB là AB = (6 ; 3). Vectơ chỉ phương của AC là AC = (—1; 2). Yêu cầu bài toán tưong đưong vói : cos(ÃB,Ãm) = cos(ÃM,Ãc) A 3k = Ạ.Í SL 3^5 vk 2 +1 n/ 5 vk 2 + 1 k • - 3. Phương trình AM : y = 3(x — 2) & 3x — y — 6 = 0 . . © Chú ýo Nếu phân giác ngoài góc BAC thì cos(ẼÃ,Ãm) = cos(ÃM.Ãc) =» k = . VI dụ 4. Cho đưồng thang (d) : 2x - y + 3 = 0. Tìm đương thẳng (A) qua A( — 3 ; 1) và (A) hợp vói (d) góc 45°. Giải Gọi k là hệ số góc của (A). Hệ sô" góc cửa (d) là 2. 10- H.HỌC 10 145 Yêu cầu bài toán tương đương với : Ị —— '-Ĩ 1 = tan 45° = ^ f , 1 1 I Olr Ị_ . _ Phưong trình (A) : y = k(x + 3) + 1 <^> Phuttmg pháp Vá dụ 1. Tìm phương trình đương thẳng (A) đi qua gốc o và (A) cách đều hai điểm A(2 ; 2), B(4 ; 0). Giầi Xét (A) : y = kx<í=ỉ>kx-y = 0. Yêu cầu bài toán tương đương vói : -1 i 3' Hai đương thắng cần tìm là ( A ỵ ): X + y = 0,(A 2 ):x-3y = 0. Chú ý. 1) Ta không xét trương hợp (A) = Oy vì lúc đó d(A ; (Ạ)) = 2 và d(B ; (A)) = 4 . 2) Nếu dùng công thức (8) vói (A) : Ax + By = 0 thì ta được : d(A;(A)) = d(B;(A))o%X = -#i 3x + y + 8 = 0 X — 3y + 6 = 0. 146 jẸậ±Ịâ=-pặấL. * [*= B ^ hr ° A (do A và B=* 0). Va 2 + B 2 V A 2 h-B 2 [3A = -B |x-3y = 0 Vi dọ a. Cho 3 đương thẳng : (d 1 ):x-y + 4 = 0; (d 2 ):7x + y-12 = 0; (d 3 ): 3x+ 5y+ 4 = 0. Gọi (d,)n(d 2 ) = A, (d 2 )n(d 3 ) = B và (d 3 )n(d 1 ) = c. Tính diện tích tam giác ABC. Giải Ta có : A(1; 5) => h a = d(A ; (d 3 )) = = -gt . Vậy: s. \;ìi- lli. 2 734 Vỉ dụ 3. Cho hai đương thẳng : (Aj): 3x-4y —10 = 0 ; (A 2 ): 3x +4y — 5 = 0. Tìm phương trình các dương phân giác góc của (Aj) và (A 2 ). Giải Gọi d ỉ2 là hai đương phân giác của (Ạj) và (A 2 ) : V M(x ; y) e d 1)2 d(M ; (Aj )) = d(M ; (A 2 )) |3x — 4y —10| |3x + 4y - 5| ^ — 5 = 5 3x — 4y —10 = 3x + 4y — 5 ^ [3x - 4y - 10 = -3x - 4y + 5 8 y + 5 =0 2 x - 5 — 0. 147 .Bài 1- Cho AABC biết phương trình cạnh AB : 7x - y + 4 = 0, đương cao AH : 2x + y - 4 = 0, đương cao BH : x-y-2 = 0. Viết phương trình các cạnh AC, BC. Bài a. Cho AABC biết đỉnh A( —3 ; 2), phương trình hai đương cao : BH : 2x + y - 4 = 0, CH : 7x - y + 4 = 0. Viết phương trình đương cao AH và các cạnh tam giác. Bài 3. Cho AABC biết phương trình hai cạnh AB : 2x + y - 4 = 0, AC : X + 3y - 12 = 0. Viết phưong trình cạnh BC biết rằng BC nhận điểm M(4 ; 1) làm trung điểm. Bài 4. Cho AABC có A(4 ; 5), B( - 5 ; - 2), C(10 ; 1). Tìm phương trình đương thẳng : 1) (Aj) đối xúng của BC qua điểm A. 2) (A 2 ) đôi xúng của AB qua AC. Bài 5. Cho hình bình hanh có phương trình hai cạnh là x-5y + ll = 0 và 2x - y - 5 = 0 và phương trình đương chéo X + y - 1 = 0. Tìm phương trình hai cạnh kia. Bài G. Cho AABC đỉnh A( — 3 ; — 2), phương trình đương cao BH: 2x + y - 2 = 0, trung tuyến CE : 2x - 9y + 13 = 0. Tìm phương trình các cạnh tam giác. Bài 1. Cho AABC có đỉnh A(1 ; 5), phưong trình hai đương’trung tuyến của tam giác là 9x - 4y - 11 = 0 và 3x - 5y = 0. Viết phương trình ba cạnh của tam giác. Bài 8. Cho AABC vuông tại A(4 ; 8), trung điểm cạnh huyền BC là M(4 ; 3) và đương cao AH : 4x - 3y + 8 = 0. Viết phương trình các cạnh. Bài 3. Cho hai điểm A(4 ; 0) và B(0 ; 5). Xét (A) : 2x — 2y — 1 = 0. Lập phương trình các đương thắng (dj),(d 2 ) qua A và B, nhận (A) làm đựơng phân giác. Bài io=Cho (d) : 3x + 4y - 5 = 0. Viết phương trình (A)//(d) và (A) chắn trên hai trục toạ độ tại hai điểm A và B sao cho : 1) dt(AOAB) = 24. 2) d(0;(A)) = 5. LỜI GIẢI Bài 1. A(0 ; 4) và B( — 1 ; — 3). AC qua A và AC ± BH nên (AC) : (x - 0) + (y - 4) = 0 <^> X + y - 4 = 0 . BC qua B và BC _L AH nên : (BC) : (x 4-1) - 2(y + 3) = 0 44 X - 2y - 5 = 0. Bài a. H(0 ; 4) B Vectơ chỉ phưong của AH là AH = (3 ; 2). Phương trình AH : (AH) : 2(x — 0) - 3(y - 4) = 0 44 2x - 3y +12 = 0 . ■ AB _L CH có phương trình (AB) : (x + 3) + 7(y — 2) = 0 44 3x + 7y —11 = 0. , Tương tự cho AC : (AC) : (x + 3) - 2(y - 2) = 0 44 X - 2y + 7 - 0 .. r 17 1 q AB n BH = B 113 13J Vectơ pháp tuyến của BC là AH = (3 ; 2). Phương trình BC : (BC) : 3 x-~ +2 y-41- l 13 J ự 13 Bài 3. Cách 1. B(a ; b) G AB 44 2a + b — 4 = 0. C(c ; d) e AC 44 c + 3d-12 = 0 . ,. J _ [a + c = 8 M là trung điẽm của BC 44 h s b + d = 2. = 0 44 3 9x + 26y-87 = 0. 149 Từ đó ta có : a |B(2;0) nia . o\ 2, b = 0, c = 6, d => BC : X — 2y - 2 = 0 . 2 . Cách 2. Gọi k ià hệ sô" góc của BC : (BC) : y-l = k(x-4)<=>kx-y + l A 3 + 4k . 2-4k' 2 + k ’ 2 + k , 9 + 12k 1 + 8k 4k = 0. AB n BC = B ACnBC = c (k * (k 1 + 3k ’ l + 3k M(4 ; 1) là trung điểm BC nên ta có : = 8 2 ) ; -3). 3 + 4k 9 + 12k 2 + k G + 3k 2 — 4k l + 8k _ 2 + k l + 3k ~ X 1 to 1 2 = 0. =4> k = . 2 Bài 4. 1) Phưong trình (BC) : X - 5y - 5 = 0. Phưong trình (d) qua A và di BC : 5(x - 4) + (y - 5) = 0 5x + y - 25 =■ 0. BCn(d) = H(5 ; 0). Gọi K là điểm đối xứng của H qua A thì K (3 ; 10). (A^ qua K và (A^ỵ/BC nên : (x — 3) — 5(y —10) = 0 X - 5y + 47 = 0. 2) Xét (A 2 ) qua A(4 ; 5) : y = k(x — 4)+-5<í=>kx — y + 5 — 4k = 0. (A 2 ) đối xúng của AB qua AC khi và chỉ khi AC là phân giác góc (AB, A 2 ), tức là : -./AO A/Vv „ / An A \ |— 54 + 28| , |6 — 4k| cosÍAB, AC) = cos (AC, A 2 <^> 7 = 7== = 7 = = . v ■ V52.VĨ3Õ V 52 AGĨ <^351k z -1560k +1001 = 0 k = 7/9 => [k = ll/3. 150 © k = -Ệ- =+(A 2 .): llx — 3y — 29 = 0. 3 ® k = ^ => (A 2 ): 7x-9y + 17 = 0 (loại vì (A 2 ) = AB). 9 c Bài 5. Hai cạnh đã cho cắt nhau tại A(4 ; 3) gọi là AB và AD ; đương chéo đã cho không qua A nên là đương chéo BD. Vậy B( — 1 ; 2). Phưong trình cạnh BC : 2(x +1) - (y - 2) = 0 ^ 2x - y + 4 = 0 . Và D(2 ; - 1), phương trình DC : ( x _2)-5(y+ 1) = 0 <+> X-5y-7 = 0 . Bài 6. Phưong trình cạnh AC : (x + 3) — 2(y + 2) = 0 +> X — 2y — 1 = 0 CE n AC = c(7 ; 3). Gọi B(a ; b) , ta có : 2a + b - 2 = 0 a — 3 2 -9 b — 2 ì 2 + 13 = 0 Vậy (AB) : 3x - y + 7 = 0 ; (BC) : X + 8y - 31 = 0. ái 7. Toạ độ A(1 ; 5) không thoả các phương trình, nên dó là hai trung tuyến BE và CF. Gọi B(a ; b) và C(u ; v). 9a — 4b —11 = 0 3ư — 5v = 0 [1 + U N -4 Í5 + v' 1 2 i 2 J Ịl + aì -5 '5 + bl i 2 J 2 J -11 = 0 = 0 . B( — 1 ; — 5) và C(5 ; 3). Vậy : (AB) : 5x - y = 0, (AC) : X + 2y - 11 = 0, (BC):4x-3y-ll = 0. Bài 8. Phương trình BC : 3(x - 4) + 4(y - 3) = 0 <+> 3x + 4y - 24 = 0. 151 Goi B Ị x n ; 3 — — Xọ I e BC Vì M A — Mp A ° f ' — (x A ~- 1 ° i 3 ; j 4 X, X r 0 8. x 0 =();=>■ B(0; 6) x 0 =8^B(8,0) : Bài 9» Xét điểm M AM = m — 4 m ; m — - 2m — 1 AB : X - 2y + 12 = 0 ; AC : 2x + y'— 16 = 0. AB : 2x + y - 16 = 0 ; AC : X - 2y + 12 = 0. e(A). , 2m — 1 / => Kị — —r—-- (m BM m : 2m —11 =*k. 2(m-4) 2m —11 4) 2m (m 0) Hệ sô" góc của (A) : k = 1. Yêu cầu bài toán tuong đưong với : 2m -1 tan (MA, A) = tan(A,MB) <^> 1 2 (m - 4) 1 + 2m — 1 m = © m 11 8 22 9 2(m - 4) m = 11/8 m = 22/9. '(MA):x + 3y-4 = 0(d l ) (MB): 3x + y — 5 = 0 (d 2 ). (MA): 5x — 4y - 20 = 0 2m - 11 2m 1 + 2m -11 2m (MB): 5x — 4y + 20 = 0. (loại do MA // MB). Bài 1 o, Phưong trình (A) có dạng : 3x + 4y + p = 0 (p ^ 0) 1) (A)nOx = A p . ;0 ; (A)nOy — B 0 Yêu cầu bài toán tương đương với : 152 24 1 p _£ 2 3 4 <£=/> p = ±24 . Vậy (Aj): 3x ± 4y ± 24 = 0 3x±4y-24 = 0. 2) Yêu cầu bai toán tưong đưong vói M = 5 «p = ±25. Vậy (A 2 ): 3x ± 4y ± 25 = 0 3x ± 4y — 25 == 0. Bài 1. Cho AABC có A(0 ; 3), B(-4 ; 1), C(8 ; -1). Viết phương trình : 1) Ba cạnh tam giác. 2) Trung tuyến AM. 3) Đường cao AH. 4) Đương trung bình song song cạnh AB. 5) Đường phân giác trong AD. Bài e. Cho AABC có đỉnh B(-6 ; 4), phương trình cạnh AC : X - y - 2 = 0, đương cao AH : 7x - y + 4 = 0. Tìm phương trình hai cạnh cồn lại. Bài 3. Cho AABC. Gọi E, F, K là trưng điểm các cạnh AB, AC, BC. Cho biết phương trình : EF : X - y + 3 = 0, FK : 3x + 2.y - 6 = 0 , KE : 8x - 3y - 16 = 0. Viết phưong trình ba cạnh tam giác. Bài 4. Cho AABC có phương trình hai cạnh AB : 2x - y + 5 = 0, AC : 3x + 6y - 1 = 0. Viết phương trình cạnh BC biêt rằng AABC cân tại A và BC đi qua M(2 ; - 1). Bài 5» Cho AABC có A(-2 ; 3), B(5 ; -1), C(3 ; 7). Viết phưong trình đương thẳng (A ) qua A và : 153 1) (A) cách đều B và c. Ọ\ / Ạ Ị u - r Ã.: nn _ /í ru /, ) \ /_\ } 11 o 1J V ỈJ1 13 Ịg Q £J ql D nỊ! c nu^ 4-IÁ'^, ỊV/ỊỴC . 0\ rpị . „. Ị..Ị„ 1 _ .3 • ' _. J-Ị_. 4 - < A \ _ạx =5-^» wi.Â.V/ Uiviii ? «-?/'• -ĩ. ÁiÁÁ MiÌUuĩig i/i iiiii VÁCÌVỹ±±g Õiĩcĩilg V Á—Ã / Cciú hai trục toạ độ tại A, B sao cho : 1) OA = OB. 2) AB nhận M làm trung điểm. Bài 7. Cho điếm A( — 1 ; 7). Tìm phuong trình đường thẳng (A) đi qua A sao cho khoảng cách từ gốc toạ độ đến (A) : 1) bằng 5. 2) đạt giá trị lớn nhất. Bài 8. Cho hình bình hành OABD có o là gốc toạ độ, đỉnh A(-3 ; 0), hai đưồng chéo OB và AD cắt nhau tại 1(1 ; 2). 1) Tìm phưong trình các đương chéo. 2) Tìm phưong trình bôn cạnh hình bình hành. Bài a. Cho điểm 1(2 ; 3) và ( A) : X - 2y - 1 = 0. 1) Viêt phưong trình các đương chéo của hình vuông tâm I và có một cạnh thuộc (A). 2) Viết phương trình các cạnh hình vuông đó. Bài 1 Ọ.Chơ bạ đương thắng : (d 1 ): 3x Hn y —-12 = 0, (d 2 ):x-3y + 6 = 0, (d 3 ) : y = m (m VÉ 3). Gọi (d 1 )n(d 2 .) = A,(d 1 )n(d 3 ) = B và (d 2 )n(d 3 ) = c. Tìm m để dt(ABC) = ị. 9 HITỚNG ĐẪM - ĐÁP số Bài 1 . 1) (AB) : X - 2y + 6 = 0, (BC) : X + 6y - 2 = 0, (CA) : X + 2y - 6 = 0. 154 2) (AM) :-| + r = l«-3x + 2y-6 = 0. 3) (ÁH):6x-y + 3 = 0. 4) Đương trung bình : X - 2y - 2 = 0. 5) (AD): I =^2x —y + 3 = 0. [y = 2x + 3 Bài a. (BC) : X + 7y - 22 = 0, (AB): 7x + 5y + 22 = 0. Bài 3. (AB): 3x + 2y - 31 = 0 , (BC): X — y — 2 — 0, (CA): 8x - 3y + 9 = 0 . Bài 4. Hưóng dẫn : BC qua M(2 ; —1) có hệ sô góc k. Yêu câu bài toán tương đương vói : B = c cos(ẼC,BA') = cos (ca, Õb) ^ ^ Vậy 3x + y + 5 = 0 , x-3y-5 = 0. , Bài 5. 1) (A, ):g = ■ r „ 2) (A 2 ): X -y + 5 = 0. v ’ [4x + y + 5 = 0. Bài B. 1) (Aj): * + y 2) (A 2 ):3x + 5y-30 = 0. X — y — 2 = 0. [3x + 4y - 25 = 0 Bài7 - x) ỊIx - 3y + 25 = 0. 2)d(0;(A)) = d = A±ZL. (1) yk 2 +l Yêu cầu bài toán tương đương vói (1) có nghiệm k (vói d là tham số), tức là phương trình (l — d 2 ) k 2 Hb 14k + 49 — d 2 =0 có nghiệm k. Điều này xảy ra khi và chỉ khi ; ' 24 d = 1 có nghiệm k =—— jd ^ 1 jd ^ 1 |d ^ 1 Ịa'>0 [y 2 <50 (0<d<5V2. 155 suv ra : Vậy d < 5 V 2 nên d mnv = 5V2 với k x-7y + 50 = 0. Bài B. 1) (OB): 2x — y = 0 , (AD): X - 2y + 3 = 0 . 2) (OA): y = 0, (AB): 4x — 5y +12 = 0 (BD):y = 4, (DO): 4x - 5y = 0. Bài 3. 1) Hai đưồng chéo qua I và hợp với (A) góc 45° Í3x — y — 3 = 0 [x. + 3y -11 = 0. 2) Cạnh song song vói (A) : X - 2y + 9 = 0. Hai cạnh vuông góc vói (A) : 2x + y - 2 = 0 và 2x +'y - 12 = 0. 1. Phương trình dường tròn Cho đương tron (%') tâm I(a ; b), bán kính R. Phương trình đương tron : (x —a) 2 +(y — b) 2 = R 2 (1) hoặc X 2 +y 2 -2ax -2by + c = 0 . (2) Chú ý. Phương trình ơ dạng (2) thì bán kínhR = Va + b 2 — c 2. Phương trình tiếp tuyên của dường tròn Phương trình tiếp tuyến tại M () (Xq ;y 0 )e{ c ẽ ) là : x 0 x + y 0 y-a(x 0 +x)-b(y 0 +y) + c = 0 (3) hoặc : (x 0 - a)(x-a) + (y 0 -b)(y-b) = R 2 . (4) B. CÁC DẠNG TOÁN Dạng 1. TÌIVI TÃiVI VÀ BÁm SiímH CỦA ĐUtmie VÁ dự í . Trong các phương trình sau, phưoưg trình nào biếu diễn đương tron. Xác định tâm và tính bán kính. 1) X 2 - y 2 + 4x - 5y +1 = 0 ; 2) X 2 + y 2 - 4x + 2y + 6 = 0 ; 3) X 2 + y 2 + 6x-8y +16 = 0 ; 4) 2x 2 +2y 2 -3x-2 = 0. 3) IC-3 ; 4), R = 3 ; Giải 157 Ví dụ a. Cho phương trình : m X V \ n ì — Ị : > / y — t rra — } V _Ị_ ỴỴ\ — Ị J 1) Tìm m để (1) là phưõrig trình đường trồn. 2) Khi m thay đổi, tìm tập họp tâm các đương trồn có phương trình (1). (15 — m m — 5 Giải , bán kính R cho bơi : 1) Tâm I l R 2 = ỉ[(15 — m) 2 + (m - 5) 2 J - m 4 = ^-(m 2 -22m + 125 ) > 0 (Vm). Vậy phương trình (1) là phưong trình của đường tròn với mọi 2) Ta có : I X = 77(15 - m) 2 y = ỉ(m-5). Khử m, ta được X + y - 5 = 0. -Tập hợp tâm các đưồưg trồn là đương thang : (A): X + y — 5 — 0 . nạng 2. VlỂT PHUimiE TiiìryH OUÌmiG TRÒ 1^1 Phưtmg pháp Trong trương họp tổng quát, ta tìm hệ ba phưong trình và giải : , ® Nếu tìm được a, b, R ta có phưong trình dạng (1). © Nếu tìm được a, b, c ta có phương trình dạng (2). 158 Vi dụ 1. Tìm phương trình đương tron đưbng kính AB vói A(1 ; 1), B(7 ; 5). Giải Cách 1. Ta có AB = (6 ; 4) => R =- —V 52 . Tâm 1(4 ; 3). /Li Vậy Cổ ) : (x-4) 2 +(y-3) 2 =13. Cách 2. Xét : VM(x;y)e( ( 4).^ÃM.BM = 0 <^(x-l)(x-7) + (y-l)(y-5) = 0 <=> X 2 + y 2 - 8x - 6y +12 = 0 . Vi dụ a. Viết phương trình đưồng tron ngoại tiêp AABC vói A(—2 ; 4), B(5 ; 5), C(6 ; —2). Giải Phưong trình đương trồn CtC) : X 2 Ạ y 2 - 2ax - 2by + c = 0 . Vì A, B, c thuộc (£T) nên: [4a - 8b + c + 20 = 0 a = 2 — lOa — lOb + c + 5.0 = 0 => b = 1 12a + 4b + c + 40 = 0 c = —20. Vậy ( C A) : X 2 + y 2 — 4x — 2y - 20 = 0. Vá dụ 3. Viết phương trình đường trồn ( C /C ) qua A( — 4 ; 2) và tiêp xức vói hai trục toạ độ. Giải Ta có I(a ; b) => |a| = |b| = R . Do A(-4 ; 2) ơ góc phần tư thứ II nên a = — b và : b = 2 b = 10. =r- ( C Ổ) : (x + 2 ) + (y — 2 ) = 4 . © b = 2 => R 2 = IA 2 o b 2 = (-4 + b) 2 + (2 - b) 2 <K> 2 a : . R = 2 159 ® b = 10=H a 10 => (V) :(x + 10) 2 +ÍV-10) 2 = 100. I Jtl — i ij Dạng 3„ TIẾP TUYEI\I VÓI OLltmiG TRÒrn Phuxmg pháp © Nếu biết tiếp điểm M 0 (x 0 ; y 0 ) thì sử dụng công thức (3) hoặc công thức (4). • Nếu tiếp tuyến tại M 0 (x 0 ;y 0 )^ (£T) , ta xét (A) qua M 0 có hệ sô góc k và dùng điều kiện tiếp xức : (A) tiếp xúc (fcT) <=> d(l; (A)) = R. Vẩ dụ 1 . Cho đương tron {% ) : X 2 + y 2 — 4x + 4y + 3 = 0 . Tìm phương trình tiêp tuyên vói ) tại những điềm nó cắt hai trục toạ độ. Giai (?T)n Ox = {A ; B) vói A(1 ; 0) và B(3 ; 0). (n Oy' = {E ; F} vói E(0 ; - 1) và F(0 ; -3). Phương trình tiếp tuyến với (%) tại : ° A(l ; 0) : X — 2(x + l) + 2(y) + 3 = 0<=> —X + 2y + 1 = 0. B(3;0):3x — 2(x + 3) + 2(y) + 3 = 0 X -f- 2y — 3 = 0. H E(0 ; -1): -y-2(x) + 2(y-l) + 3 = 0 -2x + y + 1 = 0 . - F(0 ; — 3): -3y - 2(x) + 2(y - 3) + 3 = 0 4* -2x - y - 3 = 0. Ví dụ B. Cho (£T) : X 2 + y 2 — 6 y = 0 . Tìm phương trình tiếp tuyến vói (%) tại : 1) A( — 6 ; 0). 2) B(2 ; 8). Giải Ị) A ị { ( /C ), xét (A) qua A có hệ số góc k : 160 y = k(x + 6) kx — y + 6k = 0. (A) tiếp xúc (£T) d(l; (A)) = R ^ = 3 4=> V k 2 +l ® k = 0 ==> (A) : y = 0 (trục hoành). © k = ị => (A): 4x - 3y + 24 = 0. 3 • 2) B(2 ; 8) ị (£T). Xét đưbng thẳng (A) qua B, vói hệ sô' góc k = 0 k = 4/3. k, có phưong trình : kx — y + 8 - 2k = 0 . Yêu cầu bài toán tưong đưong vói : - 3 + 8 A = 3 5k 2 + 20k -16 = 0 => Vk*+Ĩ Ta đuợc hai tiếp tuyến. -IO-6V5 k =--- 5 , -10 + 6^5 5 Ví dụ 3. Lập phuong trình (%~) có tâm I thuộc đuơng thẳng (d) : 4x + 3y - 2 = 0 và tiếp xức vói (À]_) : X + y + 4 = 0 và (A 2 ): 7x — y + 4 = 0 . Giải ) ỉ Yêụ cầu bài toán tuong đưong với : 4a + 3b - 2 = 0 |a + b + 4| — V2(a : |7a-b + 4| = 5V2(a 2 +b Từ (2) và (3) ta có : . 5|a + b + 4| = |7a — b -ị- 4| •vv' (1) b 2 -c) (2) + b 2 -c). (3) Vữ ' 1 co cr 1 00 II o (4) 3a + b + 6 = 0. (5) Suy ra : a = 2 b = —2 c = 0 a = —4 b = 6 c = 34. 1I-H.HỌC 10 161 Vậy : (^): X 2 + y 2 - 4x + 4y = 0 ; : X 2 + y 2 + 8x — 12y 4- 34 = 0 . c. BAi TẬP Bài 1 . Cho phương trình : (ể)\ x 2 +y 2 +2(m —l)x-2(m — 3)y + 2 = 0. (1) 1) a) Tìm m để (1) không phải là đương tron. b) Tìm m để (1) là đưồng tron tâm 1(1 ; —3). Viết phưong trình cé) tưong ứng. c) Tìm m để (1) là đương trồn có R = 5Vỗ. Viết phương trình cế) tương ứng. 2) Tìm tập họp tâm các đương trồn cé) . Bài 2» Cho ( ( <ểf): X 2 + y 2 + 2x - 2yỈ3y = 0 (1) (^): X 2 + y 2 — 2mx + m 2 — m = 0 (2) 1) a) Tìm tâm và bán kính của (Vf). b) Chứng tỏ (vv) là đương trồn vói mọi m > 0. 2) Tìm m để (%f) cắt(^v). Bài 3. Tìm phương trình đương trồn 0é5 , biết rằng : 1) cé) tiếp xức vói hai trục toạ độ vấ có bán kính R = 3. 2) cế) tiếp xúc vói Ox tại A(5 ; 0) và có bán kính R = 3. 3) cé) tiếp xúc với Oy tại B(0 ; 5) và đi qua Ợ(5 ; 2). Bài 4. Lập phương trình đương tron cế) tiếp xức vói hai trục toạ độ và có tâm thuộc đương thắng (A) : 2x - y - 4 = 0. Bài 5. Lập phương trình đương tron qua gốc toạ độ o và qua giao điếm của hai đương tron : X 2 + y 2 - 8x - 2y + 7 = 0 ; X 2 + y 2 - 3x - 7y + 12 = 0. 162 Bài G. Bài 7. Bài 8. Bài 3. Ooi 13 o Q Cho đương trồn cể) : X 2 + y 2 - 2mx - j- my -Ịr 25m -100 = 0 2 1) Tìm tập hợp (A) tâm các đương trồn khi m thay đổi. 2) Xét A(8 ; 6). Lập phương trình dưồng thẳng (d) tiếp xúc với cé) tại A. 3) Nhận xét gì về các đương trồn cế) ... Tìm phương trình tiếp tuyến chung của hai đương tron : ( < ếf): X 2 + y - 12x - 8y + 43 = 0; : X 2 + y 2 - 8x - 16y + 79 = 0. Cho M(5 ; 3) và (A): 3x — 4y +12 = 0 . Lập phương trình đưồng tron cé) bán kính R = 5, đi qua M và cé) cắt (A) tại A, B mà dt(MAB) max . Cho đương thẳng (A): 3x -p 4y -12 = 0 . 1) (A) cắt hai trục Ox và Oy tại A, B. Viết phương trình đương tron cé) đương kính AB. Chứng to điểm gốc toạ độ OeCể). 2) Xét (d) qua gốc o và (đ)± (A), (d) cắt cé) tại E. Chung minh AEB = 90° . 3) Tiêp tuyên với cế) tại o và E gặp nhau tại F. Chứng minh B là tâm đương tròn nội tiếp AOEF . Cho hai đương trồn : . [ C éỊ ); X 2 + y 2 - 4x - 4y + 7 = 0 ; ( c 4):x 2 +y 2 -12x-8y + 43 = 0. 1) Chứng tỏ (4) và {%) không có điểm chung. 2) Chứng minh đương thẳng (): 4x - 3y + 3 — 0 là tiếp tuyến chung của (^) và (íqf). 3) Xác định m để đương thẳng (A 2 ): 3x + 4y + m — 0 tiếp xúc vói (Vp và (íf). 163 4) Tìm nhương trình tiến tuyến chung của ( c ẩ) và ( c éb). Bài 1. 1(1 — m ; m — 3), R 2 = 2(m — 2) 2 . 1) a) Yêu cầu bài toán tương đưong vói m = 2 . , í 1 — m = 1 9 b) ị [ 4m = 0 và R 2 =8. [m —3 = —3 {%): X 2 +y 2 -2x + 6y + 2 = 0. c) R = 5 V 2 -» 2(m - 2Ý = 50 m = „ m = --3. Vậy: ( < ếf): X 2 + y 2 + 12x - 8y + 2 = 0; ( c íf): X 2 + y 2 ~ 8x + 12y + 2 = 0. íx = 1 - m |m = l — x^2 2) 1 *=> [y = m-3 [y = —X — 2. Vậy tập hợp các tâm I là đương thẳng (A) : X + y + 2 = 0 bồ điểm J( - 1 ; — 1). eài e. 1) Ij (—1; Vã), Rj = 2 ;I 2 (m ; 0), R 2 = m, m > 0. 2) Ta có : 1^2 = (m +1) 2 + 3 = m 2 Hr 2m + 4 ; R 1 +R 2 =m + 2; |R 1 — R 2 | = |m — 2| Yêu cầu bài toán tương đương với : |Rj — R 2 | I|I 2 Rị ~\~ R 2 4 =ỉ> |m — 2| 2 < m 2 + 2m + 4 < (m + 2) 2 =>• m > 0. Bài 3- 1) |a| = |b| = 3 . Ta được 4 phương trình : (V — 2 ì 2 -I- í V — 9.) 2 = 9 ■ (x-3) 2 +(y + 3) 2 = 9; (x + 3) 2 + (y — 3) 2 = 9 ; (x + 3) +(y + 3) —9. 164 2 ) a = 5 Jb| = 3 I. Ta được hai phương trình : (x - 5) + (y - 3) = 9 ; (x-5) 2 + (y -f-3) 2 = 9. 3) |a| = R,b = 5 IC = R „2 , 2 X + y b = 5 (a - 5) 2 + 9 = &' 34 <^> a 17 5 b = 5. X - lOy + 25 = 0 . Bàn 4. Ta có : |a| = |b|. 1) a = b. Do I(a ; a) G (A) a = 4 . Vậy : (x - 4) 2 + (y — 4) 2 — 16. 2) a = —b =» I(—b ; b) G (A) b = XTA __(_ 4ì 2 ’ f 4ì 2 16 Vậy: X —-r + y + T- = —. 3 3 9 4 3 ’ Bải 5. Toạ độ giao điểm là nghiệm của hệ : x 2 +y 2 -8x-2y + 7 = 0 |y —x + 1 X 2 + y 2 - 3x - 7y +12 = 0 jx 2 - 4x + 3 = 0. Ta suy ra A(1; 2) , B(3 ; 4) . Phưong trình đương tron (OAB) dạng : X 2 + y 2 - 2ax - 2by + c = 0 . Ta có : c = 0 -5-2a-4b + c = 0 => 25 — 6a — 8b + c = 0 Vậy: X 2 +y 2 — 15x + 5y = 0. c = 0 165 Bài Bo 1) I m 3 ì ;-m|. X Hr / R 2 = m 2 + —m 2 — 25m +100 = —(5m — 40) 2 . X ỹj iu Điều kiện m ^ 8 . Tập hợp tâm I là đưồng thẳng (A): 3x - 4y = 0, loại điểm A(8 ; 6). - 2) Nhận xét A(8 ; 6) G cể) vói mọi m. Phưong trình tiếp tuyến vói cé) tại A(8 ; 6) là : 8x + 6y — m.(x + 8) — —5i(y + 6) + 25m —100 = 0 (8 — m)(4x + 3y — 50) = 0 4=> 4x + 3y — 50 = 0 (do m 5* 8 ). 3) (A) và (d) cô định và đều đi qua A(8 ; 6 )'và (A) JL (d) nên suy ra các đương tron cế) tiếp xúc vói đương thẳng (d) cố định tại điểm A(8 ; 6) cô" định (Vm ^ 8). Bài 7. ( < ịq) : I x (6 ; 4), R'j = 3 ; ỉ 2 (4 ; 8), R 2 = 1. Vì 1^2 = 2 Võ > R 1 + R 2 = 4 nên (%f) không cắt (^) : có 4 tiếp tuyến chung. • Xét (A) : y = ax + b<^>ax — y + b = 0. Yêu cầu bài toán tương đương vói : |6a - 4 + b| = 3\/a 2 +1 3ạ + b = 10 (l) |4a - 8 + b| = Va 2 +1 9a + 2b = 14. (2) Từ (1) suy ra : 3 ■ . • a = — — 4 b _ 49 4 ' Vậy ( A 1 ): 3x + 4y — 49 = 0 . Từ (2) suy ra : 166 Bài B Bài 9 a = 0 4 a = — |a + 2| = 2Va 2 +1 => a = 0=>b = 7=^ (A 2 ) :y - 7 = 0 . a = ^ => b = 1 =^(A 3 ): 4x-3y + 3 = 0 . 3 Xét (A)//Oy : X = m . Yêu cầu bài toán tưong đuong vói : m —3 m = 9 |6 14 mỉ m <£> m = 3 m = 5. m Vậy (A 4 ):x-3 = 0. . Vì M và (A) cô" định nên S max <=> dây AB max 4=> Tâm I G (A) Yêu cầu bài toán tưong đưcmg vói : 3a-4b + 12 = 0 (5-a) 2 +(3-b) 2 =25 44 > b = 3a +12 4 <^> 5a 2 — 32a = 0 a = 0 b — 3 32 5 39 5 a Vậy ( C Ố5 X 2 + y 2 — 6y —16 = 0 y- 2 , 2 64x 78 , 384 _ X -f-y --2—- — v + —— = 0. 1) A(4 ; 0), B(0 ; 3) có trung điểm I 2 ; và AB = 5. Phưcrng trình đương tròn cể) đương kính AB : , ~\2 í 3Ì 2 25 , , , „ (x-2) + 3 y — • , V 2 ) X 2 + y 2 - 4x - 3y = 0 Nhận xét gốc o e cế) . 2) Phương trình đương thẳng (d) : 4x — 3y = 0. 167 Bài 1 Giao điểm của cé) và (d) là nghiệm của hệ [4x-3y = 0 [x 2 +y 2 -4x-3y = 0 Vậy (d)n Cé) = {0;E} vói E JT%. - \J y = 0 72 = 25 96 " 25 72 96 25 ’ 25, X y Ta có : AE 28.96 25 ’ 25 =4> AE.BE = 0 ; BE '72 21 ,25 ’ 25 . Từ đó suy ra đpcm. 3) Phương trình tiếp tuyến với đường tròn (é) tại gô'c o là 4x + 3y = 0, tại E là 44x + 117y - 576 = 0. d(B;OE)= ỉ 4 (°)- 3 (3)L |. 5 5 d(B; OF) = l 4( ! 0) + 3(3) l = I; d(B • EFl = l 44 ( 0 ) + lll7 ( 3 )- 576 l = 1-2251 = 9 V 44 2 +117 2 125 5' Do đó B là tâm đương trồn nội tiếp AOEF . o-(^) có I 1 (2;2),R 1 =1 ; (^) có I 2 (6 ; 4), R 2 = 3. 1) 1^2 = 2 Võ > R x + R 2 = 4 => đpcm. 2) d(l 1 ;(A 1 )) = l^|±ẩ = i = R l . d(ĩ 2 ;(Aj) J 24 ~ 42 + 3| =3 = R 2 . Từ đó suy ra đpcm. |3(2) + 4(2) + m| = 5 Ịm + 14| = 5 |3(6) + 4(4) + m| = 15 Jm + 52| = 15 168 4) Ngoài ra có hai tiếp tuyến chung đặc biệt là y — 1 và x = 3. D. BÀI TẬP Tự LUYỆN Bài 1. Chơ đương cong iĩể) có phưong trình : X 2 + y 2 + (m-15)x-(m-5)y + m = 0. 1) a) Chứng minh (^) là đương tron với mọi m. b) Tìm bán kính đương trồn qua gôc toạ độ o. c) Tìm tâm đương tròn có bán kính R = Vl30 . 2) Tìm tập hợp tâm các đường trồn ^ể') khi m thay đối. Bài s. Tìm phương trình đương tron ^ể') , biêt rằng : 1) Tâm 1(1 ; - 5) và qúa gốc toa độ o. 2) Tiếp xức với trục tung tại gôc o có R = V 2 . 3) Ngoại tiêp AOAB vói A(4 ; 0), B(0 ; — 2). 4) Tiếp xúc vói Ox tại A(6 ; 0) và qua B(9 ; 3). Bài 3 . Cho hai điểm A(-l ; 6) và B(-5 ; 2). Lập phưong trình đương tròn { c ể ), biết: 1) Đương kính AB. 2) Tâm o và đi qưa A, tâm o và đi qua B. 3) iĩể) ngoại tiếp AOAB. 4) Tâm nằm trên đương trung trực của đoạn AB và tiếp xức vói trục Oy tại gôc o. Bải 4. Cho AABC có A(8 ; 0), B(9 ; 3), C(0 ; 6). 1) Chứng minh tứ giác OABC nội tiêp. Viêt phương trình đương tron ngoại tiêp iĩể ). 2) Viết phương trình tiếp tuyến vói (^) tại 4 đỉnh. 3) Qua B, kẻ BH _L OA, BK _L oc, BL J_ AC . Viết phưong Ị- >»1 rế p p pi 1 ỊỴỴỊ-Ị P' f h n V, n' i-JỊ ịư u 1 Ị ' u. , -.-p 4 u Ị.Ị !/■ I ~ u UUii p líCl Ỗ XXJL5^. X XX_J, vnuiig 11111111 _ — ——7 — thẳng hàng. Bàs 5. Cho hai đương trồn : (9y): X 2 + y 2 — 8 x — 2v + 7 = 0 ; ■ 1 Ty 2 -3x-7y + 12 = 0. 1) Chứng minh (9íf) cắt (íặ 7 ) tại hai điểm A, B. 2) Viết phương trình tiếp tuyến vói (9f) tại điểm I( - 1 ; 6). 3) Chứng minh các đương tiếp tuyến ơ câu 2) cũng là tiếp tuyên cho (9f). Suy ra phưong trình tiếp tuyến chung của d)vàd). Bài B. Tìm phương trình tiếp tuyến chung của hai đương tron : d):x 2 +y 2 -8x-2y + 7 = 0 ; ( < '4’):x 2 +y 2 -3x-7y + 12 = 0. Bài 7. Cho AABC có A(-8 ; -2), B(4 ; 4), C(8 ; 0 ). Gọi M là trung điểm AC và D là điểm đối xúng của B qua M. Chứng minh các đương tròn (MBC) và (MAD) bằng nhau. Bài 8. Cho đương tròn (9?): X 2 + y 2 + 2x + 4y = 0 . 1) Viết phương trình tiếp tuyến (Aj), (Ạ 2 ), (Ag) vói \ c ể) tại E(l; — 3), F( — 2 ; -4), K(-2;0). 2) (A ] )n(A 2 ) = A, (A 2 )n(A 3 ) = B, (A 3 )n(A 1 ) = c . Tính diện tích AABC. Bài 3. Cho AABC có A(0 ; 5), B( - 2 ; - 1), C(4 ; 2). 1) Chứng minh H(1 ; 3) là trực tâm AABC*. 2) Chúng minh ba đương tròn (HAC), (HCB) và (HBA) Ị-v 2 Gf n Vĩ o 11 Dcilig íỉíiclUL. Bài io*Cho hai điểm A(8 ; —3), B(0 ; 9) và đương trồn (990: X 2 + y 2 - 6x + 4y - 13 = 0 . 1) Tìm nhũng điểm trên ( c ể) cách đều A và B. 170 2) Giả sử tìm được hai điểm M và N trên i^) cách đều A và B. Chung tồ rằng M nhìn AB dưới một góc vuông và N thuộc đương thẳng AB. Bài 1. Bải ễ. Bài 3L 1) a) R 2 = t (m 2 - 22m + 125 ) > 0 Vm . ,, _ n _ D _57ĨÕ b) m = 0 =» R = —. 2 Ịm = 27 =rI(-6 ; 11) m == —5 =>I(10 ; — 5). 2) Tập họp cần tìm là đường thẳng (d). 1) X 2 T y 2 - 2x T 10y = 0 . X 2 + y 2 — 2\Í2x = 0 2) J “ X 2 + y 2 + 2-\/2x = 0. 3) (x —2) +'(y + 1) =5. 4) X 2 + y 2 — 12x - 6y + 36 = 0. 1) (x + 3) 2 +(y-4) 2 -8. 2) X 2 + y 2 = 37 , X 2 + y 2 = 29. 3) X Ty T 14 25 y = 0. 4) Hướng dẫn : Trung trực (A) của AB cắt Ox tại 1(1 ; 0) : X 2 T y 2 - 2x = 0 . Bài 4. 1) OA.OB = BA.BC = 0 => đpcm. 'i5ể ).: X 2 T y 2 - 8x - 6y = 0 . 2) Phương trình tiếp tuyến vói ( c ể) tại : - Gốc o : 4x + 3y = 0. ■A(8;0):4x-3y-32 = 0. a C(0 ; 6) : 4x - 3y + 18 = 0. 171 ■ B(9 ; 3) : X = 9. 3) H(9 ; 0), K(0 ; 3) , L|XX ; -X ị { 5 5j Từ đó suy ra đpcm. Bái s. 1) ( c 4 > )n( < ?C) = {A;B} với A(1 ; 2) và B(3»; 4). 2) Hướng dẫn : Xét (A) qua I( — 1 ; 6) có hệ sô" góc k. Dùng điều kiện tiếp xúc của (A) vói ( c éị) ta được : k x = — 3 => (Aj): 3x + y - 3 = 0 . k 2 = ——=> (A 2 ): X + 3y —17 = 0 . 3) Hướng dẫn : Chúng minh d(l 2 ; (A 12 )) = R 2 . Do (ííf) cắt (^) tại A, B nên chúng có tiếp tuyến chung là (A 1 )' rVÙ (A 2 ). Bài 6. (A l ): 3x + y - 3 = 0 ; (A 2 ): X + 3y - 17 = 0 . Bài 7. (MBC):x 2 +y 2 -Ax + ịy-ị = 0. 9 9 9 (MAD):X 2 + y 2 +Xx + ^y+^ = 0. 9 9 9 Do đó : Rj = R 2 = — =*■ đpcm. Bài B. Chú ý E, F, K € ) => A(0 ; - 5), B(-6 ; - 2), C(4 ; 3). Chú ý (A 1 )±(A 2 )=^S = 3 JẽE. I (HL): X + 9y - 9 = 0. Bài 3. 1) Chứng minh AH.BC = 0 4 •__, =>đpcm. BH.CA = 0 2) (HAC): X 2 + y 2 - 7x - lly 4- 30 = 0 . (HCB): X 2 + y 2 - 3x + y - 10 = 0 . (HBA): X 2 + y 2 + 5x - 5y = 0. 172 f>-/Õ Ta có : Rị = R 2 = R 3 = —— • 2 Bài 1 o=Hướng dẫn : Tìm phương trình đương trung trực đoạn AB (A): 6x + 8y - 23 = 0 . M, N có toạ độ là nghiệm của hệ : Í6x + 8y — 23 — 0 _ ÍM(-2;-l) jx 2 +y 2 —6x + 4y —13 = 0 Ịn(4;3). Kiểm tra : NA.NB = 0 MA + MB = 0. 173 (E) = {M/MF J +MF 2 =2a} (a>c). F 1 F 2 = 2c gọi là tiêu cự. b) Phưtmg trình chính tắc r . y v + ~ = 1 . .2 ' 2 x ’ trong đó : c) Tâm sai b 2 = a 2 — c 2 và a > b > 0 F](-c;0) và F 2i (c ; 0). e = — < 1. a dfj Hình dạng elip ® Elip nhận hai trục toạ độ làm trục đôi xứng và gốc o làm tâm đôi xúng. © Elip căt Ox tại Aj (—a ; 0), A 2 (a ; o) : hai đỉnh trục lớn ; Elip căt Oy tại Bj (o ; — b), B 2 (0 ; b) : hai đỉnh trục nhò. ® ^ 1^2 = gọi là trục lón = 2b gọi là trục nhỏ. • Elip nội tiếp hình chữ nhật co- sơ kích thước 2a x2b . ĩypebol 'ì) Định nghĩa (H) = {M/|MF, - MF 2 | = 2aỊ (a<c). F,F 2 = 2c gọi là tiêu cư. trong đó : c) Tâm sai |b 2 =c 2 -a 2 . [F 1 (-c;0),F 2 (c;0). c e = — > 1. a d) Hình dạng Hypebol © Hypebol nhận hai trục toạ độ làm trục đôi xứng và gôc o làm tâm đôi xứng. © Hypebol cắt Ox tại Aj (—a ; 0), A 2 (a ; 0) gọi là hai đỉnh trục thực. Hypebol không cắt Oy ; đạt Bj (0 ; — b), B 2 (0 ; b) gọi là hai đỉnh trục ảo. © A Ị A 2 = 2a gọi là trục thực ; BjB 2 = 2b gọi là trục ảo. © Hypebol ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sơ, kích thước 2a X 21). ©' Hypebol nhận hai đương thẳng có phưong trình b b / y = —— X và y = + —X làm hai đương tiệm cận : Đó là a a hai đương chéo của hình chữ nhật CO' sơ và dĩ nhiên qua gốc o. 3. Parabol a) Định nghĩa Cho F/ (A) : (p) = {M/MF = d(M ; (A))} . h) Phmmg trình chính tắc (p):y 2 = 2px, ịp = d(F;(A)) trong đó : Tiêu điểm F p 0 Đương chuẩn (A): X = — c) Hình dạng paraboỉ © Parabol nhận Ox làm trục đối xứng, nhận gôc o làm đỉnh. 175 Parabol nằm ở 4 vị trí tương ứng vói 4 phương trình : t rji_ 3 cíl __ ỊỊ T’ìiế 9 nni Y11TÌD* ỉ IV _L i ÌẬV U.V/Ì /vliiic V/ A TỊT' í p . nì Ã' ị , \ỹ I (P) :y = 2px =4> 12 j (A): X = p (P) :y 2 = -2px X = —i- 2 (p) nằm bên phải Oy. Trục đôi xứng Ox fI B (P) : X 2 = 2py D (P) :x : -2py £;0 2 (A):x = | ‘2 (p) nằm bên trái Oy. Trục đối xứng Oy 0 ? 2 (p) nằm trên Ox. Trục đôi xúngOy F 0 -£) l 2 J (A):y = £ . N 2 (P) nằm dưới Ox. 4. Ba điròrig cônic Cho điểm F cô' định và đương thẳng (A) không qua F. ' , (C) = ÍM|-^I = e| Ị d(M; (A)) I F : tiêu điểm, (A) : đương chuẩn. © 0 < e < 1 : (C) là elip. • e = 1 : (C) là parabol. © e > 1 : (C) là hypebol. ( 1 ) ( 2 ) (3) (4) 176 Dạng 1. TÌR/I CÁC YỂU TO CỦA CÔI\liC Phutmg pháp Từ phương trình chính tắc của elip, hỹpebol, parabol, ta suy ra được các yếu tô' xác định của cônic đó. Đặc biệt chú ý : © Elip : a > c và b 2 = a 2 — e 2 (a > b). ® Hypebol : a < c và b 2 = c 2 — a 2 . ® Parabol : p = d(F ; (A)) > 0 . Ví dụ 1 . Tìm các yêu tô' của elip (E): 16x 2 .+ 25y 2 — 400 = 0 . Giải (E) : T + T = 1 ^ 25 16 a — 25 , _2 _ 2 _ 1-2 => c = a — b b 2 = 16 9. Trục lớn Trục nhò Tiêu cự Tiêu điểm Tâm sai A ì A 2 = 2a = 10. B 1 B 2 = 2b = 8. F j F 2 = 2c = 6 . F ] (-3;0),F 2 (3;0) c 3 - e = — = < 1. a 5 Vẩ dụ H. Tìm các yếu tô' của'các hypebol : ■ (H,):x 2 -4y 2 -4 (H 2 ):4x 2 -y 2 -4 0 ; 0. Giải ® (H,): —— ^- = 1 =ộ> - a 4 =>• c 2 = a 2 + b 2 = 5 (a > b). v lì 4 1 |b 2 = l Trục thực : AjA 2 = 2a = 4. 12- H.HOC 10 177 Truc ảo ; B,Bq =2b = 2. Tiêu cự : F,F 2 = 2c = 2\/5. . I n í / £■ . \ / i - \ \ \ In i ị tz - A i ii6u uiern • X 1 \-XO , \JJ, r 2 yu , u J . c. -x/b Tâm sai a — >1. 2 Tiệm cận , b 1 : y = ± — X =4> y = ± — X. a 2 • (H a ):y y 2 -2- = l=>\ 4 |a 2 = l 2 => c = b 2 = 4 Trục thực : A x A 2 = 2a = 2. Trục ảo : 13^2 = 2b = 4 . Tiêu cự : Fj (—Võ ; o), F 2 (Vỗ ; 0 ) . Tâm sai : e = — = > 1. a 2 Tiệm cận : y = ±~x => y = ±2x . a Vá dụ 3. Tìm các yếu tô" của parabol : (Pi):y 2 = x. (P 2 ):y 2 = -3x. r— 1 1 II oa X _ co (P4):x 2 = -|y Giải A' 1 „ ):y 2 = x = 2 ,2, X => p = — > 0 . 2 Tiêu điểm : F VI ) Đường chuẩn : (A); X • ( p 2 )'-y 2 = -3x = -2 Tiêu điểm : F e Ox. 1 - 4 ' Í3Ì 3 , -ậ;0 I 4 X => p = ^ > 0. 2 e Ox . 178 Đương chuẩn : (A): X (P 3 ): X y y=>p=Q>0 o Tiêu điểm F 0 ; 1 ì 16 eOy. Đuòng chuẩn : (A): y (P4) /o\ X Tiêu điểm ■y F 0 16 16 y =>p = |->0 0 € Oy . Đương chuẩn : (A): y = 16 Dạng e. VBET PHUtmiE TffSÌI\li-i CHÌIMH TĂE CỦA cômic Phuxmg pháp ® Vói elip : Tìm được a, b thì ta có phương trình : ^2 +T2 = 1 ( a > b). a ) b © Vói hypebol : Tìm a, b. Tuỳ theo độ lớn của trục thực, trục ầo ta suy ra phương trình (một hoặc hai phương' trình). • Vói parabol : Tính p > 0. Tuỳ theo vị trí tiêu điểm và đương chuẩn ta suy ra phương trình (dạng (1) —r (4)). Ví dụ 1. Tìm phương trình chính tắc của elip (E), biêt rằng (E) có tâm sai e = -Ạ- và đi qua M 3 Giải - 73 ; 276 Phương trình chính tắc của elip (E) có dạng : 179 /-S-4N X V „ , o o o ọ o, o \ Hí ì —r ~i-r —” — <==> u X -ị- ci V = ti ịj a 2 b 2 mi„ „ -=ỊÍ . Ã iitíU uc KJCÍÍ tu tu . lõa 2 = 9c 2 Í4a 2 = 9b 2 p 2 — q cX — [27b 2 +24a 2 = 9a 2 b 2 ° [27b 2 + 24a 2 = 9a 2 b 2 ^ II 04 ^ 7 / \ X y Vậy phương trình chính tăc của ẹlip là (E): — + 22- = 1. Ví dụ E. Tìm phưong trình chính tắc của hypebol (H), biêt hình chữ nhật cơ sở có diện tích bằng 24 và chu vi 20. Giải Theo giả thiết t : |2a.2b = 24 jab = 6 |2(2a + 2b) = 20 ^ |a + b = 5. rh 1 n‘ 4“ v*! Vì 1-1 • Vậy a, b là nghiệm phưong trình : 5t + 6 — 0 44- a = 3 b = 2 a = 2 b = 3. Vì đề bài không phân biệt độ dài của trục thực và trục ảo . nên ta được hai phưong trình : 2 2 X ~9 ỵ_ 4 1 hoặc y_ 9 1. Ví dụ 3. Tìm phương trình chính tắc của hypebol (H), biết phương trình hai đương tiệm cận là 2x ± Võy = 0 và tiêu cự bằng 6. Giải Ta có : 2, ± 7S ; .0 = y . ± -|,. Theo giầ thiết : b __ 2 _ a Võ ^ c = 3 Ịõb 2 = 4a 2 ■ [ a 2 = 5 [9 = a 2 + b 2 [b 2 = 4. 180 Vậy phưoTLg trình chính tắc của hypebol là (H) : —— —■ — 1. 5 4 ^ X 2 y 2 Ch lí ý. Ta không chọn phưong trình dạng ——~-= 1, vì 4 5 75 như vậy phương trình tiệm cận của hypebol là y = ±-^-x (trái JLì giả thiết). Vi dụ 4. Lập phương trình chính tắc của parabol (P) khi biêt : â) (P) qua điểm M( — 4 ; 3). b) Tiêu điểm F(0 ; — 4). c) Khoảng cách từ tiêu điểm đên đương chuẩn bằng V 2 và tiêu điểm thuộc trục hoành. Giải a) Vì M( — 4 ; 3) ơ góc phần tư thứ II nên phương trình chính tắc của parabol (P) có dạng : © y 2 = -2px . . . 9 Theo giả thiết : 9 = —2(p)(— 4 ) p = > 0 . 8 Vậy phưong trình chính tắc của parabol là (P) : y X X 2 = 2py 8 Theo giả thiết : 16 = 2(p)(3) <=> p ='-^ > 0 . 3 16 Vậy phương trình chính tắc của parabol là (P) : X 2 = -g-y 3 b) Theo giả thiết : F(0 ; — 4) e Oy =^> = 4<^p = 8>0 X — —2py. Vậy phương trình chính tắc của parabol là (P) : X 2 = — 16y. c) Theo giả thiết : p = V 2 ^ I p = V 2 FgOx |y 2 =±2px. Vậy phương trình chính tắc của parabol là (P) : y 2 = ±2y/2x . 181 IPÌhrnrrrBcr rslháTrV Ta lập và giải hệ phương trình : M(x ; y) e (c) (x ; y) nghiệm đủng phương trình chính tắc(C) M(x ; y) thoả tính chất (.9^). Ví dụ t . Tìm điểm M nằm trên hypebol (H): X 2 - 3y 2 —3 = 0 mà M nhìn hai tiêu điểm F 1? F 2 dưới một góc vuông. Giải Gọi M(x ; y) e (H). Theo giả thiết : X — 3y ~ 3_0 jx 2 -3y 2 -3 = 0 OM = ỈF 1 F 2 jx 2 + y 2 = c 2 = 4 ^ 2 15 X 2 _ 1 y = — 4 Ta được 4 điểm M tạo thành một hình chữ nhật : M, (VĨ5.lj , m 9 ' s.ì , Mo VĨ5 . lì ,m 4 ( 1 — \ VĨ5 1 2 ’ 2.J . 2 ’ 2) ' ỏ 1 2 ; 2] { 2 ' 2) Nhận xét Các cách giải khác cũng cho cùng kết quả. Cách 1. Theo giả thiết : F\M.F^M = 0 ■»' X 2 — 4 + y 2 = 0. ■ Cách 2. Theo giả thiết : FjM 2 + F 2 M 2 = « (a + ex) 2 + (a - ex) 2 = 4c 2 2 2c 2 - a 2 15 <=> X e 4 Ví dụ 2 = Cho paraboi (P) : y 2 = 16x . Tìm điểm M G (p) sao cho OM 2 + FM 2 = 72 (F lầ tiêu điểm). Giải Theo giả thiết : y 2 = 16x X 2 + 12x - 28 = 0 y 2 = 16x X = 2 X = —14 (loại). Ta tìm được hai điểm M 1 (2 ; 4V 2 ), M 2 (2;— 4 V 2 ).. V, Vá dụ 3„ Cho elip (E) : ^r + y 2 = 1 và A(4 ; -3), B(-4 ; 3). Tìm 4 M e (E) sao cho dt(AMAB) max . Giải Phưong trình đuxmg thẳng AB : 3x + 4y = 0. .. „, . . fx = 2cos t Ta có: , M e(E) [y = sint. Do AB cô" định và do tính đôi xúng của (E), ta xét X > 0 và y > 0. Theo giả thiết : /atVV \ .. (|6cost + 4sint|)_ d(M;(AB)) raax ■«. g -“ max . |6cost + 4sint| max Áp dụng Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho các sô 6, 4, cost, sint, ta có : (6 cos t + 4 sin t) < V 52 . Do đó : (6 cos t + 4 sin t| max = 2VĨ3 , đạt được khi : _2 +.. 1 _ 9 l + tg 2 t 13 • 2 i _ sin t — ——. 13 Vậy ta tìm được hai điểm M thoả mãn yêu cầu bài toán là : M ị-Ẹ= ; -Ậ=\, M 2 ị—j= ; -7=? . HVĨ3 ; VĨ3j ? Hvĩă 6 sin t = 4 cos t <=> tan t = ^ => 3 y 2 = 16x ọ X 2 +y 2 +(x- 4) '+ y 2 = 72 Ị 183 Dạng 4. CHÍmiE MINH MỘT TÍNH CHAT CỦA CÔNIE VÉ riaa 1- Cho eìin ÍE) „2 „2 X 4- y 25 9 1 có ti An điểm là R và Fn. Chứng minh rằng với mọi điểm M E (e) thì giá trị của biểu thức OM 2 + F 1 M.F 2 M không thay đổi khi M chạy trên elip (E). Giải ' 2 = 16 Ta có : a = 25 b 2 =9 =4 c^_ 16 a 2 “ 25' VM(x ; y) G (E): OM 2 + FjM.F 2 M = X 2 + y 2 + (a + ex)(a - ex) X 2 +-^(25 — x 2 ) + a 2 -e 2 x 2 25 = X 2 +-^(25-x 2 ) + 25- — X“ 25 25 = -^-(9.25 + 25 2 ) = 9 + 25 = 34 . 25 X 2 V 2 Ví dụ s. Cho hypebol (H) : — —— = 1 và một điểm M () (x 0 ; y 0 ) 16 9 G (H). Chứng minh tích các khoảng cách từ M 0 đến hai đương tiệm cận của (H) không phụ thuộc vị trí của M 0 trên (H). Giải 16 2 2 Theo giả thiết (H) : —— — = 1 =4 16 9 Phương trình hai đương tiệm cận : a 2 =16 b 2 = 9. y = ± — X 44 4 3x — 4y = 0 3x + 4y = 0. 184 144 25 Ta có : íỊ-^Ị = l Í9xẵ-16yẵ = 144 16 9 ^ |3x 0 -4y 0 | |3x 0 +4y 0 | p = 71 fI 9x 0 ~ 16y 0 P = J —-1.1——- 1 25 [55 Vi dụ 3 . Chứng minh trong mọi parabol, dây cung qua tiêu diêm ngắn nhất bằng hai lần khoảng cách từ tiêu diêm đên đương chuẩn và xảy ra khi dây cung đó vuông góc vói trục đối xúng. Gỉ ải ... f|£;0 Xét parabol (P) : y = 2 px =$■ • 12 ) [d(F;(A)) = p>0. Xét dây cung NFM qua tiêu điếm F. Đặt (Fx,FM) = Ot (o < a < 180°). Kề MH _L (A). Ta có : Me(P)-»FM = HM = p + FMcosa-»FM = -—. (1) 1 -cosa Vì N, F, M thẳng hàng nên (Fx,FN) = a + 7 Ĩ. Do đó trong (1) thay OL bằng ot + TT thì FM là FN. Vậy: JỊ l-cosla + Tĩ) 1 + COSCY „ p p 2 p NM = FN + FM = : p — + -— 3 ——— — • 1 + coscv 1 —COSCY sin Oi (NM)min = 2p (sin 2 a) max o sin 2 a = 1 <=» COSCY = 0 a = “ =>.NM±OxtậiF. Dạrag 5L TẬP HỢP ĐBEIVi là một EÔI\!SE Vi dụ 1 . Cho đương trồn tâm o, bán kính R = 2. Từ diêm M bất kì trên ( < ^ ? ), kè MH _L Ox. Gọi N là trung diêm cua 185 MH. Tìm tập hợp điểm N khi M vẽ { c ể). Giảỉ Thương trình đương tron '\"õ J:x z + y z = 4 . Cách 1. V M(x 0 ; y 0 ) e { c ể) X 2 + y 2 = 4 . (1) Trung điểm N của MH có toạ độ là N x 0 ; ~ . Từ (1) suy ra : \ 2 , 2 2 X N + 4 Yn = 4 ^ ~~ + yị\Ị =1^Ng (E):^-fy 2 = 1. 4 4 Vậy tập hợp điếm N là elip (E): + y 2 = 1. 4 Cách 2. V M G ( c ể) x 0 = 2cost y 0 = 2 sin t X N = x 0 = 2cos t y N = y = sint => ^ 7 *- + Yn = cos 2 1 + sin 2 t == 1. 4 X 2 Vậy N vẽ elip (E) : -- + y 2 = 1. 4 Vi dụ a. Cho A( — 1 ; 0) và B(1 ; 0). Tìm tập họp các điểm M sao cho các đương thắng AM và BM có tích các hệ sô" góc băng 4. Giải V M(x ; y) với X ^ ±1, hệ sô" góc của AM là : k, =-T7 (do ÃM = (x + l;y)). X + 1 Hệ sô" góc của BM là : (do BM = (x-l;y)). Theo giả thiết : kpkg = —ặ- = 4 <^> 4x 2 -y 2 = 4 X 2 — 1 . X —1 4 Tập hợp điếm M là một hypebol (H) có phương trình : 186 (H) : x 2 -ệ = l. 4 Vi dụ 3. Cho A( — 1 ; 0), B(1 ; 0) và đương thẳng (A) có phưong trình y = s. Lấy điểm M bất kì trên (A). Tìm tập hợp điểm H là trực tâm của AABM khi M vẽ (A). Giải Phương trình đương cao AMAB vẽ từ đỉnh M : X = x 0 (do M(x 0 ; Vã) G (A)). Ta có : ÃM = (x 0 +1; Vã). Phương trình đương cao vẽ từ B : (x 0 + l)(x-l) + V3(y-0) = 0 (x 0 +l)x +V3y-(x 0 +1) = 0 Toạ độ trực tâm H : X H = x 0 (l) (x 0 +1)-(x 0 +1Ph _ 1 ( 2_-|'| . . y » - s s [ ° j ' (2) Khử Xq từ (1) và (2) ta được : y H =-~(xh -1 ) <í=> Xh = 1 - V3y H . Vậy tập hợp các trực tâm H của AMAB là parabol có phưong trình X 2 = —Vãy + 1. c. BÀI TẬP Bài 1 - Lập phương trình chính tắc elip (E) nêu : 1) Phương trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sơ là x±4 = 0 và y±3 = 0. 2) Một tiêu điểm (12 ; 0) và tâm sai e = 12/13. 3) Một ứỉnh trục lớn (5 ; 0) và đương trồn ngoại tiêp hình chữ nhật cơ sỏ-là X 2 + y 2 = 41. ,, ^ , _Võ 4) Tiêu cự băng 4 và tí sô giữa hai trục là . 187 Bài a. Lập phương trình chính tắc elip (E) nếu : 1) Độ uài trục lớn bằng 10 va (E) đi qua MỊ—4 ; -gj. 2) Đi qua hai điểm H(3 ; 2Ó3j và K(3V3 ; 2 ). 3) Đi qua M(8 ; 12) và bán kính đi qua tiêu điểm bên trái băng 20. Bài 3 . Tìm tâm sai của elip nếu : 1) Mỗi tiêu điếm nhìn trục nhò dưới một góc vuông. 2) Khoảng cách giữa hai đỉnh trên hai trục bằng tiêu cự. Bài 4. Lập phương trình chính tắc của hypebol (H) thoả : 1) Qua m(3V3 ; — 2 V 3 ), n(-2n/ 3 ; rì). 2) Qua P(3 ; 0) và phương trình các tiệm cận : 4x ± 3y = 0. 3) Qua Q(5 ; — 3) và tâm sai e = \Ỉ2 . 4) Qua R(6 ; 3) và hai tiệm cận hợp thành góc 60°. Bài 5. 1) Tìm phương trình chính tắc hypebol (H) có một tiêu điềm là (- 10 ; 0), phưong trình hai đường tiệm cận là 3x ± 4y = 0. Tìm tiêu điểm kia. 2) Tìm điếm M e (H) sao cho M nhìn hai tiêu điểm dưới góc vuông. 3) Lây điềm N bât kì trên (H). Chứng minh rằng giá trị biếu thức ON 2 — FjN.F 2 N không phụ thuộc vào vị trí của N trên (H). Bài G. Cho A(3cost; 0), B(0 ; sint). Tìm tập hợp các điểm M thoả 2ÃM + 5MB = Ố. Bài 7. Cho phưong trình đương cong (C) : 9 9 2 í ' X 2 + y 2 - —T X + 2x tan t — 1 = 0 , 0<t<^;^<t<7Y (1) cost l 2 2 ) 1) .Chứng minh rằng vói mọi t, (1) là phưoug trình đương tron. 2) Tìm tập họp tâm các đương tron đó. 188 Bài 8. 1) Tìm phương trình chính tắc elip (E) biêt tiêu cụ 2c = 2 V 7 , độ dài hai trục tỉ lệ vói 3 và 4. 2) Cho A( — 5 ; - 1), B( - 1 ; 1). Tìm vị trí của đương thẳng AB và (E). 3) Cho M e (E). Tính giá trị lớn nhất của dt(MAB). Bài 3. Lập phương trình chính tắc của parabol (P) nêu : 1) Tiêu điểm F( - 2 ; 0). 2) Đưòng chuẩn ( A) : y = 1/2 . 3) Trục đôi xứng Ox và khoảng cách từ tiêu điem đen đương chuẩn bằng 3. 4) Dây cung vuông góc Ox có độ dài băng 8 và khoang cach từ đinh đến dây cung đó bằng 1. 5) Trục đối xứng Oy và dây cung chắn bơi (P) trên đường thẳng 2x + y = 0 có độ dài băng 4Võ . 6) Đi qua điểm M(16 ; — 16). Bài 10 . Cho parabol (P) : y 2 =4x. Xét đương thăng (A) đi qua tiêu điếm F của (P). Gợi. A và B là hai giao điem cua (A) và (P). • ■ , _ , . , 1 1 1) Chủng minh ^ + ^ = 1 - 2) Cho biết AB = 16. Tính FA, FB. Bài 1. 1) a = 4 và b = 3. (E):T + E = 1 16 9 2 ) c = 12 ,c = 12 a = 13 c 12 =H C 10 ^. ,.2 a 13 a = 13 b 2 = 25. (E):-ĩl + £ = l. 169 25 189 3 ì J a ; ị ^ 2 l a a = 5 Ị , V & — iu, .2 .2 c = 2 4) • 2b _ Võ í 2a 3 vEỳ: —— + fr = 1. 25 16 í4 = c 2 = a 2 - b‘ X 2 V 2 (E): —- -f —■ — 1 9 5 a = 9 b 2 = 5. Phương trình (E) có dạng (a > b) : X a a = 5 2~ T ~~2~ — 1 ■w’ b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2 1) b 2 (16) + a 2 81 25 .21 2 a = 5 b 2 = 9. 2 ) [ 9b 2 +12a 2 = a 2 b 2 27b 2 + 4a 2 = a 2 b 2 — a b (E) : T + T = 1 . 25 9 a 2 = 36 ,b 2 = 16. .2 _..2 1 . (E):|l + 2_ 36 16 3) Fj (-C ; 0) và F 2 (c; 0) và M(8 ; 12) e (E). Ta có : FjM 2 = (8 + c) 2 +(12-0) 2 = 20 2 <=> c 2 +16C-192 = 0 fc = 8 44> ( 1 ) c = —24 < 0 (loại). Theo giả thiết : 64 = c 2 = a 2 64 = c 2 = a 2 — b 2 [a 2 = 256 , . “Z^ b -144b 2 -9216 = 0 64b +144a =ab 2 [b =192 í 1- 2 -i r\ r\ b 2 b 2 192 48 <0. 190 Vậy : „2 „2 (E): —+ —= 1- 256 192 Bài 3. 1) F,BjF 2 B 2 là hình vuông tâmO «b = c4-a = c^2 ~ e= a 2 <x 2). A 2 B 2 = 2c . Vậy : 4c 2 = a 2 + b 2 = a 2 4-(a 2 — c 2 ) 5c 2 — 2a =4 e 2 5 40 , => e = — < 1 Bà ã 4. Phương trình (H) có dạng : x^__y 2 a 2 b 2 1 ) 2 ) 1 ^ b 2 x 2 - a 2 y 2 = a 2 b 2 27b 2 - 12a 2 = a 2 b 2 Ị a 2 = 9 12b 2 — 2a 2 = a 2 b 2 jb 2 =6. (H): a 2 =9 9 6 1 . b 4 =4 ã = 3 a = 3 ib = 4. 3) 4 ) 25b 2 -9a 2 = aV^ a2 = b2 = 16 2a 2 = c 2 (H): X 2 -y 2 = 16. 36b 2 — 9a 2 — a 2 b 2 (_2 V3 _ b 3 a tan30 c I a 2 = 9 lb 2 =3. X 2 y 2 9 3 ( 1 ) 191 c = 10 R 2 = 64 b 2 = 36. 2) I a 2 4-b 2 = 100 u q ^ J 7 = 7 Ị 16b 2 = 9a 2 a 4 1 (H); 77-~- = 1 và F, (10 ; 0). 64 36 2\ , ) 36x 2 - 64y 2 = 2304 [x 2 = 87,04 X 2 +y 2 =100 y 2 = 12,96. Ta được 4 điểm M : M, (9,3; 3,6) , M 2 (9,3; -3,6) , M :J (-9,3; 3,6), M 4 (-9,3;-3,6). 3) ON 2 - F,N.F 2 N = X 2 + y 2 -(ex + a)(ex - a) 2 2 _ 2 X 2 + y 2 - (e~x“ - a‘ (l - e 2 )x 2 + y 2 + a 2 = -36 + 64 -28 Bài 6'. Gọi M(x ; y), ta có : AM = (x - 3cost; y), BM = (x ; y — sint).‘ Theo giả thiết 2 AM - 5BM = 0o 2 AM = 5BM ^ |2(x - 3cost) = 5x |2y = 5(y—sint) X = -2cos t y = Asm t 3 X 2 , y 2 <=> —-4 J 4 ' / cr \ 2 1 . Bài 7, a =-- cos t b = — tan t. ® R 2 = a 2 + b‘ ftan 2 t + l _ 2 i cos t 1 + sin 2 1 + cos 2 1 cos 2 t cos 2 t >0 vt. 192 1 2 2 X -y cos 2 t tan 2 1 = 1 + tan 2 1 - tan 2 1 = 1 Tập họp tâm các đương tròn là hypebol : X 2 - y 2 = 1. BàI B. 1 ) • c = + 7 = c 2 = a 2 - b 2 b a ^ ' 0 o => ' .3 = 4 16b 2 =9a 2 a b 16 9. (E):^ + ^ 16 9 1. 2) Phương trình AB : X — 2y + 3 = 0 4+ y X + 3 Phương trình cho hoành độ giao điểm (E) và AB : 9x 2 +16 x + 3 144 <+ 13x 2 + 24x - 108 = 0 <+ X — 2,1 X = —3,9. Vậy AB cắt (E) tại hai điểm. 3) ÃB = (4;2)=+ AB 2 = 16 + 4 = 20=+ AB = 2V5. X 2 , y 2 „ • _ fx = 4còst Xét Me(E):7-+.^=UM ;■ 16 9 [y — 3sint. d(M;(AB)) = d J 4c0St ~ 6 + nt + 3Ỉ . Võ dt(MAB) max <+ (|4 cos t — 6 sin t + 3|) max . Ap dụng Bât đắng thức Bu-nhi-a-cốp-xki cho các sô"4, —6, cost, sint, ta có : |4 cos t - 6 sin t| < Võ2 . 3 + 2+3 Do đó : d Vậy: dt(MAB) max i|4cos t — 6 sin t + 3Ỉ <- 7 =- V5 Võ = 1.2+ = 3 + 2+3. 2 +5 Bài 3. 1) F(—2 ; 0) +> 2 <+> p = 4 > 0 y' — -2px = —8x. 13-H.HỌC 10 193 I p 1 .. . . A i A \ L ị - - ^ ‘Z) y = — => 2 2 9 Y 2 =-2py = -2v í? ì Tì —: p. —S - \ 7 ^ —— —Ị— 9 Tì V —: -|— V — o — r y — _L_ZjjJA. — -L U7v . 4) Ta có (1; 4) € (p) 16 = 2p(l) 4>p = 8. Vậy (p): y 2 = ±16x. 5) Xét parabol có trục đôi xứng là Oy : X 2 = 2py. Phương trình cho hoành độ giao điểm của (P) và (d) : 0 _ x = 0(điểm gốc o) X 2 4- 4px = 0 =4> ' " X = — 4p(điểm ạ). Ta có : OA = yj 16p 2 + 64p 2 = 4pVõ (p > 0). Theo giả thiết : 4pVõ = 4 Võ 4 => p = 1. Vậy X 2 = ±2y . 6) Do M(16 ; — 16) thuộc góc phần tư thứ IV, phương trình parabol có dạng : y 2 = 2px : (-16) 2 = 2p(16) =4> p = 8 ; X 2 = -2py : (16) 2 = —2p( —16) p = 8. Vậy : y 2 —16x ; x 2 = -16y. Bải 1 0.1) Ta có : p = 2 =4> F(1 ; 0). Đặt (Fx ; A) = t, (0 < t < lĩ). [ X = 1 + FA cos t A [y = FAsin t. Ae(P)o FA 2 sin 2 1 = 4 + 4FA cos t 44* FA 2 sin 2 t-4FAcost-4 = 0. Ta có : A ; = 4cos 2 1 + 4sin 2 t = 4. . 2cost + 2 2(cost + l) k ^ ~ „-2 7 ~~ - 2 7 TA 3 ' . sin t sin t Do đó : 2(cost — 1) _ FA =- -7—5- -< 0 (loại). sin t 194 Vậy: FA 2(1 + cost) sin 2 1 Thay t bằng TT + t : 2[l + cos(it + t)] 2(1 —cost) 1 B = ----- = ---—- 1 Vậy: sin 2 (TT + t) sin 2 1 1 sin 2 1 (1 - cost +1 + cost FA FB 2 2) Ta có : AB = 16 = FA + FB = 1 . 1 —cos t ' 2(1 + cost) -F 2(1 — cost) sin 2 t <^> sin 2 t — —. sin t = — > 0 => ® t 7T 6 : 5tv ~6~ FA = 4(2 + n/§) FB = 4(2 - -Tã). FA = 4 (2 — Vẵ) FA = 4(2 + 73). sin 2 1 TỤ 6 5ty 6 Bài 1 1) Cho đương cong (C) có phưong trình : y — Vl6 — X 2 . Hãy cho biết tên, xác định các yếu tô" chính và vẽ (C). 2) Cùng câu hòi trên vói y = ±2Vx 2 — 4 . Bài 2. Cho điểm A s . VĨ3) 2 ’ 4 1) Lập phưong trình chính tắc elip (E) đi qua điểm A và có Jế tấm sai e — -V-. Xác định hai tiêu điểm F 1? F 2 . '2 2) Tìm điểm M e (E) sao cho ẼlĩẼ; = 120°. 195 3) Chứng minh rằng vói mọi điểm N thuộc elip (E) thì giá trị của biểu thức 40N 2 — (F 1 N-F 2 N) 2 không phụ thuộc VÍỊ h Vì r.ri È . a -!! ÍẬ ị\ỉ r.rHĩ! ị Vỉ ị Vuu V i uii ± i i/i vii \-i—■/• Bài 3= Lập phương trình chính tắc hypebol (H) thoả : 5 1) Trục ảo dài 12, tâm sai e = — . • 4 2) Phuong trình các cạnh của hình chữ nhật cơ sò' là 2x ± 1 = 0 và y ± 1 .= 0 . 3) Một đỉnh trục thực là (3 ; 0), đuơng tron ngoại tiếp hình chữ nhật cơ sơ có phucrng trình X 2 + y 2 = 16 . 4) Tiêu cự bằng 10 và hiệu sô" giữa hai trục bằng 2. 5) Tiêu điểm Fj(-5;0) và F 2 (5;0). Hai tiệm cận có 4 phưong trình y = d=-r-x. 3 Bài 4. Tìm tập hợp tâm các đubng trồn có phương trình : X 2 + y 2 - 4x cos t - 2y sin t + 3 cos 2 1 + sin t cos t = 0 . Bải 5. 1) Tìm phương trình chính tắc của (H) biêt phương trình hai đưbng tiệm cận là X ± 2y = 0 và hai đỉnh trục thực là A] (-2 ; 0), A 2 (2 ; 0). 2) Tìm M,Ng(H) sao cho AA t MN hoặc AA 2 MN đều. Bài 85. Cho đương thẳng (A): 3x + 4 = 0 và điểm A( — 3 ; 0). Tìm tập hợp những điểm M sao cho 2MA = 3d(M ; (A)). Bài T. 1) Lập phương trình chính tắc của elip (E) biêt F l (—4E;0), F 2 (V5;ơ) là hai tiêu điểm và (E) đi qua Jo. 275 ì I 3 J 2) Lập phương trình chính tắc của (H) có cùng tiêu điểm với (E) và (H) cũng đi qua điểm M nói trên. 196 Bài s. Cho (H): 9x 2 - 16y 2 = 144 . 1) Xác định các tiêu điểm Fj, F 2 của (H). 2) Tìm M G (H) để hai bán kính qua tiêu điểm vẽ từ M vuông góc nhau. 3) Lập phuong trình elip (E) có cùng tiêu điểm vói (H) và (E) ngoại tiếp hình chữ nhật cơ .sơ. của (H). Bải 3. Cho parabol (P) : y 2 =4x. Xét đương thẳng (A) đi qua tiêu điểm F của (P) , (A) cắt (P) tại M, N. Tìm tập hợp điểm I trung điểm của MN. Bài 1 O.Cho đương cong (C) có phưong trình : cost X = ———-- 1 + cost sin t y = - 1 + cost 1) Chứng tồ (C) là một parabol. 2) Chứng minh rằng đương thẳng (A): (l + yls)x — y -1 = 0 cắt (C) tại hai điểm A, B. HirỚNG DẪM - ĐÁP SỐ Bài 1» 1) y >0 X 2 y 2 —— H——— 16 9 (C) là nửa elip (phần nằm phía trên trục hoành) có trục lớn 2a = 8, trục nhò 2b = 6, tiêu cự 2c = 2 VỸ, tiêu điểm ^(-Vũo), F 2 (\/7 ;0) . _ 2 2 2) y = ±2v X 2 —4 <=> ~ = 1. (C) là hypebol có trục thực 2a = 4, trục ảo 2b = 8, tiêu cự 2c = 4V5 , tiêu điểm F 1 (“2Võ ; 0), F 2 (2V5 ; 0), tiệm cận y = ±2x . 197 ÉQẩ sa ia «aaí3 ỉ I Ị H , I * 2 ) \fA~<Í3;0) 1 |f 2 (V3;0). X" + 4y~ = 4 4c 2 = (a + ex) 2 H- (a— ex) 2 — 2(a + ex)(a — ex) <É> X = 0 y = ±i Ta có hai điểm cần tìm là hai đính trục nhỏ Bj (0 ; — 1), B 2 (0;1). 3) 'VN e (E) <4- X 2 + 4y 2 = 4 =4 40N 2 - (FjN - F 2 N) 2 = 4 . Bài 3. 1) 5) X 2 y 2 64 36 2 2 X y • T" 7 2 2 X y Y’ 16 2) 4x 2 - y 2 = 1. 4) 2 ,2 x__ ỵ_ 16 9 2 „2 x__y_ 9 16 X = a = 2cos t y = b — sint : R 2 = 1 — ^sin 2t > 0 (V t) x: + ỹ 2 -1 (elip). Bài 5» 1) (H) : X y =1 2) Hướng dẫn: M, N đôi xứng qua Ox. Gọi M(x 0 ;y 0 )e(H) Theo giả thiết : x ồ -4yồ = 4 tan 30 y 0 Aa Zi\ x ổ -4yổ = 4 3yổ = ( x 0 ^ 2 f <Ễ=^ Xq - 16x 0 + 28 = 0 <^> x 0 =2 (loại) x 0 —14. 198 Vậy: AA 2 MN đều với M(l4 ; ế^lầ), n(i4 ; -A\lỉ). AA l MN đềuvới m(-14;4^),n(-14;-4s/3). 2 2 _ ,_X y Bài B. — — —— = 1 . 4 5 2 2 Bài 7. 1) (E) : ^- + ^ 7 " = 1. 2) (H) : 225x 2 - 180y 2 = 500 . 9 4 Bài 8. 1) .Fj(-5 ; 0), F 2 (5 ; 0). (4 9) ( 4 r— 9) 2) Mj 1734;^ ,M 2 -±734 , . 1.5 5 ) 15 5J _ Í4 r- 9V f 4 r— 9) M 3 ±-734 ;-f. , M 4 -|V34;-| . 15 5) l 5 5) 3) (H) : T + z! = 1 . ® 40 15 Bài a. Parabol (p) : y 2 = 2(x — 1). Bài 1 0.1) Đặt u = tan-^ => y 2 = 1 - 2x (parabol). 2 2) Phương trình cho tung độ giao điểm : (1 + V3)y 2 + 2y +1 — v/3 = 0 2 ^2 A(0;-1) B(2a/3 — 3 ; 2 — Võ). om TẬP EHUtnve III A. BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1. Cho hai điểm A( — 2 ; — 1) và B(3 ; 4). 1) Tìm điểm CeOx : aCAB cân tại c. 2) Tìm điểm D e Oy cách đều A và B. 3) Tìm điểm E G Oy nhìn đoạn AB dưới một góc vuông. 199 Bài Bải Bài Bài 4) Tìm điểm H eOx sao cho HAB = 45° . 5) Tìm điềm I G Ox sao cho dt(IAB) = . 2 6 ) Tìm điếm K G mp(Oxy) sao cho o là trọng tâm AABK . 7) Tìm điểm L G Ox sao cho (la 2 + LB 2 ) min . a. Cho điểm A(1 ; 2) và B(3 ; 6). 1) Tìm điểm c và D để ABCD là hình vuông có cạnh AB. 2) Tìm điểm E và F để AEBF là hình vuông nhận AB làm đương chéo. 3 . Cho hai đương thẳng : (Aj: (m - l)x -f (m + l)y - 4 = 0 ; (A 2 ): mx + y + 2 = 0 . 1) Chứng minh rằng (Aj) cắt (A 2 ) vói mọi m. 2) Tính góc của (A ] ) và (A 2 ). 3) Chứng minh rằng khi m thay đổi, giao điểm của (A 1 ) và (A 2 ) chạy trên một đưồng cố định. 4. Cho điểm A(2 ; 3) và đương thang (A) : X - 2y — 1 = 0 . 1) a) Tìm phương trình các cạnh hình vuông ABCD, nhận A làm đỉnh và cạnh BC trên (A). b) Viết phương trình hai đương chéo hình vuông. 2) Viết phương trình các cạnh hình vuông MNHK, nhận A làm tâm và cạnh MN trên (A). 3) Viết phương trình các cạnh hình vuông nhận A(2 ; 3) làm đỉnh va (A) làm một đương chéo. 5. 1) Tìm phương trình đương thẳng (A) đi qua M( — 5 ; 4) sao cho khoảng cách từ I( — 1 ; 3) đến (A) bằng 1. 2) Tìm phương trình đương tron ( c ể) târiqK — 1 ; 3) biết rằng ( íf) có bán kính bằng vói bán kính đương trồn X 2 + y 2 - lOx = 0 . 200 3) Tìm phương trình đương thẳng (d) qua M( —5 ; 4) sao cho (d) cắt ( c đ ) tại A, B thoả một trong các điều kiện : a) Dây AB nhận M làm trung điềm. b) |Ãb| = 6 . . c) dt(IAB) max . Bàã B. Cho đương tron { C Ể m ) có phưong trình : ' X 2 + y 2 + 2mx-2(m + l)y + 2m 2 — 22 = 0. 1 ) Tìm tập họp tâm các đương tron ( c ổ m ). 2) Cho m = 1. Tìm tập hợp những điểm M từ đó ta vẽ được hai tiếp tưyến vuông góc cho (9y ). Bài 7 . 1) Lập phương trình chính tắc elip (E) có hai tiêu diêm F 1 (-2;0), F 2 (2; 0) và hai đỉnh trục lớn A^-SịO), A 2 (3;0). 2) Lập phưong trình chính tắc hypebol (H) nhận F 1 ,F 2 làm hai đỉnh trục thực và Aj, A 2 làm hai tiêu điểm. 3) Lập phương trình chính tắc parabol (P) nhận Fj làm tiêu điểm và đương thăng (A) vuông góc với F 1 F 2 tại F 2 làm đương chuẩn. Bài 8 . Cho elip (E) : X 2 + 4y 2 = 4 có hai đính trục lớn là Aj, A 2 . Xét đường thẳng (A): X = m cắt (E) tại p, Q. Gọi M là giao điểm của AjP và A 2 Q. Tìm tập hợp điểm M. 2 „2 X y Bài 3 . Xét elip (E) : 7 — + 7 — = 1. 25 16 1) Cho M £ (E). Đặt (Ox,OM) = CY . Tính OM phụ theo (Y . 2) Xét N £ (E) sao cho OMlON. Chứng minh rằng giá trị biểu thức — 5 - + — 7- 7 không đổi. • OM 2 ON 2 3) Suy ra MN tiếp xức vói một đường trồn cô' định. 201 Bái 1 o.Cho A( - 1 ; 0), B(1 ; 0), C(3 ; 0). 1 ' 10 v u ĩ iiẲ ì £ Uíi — { J) . a) Viêt phương trình rĩnrmg t.hnnơ ÍA ì vnnnơ ơhr* y<5i BN tại B va đương thăng (A 2 ) vuông góc vói CN tai c. b) Tìm tập họp các điểm M = [A 1 )n(A 2 ). 2) Tìm tập họp các điểm Q sao cho tích hai hệ sô" góc củả hai đưồng thẳng QA và QB bằng m (vói m>-lvàm^0). Bài 1 . 1) C(2 ; 0). [E ] (0;-2) 3) 5) E 2 (0;5). Ii =O(0;0) I 2 (-2;0). 2) D(0 ; 2). 4) H( — 2 ; 0). 6 ) K( — 1 ; -3). 7) L(x ; 0) : u = LA 2 + LB 2 = 2x 2 - 2x + 30 = 2 1 + 59 _ 59 1 „ T u min = 2 kh x ^ 2 ■ Vậy L 0 Bài g. 1) 2 ) C, (V;4) ịc 2 (-l;8) D, (5;0) ậ D a -3; 4). E(4;3) F(0;5) hoậc E(0;5) F(4;3). Bài 3. 1) D m - 1 m + 1 m 1 -(m 2 +1) 0 (Vm). ị-r-v, í'™. Ị 'Ị 1 I Ị I Ị r>\ /A A \ |lii U1I — ì.) m -Ị- i i X 2) cos(A 1 , A 2 ) = —j= = 7 ====== = —f= (vm). V2m 2 + 2.\lm 2 + 1 v2 Suy ra (Aj, A 2 ) = —. 202 Bài 4» Bài 5 3 ) Vói mọi m, (Ạj) qua A( — 2 ; 2 ) cô định, (A 2 ) qua B(0 ; — 2) cố định, (A 1 )n(A 2 ) = M. Khi m thay đổi, điểm M nhìn đoạn cô định AB dưới góc 45°, nên M chạy trên hai cung trồn chứa góc 45° nhận AB làm dây cung chung. 1 ) a) Phưcrng trình các cạnh qua A(2 ; 3) : AB ±(A):2x + y-7 = o; AD // (A): X — 2y + 4 = 0 . Huống dẫn : Cạnh CD // AB và cách diêm A một đoạn là ' , tc = —2 AB = d(A ; (A)) = 5 nên |7 + c| = 5 Vậy CD: 12 . 2 x + y — 2 = Ồ 2 x + y —12 = 0 . b) Đưồng chéo AC hợp vói (A) góc 45° nên suy ra : ík = 3 k = -ỉ 3 AC BD X + 3y - 6 = 0 3x — y — 8 = 0. 0 . 3x-y - 3 = 0 X + 3y —11 = 0. 2) Cạnh HK :'x - 2y + 9 = 0. Hai cạnh cồn lại : 2 x + y —12 = 0 ; 2 x + y — 2 3) Hai cạnh qua A họp vói (A) góc 45°: 3x — y — 3 — 0 ; X + 3y —11 = 0. Hai cạnh kia : 3x — ý —13 ■= 0 ; X + 3y — 1 = 0. , 8 x + 15y — 20 = 0 1) (A): y = 4. 2) (C ) : X 2 + y 2 + 2x - 6 y -15 = 0. 3) a) 4 x - y + 24 = 0. b) 15x 8 y + 107 = 0 . c) Hướng dẫn : Đặt d(l; (d)) = m (0 < m < 5). Ta có : 203 X - y + 9 — 0 I ) 1 ).. Ị 4 1--. 1 í in r\ ZÓX -j- Ziy -ị- o Ị = U. - _ -( \ m /4 1 / I A ■? I V iũ 0> X ị X cl u iíưu 4 í í ị.ri Ị ĩ Ị I ị Ị-ị ! Ị ị j Ị-Ị íi ínínp" 14 Ị >4 r Ị Ị ' ì “1 LCiiii i ia liiivv uuuiig XiidilỊ 1 — A (A): + y -1 = 0 23 X < 2) Tập hợp điểm M là đương tron X 2 + y 2 + 2x - 4y - 45 = 0 . .X 2 V 2 Bải 7. 1) (E) = 1 9 5 • T„z! 2) (H): — -4_ = 1 4 5 3) (p): y 2 = — 8 x. Bài e. Hướng dẫn : Phưong trình A,p và A 2 Q : A - m 2 X — 2(m H - m 2 X + 2 (m - í 4 vĩ— m 2 >m ’ m Bài g. 1) OM 2 2) ON n „ 1 , M 4 V4 - m 2 _ . . A [m 0 Do đó : M — ;-—— . Điều kiện : ị vm m [—2 < m < 2 . Tập hợp điểm M là hypebol (H) : —— y 2 = 1 . 4 -i \ AU /r2 400 16 cos 2 (V + 25 sin 2 Oi 2 _ 400 16sin 2 (\ + 25cos 2 OL -. Do đó : -1-2 + -D = -11-. í OM 2 ON 2 400 3} Kè OH X MN => OH 2 11^ =4 MN tiếp xúc với đương trồn 0 ; 20 ì yỉĩĩ Bài 10-1) a) (Aj): x-my-1 = 0 ; (A 2 ): 3x - my - 9 = 0 . Do đó : M 4 ; — . I m ) b) Tập hợp điểm M là đương thẵng (A): X = 4 . 204 2) Phương trình tập hợp điếm Q là : 2 -|——— = 1 (m > —1 và m ^ 0). —m © m = — 1 : Đương trồn tâm o, bán kính R = 1. © - 1 < m < 0 : Elip có độ dài trục lớn 2a = 2, độ dài trục nhò 2b = 2^-m . © m > 0 : Hypebol có độ dài trục thực 2a = 2, độ dài trục ảo 2b = 2Vm . Câu 1 . Cho AABC có A(3 ; 2), B(-ll ; 0), C(5 ; 4). Trọng tâm tam giác là điểm : A) G( — 4 ; 1). B) G( — 1 ; 2 ). C) G(-3 ; 2). D) G(0 ; 3). CâuE. Cho AABC có A(ll ; 0),'B(-3 ; -2), C(1 ; -5). Chân đưồưg cao AH của tam giác ABC là điểm : ^ 7 ì ■ A) H(5 ; - 8 ). B) H -1;^ . C) H( - 5 ; 8 ). D) Kết quả khác. Câu 3 . Cho AABC có A(4 ; 3), B(-2 ; -1), C (8 ; -1). Điểm M(4 ; 5) có quan hệ vói tam giác là : A) Trọng tâm. B) Trực tâm. C) Tâm đương tron ngoại tiêp. D) Tâm đương trồn nội tiêp. í 2 lì í 7 \ Câu 4 . Cho ba điểm A( - 1 ; 0), B — ; ^ , c d-; 1 • Câu nào sau k 3 2 ) lo J đây đứng ? A) A, B, c thẳng hang. B) Tam giác cân. C) Tam giác vuông. D) Tam giác vuông cân. 205 Câu 5= Cho tứ giác A( — 3 ; -2), B(5 ; -8), C(ll ; 0) và D(3 ; 6). íJau nào Scii ỉ A)ÃB = CD . B) ÃB ± ÃD. C) AC J_ BD . D) ABCD là hình vuông. Câu Chd ba điểm A(-3 ; 1), b(a/3 ;3V3), 0(373 ; - Vã) . Góc ABC có sô" đo : A) 30°. B) 45°. C) 60°. D) Kêt quả khác. Câu 7 . Cho AABC có A(3 ; 6), B(-9 ; -10), C(4 ; -1). Góc BAC có sô" đo : A) 30°. B) 45°. 0 60°. D) 90°. Cau B„ Cho A( — 3 ; 3) và B(4 ; 4). Điềm M 6 Oy nhìn AB dưói một góc vuông thì tung độ y 0 là : A) y 0 = 0 . y 0 = 0 y« = 7. C) B) y 0 =7. D) y 0 = 4. Câii a. Cho AABC có A(0 ; 5), B(-2 ; -1), 0(4 ; 2). Điểm N(2 ; 1) có quan hệ với tam giác là : A) Trực tâm. B) Chân đương cao từ A. C) Chân đương cao từ B. D) Chân đương cao từ c. Câu 10 . Cho AABC, A(5 ; -8), B(-3 ; -2), C(ll ; 0). Câu nào sai ? A) AABC cân tại A. B) AABC vuông tại A. C) ÃBC = 45°. D) ÃBC = 60° . Câu 1 1 . Cho ba điểm A( 1 ; 6), B( - 1 ; 8), C(3 ; 4). Câu nào sai ? A) ÃB = Ãc . B) IãbI = IãC . 206 C) BC = 2BA. D) ÃB cùng phương AC . Câu 1 H. Cho A( - 2 ; - 2), B(5 ; - 4), C( - 3 ; 6). Xét ba mệnh đề : (I) AOAB có trọng tâm là G(1 ; - 2). (II) AOAB vuông tại o. (III) AABC có trọng tâm là gôc o. Tìm mệnh đề đúng ? A) Chỉ (I) dứng. B) Chỉ (III) đúng. C) Cả (I), (III) đúng. D) Cả (I), (II), (III) đúng. Câu 13. Cho A(1 ; -5), B(4 ; -1), C(ll ; 0), D(5 ; -8). Câu nào sai? A) AB cùng phương CD. B) AB _L ÀD . OÃC1BD. D) ABCD là hình thang vuông Câu 14. Cho A( — 1 ; 2), B(1 ; 6 ), C(3 ; 5), D(3 ; 2). Đê' chúng minh ABCD nội tiếp, một học sinh chúng minh qua ba bước : (D BA.BC = 0 =ỉ> ẤBC = 90° . (II) DA.DC = 0 ẴDC = 90°. (III) Tứ giác ABCD có B = 6 = 90° nên nội tiếp. Chọn câu dứng : A)Chl(I). B) Chỉ (II). C) Chỉ (III). D) Cả (I), (II), (III). Cây 15. Cho A( — 3 ; — 2), B(3 ; 6), C(ll ; 0), D(5 ; -8). Đưồng thẳng AC quan hệ như thế nào vói AABD . A) Đương cao. B) Đưồng trung bình. C) Đương trung tuyến. D) Đường phân giác. Câu 16. Cho AABC với A(2 ; 4), B(-l 0), C(10 ; -2). Kẻ phân giác ngoài AM của góc ẾÃC thì chân đương phân giác có toạ độ ; A) M( —12 ; 0). B) M( - 12 ; 2). C) M( — 12 ; 1). D) D( - 13 ; 2). 207 Câu 1 -7. Cho A(3 : 3). bÍ- -• j , + 3 ^ ì TTãv rhnn nân rhírycy WQ V ý y j . ~ đầy đủ nhất ? A) OA = OB. B) ẤOB - 60°. C) AB = 3\Í2 . D)AOAB đều cạnh bằng 3\Í2 . Câu 1 B. Cho ABC có A(4 ; 3), B(-2 ; - 1 ), C (8 ; - 1 ). Điểm M(3 ; — 2 ) có quan hệ vói tam giác là : A) Tâm đương trồn ngoại tiếp. B) Tâm đường tròn nội tiếp. C) Trọng tâm. D) Trực tâm. Câu 1 3. Cho A( — 2 ; — 1), B(3 ; 4). Câu nào sai ? A) M G Ox sao cho MA = MB thì M(2 ; 0). B) N G Oy sao cho ANB = 90° thì N (0 ; - 2 ) hay N(0 ; 6 ) C) p G Oy sao-cho A, p, B thẳng hàng thì P(0 ; 1). D) Q G Ox sao cho QAB = 45° thì Q( - 2 ; 0). Câu EO. Cho A( — 3 ; 2) và B(9 ; —4). Điếm M G Ox sao cho MA + MB nhỏ nhất thì M ơ tại điểm : A) M 0 (-3 ; 0). . B) M 0 (9;0) .. . C) M 0 (1; 0). D) Gôc o. 4 Câu E 1 . Phương trình tổng quát của đương thẳng (A):3x-4y + 12 = 0. Câu nào sai ? A) (A) có vectơ chỉ phương a = (4 ; 3 ). B) (A) CÓ vectơ pháp tuyến n = (3 ; - 4 ). C) (A) có hệ sô^ góc k = — í. 3 D) (A) qua M(4 ; 6 ). 208 Câu Cbu Câu Câu Câu Be. Cho (A) qua M( - 1 ; 3) có vectơ chỉ phương a = (-4 ; 3). Phưong trình nào là phương trình của (A) ? A) —4(x + 1 ) + 3(y — 3) = 0. B) 4(x + 1 ) — 3(y — 3) = 0. C) 3(x — 1 ) + 4(y + 3) = 0. D) 3 (x + l) + 4(y — 3) = 0. 23. Cho (A) : 3x - y + 6 = 0. Phương trình nào không phải là phương trình tham sô" ? = _2 + t = 3t. = 1 +1 = 9 + 3t. Giả thiết sau đây dùng cho hai câu 24, 25 : Cho hai đương thẳng : (A): mx + 2y -1 = 0 ; x + 2 = y ~~ 1 ' [x = —2 + 3t A) B) [y = —t.' í X = t C) ệ D) Ịy = 6 + 3t. (AO: 24. Để (A) 1 (AO thì m có giá trị : A) m = — . B) m = 6 . 6 q 2 C) m = —77 . D) m = +^-. 2 3 25. Để (A)//(A / ) thì m có giá trị : 2 A) m = 6. B) m = -“. ổ C) m = -4 D) m = ỉ. 2 6 26. Phương trình nào lạ phương trình củà đương trưng tuyến AD cưa tam giác ABC vói A(4 ; 0), B(1 ; 1), C(—1; 5) ? 14-H.HỌC 10 209 1 . [ X = 4 + 3t A) ị ị V —- — -Ó- Ị P) 3x 4. /1 V - 0 Câu 27» Cho 4 phương trình : A) 3x + 4y = 0 ; B) 3x - 4y = 0 ; C) 4x - 3y = 0 ; D) 4x + 3y = 0. Đương thẳng qua gốc o và vuông góc vói đương thắng (A) : 4x - 3y + 5 = 0 là phưong trình ơ câu nào ? Câu 28. Góc giữa hai đường thẳng. (A):3x + y- 3 = 0 và (d): 2x — 6y — 2 = 0 bằng: A) 30°. ẹ)45°. 0 60°. D) 90 ơ . Câu 29- Cho AABC có A(-4 ; 1), B(-2 ; 3), C(1 ; 4). Đương thắng (A) :3x + y + ll = 0 có quan hệ vói tam giác là : A) Trung tuyến từ A. B) Đương cao từ A. C) Đương cao từ B. D) Phân giác từ c. Câu 30. Cho A(-2 ; 6), B(-3 ; -1), C(9 ; 3). Phương trình 3x + y —10 = 0 là phưong trình của đương nào trong AABC. A) Đương cao từ A. B) Trung tuyến tại A. C) Trung trực cạnh BC. D) Đương trung bình song song với AB. Câu 31. Cho AABC có A(1 ; 4), B( —2 ; —2), C(8 ; 0). Phương trình nào trong 4 câu sau là phương trình đương trung tưyến kè từ A. A) 2x + 5y +13 = 0 . B) 2x -- 5y -13 = 0 . C) 5x — 2y + 3 = 0 . D) 5x + 2y-13 = 0. B)i+r Z_L : J n, x 4 - >' -3 4 210 Câu 3 2= Cho ba đương thẳng : (A t ): 2x + y +1 = 0 ; (A 2 ): x-2ỵ-3 = 0 ; (A 3 ): X + 2y + 5 = 0 . Xét 4 mệnh đề : A) (A ] )1(A 2 ) ; B) (A^AÍAg) ; C) (A 2 )//(A 3 ) ; D) Cả 3 đều đứng. Hồi câu nắo đúng ? Câu 3 3= Cho 3 đương thẳng : (dj) : X — 2y +1 = 0 ; (d 2 ): 3x + 2y - 5 = 0 ; (d 3 ): (m — l)x — 2 (m + l)y + 2 m = 0 . Đề (dị), (d 2 ), (d 3 ) cắt nhau tại một điểm, m nhận giá trị là : A) m = 1. B) m - 3. C) m = - 1. D) m = 0 . Câu 34. Cho 3 điểm A(0 ; 1), B(3 ; 4), C(1 ; 0). Đương thăng (A) qua c và hợp với AB góc 45° có phưong trình : í A) y - 0. B) X = 1. _ [ X = 1 C) y = X - 1. - D) _ y = 0 . Câu 3 5. Cho 3 đương thắng : (Aj ): 7x - y + 20 = 0 ; (A 2 ); 3x + lly — 60 = '0 ; (A 3 ):x-3y = 0. (A 1 )n(A 2 ) = A, (A I )n(A,) = B, (A 2 )n(A 3 ) = C. Xét 4 đương thẳng : A) 3x + y = 0 ; B) X + 3y - 16 = 0 ; C)3x + y-16 = 0; D) X + y - 10 = 0. Đương thắng nào là đương cao của tam giác ABC ke từ A. 211 Câu 3G. Câu 37. Câu 38. Câu 39. Cho hai đương thẳng : Aj): (hì — 3)X + 2y + rnl —1 = 0; / A \ . . 9 n . _Ạ \—2 } 8 A ”T" m «y m ~ m 1 — u * Để (A x ) cắt (A 2 ), tham sô" m được chọn là : A)m^0. B) m ^ -1. _ [m V* 1 Om* 3. D) " [m * 2. Cho hai đương thẳng : (Aj): mx — 2y - m = 0 ; (A 2 ):(m + l)x + my-l = 0. Để (A 1 )n(A 2 ) = A(l; 0) thì chọn tham sô"m là : A) m = - 1. B) m = 1. C) m = 0. D) Không cóm. '■ Cho hai đưbng thẳng song song : (A,): x-y+ 7 = 0 ; (A 2 ):x-y-3 = 0. Xét 4 đương thẳng : A)x-y + 3 = 0. B)x-y = 0. C) X - y + 2 = 0. D) -X + y + 2 = 0. Đương thẳng nào song song và cách đều (A^^Ag) ? Xét 4 đưồng thẳng : (Aj): 3x + 4y — 25 = 0 ; (A 2 ): 3x — 4y + 25 = 0 ; (Ag):4x + 3y + 25 = 0; (A 4 ): 4x — 3y — 25 = 0. Đường thẳng nào qua điểm A( — i ; 7) sao cho khoảng cách từ gốc o đến dường thẳng đó bằng 5 ? A) (Ai). ' B)(A 2 ). C)(a 3 ). D)(a 4 ). 212 Câu 40. Cho A(5 ; -1), B(3 ; 7), C(-2 ; 3). Gọi (A) là đương thẳng qua c và (A) cách đều A và B. Phương trình nào sau đây không phải là phương trình của (A) ? A) y = 3. B) y = 3 4x 4- y + 5 = 0. C) 4x + y + 5 = 0. D)4x-y+ll = 0. £ãu 41. Phương trình nào sau đây là phương trình đương tron ? A) X 2 - y 2 - 2x + y = 0. B) X 2 + y 2 + X — 2xy +1 = 0 . C) X 2 +y 2 — 2x + 4y+ 6 = 0 . D) 2x 2 +2y 2 +3x-2y—1 = 0. 8 Câu 42. Phương trình nào sau dây là phương trình đuòng tron có bán kính R = 1 ? A) X 2 + y 2 = 4. B) X 2 + y 2 + 2x = 0. C) X 2 + y 2 — 2x +1 = 0. D) X 2 +y 2 -2(m-l)x + 2(m + 2)y + 2m 2 +2m + 2 = 0. Câu 43- Cho 3 đường tron : (%>i ): X 2 + y 2 -6x = 0; (& 2 ): X 2 + y 2 + 2x - 4y - 4 = 0 ; ( < ẽ 3 )\ X 2 +y 2 + 6x-2y-6 = 0 . Cặp đuhng tron nào sau đây bằng nhau ? A) (gq) và (£T 2 ). B) (£T 2 ) và ( < ẽ 3 ). C) (£ 3 ) và ( < ẽ 1 ). D) Không có cặp nào ! Câu 44- Cho phương trình đưbng cong : (ễT): X 2 +y 2 -4mx + 2(m-Ị)y+ (m-l ) 2 =0. Để (£T) là đương trồn, hãy chọn kêt quả đúng và đầỵ đủ nhất ! 213 L.sãi_i «==#»Uằ - v_y ị 1 u í_iii i_j Ụiig ỉ_<i ìií 11 ĩ_i_ LiU Xig bi uĩ 1 . ) '. X 2 + y 2 — 2(m-t-l)x — 2(m + 2) y + 6 m + 7 — 0 . Tập hợp tâm đương tron khi m thay đổi là : A) Đương thẳng. B) Đoạn thẳng. C) Hai nửa đương thẳng cùng thuộc đương thẳng. D) Đưbng gấp khúc. Câu 46. Cho hai điểm A(3 ; 0), B(0 ; — 4). Phưong trình nào chỉ đương trồn ngoại tiếp ÀOAB ? A) X 2 + y 2 — 6 x + 4y = 0 . B) X 2 + y 2 - 3x + 8 y = 0. : C) X 2 ' + y 2 - 3x + 4y +1 = 0. D) x(x — 3) + y (y + 4) = 0 . Câu 47. Cho đương tròn (£T): x 2 + y 2 — 2x -f- 4y + 2 = 0 và đương thẳng (A): V2x + my +1 - V 2 = 0 . Để (A) cắt (%D tại hai giao điểm, hãy chọn kết quẳ đứng. A) — 5 < m < 1 . B) — 1 < m < 5 . C) D) Kết quả khác, m > 5. Câu 48. Cho đương trồn (£T ) :X 2 + y 2 — 4x + 2y -f 3 = 0. Tiếp tuyên với' (£T) tại M(3 ; 0 ) là đương thẳng có phưong trình : A)x + y-3-0. B)x + y-l = 0 . -V . ọ xr ___ q _ n TV, Q-„- . _ r _ f\ w X + ỐỴ — ó — u. U) ỔX + y = U. Câu 43. Cho đương tròn ( c ểT) : X 2 + y 2 — 2x = 0 . Tiếp tuyến tại M(— 1 ; 0 ) có phương trình : A) Vãx - y + 1 = 0 . B) V3x + y + 1 = 0 . 214 x-y + Võ X + y + Vã Câu 50. Cho đương trồn ): (x + 3) 2 + (y — 4 ) = 25 . Cho biêt đương thẳng (A): 4x - 3y + m - Ị = 0 tiếp xức (ÉT). • Hãy chọn kết quả đầy đủ nhât. _ í m = 0 A) m = 0. B) _ m = 25. m = 0 = 25 C) ” D) m = 50. [m = 50. Câu 5 1 . Đương tron tiếp xúc vói trục hoành, tại gôc o có phương trình là : A) X 2 + y 2 = 1. B) X 2 + y 2 - 2x = 0 . C) X 2 + y 2 -2(m 2 + l)y = 0. D) X 2 +y 2 -2(m 2 + l)y + m 2 +1 = 0. Câu sa. Chọn đương tròn (ÍT ): X 2 + y 2 = 1 và Xét đương thẳng (A): X — V3y + m = 0 , đế (A) là tiêp tưyến vói ( %T) tại M thì : A) m = — 2. B) m = 0. C) m = 2. D) Kết quả khác. Câu 53. Cho đương tron (%r): X 2 + y 2 — 2(m — 1 ) X + m 2 +1 = 0, đê từ o ta kè được hai tiêp tuyên cho (£0 thì chọn : A) m < 0. B) m < - 1. C) m > 0. D) - 1 < m < 0. Câu 54- Cho hai đương trồn : ị&ỉ ): X 2 + y 2 - 8x - 4y + 4 = 0 ; (^ 2 ): X 2 + y 2 - 8x +12 = 0. 215 = 0 X — \/3y + 1 — 0 = 0. X + V3y + 1 = 0. Tiếp tuyến chung của [ < ẽ 1 ) và (.^ 2 ) có phưong trình : A) y - 2 = 0. B) y + 2 = ũ. n\ V tr , 1 _ n r\\ ,, , v 1 — n Câu 55= Phương trình nào sau đây là phuong trình đưbng tròn ? X = — 2 + cos t y = l — sint. Ị X = —m [y — m 2 +1. jx = -2 + t A) B) ừ = 1-t. ^ [x = —2 + 2cost C) D) [y = 1 — sin t. Câu 5B= Cho hai đương trồn : (£Tị): X 2 + y 2 — 2x + 4y — 4 = 0 ; (^ 2 ): X 2 + y 2 + 4x - 4y — 56 = 0. So sánh vị trí hai đương tron ta được kết quả : Hai đương tron : A) ngoài nhau. B) trong nhau. C) cắt nhau. D) tiếp xúc nhau. Câu 57. Cho hai đương tron : (Í?J): X 2 + y 2 — 12x + 20 = 0; (í?" 2 ): X 2 + y 2 — 6x — 8y + 24 = 0 . Sô’ tiếp tuyến chung của (í?|) và (í? 2 ) là : A) 1. B) 2. 0 3. D) 4. Câu 58. Cho đương tròn (íỉT) : X 2 + y 2 — 2mx + 4y + 6m — 9 = 0, để diện tích đường trồn đạt giá trị nhồ nhất, ta chọn : A) m = 3. B) m = 0. 3 „ 2 C) m = -- . ư) m = 3 . 2 3 Câu 53. Cho điểm A(1 ; 2) nằm trong đương trồn (W ): X 2 + y 2 - 8x - 6y =■ 0 . Xét đường thẳng di động (A) có phương trình : 216 2(m - l)x + (3 - m)y — 4 = 0 . Để (A) quay quanh A và cắt (Ỳf ) theo dây cung lốn nhất, — ta chọn :* . . _ 5 T>x 3 A) m = -r. B) m = 3 5 C) m = 1. D) m = 3. Eâsj BO. Cho đương tron (£T): (x-4) 2 +(y — 4) 2 = 25 . (£T) cắt trục hoành tại A, B. Điểm M e (fcT) sao cho diện tích AMAB đạt giá trị lớn nhất ơ tại điểm M 0 nào ? A)M 0 (7;0). B) M 0 (4 ; 9). C) M 0 (0 ; 7). D) M 0 (*0 ; 4). Câu G 1. Cho elip (E) có phương trình chính tắc : ^2 + = l(a > b > 0). ' ■ a b Phát biểu nào sau đây sai ? A) Gọi 2c là tiêu cự thì c 2 — a 2 — b 2 . B) Tâm sai e = — < 1. a C) Hai tiêu điểm Fj (—c ; 0) và F 2 (c ; o) thuộc Ox. [MF 1 +MF 2 = 2a D) VMe(E)^r “ 9 , [MF 1 .MF 2 -a 2 -e 2 . Câu 62. Cho elip có hai tiêu điểm F 1 (—c ; 0), F 2 (c ; 0) và hai đỉnh trục nhỏ B x (0 ; — b), B 2 (0 ; b) sao cho b = c. Phát biếu nào sau đây sai ? A) Trục lớn gấp đôi tiêu cự. B) Tỉ sô" giữa trục lớn và trục nhồ bằng V 2 . C) F 1 B 1 F 2 B 2 là hình vuông. D) Tâm sai e — —J=. 217 Cho elip (E): X 2 +5y 2 = 5. Phát biểu nào sau đây sai ? Ả) Trục ión băng 10 và trục nho băng 2. Rì Ti ôn nr tìăncr Á C) Tiêu điểm F 1 (—2 ; o) và F 2 (2 ; 0). D) Tâm sai e — . 5 x 2 • y 2 ■ . Cho elip (E): — + — 1. Phát biếu nào sau đây đúng ? A) Tỉ sô" girra trục lớn và trục nhồ bằng y/s . B) Tiêu cự bằng 4. C) Tâm sai e = 2/3 D) Hai tiêu điểm Fj (—2 ; 0) và F 2 (2 ; 0). Câu tsy. bằng 6 thì phuong trình chính tắc là : , í í B) —+n = i. 4 1 C) + = 4 2 D)T + Ê = 1 . 16 4 Elip (E) có tiêu điểm Fj (—4 ; 0) và F 2 (4; 0), tâm sai 4 ■ e = - 3 - thì phưong trình 5 A) 4x 2 +5y 2 = 20 . B) 16x 2 +25y 2 = 400. C) 9 x 2 + 25y 2 = 225 . D) 9x 2 +16y 2 = 144. / Elip đi qua điểm M 1; - V ^ và có tiêu cự bằng 2v3 thì phưong trình là : A) —+ —= 1 . 4 3 B) — + y 2 =1. 4 C) Y + f = 1. D,yy, 4 218 Câu E8. Elip (E) đi qua hai điểm M(—2;0) và N 1 1 s có phương trình là : A) X 2 + 4y ; B) X 2 +4y 2 = 1. 4. C) X 2 + 2y 2 = 2 . D) x a + 2y 2 = l. Cho elip có hai đỉnh trục lớn là A ỵ (-\Í2 ; o), A 2 (Vỗ ; o) và tâm sai e = -4= thì phương trình chính tắc là : v2 . . X 2 __2 A) 4- + y 4 C) .X y 1. : 1 . B) x‘ r 2 2 D >f«’ 1. 1. Trong các phưong trình sau, phrrong' trình nào là phương trình elip ? A) X 2 - y 2 = 2 . B) X 2 + y 2 — 2 . C) .X 2 + 2y 2 = 2. D) X 2 = 2y 2 . . Phưong trình nào sau đây là phưong trình elip : X = — 2 + 3t Ị-^ = ^cost y = —2sint. 1 A) y C) 1 — 2t. X = -3 + cost y = 2 — sint. B) D) X cost y = 1 + tan 2 t. Câu Tm. 45. Cho hai elip (Eyếx 2 +9y 2 = 36 và (E 2 ):5x 2 +9y ; Câu nào sau đây sai ? A) Độ dài trục lớn của hai elip bằng nhau. B) Tâm sai của (Ej) lớn hon tâm sai của (E 2 ). C) Tiêu cự của (E^ nhồ thua tiêu cự của (E 2 ). D) Diện tích hình chữ nhật cơ sơ của (E x ) nhồ thua diện tích hình chữ nhật cơ sơ của (E 2 ). 219 ' X V râu 7 -5 Cho hvnphnỊ ÍH ) rn nh-nrvnor f YMnU •_2_ — 1 T3Kóf , Si ■ Lĩ . biểu nào sau đâv sai ? A) Gọi 2c là tiêu cự thì c 2 = a 2 + b 2 . B) Tâm sai e = — > 1. a C) Hai tiêu điểm F 1 (-C ; 0), F 2 (c ; 0) thuộc Ox. D) Một đuơng tiệm cận hợp với trục hoành góc a mà tan (V = —. b X 2 Câu 74. Cho hypebol (H) : ——y 2 = 1. Câu nào sau đây sai ? 3 A) Độ dài trục thực 2^Í3 . B) Độ dài trục ảo 1. C) Tiêu cự 4. D) Tiêu điểm F 1 (-2 ; 0), F 2 (2 ; o). X 2 V 2 ' Câu 75. Cho hypebol (H) : —— ị— = 1. Câu nào sau đây sai ? 9 16 A) Trục thực nhồ hon trục ảo. B) Tiêu cự bằng 10. C) Tâm sai ậ . 3 ' . . 3 D) Hai tiệm cận là y = ± — X . 4 Câu 7B. Cho hypebol có hai đỉnh trục thục là A 1 (-3 ; 0), Ag (3 ; o) và -hai đỉnh trục ảo là B 1 (o ; - 4), B 2 (0 ; 4). Câu nào sau đây sai ? A) Trục thục nhò hon trục ảo. . X 2 V 2 B) Phưong trình chính tắc : —— — = 1. 3 4 2 2 C) Hai đuơng tiệm cận : ——— = 0 . 9 16 220 D) Tâm sai e Câu 77. Cho hypebol (H) có trục ảo bằng nửa trục tbực và có độ dài bằng 4. Phưong trình của (H) là : A) X 2 rì = 1. B) 16 4 2 „2 C) X y = 1. D) 4 ’ 2 x' rì 16 rì 4 Câu 78. Phưong trình hypebol có trục thực bằng 4, tâm sai e = 72 là : A) x' rì = 2. 2 -= 1 . 2 C) X B) X 2 y 2 y D) X' y_ 4 Câu 73. Phưong trình hypebol (H) đi qua điểm M tiêu cự 2c = 2V5 là : 75 2 có A) C) X X y 2 = i B) y_ 4 1. x___ y_ 4 ~ 1 4 _. X 2 V 2 D) —V 4 5 _ Câu SO. Phưong trình hypebol (H) đi qua hai điểm M —75 ; V và N 3;- .2 là : hy 2 = 5. 75 2 A) x"-3y 2 = 3. C) X 2 — 4y 2 = 4. D) x z — 4y z = 1. Câu s 1. Phuong trình hypebol (H) có tiêu cự bằng 10, chu vi hình chữ nhật cơ sơ bằng 14 là : B) X 2 D) X 2 A) X 16 r 9 B) X "9 16 221 9x 2 - 16y 2 =144 -ỉ /X /, r\ -i Ằ A iox — yỵ — i'1-1 ĩ)) Kbt nmả khóc ã ãr® g M i-i „ Ỷ' í ỊI VỊ vn (1 ị .T’1 nỊ~Ị Q Q o Ị1 rì o X 7 ị o n h ! rim O’ i Y *1 Y\ p! kì \/nti hr\ ĩ y 5 “ mU « i i avỷiig Ui liiii iiuu ouu Lid^ ici ui iiiii iiyĩ^cUUi ; A) X 2 — y 2 = i . B) X 2 + y 2 = i . C) 3x 2 + 4y 2 = 12. D) 3x 2 - 4y 2 = 0. Câu 83. Cho hypebol (H) : - y 2 = 1. Gọi M 0 là một điểm tuỳ ý trên (H). Tích các khoảng cách từ M 0 đến hai đương tiệm cận có giá trị : A) 4.' B) 1. C) 5 N D) y 1. Câu 85. .. _ x 2 o y * Cho elip (E):-^- + y =1 và hypebol (H): 5 3 Phát biểu nào sau đây sai ? A) (E) và (H) có cùng tiêu cự. B) (E) và (H) có cùng tiêu điểm. C) Trục nhồ của (E) bằng trục ảo của (H). D) (E) và (H) cùng tâm sai. ; x 2 . ;;.'. Cho elip (E) : — + y 2 = 1 có tiêu điểm là Fj, F 2 và hai 5 đỉnh trục lớn Aj, A 2 . Hypebol (H) nhận Fj, F 2 làm hai đỉnh trục thực và Aj,A 2 làm hai tiêu điểm có phưong trình : A) X 2 - 4y 2 = 1. B) X 2 — 4y 2 = 4 . C) X 2 — 5y 2 = 5 . D) 4x 2 — y 2 = 4 . Giả thiết sau dùng cho hai câu 86 và 87 : Cho k là sô' thực 0 . Xét phương trình kx 2 + y 2 = ka 2 (a > 0). Câu 86. Để có phưong trình đương elip (E). Ta chọn kết quả đứng 222 A) k = — Ị. C) 0 < k < 1: B)‘k > 1. D) k = 1. Câu B7. Để có phương trình hypebol (H), hãy chọn kêt quả đúng : A) k > 0. B) k < 0. C) k < 1. ' D) k > 1. Câu 8S. xẻt phương trình y = ± — Vlx 2 '—■ 4| . (1) là phưong trình của : A) Hai đương elip. B) Hai đương hypebol. C) Một đương hypebol. D) Một đưòng elip và một đường hypebol. ( 1 ) Câu se. Cho điểm A( - 4 ; 0) và đương thang (A) có phương trình 25 _ _ 4 X + = 0 . Tập hợp điếm M sao cho MA = -MH (với H 4 ■ 5 là hình chiếu của A trên (A)) là : A) Elip (E 1 ): 9x 2 + 25y 2 = 225 . B) Elip (E 2 ): 16x 2 + 25y 2 = 400 . C) Hypebol (Hj): 9x 2 - 25y 2 = 225 . D) (H 2 ): 16x 2 — 25y 2 -400. Câu 30. Cho điểm A cố định ơ ngoài đương thắng (A) cho trước. Một góc vuông qưay quanh A, hai cạnh góc vuông căt (A) tại B và c. Tập hợp các tâm đưồng tron nội tiếp AABC là A) Một đương thẳng. B) Một đương trồn. C) Elip. D) Hypebol. Câu OI. Parabol (P) có phương trình chính tắc là y 2 + Câu nào sau đây sai ? 223 A) Trục đôi xứng la Ox. B) p C) Tiêu điểm F — — : 0 I. D) Đương chuẩn X Câu 9E. Cho parabol (P) : X 2 = -2y . Câu nào sau đây sai ? A) Trục đôi xứng là Oy. B) Tiêu điểm f[o ; - ỉ C) Đương chuẩn X — “ . D)(P) không qua điểm A'(2 ; 2). 2 Câu 33. Phương trình chính tắc của parabol (P) có trục đối xứng Oy và đi qua M(-2 ; - 2) là : A) y 2 = 2x . B) y 2 = -2x . cj X 2 = 2y . D)x 2 =-2y. Câu 34. Sô phương trình chính tắc của parabol qua điểm M(4 ; — 2) là : A) 1. B) 2. 0 3. D) 4. Câu 35. Sô phương trình chính tắc của parabol có tham số tiêu p = 1/4 là : A) 1. ■.“ B) 2. 0 3. D) 4. Câu 96. Phương trình nào sau đây biểu diễn một parabol ? 1 A) X = t y = 1 + t. C) X 2 + y 2 = 1 B) D) cost y = 1 + tan 2 1. X = 2cost [y = — sint. X 2 o Câu 37. Cho elip (E) : — - + y 2 = 1 có hai tiêu điểm F 1 (bên trái) và F 2 (bên phải). Phương trình chính tắc parabol nhận 224 F 1 làm tiêu điểm là : J A)y 2 =—4v/3x. B) y 2 =-2v/3x . C) y 2 = -%/3x. D) y 2 = - 2 x ' 2 v 2 Câu 38. Cho hypebol (H) : tt; — -— — 1 có đỉnh trục thực A x (bên 16 9 trái), A 2 (bên phải). Phưong trình parabol nhận A 2 làm tiêu điểm là : A) y 2 = 2x. B) y 2 = 4x . C) y 2 = 8x . D) y 2 = 16x . Câu 99- Cho parabol (P) có phương trình chính tăc y 2 = 2px (p > 0 ). Gọi (A) là đương chuẩn, tiêu điểm là F. Câu nào sau đây đúng ? A) VM e (P) ^ MF = d(M ;-(A)). . B) VM(x ;-y) e (p) => MF = ^ + X . C) Gọi H là giao điểm của (A) và trục đối xứng thì ÕH + ÕF = Õ. D) Tất cả đều đứng. \ Câu 1 oo.Cho parabol (P) : y 2 = 2px (p > 0). Độ dài của dây cung ) parabol vuông góc vói trục đôi xứng tại tiêu diêm băng : A) p. B) 2p. C) 3p. D) 4p. GIẢI THÍCH - HƯỚNG Dần Câu 1 - . G: x c . =1(3-11 + 5) = —1 0 3 y Q ——(2 + 0 + 4) = 2. Ố Vậy G( - 1 ; 2). Câu B). 225 Câu 3. Câu 4. Câu 5. Câu G. Câu 1 . Câu B. Câu 3. U(,T . ,A lò A XJ AH _LBC BH cùng phương BC í, í -i -« \ ỉ i / ■ì V Ịj 4=> <£> X -ị- 3 y 3 “ 2 4 = -3 X — 5 ly — —8. Vậy H(5 ; -8). Câu A). AM.BC = (0).(10) +2(0) = 0 AM ± BC ; BM.CA = (6)(-4) + (6)(4) = 0 <s> BM _L CA. Vậy M là trực tâm tam giác. Câu B). ÃB 5 V 3 ’ 2 , Ảc Í10 2AB = Ãc. Vậy A, B, c thẳng hàng. Câu A). ÃB = (8;-6) —J — _z 7 AB = -CD. Câu A). CD = (—8 ; 6) BA = (-3 - x/3 ; 1 - 3Vã), BC = (2V3 ; - 4x/ã). CUÍ Ali(' BA H( — ] -- -i> ABC • 75°. Câu D). IbaIIbcI 4 ÃB = (-12 ; -16), ÃC = (1; — 7). cosA = 4? ,AC . = V => BÃC = 45°. Câu B). AB AC V2 Gọi M(0 ; y 0 ) e Oy . Theo giả thiết : ÃM.BM = 0 4ỷ (3)(-4) + (y 0 -3)(y 0 -4)== 0 ^ yẵ - 7 y 0 = 0 ^ y 0 == 0 v yo = 7 • Câu C); ÃN = (2;-4),BC = (6;3),BN = (4;2). Ta có : 226 ẪN.BC = 0 AN _L BC 2BC = 3BN «Ne BC. Vậy N là chân đương cao từ A. Câu B). Câu 10 . BA = (8 ; -6), BC = (14; 2). cos ABC = = ~ =} ÃBC = 45°. Câu D). BA BC V2 câu BI. ÃB = (-2 ; 2), Ãc = (2 ; - 2) suy ra ÃB = -Ãc. Câu A). Câu 1 a. ■ G' là trọng tâm AOAB => G'(l; - 2). G' = G. (I) đúng. ■ ÕÃ.ÕB = (-2)(5) + (-2)(-4) = -2. Góc AOB =£ 90°. (II) sai. " Gọi I là trọng tâm tam giác ABC thì Xj=ỉ(-2+5-3)=0 1 „ .. 1 (I. yỊ=g(-2-4+6M) (III) đúng. Vậy chọn câu C). Câu 1 3„ Ãc = (10 ; 6 ), BD = (l ; -7). Do đó : ÃC.BD = (10)(1) + (6)(—7)= -32 . Vậy AC không vuông góc vói BD. Câu C). Câu 1 4 . Câu D). Câu 15. AB = (6 ; 8), Ãc = (14;2), ÃD = (8;-6). ■ ẴB.ÃD = 0 <4> BÃD = 90°. " cosBAC ÃB.AC : ãb||ãc BÂC = 45°. Vậy AC là phân giác góc BAD . Câu D). Câu 16. AB = (-3;-4)=ệ> AB = 5 ; ÃC = (8;-6)=4* AC = 10. Theo giả thiết: m = ệ? = ì 2MB = MC. MC AC 2 227 ,âu ^ |2(—1—x)=10—X ^ Ịx=—12 ị Ai ị Ị — V !=— Zi — V ! V—/L, ì, l ■“ J ỉ ủ w Vậy M(-12 ; 2). Câu B). 17. ÕA = (3 ; 3), oíi :i A* . 1 2 2 J OA = OB = AB - 3 v/2 <^> A ABC đều cạnh bằng 3 V 2 . ■ CâuD). Câu 1 B- MA = (1; 5 ), MB — (—5 ; 1), MC = (5 ; 1). Ta có : MA = MB = MC = -/26 => M là tâm đương tron ngoại tiếp. Câu A). Câu 1 3. N'(0 ; y 0 ) € Oy . Theo giả thiết : AN.BN = 0 <G> -6 + (y 0 + l)(y 0 -4) = 0 ỳị -3y 0 - 10 = 0 ^ y °z z 2 [y 0 = 5. Vậy N(0 ; - 2), N(0 ; + 5). Câu B). ' Câu EO. Do y A . y B = — 8 <0 => A, B ơ về hai phía đốì vói Ox. Ta có MA + MB>AB nên : (MA AMĐ) min = AB ^ M -4 M 0 e AB . AM 0 cùng phương vói AB Xq -ị- 3 . 0 — 2 12 = -6 x 0 — 1. Vậy M 0 (l; 0). Câu C). 3 3 Câu BI. 3x — 4y + 12 = 0 y = - x + 3. Vậy k = — . Câu C). 4 4 Câu BB. Phương trình đương thẳng (A) qua M 0 (x 0 ; y 0 ), có vectơ chỉ phương a = (a 1 ; a 2 ) có dạng : a 2( x - x o)- a i(y-yo)=°- Câu D). 228 Câu S3. '(a) :3x-ỵ + 6 = ơ, suy ra M 0 (-2;0)e(A) và (A) có vectơ chỉ phương á = (1; 3). Vậy : í X = —2 + 3t Ịy=0-t không phải là phưong trình tham sô của (a) . Câu A). Từ (a) : mx + 2y- 1 = 0=> k = -^ . La' ( A ') : Z±l = I^ k ' = I 3 1 3 Câu S4. (a) _L.(a') 4^k.k' = -T <=> m T riT; ,3, l=^m = 6 . Câu B). Câu B5. (A)//(A / )^k = k / <^-^- = ^|=Mn = --| . Câu B). 2 3\ 3 Câu 26. Trung điểm D của BC có toạ độ (0 ; 3). A) loại vì D(0 ; 3) không thoả phưong trình. C) loại vì A(4 ; 0) không thoầ phưong trình. D) loại vì D (0 ; 3) không tho ả phưong trình. Vậy chọn câu B). Câu 27. Cả 4 đương đều qua gốc o nhung k A =--j và k A =— suy 4 à ra k A . k A = — 1. Câu A). Câu 28. Ta có k A = — 3 và k d =Ì=^(a) JL (d) : góc 90°. Câu D). 3 Câu 29. A(—4 ; l)e (a)=> Câu B), D) loại. Trung điểm của BC là M 1 7 2 ’ 2 ^(a) : câu A) loại. Vậy (a) là đương r>or> rìv À của tam giác ABC. Cụ thể : BC = (3;1) là vectơ pháp tuyến nên phương trình đương cao qua A(—4 ; l): (a) : 3(x + 4) + l(y — l) = 0+>3x + y + 11 = 0 . Câu B). 229 Câu 30= Vì A( - 2 ; 6) không thuộc đương thẳng đang xét nên loại câu A) và B). Trung điềm M của AC có toạ độ không thoả phương trình, loại câu D). Vậy (A) là đương trung trực cạnh BC. Cụ thể : BC = (12 ; 4) cùng phương vói a = (3;l), trung điểm cạnh BC là N(3;l), suy ra đương trung trực của cạnh BC có phương trình : (A): 3(x — 3) + y — 1 = 0 <=4> 3x + y —10 = 0 . Câu C). Câu 3 1 „ Toạ độ A(1 ; 4) không thoả phương trình ơ câu A) và B) nên loại hai câu này. Trung điểm của BC là M(3 ; — 1) không thoả phương trình câu C) nên loại câu này. Cụ thể : AM = (2 ; — 5) là vectơ chỉ phương. Vậy phưong trình trung tuyến AM là : 5(x -1)'+.2(y -4) = 0 «=> 5x'+ 2y —13 = 0 . Câu D). Câu 32. (A0:y = -2x-l=» k, =-2; (A 2 ): y = ịx -| =s> k 2 = I; (A 3 ):y = -h-|=>k 3 = -|.Do đó: A,)1(A s ) ... ■ ■ ' (Ai)X(A 3 ) . (a 2 )X(a 3 ). Câu A). Câu 33. (d 1 )n(d 2 ) = A thì toạ độ A là nghiệm của hệ phương trình : A(l;l). j X — 2y'+ 1 = 0 [3x + 2y —5 = 0 Theo giả thiết : A(l;l)e(d 3 )<^m = 3. Câu B). Câu 34. a) Xét (A) qua C(1 ; 0) có hệ số góc k : y = k (x — 1) 44> kx —' y — k = 0. 230 Vecto' chỉ phương á = (l; k). ÀB = (3 ; 3) cùng phương vói vectơ có toạ độ (1; 1). Theo công thức tính góc củạ hai đương thăng : = 4= |l + k| = Vl + k 2 k = 0 . V2.Vl + k 2 V2 b) Xét (A)// Oy : X = 1. Vectơ chỉ phương a = (1; 0). Ta có cos(A,AB) = Vk - = -L =» (XÃB) = 45°. v2.vl \/2 Vậy (A): y = 0 hoặc X — 1. Câu D). Câu 3 5. (À 1 )n(A 2 ) = Ạ(—2 ; 6). Gọi (d) là đương cao từ A. Theo giả thiết : A e (d) và (d) _L (Ag). Vậy : câu B), D) loại vì không vuông góc vói (A 3 ). Câu C) loại vì không qua A. . Cụ thể : (d): 3(x + 2) + l(y ■— 6) = 0 <=> 3x + y ■== 0. Câu A). Câu 36. Theo giả thiết : Câu D). m — 3 2 — 1 m = m 2 — 3m + 2^0 m ^ 1 m VÉ 2. Câu 37. X m -2 1 m m -2 m +1 m và y = m m m +1 1 m -2 m +1 m nên suy ra : X m +2 m 2 + 2m -+• 2 —m 2 y = ———-= 0^m = 0 1 4^ m = 0 m = 0 . Câu C). m + 2m + 2 Câu 30. Xét (A)//(Aj ): X — y + m = 0 . Chọn M(0 ; m) € (A), Theo giả thiết : d(M ; (A,)) = d(M ; (A 2 )) 4» = |0 ^ :i =ỉ> m = 2. Câu C). 231 Câu 33= Yêu Cầu d(0;(Aj)) = 5 đều thoả cho cả 4 câu. Mà A(— 1; 7) G (Aj) ^ Câu A). Câu 40. Vi đáp án A), C) hợp lại cho đáp án B) nên khả năng là đáp án D) không thoả phuong trình (A). Kiểm tra đáp án D). d(A;(D)) J 20 V4 11 - = -f=; VĨ7 VĨ7 VĨ7 VĨ7 Câu D). Cụ thể : Cách 1. B Xét (A):y = 3=>c(-2;3)e(A) và d(A ; (A)) = d(B ; (A)) = 4 (thồa). - Xét (A): 4x + y + 5 = 0 => c (-2 ; 3) <E (A). Phương trình AB : 4x + y -19 = 0 => AB//(A) (thoả). Cách 2. Xét (A) qua C( - 2 ; 3) có hệ sô" góc k : (A): y - 3 = k (x + 2) <^> kx - y + 2k + 3 = ó . Theo giả thiết : |5k +1 + 2k + 3| _ |3k - 7 + 2k + 3| ^ | 7k + „ I _ | 5k _ A| Vk 2 +1 Vk 2 +1 k = 0 [y = 3 ^ _ (đung). k = -4 [4x + y + 5 = 0 ' Chọn câu D). Câu 4 1 . Loại câu A), B). Với câu C) : R 2 = 1 + 4 — 6 = — 1 < 0 : loại. Vậy chọn câu D). Cụ thể : Phương trình ơ câu D) tương đương với : 2,2,3 3 n X +y +^x-y-77 = 0=> 2 16 =r- R a = -3/4 b = 1/2. 2 9,1,3 16 + 4 + 16 1 . 232 Câu 4S. Câu 43. Câu 44. Câu 45. Câu 46. Đương tròn tâm 3 1 4 ; 2 R = l. Câu D). Xét X 2 + y 2 + 2x = 0 => a = —1 b = 0 c = 0 Do đó : R 2 = a 2 + b 2 - c = 1 =>• R = 1. Câu B). R 2 — 9 => Rj = 3 ; R 2 = l + 4 + 4 = 9=> R 2 = 3 ; Rị = 9 + l-+6 = 16-=>R 3 = 4. Vậy (g' 1 ) = (g 2 ). CâuA). a — 2m b. = — (m -1) => R 2 — a 2 + b 2 - c c = (m-l) 2 = 4m 2 4- (m -1) 2 - (m -1) 2 = 4m 2 >0<^>m^0. Câu B). X = a = m +1 y = b = m + 2 => R 2 = (m +1) 2 + (m + 2) 2 — 6m - 7 c = 6m + 7 = 2(m 2 -l). (ÍT) là đương tron <=> m 2 -1 > 0 <Ỉ 4 > Ịml > 1. Khử m giữa toạ độ X và y ta có : m = X — 1 y = x + 1 ịy = x+'l X <0 <^> X > 2 y = x + 1 . Câu C). Đương trồn (OAB) không qua A(3 ; 0) ơ câu A) : loại. Đương trồn (OAB) không qua B(0 ; — 4) ơ câu B) : loại. Đương trồn (OAB) không qua 0(0 ; 0) ơ câu C) : loại. Chọn câu D). Cụ thể : Đương tròn (OAB) có đương kính 233 AB. Vậy VM(x ; y) thuộc đương tron khi và chỉ khi : ■ ÃM.BM = 0<^x(x-3) + y(y + 4) = U. Câu D). Câu 47. {%) CÓ tâm 1(1 ; - 2), K = V3 . Theo giả thiết : d(ĩ; (A)) < R <=» 1A -c +1 < \/3 V2 + m 2 <^> m 2 — 4m — 5 <0<^-l<m<5. Câu B). Câu 48. M(3 ; o) G cc) . Phưong trình tiếp tuyến tại M(3 ; 0) : x 0 x + y 0 y-2(x + x 0 ) + (y + y 0 ) + 3 = 0 <»3 x-2 (x + 3) + y + 3 = 0<^x + y-3 = 0. Câu A). Câu 49. Đương tron (ễT) có tâm 1(1 ; 0), R = 1. Xét (A) qua M(-l; 0)jắCẽ) : y = k(x'+1) «■ kx-y+ k = 0. Theo'giả thiết : d(ĩ ; (A)) = R« |2kl 1 = 1 k 2 = t 0 k = ± A, V k 2 +l 3 3 /aN X-V3y + 1 = 0 ■ Vậy (A): 1. Câu D). x + y3y + l = 0. Câu 50. (fêT) có tâm I( — 3 ; 4), bán kính R = 5'. Theo giả thiêt : đ (l;(A)). Rg |4< - 3) - 3 ( 4> + m ---^ 0 |m - 25| = 25 o m = T Câu C). [m = 50. Câu 51. ■ Loại câu A), D) vì đương tron không qua gốc o. - Vói câu B). Tâm I(,l; 0) G Ox nên đương tron không thể tiếp xúc vói Ox. Loại câu C). Cụ thế : Ợ câu C) tâm I(o ; m 2 +1) e Oy và R = m 2 +1 > 0, V m nên đương trồn luôn luôn tiếp xức vói trục hoành tại gôc. Câu C). 234 Câu 50. Ta CÓ Me (%'). Phưong trình tiếp tuyến của đựbng trồn tại M Me (ÍT) < A ,2 2 1 — X - là : y — 1 — 0<t4>X“ V3y — 2 0 2 2 Yêu cầu đề bài đuợc thoả mãn khi m = — 2 . Câu A). Câu 53. {%) có tâm I(m— 1 ; 0), R = — 2m. Yêu cầu đề bài được thoả khi và chỉ khi : R = —2m > 0 OI > R <^> m < 0 (m — l) 2 > 4m 2 m<0 1 =y -1< m < 0 -1 < m < ^ 3 Câu D). Câu 54. tâm I 1 (4 ; 2), R 1 = 4 ;(^2) tâm I 2 (4 ; 0), R 2 = 2 . Ta có 1^2 =|R 1 — R 2 | = 2. Ta có (Wi )'và (& 2 ) tiếp xức trong vói nhau tại A(4 ; — 2). Phưong trình đương nối tâm 1^2 : X = 4 . Ta loại hai câu C) và D) (không vuông góc với 1^2). Câu A) bị loại vì không qua tiếp điểm A (4 ;—2). Vậy chọn câu B). Câu. 55. Xét câu B) • í X - -2 Hr cost y = 1 — sin t cos 2 t Câu 5B, (x + 2Ỵ (y-l) 2 .= sin 2 t => (x + 2) 2 + (y — l) 2 = 1. Câu B). tâm Ij (1; — 2), Rj = 3 ; (^2) tâm I 2 (—2 ; 2), R 2 = 8.. Ta có I 1 I^=25=>Ì 1 I 2 =5 ; |R X -R 2 | = |-5| = 5. Vậy I|I 2 = |R 1 - R 2 | (£q) và 2 ) tiếp xúc trong. Câu D). 235 ) Câu 57 = ( c ẽ 1 ) CÓ tâm (6 ; 0), Rị = 4; (£T 2 ) có tâm ỉ 2 (3 ; 4), R 2 = 1 Ta có : T t 2 nr T T ir . T"> I T» er._i._TT T> I T> Ẳ 1 Â o - 4Ộ ti Ỳ' ilìn - ù « iì/Ị I JL V o - ũ iioii ÌỊÌỌ - ÂVỊ ỉ ÂW‘) • i À ' 1 z ' Ì - z L Ù L ú Vậy (% ỵ ) và (ếT 2 ) tiếp xúc ngoài, có 3 tiếp tuyến chung. Câu C). Câu 58. Tâm I(m ; - 2) ; R 2 = m 2 + 4 - 6m + 9 = (m - 3) 2 + 4 > 4 . Do s = tyR 2 nên S min = 4ir <^> m = 3. Câu A). Câu 50. Tâm của (%r ) la 1(4 ; 3). Ta có : 2(m -1)(1) + (3- m)(2) -4 = 0, Vm. Vậy (A) luôn luôn quay quanh điểm cô" định A(1 ; 2). Đế (A) cắt (%') theo một dây cung lớn nhất (đuơng kính) thì (A) qua tâm I, tức là : 2(m —1)(4) + (3 — m)(3) — 4 = 0 m = Câu B). 5 „ 1 fx = 4 + 5cost Câu BO. Phưong trình ):ị [y = 4 + 5 sin t. Do A, B cô" định nên VM(x ; y) G (£T) thì : ®max = d (M; Ox) max <s> |y| = |4 + 5 sin tị. Ta có : |4 + 5sin t| < 4 + õlsintl < 9 (do Isintl < 1). Do đó : S m ax^y = 9 ^ sint = 1 - Vậy M = M 0 (9;4). Câu D). Câu B 1 . Câu D) sai vì VM G (E) thì :• [ME a + ex M MF 2 = a — ex M => MF X .MF 2 a 2„2 e X M Câu Bẽ. Yêu cầu câu A) đuợc thoả khi a = 2c. Vậy : b 2 = a 2 - c 2 = 3c 2 <=> b = cV3 . Trái giả thiết b = c. Câu A) sai. 236 Câu 63. Câu 64. Câu 65. Câu 66. Câu 67. Câu 66. Câu 69. X 2 + 5y 2 = 5 4=> + y 2 = 1. Ta có a 2 = 5 suy ra trục lốn 5 2a = 2 Võ . Câu A) sai. Vậy chọn câu A). y 2 000 j y + ^- = 1 ^c 2 =a 2 -b 2 = 2=»c = V2. Các câu B), C), 0 I D) sai. Chọn câu A). Í2a x2b = 8 Ịa = 2 [2a + 2b = 6 ^ ịb = 1. X 2 Phưong trình (E) : + y 2 = 1. Câu B), 4 c = 4 Í16 = c 2 = a 2 — b 2 í c 4 => e = — = — a = 5 a 5 L L Ta có : Vậy (P): 9x 2 + 25y 2 = 225 . Câu C). Theo giả thiết : a = 5 b = 3. c 2 = a 2 - b 2 = 3 b 2 +ậa 2 = a 2 b 2 4 a 2 = 4 b 2 =l. „2 (E): + y 2 = 1. Câu B). 4 Phương trình (E) : b 2 x 2 +a 2 y 2 = a 2 b 2 => 4b 2 = a 2 b 2 b 2 + — a 2 = a 2 b 2 4 (E): X 2 + 4y 2 = 4 . Câu A). a 2 =4 b 2 = l. a = V2 [a = V2 c 1 -» => - [c — 1 a X 2 (E): y + y 2 = 1. Câu D). 2. 237 Câu 70 = Lãu / ĩ - Câu 73» Câu 73 = Câu 7G Câu 77 Câu 78 Câu 79 A) Hypebol vuông góc ; B) Đương tron ; D) Hai đưbng J ì. ^ „ í .l_ _ __ _ p _ _ / 1 \ Liiaiig, vJiiUĩì ca.LI o }. r, r _ o r*f-\ rí 4- X 2 Xét câu B).: ' | V ' 2 ; int • ,, ‘ 7^1 /V Tầ \ Cub t -f ữiỉi u — ± Câu B). Vói (Ej): a = 3 b = 2 ; (E 2 ): c = Võ a' = 3 b' = Võ c' = 2. Vậy 2c = 2 Võ < 2c ; = 4 là sai. Câu C). b Phương trình hai đương tiệm cặn là y = ± — X, nên một a đưồng có hệ sô" góc tana = —. Câu D). a Xét : 4--y 2 =l=^ 3 a 2 -3 b 2 =1 c c = 2. 2 — a 2 + b 2 = 4 Các câu A), C), D) đúng =>B) sai. Câu B). 4 . Hai tiêm cận y = ±-rX . Câu D). • 3 (E) — ~ = Câu B). 9 16 Theo giả thiết : |f _ o (H) = Câu A). Ịb = 2 16 4 a = 2 e = — = V2 a a = 2 c = 2 Vỗ b 2 = c 2 -a 2 = 4. (H): X 2 - y 2 = 4. Câu B). (H): b 2 x 2 — a 2 y 2 = a 2 b 2 == 9b 2 - V-a 2 = a 2 b 2 c 2 = a 2 + b 2 = 5 4b 4 + 21b 2 — 25 = 0 238 b 2 = 1 * 2 , 2 _ 25 a 2 = 4 - (H) : —-y 2 = 1. Câu A), b = —— (loại) 4 4 5b 2 -i a 2 = a 2 b 2 f 2_ Câu eo. 4 => i ~ 4 9b 2 -ệa 2 = a 2 b 2 l b2 = l- 4 * (H): x 2 -4y 2 = 4.CâuC). 0 . 81 . j c = 5 „ «. |a 2 + b 2 =25= s 2 -2P js=7 [a + b = 7 [a + b = 7 = s [p = 12. Vậy a, b là nghiệm phưong trình t 2 -7t + 12 = 0 t = 4 [t = 3. Chọn Ị^_ 3 =^(H 1 ): 9 x 2 - 16y 2 = 144 . í a = 3 Chọn i ^=>(H 2 ): 16x 2 — 9y 2 = 144. Câu C). Câu 82. Câu B) : đương tròn ; câu C) : elip ; câu D) : hai đương thẳng. Vậy chọn câu A). Câu 03. Phưong trình hai tiệm cận lằ y = ±-x <£> ( A i) :x + 2 y-° 2 Ị(A 2 ):x-2y = 0. Theo giả thiết : M o(x 0 ;yo)e(H)^x 2 -4y 2 =4 d = ỉ x 0 +2 yọ| l x o- 2 yo| | x 0 — 4y 2 | _ 4 Câu D). V5 Võ 5 “ 5' Câu 84. (E): a 2 =5 , b 2 = l, c 2 =4 ; tâm sai e E =-~. (H): a 2 =3., b 2 =l , c 2 = 4 ; tâm sai e H =-^L. Vã 239 Do đó : e E ^ e H . Câu D). ^ , 1 «7 . 7 . yv"\ 1 11 ẩ \ế\ tho 0*1 Oi 1 niì\ 7 ot Vì hQĩì ĩ í hHTỈ • l/iio gicli kịuy V-/ u ii.iicXi.iii iiUii % 1 « /- Ị ^ _ | W E 't => e TT =e„ là sai, CâuD). |e H > 1 H E [c E =2 = a H Ị a H = 2 Câu 85. ] r— => -1 * 9 9 [a E =V5 = c H K=c 2 -a 2 =l. Vậy Ch) : X 2 -4y 2 =4 . Câu B). „2 „2 , 2 2 1 _2 X , y ■ Câu 86 . kx -fy =ka — 5 -+-—Õ-==Ị. a 2 ka 2 Yêu cầu đề bài : I 0 - <£> 1 ^ <^> 0 <k<l. Câu C). a 2 >ka 2 k<l Câu 87. Yêu cầu đề bài k < 0. Câu B). Câu sa. y = ±ỈVlx 2 — 4| <^> 4y 2 = |x 2 -4| 2 <^> 4y 2 = X 2 — 4 (|x| > 2 ) 4y 2 —4 — X 2 (|x|<2) <£> X 2_ 1 ~--y =1 4 X •+y 2 =i. Câu D). Câu 89. Xét M(x ; y) : Yêu cầu đề bài : MA 2 =(x + 4) 2 +y 2 25 MH = + x ] = 16 25 — + x l 4 Ị 4^9x 2 +25y 2 = 225. Câu A). Câu 30. Gọi M là tâm đương tron nội tiếp A ABC. Kẻ : ÍME_L AB MF J_ (A) =>ME = MF 240 A AME vuông cân tại E nên : MA M|A = V2>1 MF ■ MF Tập hợp tâm M là hypebol vuông góc, nhận A làm tiêu điểm và (a) là đương chuẩn. Câu D). /o\ Câu 9 1. y' 2 ■X X =^p = 4>0. Câu B). Câu ga. Vì parabol nhận Oy làm trục đối xúng, nên đương chuẩn song song vói trục hoành. Câu C). Câu 93. Theo yêu cầu đề bài ta có (p): X 2 = -2py . M(—2 ; —2)e(p) 4^ 4 = —2(p)(—2) =^p = 1. (p): X 2 = — 2y .Câu D). Câu 94. Vì M(4 ; — 2) ơ góc phần tư thứ IV nên : (p): y 2 — 2px - (p): X 2 = -2py p —1/2 p = 4. V Vậy A/ y ! =X CâuB). (P): X 2 = —8y. 1 1 I ^ Câu 95. Chỉ yêu cầu khoảng cách từ tiêu điểm đên đương chuẩn p = 1/4 nên (P) có 4 dạng. Câu D). Câu 96. Xét câu B) : 1 X = cost y = 1 + tan 2 t X cos 2 t 1 + tan 2 1 = y. Câu B). Câu 97. Tiêu điểm trái F 1 (—V3 ; o) = Vã 44 p = 2 Vã >0 . Phương trình (P) : y 2 — —4V3x. Câu A). Câu 98. Đỉnh trục thực phải A 2 (4 ; 0). Vậy ^ = 4 p — 8. (p): y 2 = 16x. Câu D). 241 Câu 33» Tất cả đều đứng. Câu D). Câu 1 OQ. Do Lính đôi xứng qua Ox nên dây cung _ _ _ ^ í D ì ^ (p DÌ ~ "12 avi j Í2 * 2) Có thể lập luận cách khác : Kẻ MH±(a) và FK_L(a) thì MHKF là hình chữ nhật (3 góc vuông tại H, K, F). Ngoài ra MF = 'MH nên tứ giác là hình vuông. Vậy MF = FK = p. ĐÁP ÁM CÂU HỎI TRẮC MGHIỆM CHUƠMG III 1 B 21 c 41 D 61 D 81 c 2 A 22 D 1 B A mm A B i 23 1 63 1 D 4 A í 24 B 44 B 64 A I D 5 Ả 25 B 45 c 65 B 1 B 6 D 26 B 46 D 66 c 86 c 7 B 27 A B 67 B 87 B c 28 D A 1 D B B 49 m 1 1 n D ¥*"§! í c 50 n 90 um ■ A B D 51 71 ESi 1 á c A 52 c EÉi 1 c tm c B 53 D E D 93 D 14 D 34 D 54 B K?ÍÌÉ B B 15 D 35 A 55 B 75 D 95 D 16 B 36 D 56 D 76 B 96 B 17 D 37 c 57 c 77 A 97 A 18 A 38 c 58 A 78 B 98 D 19 B 39 A 59 B 79 Ạ 99 D 20 c 40 D 60 D 80 c 100 B 242 Chuông 1= VECTiT;..............3 § 1. VECTƠ- CÁC PHÉP TÍNH.....3 A. Tóm tắt lí thuyết.....3 B. Các dạng toán.......6 Dang '1. Chứng mirih hai vectơ bằng nhau, hai vectơ. đôi nhau.....6 Dạng2. Chứng minh một đẳng thức vectơ.....7 Dạng 3. Chứng minh ba điểm thẳng hàng...9 Dạng 4. Tìm tập họp điểm.11 c. Bài tập.. 'Ị ......13 Lơi giải. 15 D. Bài tập tụ luyện. 20 Hướng dẫn - Đáp số. ...22 § 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ...24 A. Tóm tắt lí thuyêt...24 Bo Các dạng toán.. .25 Dạng 1. Tính tích vô hướng...25 Dạng2. cthứng minh đẳng thức nhơ tích vô hướng ..27 Dạng 3 0 Chứng minh hai vectơ vuông góc.29 Dạng 4. Tìm tập hợp điểm....30 c. Bài tập. 33 Lồi giải. 34 D. Bài tập tụ luyện.40 Hướng dẫn - Đáp sô".42 ÔN TẬP CHUÔNG I......44 44 A. Bài tập tông họp. iiuuiíg ticxii — XJCX\J ỒU . *-± í B. Cân hỏi trắc nghiệm.....50 Giai thích — iíuoiig dân.59 Đáp án câu hỏi trắc nghiệm Chưcmg 1.65 Chuông 11= HỆ THÚC LLItmiG TROpyG TAM GIÁC. VÀ OLTỀmiG ™òry......66 § 1. HỆ THÚC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC...66 A. Tóm tắt lí thuyết..66 B. Các dạng toán........67 Dạng 1. Tính các yếu tô" trong tam giác... 67 Dạng 2. Chứng minh quan hệ giữa các yếu tô" trong .. tam giác....70 Dạng'3. Nhận dạng tam giác...71 c. Bài tập. 73 Lơi giải... 75 D. Bài tập tự luyện...79 Hướng dẫn - Đáp sô".....80 § 2. HỆ THÚC LƯỢNG TRONG ĐƯÒNG TRÒN.82 A. Tóm tắt lí thuyết.. ..82 B. Các dạng -toálỊ— vTT77 -.T;T7ĨT7-:--.-.-TVT777r.7T77V-.TiTiTTTĨý. V.VÍ ... 84 Dạng 1. Tính phương tích của một điểm đôi với. đương tron. 84 Dạng 2. Chứng minh tứ giác nội tiếp.85 Dạng 3 . Chứng minh tiếp tuyến.86 Dạng 4. Chứng minh một quan hệ giữa các đoạn thẳng .... 88 Dạng 5. Dùng phưong tích chứng minh điểm cô" định.. Tìm tập hợp điểm....... 89 Dạng ổ. Các bài toán có liên quan đề"h trục đẳng phương.. 90 c. Bài tập. 92 Lơi giải. 94 D. Bài tập tụ luyện. 98 244 Hướng dẫn - Đáp sô".. 101 ÔN TẬP CHUÔNG II.102 A. Bài tập tông họp...102 Hướng dẫn - Đáp sô". . 104 B. Câu hỏi trắc nghiệm...106 Giải thích - Hướng dẫn...114 Đáp ấn câu hòi trắc nghiệm Chưcmg II... 121 Oiurarsg lil. PH utmiE PHẤP TOẠ ĐỘ TRorye... IVHẶT PHẲrUE... 122 § 1. HỆ TRỤC TOẠ ĐỘ.122 A. Tóm tắt lí thuyết....122 B. Các dạng toán......124 Dạng 1. Xác định một điểm..124 Dạng 2. Chứng minh một tính chât của một hình.126 c. Bài tập.. 127 Lơi giải...128 D. Bài tập tụ* luyện. 132 Hướng dẫn - Đáp sô"... 133 E. Ap dụng phutmg pháp toạ độ chứng minh bât . đẳng thức và tìm giá trị lớn nhât, nhỏ nhât.... .134 §2. ĐƯỜNG THANG...:.138 A. Tóm tắt lí thuyêt... 138 B. Các dạng toán. 140 Dang 1. Viết phương trình đương thẳng.. 140 Dang 2. Vị trí tương đôi giữa hai đưồng thẳng. 142 Dạng 3' Tính góc giữa hai đương thẳng .. 144 Dạng 4. Khoảng cách từ một điểm đến một đương thắng 146 c. Bài tập... 148 Lơi giải.. 149 D. Bài tập tu luyện .. 153 Hướng dẫn - Đáp sô"...154 § 3. ĐƯỜNG TRÒN.157 •245 157 A. Tóm tắt lí thuyết Bang 1. Tìm tâm và bán kính của đương- tròn... 157 Bạng 2 . Viêt phương trình đương trồn.. 158 Bạng 3. Tiếp tuyến vói đường trồn.... 160 c. Bài tập. ... 162 Lồi giải.. 164 D. Bài tập tự luyện..... 169 Hướng dẫn - Đáp số . 171 § 4. BA ĐƯỜNG CÔNIC..’. 174 A. Tóm tắt lí thuyết..... 174 B. Các dạng toán.;.... 177 Bạng lo Tìm các yếu tô" của cônic. 177 Dạng 2. Viết phương trình chính tắc của cônie. 179 Dạng 3. Tìm một điểm trên cônic thoả tính chất í'/ ) ) . 182 Dạng 4. Chúng minh một tính chất của cônic. 184 Dạng 5. Tập họp điểm là một cônic..... 185 c. Bài tập... 187 Lơi giải...... 189 ._ D. Bài tập tự luyện .-......... 195 Hướng dẫn - Đáp sô"....... 197 ÔN TẬP CHUÔNG III. .199 A. Bài tập tống họp......;.........199 Hướng dẫn - Đáp sô"...... 202 B. Câu hỏi trắc nghiệm.........;. 205 Giải thích - Hướng dẫn ..225 Đáp án câu hỏi trắc nghiệm Chương II ...242 MỤC LỤC. 243 246 247 Chịu trách nhiệm xuất bản: Chủ tịch Hội đồng Thành viên NGƯT. NGÔ TRAN ái T ổng Giám đốc kiêm Tổng biên tập GS.TS. vũ VĂN HÙNG Tô chức bán tháo và chịu trách nhiệm nội dung: Giám đốc Công ti CP Dịch vụ xuất bản Giáo dục tại Đà Nang PHAN ỌUANG THÂN Trợ lí Tổng biên tập ĐỎ VĂN THẢO Biên tập lần đầu : NGUYỄN THANH PHƯƠNG - TRÀN PHƯỚC CHUƠNG Biên tập tái bản : NGUYỄN VĂN NHO Trình bày bìa : PHAN MINH NHẬT Sứa bản in: MINH CHẰÚ Chế bản : BAN BIÊN TẬP KHOA HỌC Tự NHIÊN Công ti CP Dịch vụ xuất bản Giáo dục tại Đà Nang- Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam giữ quyền công bố tác phẩm CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯONG PHÁP GIẢI HÌNH HỌC 10 Mã số :TXT49n4 -TTS Số đăng kí KHXB: 21 -2014/CXB/700-2055/GD In 1.500 bản, ( 109TK ), khổ 17 X 24 cm Tại trung tâm nghiên cứu và sản xuất Học Liệu In xong và nộp lưu chiểu tháng 11 năm 2014

Từ khóa » độ Dài Vecto Ma+3mb-2mc= độ Dài Vecto 2ma-mb-mc

Full Text Of "Phương Pháp Trắc Nghiệm Hình Học Giải Tích Mặt ...

Internet Archive Audio

Featured

Top

Images

Featured

Top

Software

Featured

Top

Texts

Featured

Top

Video

Featured

Top

Mobile Apps

Browser Extensions

Archive-It Subscription

Save Page Now

See other formats

Cho Tam Giác ABC Tìm điểm M Sao Cho: |vectoMA+3vectoMB ...

Cho Tam Giác ABC.Tìm Tập Hợp điểm M Sao Cho /vecto MA 3MB-2MC

Cho Tam Giác Abc.tìm Tập Hợp điểm M Sao Cho /vecto Ma+3mb-2mc

Toán 10 - Bài Tập Về Véctơ - HOCMAI Forum

[PDF] Truy Cập Website: để Tải Tài Liệu đề Thi Miễn Phí - > DẠNG 5

Giải Toán 10: Bài 3. Tích Một Số Với Một Vectơ

Cho Tam Giác ABC. Tìm Tập Hợp Các điểm M Thỏa Mãn: |MA + MC

[PDF] Các Dạng Toán Và Phương Pháp Giải - Hình Học 10

BÀI TẬP PHÉP NHÂN VECTƠ VỚI MỘT SỐ | PDF - Scribd

Các Dạng Toán Trong Vectơ ( Hình 10 ) - Tài Liệu Text - 123doc

Cho Tam Giác đều (ABC ) Cạnh (a. ) Biết Rằng Tập Hợp Các điểm

Trong Hệ Tọa độ Oxy Cho Ba điểm A(1; 0), B(0; 3), C(-3; -5). Tìm M ...

Xác định điểm M Thoả Mãn Một đẳng Thức Vectơ Cho Trước

Liên Hệ