Full Text Of "Sách Giáo Khoa Đại Số 10 Nâng Cao" - Internet Archive

Có thể bạn quan tâm

Ask the publishers to restore access to 500,000+ books.

Hamburger icon An icon used to represent a menu that can be toggled by interacting with this icon. Internet Archive logo A line drawing of the Internet Archive headquarters building façade. Web icon An illustration of a computer application window Wayback Machine Texts icon An illustration of an open book. Texts Video icon An illustration of two cells of a film strip. Video Audio icon An illustration of an audio speaker. Audio Software icon An illustration of a 3.5" floppy disk. Software Images icon An illustration of two photographs. Images Donate icon An illustration of a heart shape Donate Ellipses icon An illustration of text ellipses. More Donate icon An illustration of a heart shape "Donate to the archive" User icon An illustration of a person's head and chest. Sign up | Log in Upload icon An illustration of a horizontal line over an up pointing arrow. Upload Search icon An illustration of a magnifying glass. Search the Archive Search icon An illustration of a magnifying glass.

Internet Archive Audio

Live Music Archive

Librivox Free Audio

Featured

All Audio
Grateful Dead
Netlabels
Old Time Radio
78 RPMs and Cylinder Recordings

Top

Audio Books & Poetry
Computers, Technology and Science
Music, Arts & Culture
News & Public Affairs
Spirituality & Religion
Podcasts
Radio News Archive

Images

Metropolitan Museum

Cleveland Museum of Art

Featured

All Images
Flickr Commons
Occupy Wall Street Flickr
Cover Art
USGS Maps

Top

NASA Images
Solar System Collection
Ames Research Center

Software

Internet Arcade

Console Living Room

Featured

All Software
Old School Emulation
MS-DOS Games
Historical Software
Classic PC Games
Software Library

Top

Kodi Archive and Support File
Vintage Software
APK
MS-DOS
CD-ROM Software
CD-ROM Software Library
Software Sites
Tucows Software Library
Shareware CD-ROMs
Software Capsules Compilation
CD-ROM Images
ZX Spectrum
DOOM Level CD

Texts

Open Library

American Libraries

Featured

All Texts
Smithsonian Libraries
FEDLINK (US)
Genealogy
Lincoln Collection

Top

American Libraries
Canadian Libraries
Universal Library
Project Gutenberg
Children's Library
Biodiversity Heritage Library
Books by Language
Additional Collections

Video

TV News

Understanding 9/11

Featured

All Video
Prelinger Archives
Democracy Now!
Occupy Wall Street
TV NSA Clip Library

Top

Animation & Cartoons
Arts & Music
Computers & Technology
Cultural & Academic Films
Ephemeral Films
Movies
News & Public Affairs
Spirituality & Religion
Sports Videos
Television
Videogame Videos
Vlogs
Youth Media

Search the history of more than 1 trillion web pages.

Search the Wayback Machine Search icon An illustration of a magnifying glass.

Mobile Apps

Wayback Machine (iOS)
Wayback Machine (Android)

Browser Extensions

Chrome
Firefox
Safari
Edge

Archive-It Subscription

Explore the Collections
Learn More
Build Collections

Save Page Now

Capture a web page as it appears now for use as a trusted citation in the future.

Enter a URL to save

Please enter a valid web address

About
Blog
Events
Projects
Help
Donate
Contact
Jobs
Volunteer

Search metadata Search text contents Search TV news captions Search radio transcripts Search archived web sites Advanced Search

About
Blog
Events
Projects
Help
Donate Donate icon An illustration of a heart shape
Contact
Jobs
Volunteer

Full text of "Sách Giáo Khoa Đại Số 10 Nâng Cao"

See other formats

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC VIỆT NAM Bộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRẦN VĂN HẠO (Tổng Chủ biên) - vù TUẤN (Chủ biên) DOÃN MINH CUỜNG - ĐỖ MẠNH HÙNG - NGUYÊN TIẾN TÀI NHÀ XUẤT BẢN GỈÁO DỤC VIỆT NAM NHỮNG ĐIỀU CẦN CHÚ Ý KHI sử DỤNG SÁCH GIÁO KHOA 1. Những kí hiệu thường dùng ^ : Phần hoạt động của học sinh. 2. Về trình bày, sách giáo khoa có hai mảng : mảng chính và mảng phụ. Mảng chính gồm các khái niệm, định nghĩa, định lí, tính chất,... và thường được đóng khung hoặc có đường viền ở mép. Mảng này được in thụt vào trong. Chịu trách nhiệm xuất bản : Chủ tịch HĐQT kiêm Tổng Giám đốc NGÔ TRẦN ÁI Phó Tổng Giám đốc kiêm Tổng Biên tập NGUYÊN quý thao Biên tập lán dầu NGUYÊN KIM THƯ- LÊ THỊ THANH HANG Biên tập tái bân : LÊ THỊ THANH HANG Biên tập kĩ thuật : NGUYÊN THỊ THANH HẢI Trình bày bìa : BÙI QUANG TUẤN Sửa bàn in : LÊ THỊ THANH HANG Chế bân CÔNG TY CP THIẾT KẾ VÀ PHÁT HÀNH SÁCH GIÁO DỤC Bản quyền thuộc Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam - Bộ Giáo dục và Đào tạo ĐẠI SỐ 10 Mã số: CH001T0 Số đăng kí KHXB : 01-2010/CXB/550-1485/GD In 100.000 cuốn, (ST) khổ 17 X 24cm. tại Công ty cổ phẩn in - vật tư Ba Đinh Thanh Hóa. Số in: 59. In xong và nộp lưu chiểu tháng 1 năm 2010. mỂnn OỀ. TẾP TIƠP Chươn mprm OỂ. TẠP pợp Chương này củng cố, mở rộng hiểu biết của học sinh vé Lí thuyết tập hợp đâ được học ở các lớp dưới; cung cấp các kiến thức ban đầu vê lôgic và các khái niệm sô' gấn đúng, sai số tạo cơ sở để học tập tốt các chương sau ; hình thành cho học sinh khả năng suy luận có lí, khả năng tiếp nhận, biểu đạt các vấn đé một cách Chĩnh xác. 1 (C MỆNH ĐỂ I - MỆNH ĐỀ. MỆNH ĐỀ CHỨA BIÊN Ấlìn U inh a 'hV.r„hA ( r' r \Nhin vào hai bức tranh ở trên, hãy đọc và so sánh các câu ở bên trái và bên phải. Các câu ở bên trái là những khẳng định có tính đúng hoặc sai, còn các câu ở bên phải không thể nói là đúng hay sai. Các câu ở bên trái là những mệnh đề , còn các câu ở bên phải không là những mệnh đề. 4 2 / * Nêu ví dụ về những câu là mệnh đề và những câu không là mệnh đề. 2. Mệnh đề chứa biến Xét câu "n chia hết cho 3". Ta chưa khẳng định được tính đúng sai của câu này. Tuy nhiên, với mỗi giá trị của n thuộc tập số nguyên, câu này cho ta một mệnh để. Chẳng hạn 4 Với n = 4 ta được mệnh đề "4 chia hết cho 3" (sai). Với n = 15 ta được mệnh đề "15 chia hết cho 3" (đúng). Xét câu "2 + n = 5". Cũng như trên, ta thấy với mỗi giá trị của n thuộc tập sô nguyên ta được một mệnh để. Chẳng hạn Với n = 1 ta được mệnh để "2+1=5" (sai). Với n = 3 ta được mệnh đề "2 + 3 = 5" (đúng). Hai câu trên là những ví dụ về mệnh đề chứa biến. 3 Xét câu "x > 3". Hãy tìm hai giá trị thực của X để từ câu đã cho, nhận được môt mệnh đề đúng và một mệnh đề sai. II - PHỦ ĐỊNH CỦA MỘT MỆNH ĐỀ Ví dụ 1. Nam và Minh tranh luận vể loài dơi. ♦ * Nam nói "Dơi là một loài chim". Minh phủ định "Dơi không phải là một loài chim". Để phủ định một mệnh đề, ta thêm (hoặc bớt) từ "không” (hoặc "không phải") vào trước vị ngữ của mệnh đề đó. Kí hiệu mệnh đề phủ định của mệnh đê p là p, ta có • * p đúng khi p sai. p sai khi p đúng. Ví dụ 2 p : "3 là một số nguyên tố" ; p : "3 không phải là một số nguyên tố". Q : "7 không chia hết cho 5" ; Q: "7 chia hết cho 5". 5 Al. k “Hãy phủ định các mệnh đề sau. p : "ti là một số hữu tỉ" ; Q : "Tổng hai cạnh của một tam giác lớn hơn cạnh thứ ba". Xét tính đúng sai của các mệnh đề trên và mệnh đề phủ định của chúng. III - MẸNH ĐE KEO THEO Ví dụ 3. Ai cũng biết "Nếu Trái Đất không có nước thì không có sự sống". Câu nói trên là một mệnh đề dạng "Nếu p thì <2", ở đây p là mệnh đề "Trái Đất không có nước", Q là mệnh để "(Trái Đất) không có sự sống". Mệnh đề "Nếu p thì Q" dược gọi là mệnh dề kéo theo, và kí hiệu là p => Q. Mệnh đề p => Q còn được phát biểu là "P kéo theo Q" hoặc "Từ p suy ra Q". 5 Từ các mệnh đề p : "Gió mùa Đông Bắc về" Q : "Trời trở lạnh" hãy phát biểu mệnh đề p => Q. II Mệnh đê p => Q chỉ sai khi p đúng và Q sai. Như vậy, ta chỉ cần xét tính đúng sai của mệnh đề p => Q khi p đúng. Khi đó, nếu Q đúng thì p => Q đúng, nếu Q sai thì p => Q sai. Ví dụ 4 2 2 ,, .' Mệnh đề "-3 < -2 => (-3) < (-2) " sai. Mệnh đề " V3 < 2 => 3 < 4" đúng. Các định lí toán học là những mệnh đề đúng và thường có dạng p => Q. Khi đó ta nói p là giả thiết, Q là kết luận của định lí, hoặc p là điều kiện đủ để có Q, hoặc Q là điều kiện cặn dể có p. 6 Ấ*. .. V ^Cho tam giác ABC. Từ các mệnh đề p : "Tam giác ABC có hai góc bằng 60° M Q : "ABC là một tam giác đều". Hãy phát biểu định lí p => Q. Nêu giả thiết, kết luận và phát biểu lại định lí này dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ. IV - MỆNH ĐỀ ĐẢO - HAI MỆNH ĐỀ TƯƠNG ĐƯƠNG ẰL, " * Cho tam giác ABC. Xét các mệnh đề dạng p => Q sau a) Nếu ABC là một tam giác đều thì ABC là một tam giác cân. b) Nếu ABC là một tam giác đều thì ABC là một tam giác cân và có một góc bằng 60°. Hãy phát biểu các mệnh đề Q => p tương ứng và xét tính đúng sai của chúng. II Mệnh đề Q=> p được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề p => Q. Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là đúng. Nếu cả hai mệnh đé p => Q và Q => p đều đúng ta nói p và Q là hai mệnh đề tương đương. Khi đó ta kí hiệu p <=> Q và đọc là p tương đương Q, hoặc p là điều kiện cần và đủ để có Q, hoặc p khi và chỉ khi Q. Ví dụ 5. a) Tam giác ABC cân và có một góc 60° là điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều. b) Một tam giác là tam giác vuông khi và chỉ khi nó có một góc bằng tổng hai góc còn lại. V - KÍ HIỆU V VÀ 3 Ví dụ 6. Câu "Bình phưcmg của mọi số thực đều lớn hcm hoặc bằng 0" là một mệnh đề. Có thể viết mệnh đề này như sau Vjc e K : Jt 2 > 0 hay X 2 > 0, Vx e K. Kí hiệu V đọc là "với mọi". 7 8 Phát biểu thành lời mệnh đề sau Vrt e z : n + 1 > n. Mệnh đề này đúng hay sai ? Ví dụ 7. Câu "Có một số nguyên nhỏ hơn 0" là một mệnh đề. Có thể viết mệnh đề này như sau 3 ne z : n < 0. Kí hiệu 3 đọc là "có một" (tồn tại một) hay "có ít nhất một" (tồn tại ít nhất một). 9 Phát biểu thành lời mệnh đề sau 3x G z : X 2 = X. Mệnh đề này đúng hay sai ? Ví dụ 8 Nam nói "Mọi số thực đều có bình phương khác 1". Minh phủ định "Không đúng. Có một số thực mà bình phương của nó bằng 1, chẳng hạn số 1". Như vậy, phủ định của mệnh đề p : "Vxe R : X 2 * 1", là mệnh đề "3xe R :x 2 10 Hãy phát biểu mệnh đề phủ định của mệnh đề sau p : "Mọi động vật đều di chuyển được". Ví dụ 9 Nam nói "Có một số tự nhiên n mà 2n = r\ Minh phản bác "Không đúng. Với mọi số tự nhiên n, đều có 2 n± 1". Như vậy, phủ định của mệnh đế p : "3 n e N : 2n = 1" là mênh đề p : "V«€ N : 2 ri* 1". Ằ" ...... " * Hãy phát biểu mệnh đề phủ định của mệnh đề sau p : "Có một học sinh của lớp không thích học môn Toán". Bài tập 1. Trong các câu sau, câu nào là mệnh đề, câu nào là mệnh đề chứa biến ? a) 3 + 2 = 7; b) 4 + JC = 3 ; c) X + y > 1 ; d) 2 - \/5 < 0. 2. Xét tính đúng sai của mỗi mệnh để sau và phát biểu mệnh để phủ định của nó. a) 1794 chia hết cho 3 ; b) y/ĩ là một số hữu tỉ ; c) 71 <3,15'; d) 1-1251 < 0. 3. Cho các mệnh đề kéo theo Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a + b chia hết cho c (ứ, b, c là những số nguyên). Các sô nguyên có tận cùng bằng 0 đều chia hết cho 5. Tam giác cân có hai đường trung tuyến bằng nhau. Hai tam giác bằng nhau có diện tích bằng nhau. a) Hãy phát biểu mệnh để đảo của mỗi mệnh đề trên. b) Phát biểu mỗi mệnh đề trên, bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện đủ". c) Phát biểu mỗi mệnh đề trên, bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiện cần". 4. Phát biểu mỗi mệnh đề sau, bằng cách sử dụng khái niệm "điều kiên cần và đủ” a) Một số có tổng các chữ sô chia hết cho 9 thì chia hết cho 9 và ngược lại. b) Một hình bình hành có các đường chéo vuông góc là một hình thoi và ngược lại. c) Phương trình bậc hai có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi biệt thức của nó dương. 9 5. Dùng kí hiệu V, 3 để viết các mệnh đề sau a) Mọi số nhân với 1 đều bằng,chính nó ; b) Có một sô' cộng với chính nó bằng 0 ; c) Mọi số cộng với số đối của nó đều bằng 0. 6. Phát biểu thành lời mỗi mệnh để sau và xét tính đúng sai của nó a) Vx £ M : X 2 > 0 ; b) 3n £ N : n 2 = n ; c) V/7 £ N : n < 2n ; d) 3* £ R : X < — • X 7. Lập mệnh đề phủ định của mỗi mệnh đề sau và xét tính đúng sai của nó a) Vrt £ N : n chia hết cho n ; b) 3* £ Q : X = 2 ; c) Mx £ R : X < X + 1 ; d) 3x £ R : 3x = X 2 + 1 . TẬP HỢP • * I - KHÁI NIỆM TẬP HỢP 1. Tập hợp và phần tử /^Nêu ví dụ về tập hợp. Dìing các kí hiệu £ và Ế để viết các mệnh đề sau. a) 3 là một số nguyên ; b) Jĩ không phải là số hữu tỉ. Tập hợp (còn gọi là tập) là một khái niệm cơ bản của toán học, không định nghĩa. Giả sử đã cho tập hợp A. Để chỉ a là một phần tử của tập hợp A, ta viết a £ A (đọc là a thuộc A). Để chỉ a không phải là một phần tử của tập hợp A, ta viết aM (đọc là a không thuộc A). 2. Cách xác định tập hợp 2 Liệt kê các phần tử của tập hợp các ước nguyên dương của 30. 10 Khi liệt kê các phần tử của một tập hợp, ta viết các phần tử của nó trong hai dấu móc {.}, ví dụ A = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30). 3 A 1 2 Tập hợp B các nghiệm của phương trình 2x - 5x + 3 =-. 0 được viết là B={x E R l2x 2 -5jr+3=0). Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp B. Một tập hợp có thể được xác dinh bằng cách chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó. Vậy ta có thể xác định một tập hợp bằng một trong hai cách sau a) Liệt kê các phần tử của nó ; b) Chỉ ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó. Người ta thường minh hoạ tập hợp bằng một hình phẳng được bao quanh bởi một dường kín, gọi là biểu đồ Ven như hình 1. 3. Tập hợp rỗng Hình 1 ' ^Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp /4 = (x e R IX 2 + Jt + 1 = 0). Phương trình X + X + 1 = 0 không có nghiệm. Ta nói tập hợp các nghiệm của phương trình này là tập hợp rỗng. I Tập hợp rỗng, kí hiệu là 0, là tập hợp không chứa phần tử nào. Nếu A không phải là tập hợp rỗng thì A chứa ít nhất một phần tử.' A * 0 <3- 3x : X e A. II - TẬP HỢP CON 4 * __ Biểu đổ minh hoạ trong hình 2 nói gì về quan hệ giữa tập hợp các số nguyên z và tập hợp các số hữu tỉ Q ? Có thể nói mỗi số nguyên là một số hữu tỉ hay không ? 11 Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của tập hợp B thì ta nói A là một tập hợp con của B và viết A c B (đọc là A chứa trong B). Thay cho A c B, ta cũng viết B D A (đọc là B chứa A hoặc B bao hàm A) (h.3a). Như vậy A c B <=> (Vx : X e Hình 3 A Nếu A không phải là một tập con của B, ta viết A <x B. (h.3b) Ta có các tính chất sau a) A c A với mọi tập hợp A ; b) Nếu A c B và B c c thì A c c (h.4) ; c) 0 c A với mọi tập hợp A. Hình 4 III - TẬP HỢP BẰNG NHAU &6 /^Xét hai tập hợp A = ịn e N I n là bội của 4 và 6} B = ( n e N I n là bội của 121. Hãy kiểm tra các kết luận sau a) A cB ; b) B c A. Khi A c B và B c A ta nói tập hợp A bằng tập hợp B và viết là . A=B. Như vậy A = B <=> (V* : X € A X € B). 12 Bài tộp 1. a) Cho /4 = {X G N I X < 20 và X chia hết cho 3}. Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp A. b) Cho tập hợp B = {2,6, 12, 20, 30}. Hãy xác định B bằng cách chỉ ra một tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó. c) Hãy liệt kê các phần tử của tập hợp các học sinh lớp em cao dưới lm60. 2. Trong hai tập hợp AvàB dưới đây, tập hợp nào là tập con của tập hợp còn lại ? Hai tập hợp A và B có bằng nhau không ? a) A là tập hợp các hình vuông B là tập hợp các hình thoi. b) A = {n G N I n là một ước chung của 24 và 30} B = {n € N I n là một ước của 6}. 3. Tìm tất cả các tập cori của tập hợp sau a) A = ịa, b) ; b) B= {0, 1,2}. CÁC PHÉP TOÁN TÂP HƠP I - GIAO CỦA HAI TẬP HỢP A = ịn € N I n là ước của 12) B = { n € N I n là ưác của 18). a) Liệt kê các phần tử của A và của B ; b) Liệt kê các phần tử của tập hợp c các ước chung của 12 và 18. Tập hợp c gồm các phần tử vừa thuộc A, vừa thuộc B được I gọi là giao của 4 vờ B. Kí hiệu c - A r '- B (phần gạch chéo trong hình 5). Vậy A n B = {X I € A và e 5} X e A n B o X e A X e B. II - HỢP CỦA HAI TẬP HỢP A n B Hình 5 ẤL.,. .. . r N Giả sử A f B lần lượt là tập hợp các học sinh giỏi Toán, giỏi Văn của lớp 10E. Biết A = {Minh, Nam, Lan, Hồng, Nguyệt) ; B = {Cường, Lan, Dũng, Hồng, Tuyết, Lê). (Các học sinh trong lớp không trùng tên nhau.) Gọi c là tập hợp đội tuyển thi học sinh giỏi của lớp gồm các bạn giỏi Toán hoặc gỉỏi Văn. Hây xác định tập hợp c. Tập hợp c gồm các phần tủ thuộc A hoặc thuộc B được gọi là hợp của A và B. Kí hiệu C = AuB (phần gạch chéo trong hình 6). Vậy AujB={jc|jc€ì 4 hoặc ‘X € B} X € A u B o X G A X € B, AuB Hình 6 III - HIỆU VÀ PHẦN BÙ CỦA HAI TẬP HỢP ũ* .. Ịr ^ Gỉả sử tập hợp A các học sinh giỏi của lớp 10E là A = (An, Minh, Bảo, Cường, Vinh, Hoa, Lan, Tuệ, Quý). Tập hợp B các học sinh của tổ 1 lớp 10E là B = {An, Hùng, Tuấn, Vinh, Lê, Tâm, Tuệ, Quý). Xác định tập hợp c các học sinh giỏi của lớp 10E không thuộc tổ 1. Tập hợp c gồm các phần tử thuộc A nhưng không thuộc B gỡi là hiệu của A và B. 14 Kí hiệu c = A\ B (phần gạch chéo trong hình 7). Vậy A\B = {JC IJC e /4 vàJC Ể B) [x 6 A V e A \ B <=> < X Ể B. V. Khi B c A thì A \ B gọi là phần bù của B trong A, kí hiệu C A B (phần gạch chéo trong hình 8). Bài tập Hình 8 1. Kí hiệu CPÌ là tập hợp các chư cái trong câu "CÓ CHÍ THÌ NÊN", í^là tập hợp các chữ cái trong câu "CÓ CÔNG MÀI SẮT CÓ NGÀY NÊN KIM". Hãy xác định ci n 2?, c£ u CB, CPÌ \ <2, 2\ C7Í. Vẽ lại và gạch chéo các tập hợp A n B hợp sau. A u B, A \ B (h. 9) trong các trường c) d) Hình 9 3. Trong số 45 học sinh của lớp 10A có 15 bạn được xếp loại học lực giỏi, 20 bạn được xếp loại hạnh kiểm tốt, trong đó có 10 bạn vừa học lực giỏi, vừa có hạnh kiểm tốt. Hỏi a) Lớp 10A có bao nhiêu bạn được khen thưởng, biết rằng muốn được khen thưởng bạn đó phải học lực giỏi hoặc có hạnh kiểm tốt ? b) Lớp 10A có bao nhiêu bạn chưa được xếp loại học lực giỏi và chưa có hạnh kiểm tốt ? 4 . Cho tập hợp A, hãy xác định A n A, A u A, A n 0, A u 0, C Á A , C A 0. 15 CÁC TẬP HỢP SỐ I - CÁC TẬP HỢP SỐ ĐÃ HỌC Vẽ biểu đồ minh hoạ quan hệ bao hàm của các tập hợp sô' đã học. 1. Tập hợp các Số tự nhiên N N = {0, 1, 2, 3,...} ; N* = {1,2, 3,...}. 2. Tập hợp các số nguyên z z = {...,-3,-2,-1,0, 1,2,3,...}. Các sô' -1, -2, -3, ... là các sô' nguyên âm. Vậy z gồm các sô' tự nhiên và các sô' nguyên âm. 3. Tập hợp các số hữu tỉ Q Số hữu tỉ biểu diễn dược dưới dạng một phân sô' 4 trong dó a, b e z, b * 0. b Hai phân sô' và — biểu diễn cùng một sô' hữu tỉ khi và chỉ khi ad = bc. b d Sô' hữu tỉ còn biểu diễn dược dưới dạng sô' thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn. Ví dụ 1. - = 1,25 4 4 =0,41(6). 16 4. Tập hợp các số thực R Tập hợp các số thực gồm các sô thập phân hữu hạn, ■ • không tuần hoàn. Các số thập phân vô hạn không tuần hoàn gọi là số vô tỉ. Ví dụ 2. a= 0,101101110 ... (số chữ số 1 sau mỗi chữ số 0 tăng dần) là một số vô tỉ. . ì Tập hợp các sô' thực gồm các số hữu tỉ và các sô' vô tỉ. Mỗi số thực được biểu diễn bởi một điểm trên trục số và ngược lại (h.10). 4 - 0 Hình J0 i -w-1-► 1 i 2 2 II - CÁC TẬP HỢP CON THƯỜNG DÙNG CỦA R Trong toán học ta thường gặp các tập hợp con sau đây của tập hợp các sô' thực R (h.l 1). Khoảng (a\b) = {xe R \a<.x<b} a b (|a ; +°°) = {X e R I a <x} /////////////)( -* (-00 ;í)) = Ịis R \ x<b}. - Đoạn b [a;b] = {xe R \a<x<b}. Nửa khoảng [a-b) =|I 6 l|fl<Kfc| a b (, a\b ] ={xeR\ơ<x<b) tnttHmm ị - a b [a ; +°°) = |re R I a < X} ////////////// [-► a (-00 \b] = {xe R I x< b). - ]/////////// » b Hình ỉ 1 Kí hiệu +°° đọc là dương vô cực (hoặc dương vô cùng), kí hiệu -co đọc là âm vô cực (hoặc âm vô cùng). £>A' SO J A ì Ta có thê viêt ]R — (—00 ; +00 ) và gọi là khoảng (—00 ;+oo). Với mọi sô thực X ta cũng viết -00 < X < +00. Bài tộp , Xác định các tập hợp sau và biểu diên chúng trên trục sô 1. a) [-3 ; 1) u (0 ; 4] ; c) (-2 ; 15) u (3 ; + 00 ); e) (-00 ; 1) u (-2 ; +oo). 2. a) (-12 ; 3] n [-1 ; 4] ; c) (2 ; 3) n [3 ; 5) ; 3. a) (-2 ; 3)\ (1 ; 5); c) M \ (2 ; +co) ; b) (0;2]u[-1 ; 1); d) -1 u [-1 ; 2) ; V 3 J b) (4 ; 7 )n (-7 ; -4); d) (-00 ; 2] n [-2 ; +co) b) (-2 ; 3) \ [1 ; 5); d) M \ (-00 ; 3]. BẠN CÓ BIẾT G cAN-TO (Georg Perdinand Ludv/ỉg Philipp Cantor ỉ 845 -1918} Can-to là nhà toán học Đức gốc Do Thái. Xuất phát từ vỉệc nghiên cứu các tập hợp vỏ hạn và các số siêu hạn, Can-to đã đặt nền móng cho việc xây dựng Lí thuyết tập hợp. Lí thuyết tập hợp ngày nay không những là cơ sở của toán học mà còn là nguyên nhân cùa việc rà soát lại toàn bộ cơ sở lôgic của toán học. Nó có môt ảnh hưởng sâu sắc đến toàn bộ cấu trúc hiện đại của toán học. Từ những năm 60 của thế kỉ XX, tập hợp được đưa vào giảng dạy trong trường phổ thông ở tất cả các nước. Vì công lao to lớn của Can-to đối với toán học, tên của ông đã được đặt cho một miệng núi lửa trên Mặt Trăng. 18 SỐ GẦN ĐÚNG. SAI số I - số GẦN ĐÚNG Ví dụ 1. Khi tính diện tích của hình tròn bán kính * . ' 2 r = 2 cm theo công thức s = nr (h. 12), Nam lấy một giá trị gần đúng của n là 3,1 và được kết quả 5 = 3,1 .4 = 12,4 (cm 2 ). Minh lấy mật giá trị gần đúng của n là 3,14 và được kết quả s = 3,14.4 = 12,56 (cm 2 ). Vì 71 = 3,141592653 ... là một sô thập phân vô hạn không tuần hoàn, nên ta chỉ viết được gần đúng kết quả phép tính n.r bằng một số thập phân hĩru hạn. ầ 1 N Khi đọc các thông tin sau em hiểu đó là các số đúng hay gần đúng ? Bán kính đường Xích Đạo của Trái Đất là 6378 km. Khoảng cách từ Mặt Trăng đến Trái Đất là 384 400 km. Khoảng cách từ Mặt Trời đến Trái Đất là 148 600 000 km. Để đo các đại lượng như bán kính đường Xích Đạo của Trái Đất, khoảng cách từ Trái Đất đến các vì sao,... người ta phải dùng các phương pháp và các dụng cụ đo đặc biệt. Kết quả của phép đo phụ thuộc vào phương pháp đo và dụng cụ được sử dụng, vì thế thường chỉ là những số gần đúng. Trong đo đạc, tính toán ta thường chỉ nhận được các sô gần đúng. II - SAI SỐ TUYỆT ĐỐI 1. Sai sô tuyệt đối của một sô gần đúng Vi dụ 2. Ta hãy xem trong hai kết quả tính diện tích hình tròn (r = 2 cm) của Nam (S = 3,1 . 4 = 12,4) và Minh (S = 3,14.4 = 12,56), kết quả nào chính xác hơn. Hình ì 2 19 Ta thấy 3,1 < 3,14 < TU, do đó 3,1 . 4 < 3,14.4 < TU . 4 hay 12,4 < 12,56 < s = TU . 4. Như vậy, kết quả của Minh gần với kết-quả đúng hơn, hay chính xác hơn. Từ bất đẳng thức trên suy ra I s- 12,561 <\s- 12,4|. Ta nói kết quả của Minh có sai số tuyệt đối nhỏ hơn của Nam. Nếu a là số gần đúng của sô' đúng a thì A a = a - a\ được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a. Độ chính xác của một sô gần đúng Ví dụ 3. Có thể xác định được sai số tuyệt đối của các kết quả tính diện tích hình tròn của Nam và Minh dưới dạng số thập phân không ?' Vì ta không việt được giá trị đúng của s = TU. 4 dưới dạng một số thập phân hữu hạn nên không thể tính được các sai số tuyệt đối đó. Tuy nhiên, ta có thể ước lượng chúng, thật vậy 3,1 < 3,14 < TU < 3,15. Do đó 12,4 < 12,56 <s< 12,6. Từ đó suy ra I s - 12,56| < 112,6 - 12,56| = 0,04 \s- 12, 4 | < 112,6 - 12, 4 | = 0,2. Ta nói kết quả của Minh có sai số tuyệt đối không vượt quá 0,04, kết quả của Nam có sai số tuyệt đôi không vượt quá 0,2. Ta cũng nói kết quả của Minh có độ chính xác là 0,04, kết quả của Nam có độ chính xác là 0,2. Nếu ả a - I a - a\ < d thì -d < a -a <d hay a- d < a <a + d. Ta nói a là sô gần đúng của ã với độ chính xác d, và qụy ước viết gọn là ã i= a ± d. 2 Tính đường chéo của một hình vuông có cạnh bằng 3 cm và xác định độ chính xác của kết quả tìm được. Cho biết -Jĩ = 1,4142)35 ... . CHỨ Ý Sai sồ tuyệt đối của số gần đúng nhận được trong một phép đo đạc đôi khi không phản ánh đầy đủ tính chính xác của phép đo đó. Ta xét ví dụ sau. Các nhà thiên văn tính được thời gian để Trái Đất quay một vòng xung quanh Mặt Trời là 365 ngày ±ị- ngày. Nam tính 4 thời gian bạn đó đi từ nhà đến trường là 30 phút ± 1 phút. Trong hai phép đo trên, phép đo nào chính xác hơn ? Phép đo của các nhà thiên văn có sai số tuyệt đối không vượt quá -ị ngày, 4 nghĩa là 6 giờ hay 360 phút. Phép đo của Nam có sai số tuyệt đối không vượt quá 1 phút. Thoạt nhìn, ta thấy phép đo của Nam chính xác hơn của các nhà thiên văn (so sánh 1 phút với 360 phút). Tuy nhiên, — ngày hay 360 phút là độ chính 4 xác của phép đo một chuyển động trong 365 ngày, còn 1 phút là độ chính xác của phép đo một chuyển động trong 30 phút. So sánh hai tỉ số - 4 - = —!— = 0,0006849.. . 365 1460 4 - = 0,033... 30 ta phải nói phép đo của các nhà thiên văn chính xác hơn nhiều. Vì thế ngoài sai số tuyệt đối A a của số gần đúng a, người ta còn xét tỉ số Ổ Q được gọi là sai số tương đối của số gần đúng ứ. 21 III - QUY TRÒN SỐ GẦN ĐÚNG 1. Ôn tập quy tắc làm tròn số Trong sách giáo khoa Toán 7 tập một ta đã biết quy tắc làm tròn số đến một hàng nào đó (gọi là hàng quy tròn) như sau Nếu chữ sô' sau hàng quy tròn nhỏ hơn 5 thì ta thay nó và các chữ sô bên phải nó bởi chữ sô'0. Nếu chữ sô sau hàng quy tròn lớn hơn hoặc bằng 5 thì ta cũng làm như trên, nhưng cộng thêm một đơn vị vào chữ sô của hàng quy tròn. Chẳng hạn Số quy tròn đến hàng nghìn của X = 2 841 675 là X ~ 2 842 000, của y = 432 415 là y « 432 000. Số quy tròn đến hàng phần trăm của X = 12,4253 là X w 12,43 ; của y = 4,1521 là y* 4,15. 2. Cách viết sô quy tròn của sô gần đúng cần cứ vào độ chính xác cho trước Ví dụ 4. Cho số gần đúng a = 2 841 275 với độ chính xác d = 300. Hãy viết số quy tròn của số a. Giải. Vì độ chính xác đến hàng trâm (d = 300) nên ta quy tròn a đến hàng nghìn theo quy tắc làm tròn ở trên. Vậy số quy tròn của a là 2 841 000. Ví dụ 5. Hãy viết số quy tròn của số gần đúng a = 3,1463 biết ã =3,1463 ±0,001. Giải. Vì độ chính xác đến hàng phần nghìn (độ chính xác là 0,001) nên ta quy tròn số 3,1463 đến hàng phấn trăm theo quy tắc làm tròn ở trên. Vậy số quy tròn của a là 3,15. Â~ ~ _ 1 . r ™ Hãy viết số quy tròn của sô' gần đúng trong những trường hợp sau a) 374529 ± 200 ; b) 4,1356 ±0,001. 22 Bài tạp 1. Biết 3/5 = 1,709975947 ... Viết gần đúng ¥5 theo nguyên tắc làm tròn với hai, ba, bốn chữ sô thập phân và ước lượng sai số tuyệt đối. 2. Chiều dài một cái cầu là / = 1745,25 m ± 0,01 m. # Hãy viết số quy trờn của số gần đúng 1745,25. a) Cho giá trị gần đúng của n là a = 3,141592653589 với độ chính xác là 10“ . Hãy viết số quy tròn của a ; b) Cho b = 3,14 và c = 3,1416 là những giá trị gần đúng của 71. Hãy ước lượng sai số tuyệt đối của b và c. 4. Thực hiện các phép tính sau trên máy tính bỏ túi (trong kết quả lấy 4 chữ số ở phần thập phân). a) 3 7 .VĨ4 ; b) \ZĨ5.12 4 . Hướng dẫn cách giải câu a). Nếu dùng máy tính CASIO fx-500 MS ta làm như sau Ấn liên tiếp [TỊ 4 để lấy 4 chữ số ở phần thập phân. Kết quả hiện ra trên màn hình là 8183.0047. 5. Thực hiện các phép tính sau trên máy tính bỏ túi a) yỊĨỸ 7 : T vớì kết quả có 6 chữ số thập phân ; b) ( \Ỉ4Ỉ + \Ì37 ) : 14 với kết quả có 7 chữ số thập phân ; c) (1,23)^ + yj -42 _ với kêt quả có 5 chữ số thập phân. 23 Hướng dẫn cách giải câu a). Nếu dùng máy tính CASIO fx-500 MS ta làm như sau Ấn SHIFT <T 217 13 A ss' , Ị———I An liên tiếp phím ỊMODEỊ cho đến khi màn hình hiện ra Fix Sci Norm 1 2 3 Ấn liên tiếp TI 6 để lấy 6 chữ số thập phân. Kết quả hiện ra trên màn hình là 0.000016. ÔN TẬP CHƯƠNG I 1. Xác định tính đúng sai của mệnh đề phủ định A theo tính đúng sai của mệnh đềA. 2. Thế nào là mệnh đề đảo của mệnh đề A => B ? Nếu A => B là mệnh đề đúng, thì mệnh đề đảo của nó có đúng không ? Cho ví dụ minh hoạ. 3. Thế nào là hai mệnh đề tương đương ? 4 . Nêu định nghĩa tập hợp con của một tâp hợp và định nghĩa hai tập hợp bằng nhau. 5. Nêu các định nghĩa hợp, giao, hiệu và phần bù của hai tập hợp. Minh hoạ các khái niệm đó bằng hình vẽ. 6. Nêu định nghĩa đoạn [a ; b], khoảng (a ; b), nửa khoảng [a ; b), (a ; b .], (—00 ; b], [a ; +oo). Viết tập hợp R các số thực dưới dạng một khoảng. 7. Thế nào là sai số tuyệt đối của một số gần đúng ? Thế nào là độ chính xác của một số gần đúng ? 8. Cho tứ giác ABCD. Xét tính đúng sai của mệnh để p => Q với a) p : ”ABCD là một hình vuông", Q : "ABCD là một hình bình hành"; b) p : "ABCD là một hình thoi", Q : "ABCD là một hình chữ nhật". 24 9 . Xét mối quan hệ bao hàm giữa các tập hợp sau A là tập hợp các hình tứ giác ; D là tập hợp các hình chữ nhật ; B là tập hợp các hình bình hành ; E là tập hợp các hình vuông ; c là tập hợp các hình thang ; G Là tập hợp các hình thoi. 10 . Liệt kê các phần tử của mỗi tập hợp sau a) A = {3Jfc-2|Jfc = 0, 1,2, 3,4,5} b) B = ịx e N I X < 12} ; c ) C= {(-1)" I n 6 N }. 11 . Giả sử A, B là hai tập hợp số và X là một số đã cho. Tìm các cặp mệnh đề tương đương trong các mệnh đề sau p : "xe A<jB" ; s : ”x e A vàxeí"; Q : "x e A\B" ; T : "x e A hoặc X e B" ; R:"xe An B" ; X:"xeÀ và r Ể B". 12 . Xác định các tập hợp sau a) (-3; 7)0 (Ó;-10); b) (-00 ; 5) n (2 ; +oo) ; c) M \(-00 ; 3). 13 . Dùng máy tính bỏ túi hoặc bảng số để tìm giá trị gần đúng a của VỈ2 (kết quả được làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba). Ước lượng sai số tuyệt đối của a. 14 . Chiều cao của một ngọn đồi là h = 347,13 m ± 0,2 m. Hãy viết số quy tròn của số gần đúng 347,13. 15 . Những quan hệ nào trong các quan hệ sau là đúng ? a) A cz A u B ; b) Aa A r\B \ c) A n B <zAu B ; d ) Ayj B <zB \ e) Ar\B<zA. 25 Bài tập trắc nghiệm Chọn phương ớn đúng trong các bài tập sau 16 . Cho các số thực a, b, c, d và a Q là mệnh đề đúng. Ta có (A) p là điều kiện cần để có Q ; (B) p là điều kiện đủ để có 2 ; (C) <2 là điều kiện cần và đủ để c ỐP] (D) Q là điều kiện đủ để có p. BÀI ĐỌC THÊM * HỆ NHỊ PHÂN • * Cách ghi số thường dùng hiện nay (hệ ghi số thập phân) do người Hin-đu Ân Độ phát minh vào đầu thế kỉ IX. Để ghi tất cả các số tự nhiên, người Hin-đu dùng 10 kí hiệu (sau này ta gọi là 10 chữ số) như sau o ĩ z Ị s ‘ị i í, z < các số được ghi thành hàng, kể từ phải sang trái, hàng sau có giá trị bằng 10 lần hàng trước nó. Cách ghi số của người Hin-đu được truyền qua Ả Rập rồi sang châu Âu và nhanh chóng được thừa nhận trên toàn thế giới vì tính ưu việt của nó so với các cách ghi số trước đó. Cách ghi số cổ duy nhất còn được dùng ngày nay là hệ ghi số La Mã, nhưng cũng chỉ mang ý nghĩa trang trí, tượng trưng. Trải qua nhiều thê kỉ, 10 chữ sô của người Hin-đu được biến đổi nhiều lần ở các quốc gra khác nhau, rồi đi tới thống nhất trên toàn thế giới là các chữ số 0 12345678 9. Người Hin-đu ghi số theo nguyên tắc nào ? Ta hãy xét một số cụ thể, chẳng hạn số 2745. Ta nói số này gồm hai nghìn, bảy trăm, bốn mươi và năm đơn vị, hay có thể viết 2745 = 2.10 3 + 7.10 2 + 4.10 + 5. 26 Tổng quát, cơ sở cho cách ghi số của người Hin-đu là định li sau "Mỗ/ sổ tự nhiên a* 0 đều viết được một cách duy nhất dưới dạng ơ = ơ n .\0 n + ơ n -ỵ\0 +...+ƠỊ. 10 + ứQ trong đó 0 < ơị < 9 , 1 - 0, n và a n * 0”. _ ^ Khi a có biểu diễn như vậy, ta viết a = a n à n-V" a \% ■ và nói đó là cách ghi số a trong hệ thập phân. Tuy nhiên,-định lí trên vẫn đúng khi ta thay 10 bởi số nguyên g > 1 tuỳ ý. Mỗi số tự nhiên a ^ 0 đều viết được một cách duy nhất dưới dạng 0 = a n& n + a n-\ễ + - + a \S + «0 trong đó 0 < ơị < g - 1, a n * 0. Khi a có biểu diễn như vậy, ta viết a - aa _,... a.a nn n n-\ 1 O# và nói đó là cách ghi số a trong hệ g - phân ; a 0 , ứị,..., a n gọi là các chữ số của số a. Vì 0 < Qị < g - 1, nên để biểu diễn số tự nhiên trong hệ g - phân ta cần dùng g chữ số. Để biểu diễn số tự nhiên a trong hệ g - phân, ta thực hiện phép chia liên tiếp a và các thương nhận được cho g. Ví dụ. Biểu diễn 10 trong hệ nhị phân (g = 2). Ta có 10 2 Viết dãy các số dư theo thứ tự từ dưới lên ta được sự biểu diễn của 10 trong hệ nhị phân 10 = 10I0 2 . Trong hệ nhị phân chỉ có hai chữ số là 0 và 1 và mỗi số tự nhiên được biểu diễn bởi một dãy kí hiệu 0 và 1. Một dãy kí hiệu 0 và 1 có thể biểu thị bởi một dãy bóng đèn với quy ước bóng đèn sáng biểu thi chữ sô 1, bóng đèn tắt biểu thị chữ sô 0. 27 Điều đó giải thích vì sao hệ nhị phân được sử dụng trong Công nghệ thông tin Bảng dưới đây cho sự biểu diễn các số từ 0 đến 15. số trong hệ thập phân Biểu diễn nhị phân 0 0 1 1 2 10 3 11 4 100 5 101 6 7 110 111 8 1000 9 1001 10 1010 11 1011 12 1100 13 1101 14 1110 15 1111 Biểu diễn vật lí o o o o 000% 0 0*0 00** 0*00 0 * 0 * 0**0 o * * * * o o o * o o * * 0*0 * o * * * * o o * * o * ■ * * * o Việc thực hiện các phép tính trong hệ nhị phân cũng tương tự như trong hệ thập phân nhưng dễ dàng hơn nhiều vì bảng cộng và bảng nhân (cộng và nhân các chữ số) trong hệ nhị phân rất đơn giản + 0 1 0 0 1 1 1 10 X 0 0 0 1 0 Để cộng hai số bất kì trong hệ nhị phân, ta đặt phép tính như trong hệ thập phân và chú ý rằng 1 + 1 = 10 (viết 0 nhớ 1). y Ví du. 10 110 + 10 11 1 0 0 0 0 1 Còn đối với phép nhân ta chỉ cẩn thực hiện các phép dịch chuyển và phép cộng. Ví dụ. 10 110 0 0 0 0 0 10 110 110 1110 Như vậy, các phép tính trong hệ nhị phân được tiến hành theo những quy tắc đơn giản, do đó dễ "dậy" cho máy thực hiện. Đó cũng là lí do để sử dụng hệ nhị phân trong Công nghệ thông tin. BẠN CÓ « BIET GHI SỐ AI CẬP Nói đến Ai Cập ta nghĩ ngay đến các Kim tự tháp đầy huyền bí. Chúng chứng tỏ rằng từ thời xa xưa ở nơi đây đã có một nền văn minh rực rỡ. Từ khoảng 3400 năm trước Công nguyên, người Ai Cập đã có một hệ thống ghi số gồm 7 kí hiệu, có giá trị tương ứng như sau I n ? ắ (p t 1 10 100 1000 10 000 100 000 1000 000 29 Kim tự tháp Kê-ốp Từ 7 kí hiệu trên các số được ghi theo nguyên tắc cộng tính, nghĩa là giá trị của một số bằng tổng giá trị các kí hiệu có mặt trong số đó. Ví dụ n II - = 1 000 000 + 100 000 + 10 000 + 10 000 + 10 + 1 + 1 = 1 120012 . 30 H-ơm sơ -B-AC n-H-ƠT vfl tì-ơc -HAI ỊỊ smm SŨ SỈẠC m-mT Chương 11 VẾ tìSlC Slfì I Trong chương trình môn Toán Trung học cơ sở, học sinh đã nắm được các khái niệm hàm số, hầm số bậc nhất, hầm số bâc hai, hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến. Chương này ôn tập và bổ sung cấc khái niệm cơ bản vé hàm số, tập xác định, đồ thị của hàm số, khái niệm hầm số chẵn, hàm số lẻ, xét chiếu biến thiên và vẽ đồ thị các hàm sô' đã học. I - ÔN TẬP VỀ HÀM SỐ 1. Hàm Số. Tập xác định của hàm Số Giả sử có hai đại -lượng biến thiên X và y, trong đó X nhận giá trị thuộc tập số D. Nếu với mỗi giá trị của X thuộc tập D có một và chỉ một giá trị tương ứng của y thuộc tập sô thực R thì ta có một hàm sô. Ta gọi X là biến số và y là hàm sô' của X. Tập hợp D được gọi là tập xác định của hàm sô'. Ví dụ 1 Bảng dưới đây trích từ trang web của Hiệp hội liên doanh Việt Nam - Thái Lan ngày 26 - 10 - 2005 về thu nhập bình quân đầu người (TNBQĐN) của nước ta từ năm 1995 đến năm 2004. Bảng này thể hiện sự phụ thuộc giữa thu nhập bình quân đầu người (kí hiệu là y) và thời gian * (tính bằng năm). Với mỗi giá trị X £ D = {1995, 1996, 1997, 1998, 1999, 2000, 2001, 2002, 2004} có một giá trị duy nhất y. Vậy ta có một hàm số. Tập hợp D là tập xác định của hàm số này. Các giá trị y = 200 ; 282 ; 295 ; ... được gọi là các giá trị của hàm số, tương ứng, tại X = 1995 ; 1996 ; 1997 ; ... r V Hãy nêu một ví dụ thực tế về hàm sô. ' 2. Cách cho hàm sô Một hàm số có thể được cho bằng các cách sau. Hàm sô cho bằng bảng Hàm số trong ví dụ trên là một hàm số được cho bằng bảng. Hãy chỉ ra các giá trị của hàm sô trên tại X = 2001 ; 2004 ; 1999. Hàm SÔ cho bằng biểu đồ Ví dụ 2. Biểu đồ dưới (h.13) (trích từ báo Khoa học và Đời sống số 47 ngày 8- 11-2002) mô tả số công trình khoa học kĩ thuật đăng kí dự giải thưởng Sáng tạo Khoa học Công nghệ Việt Nam và số công trình đoạt giải hàng năm từ 1995 đến 2001. Biểu đồ này xác định hai hàm số trên cùng tập xác định D = {1995, 1996, 1997, 1998, 1999, 2000, 2001). 3 Hãy chỉ ra các giá trị của mỗi hàm số trên tại các giá trị X e D. Hình ỉ 3 Hàm sô cho bàng công thức 4 Hãy kể các hàm số đã học ỏ Trung học cơ sở. (Ị 2 Các hàm sô y = ax + b, y = —, y = ax là những hàm số được cho bởi công thức. Khi cho hàm số bằng công thức mà không chỉ rõ tập xác định của nó thì ta có quy ước sau Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các sô' thực X sao cho biểu thức f{x) có nghĩa. Ví dụ 3. Tìm tập xác định của hàm s ốf(x) = yjx - 3 . Giải. Biểu thức yỊx - 3 có nghĩa khi X - 3 > 0, tức là khi X > 3. Vậy tập xác định của hàm số đã cho là D = [3 ; +oo). 4^5 / NTìm tập xác định của các hàm số sau a) gú) = -ậ- ; + 2 b) h{x) = yjx+\ + yỊ\-X . CHÚ Ý rị ợ" Một hàm sô có thê được cho bới hai, ba,... công thức. Chang hạn, cho hàm số * r 2x + 1 với X > 0 -X 2 với X < 0 nghĩa là với .V > 0 hàm số được xác định bởi biểu thức /(x) = 2x + 1, với X < 0 hàm số được xác định bởi biểu thức g(x) = —X 2 . Ấ 6 / ^Tính giá trị của hàm số ở chú ý trên tại X = -2 và X = 5. 3. ĐỔ thị của hàm sô Đồ thị của hàm sô'y =f(x) xác định trên tập D là tập hợp tất cả các điểm M(x ; f(x)) trên mặt phảng toạ độ với mọi X thuộc D. Ví dụ 4. Trong Sách giáo khoa Toán 9, ta đã biết đồ thị của hàm số bâc nhất ■* y = ax + b là một đường thẳng, đồ thị của hàm số bậc hai y = ax là một đường parabol. 34 3.ĐẠI SỐ 10-B ■ E ■ □ _ m ■ 1 ■ ■ E ■ ■ -2 -1 i ■ ■ ■ 7 0 1 2 ■ 7 1 _j _ 1 Đồ thị hàm sốf{x ) = X + \ L — \ : / — 1 \ 3 ị \ 2 \ 1 / \ V -05 / 1 - J -2 -1 0 1 2 X ' - t ' 1 2 Đớ thị hàm số g(jf) = ~-x hãy Hình ỉ4 Ấ? r ^Dựa vào đồ thị của hai hàm số đã cho trong hình 14 1 y = /W = X + 1 và y = g(x) = ỷx r “ a) Tính/(-2'),/(-l),/(0),/(2), *(-l), g(- 2), *(0); b) Tìm JC, sao cho /( x) = 2 ; Tìm X, sao cho g(x) = 2. Ta thường gặp trường hợp đồ thị của hàm số y =f(x) là một đường (đường thẳng, đường cong, ...)• Khi đó, ta nói y = f(x) là phương trình của đường đó. Chẳng hạn y = ax + b là phương trình của một đường thẳng. y = ơX (ơ * 0) là phương trình của một đường parabol. II - Sự BIẾN THIÊN CỦA HÀM số 1. Ôn tập Xét đồ thị hàm số y =/( x) = X 2 (h,15a). Ta thấy trên khoảng (-00 ; 0) đồ thị "đi xuống" từ trái sang phải (h.l5b) và với X\,x 2 & (-00 ; 0), < x 2 thì/(X]) >f(x 2 ). Như vậy, khi giá trị của biến số tăng thì giá trị của hàm số giảm. 2 Ta nói hàm sốy = x nghịch biến trên khoảng (-00 ; 0). 35 a) b) c) Hình 15 Trên khoảng (0 ; +oo) đồ thị "đi lên" từ trái sang phải (h,15c) và với Xị,x 2 e (0 ; +oo) ; Xị < x 2 thì/'(-X 1 ) <f(x 2 ). Như vậy, khi giá trị của biến số tăng thì giá trị của hàm số cũng tăng. Ta nói hàm số ỵ = X đồng biến trên khoảng (0 ; +oo). CHÚ Ý Khi X > 0 và nhận các giá trị lớn tuỳ ý thì ta nói X dần tới + 00 . Khi X < 0 và UI nhận các giá trị lớn tuỳ ý thì ta nói X dần tới - 00 . t ^ 2 Ta thấy khi X dần tới +00 hay -00 thì X dần tới + 00 . Tổng quát Hàm sốy =f(x) gọi là đồng biến (tăng) trên khoảng ( a ; b) nếu Vx u x 2 e (a ■ b) : Xị < x 2 =: >f(Xị ) <f(x 2 ). Hàm sốy =fịx) gọi là nghịch biến (giảm) trên khoảng (a ; b) nếu Vx x ,x 2 e Ịa -b):Xị<x 2 =>/U]) >f(x 2 ). 2. Bảng biên thiên Xét chiều biến thiên của một hàm số là tìm các khoảng đồng biến và các khoảng nghịch biến của nó. Kết quả xét chiều biến thiên được tổng kết trong một bảng gọi là bảng biến thiên. 36 Ví dụ 5. Dưới đây là bảng biến thiên của hàm số y = X . —00 0 +00 y +00 +00 Hàm số y = X xác định trên khoảng (hoặc trong khoảng) (- 0 Ị ; +oo) và khi X dần tới +00 hoặc dần tới -00 thì y đều dần tới + 00 . Tại Jf = 0 thì y = 0. Để diễn tả hàm sô' nghịch biến trên khoảng (-00 ; 0) ta vẽ mũi tên đi xuống {từ + 00 đến 0). Để diễn tả hàm số đồng biến trên khoảng (0 ; +oo) ta vẽ mũi tên đi lên {từ 0 đến +oo). Nhìn vào bảng biến thiên, ta sơ bộ hình dung được đồ thị hàm số {đi lên trong khoảng nào, đi xuống trong khoảng nào). III - TÍNH CHẴN LẺ CỦA HÀM số 1. Hàm Số chẩn, hàm số lẻ Xét đồ thị của hai hàm số y =f{x) = X và y = g{x) = X (h. 16). Hình 16 Đường parabol y = X có trục đôi xứng là Oy. Tại hai giá trị đôi nhau của biên sô X, hàm sô nhận cùng một giá trị /(-1)=/(1) = l,/(-2)=/(2) = 4,... Gốc toạ độ 0 là tâm đối xứng của đường thẳng y = X. Tại hai giá trị đối nhau của biến số X, hàm số nhận hai giá trị đối nhau s(-l) = -*(!), S(-2) = -g(2),... 37 2 Hàm sô y = X là một ví dụ về hàm sô' chẵn. Hàm sốy = ;t là một ví dụ về hàm số lẻ. Tổng quát ♦ Hàm sốy =f(x )■ với tập xác định D gọi là hàm sô chẵn nếu Vx 6 D thì —X 6 D vàf(—x) =f(x). Hàm sốy = f(x) với tập xác định D gọi là hàm số lẻ nếu ■ Vx e D thì -X e D vàf(-x) = -f(x). / ^Xét tính chẵn lẻ của các hàm số a) y = 3a' 2 - 2 ; ti)y = --, c )y = Jx. X CHU Y Một hàm sô' không nhất thiết phải là hàm số chẵn hoặc hàm số lẻ. Chẳng hạn, hàm sô' y = 2x + 1 không là hàm số chẵn, cũng không là hàm sô' lẻ vì giá trị của nố tại ;t = 1 và X = -1 tương ứng là 3 và -1. Hai giá trị này không bằng nhau và cũng không đối nhau. 2. ĐỔ thị của hàm sô chẵn, hàm sô lẻ 2 Nhận xét về đồ thị của hàm sô' y = ;t và y - X trong mục 1 cũng đúng cho trường hợp tổng quát. Ta có kết luận sau Đồ thị của một hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng. Đồ thị của một hàm số lẻ nhận gốc toạ độ làm tâm đối xứng. Bài tạp 1 . 2 . Tim tập xác định của các hàm sô' a) y = yr-—7 ; b) y = -c) y =y/2x + 1 - yj3 - X . 2x + 1 X 2 + 2x - 3 Cho hàm sô' X + 1 với X >2 y = ị 2 X L - 2 với X <2. Tính giá trị của hàm số đó tại = 3 ; = — 1 ; X = 2. 38 3. Cho hàm sốy = 3x 2 - 2x + 1. Các điểm sau có thuộc đồ thị của hàm số đó không ? a) M(-l ; 6) ; b) N(l ; 1) ; c) />(0; 1). 4. Xét tính chẵn lẻ cua các hàm số a) y = 1*1 ; b) y = (x + 2) 2 ; , 3 . . c) y = X + X ; 2 d )y = X + X + 1. HÀM Số y = ax + b I - ÔN TẬP VỀ HÀM SỐ BẬC NHẤT y = ax + b (a 0). Tập xác định D = R . Chiêu biên thiên Với a > 0 hàm sô' đồng biến trên K . Với a < 0 hàm sô nghịch biến trên R . Bảng biến thiên a > 0 a < 0 -co +00 y +00 —00 —00 +00 y + 00 '-_ —00 39 Đồ thị » SÔ là một đường thẳng không song song và cũng không trùng VỚI các trục toạ độ. Đường thẳng này luôn song song với đường ^ ( ÌJ \ thăng y = ax (nếu b* 0) và đi qua hai điểm A(0 ; b) ; B ; 0 (h.17). \ a ) a > 0 a < 0 Hình ì 7 1 Vẽ đồ thị của các hàm số : V = 3* + 2 ; V = -—+ 5 . 2 II - HÀM SỐ HẰNG y = b Cho hàm số hằng y = 2. Xác định giá trị của hàm số tại X = -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2. Biểu diễn các điểm (-2 ; 2), (-1 ; 2), (0 ; 2), (1 ; 2), (2 ; 2) trên mặt phẳng toạ độ. Nêu nhận xét về đồ thị của hàm số y = 2. Đồ thị của hàm số y — b là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành và cất trục tung tại điểm (0 ; b). Đường thẳng này gọi là đường thẳng y = b (h. 18). y- h o Hình 18 III - HÀM SỐ y = Hàm sốy = X có liên quan chặt chẽ với hàm bậc nhất. y=h 40 1. Tập xác định Hàm số y = UI xác định với mọi giá trị của X, tức là tập xác định D = M . 2. Chiều biến thiên Theo định nghĩa của giá trị tuyệt đối, ta có nếu nếu X X > 0 < 0 . Từ đó suy ra Hàm sô'y = UI nghịch biên trên khoảng (-00 ; 0 ) vổ đồng biến trên khoảng (0 ; +oo). Bảng biến thiên. Khi X > 0 và dần tới +00 thì y = X dần tới + 00 , khi X < 0 và dần tới -00 thì y = —X cũng dần tới +C 0 . Ta có bảng biến thiên sau -00 0 +00 y +00 +00 ĐỒ thị (h.19) Trong nửa khoảng [0 ; +oo) đồ thị của hàm số y = UI trùng với đồ thị của hàm số y = X. Trong khoảng (-00 ; 0) đồ thị của hàm số y = trùng với đồ thị của hàm số y = -X. CHÚ Ý Hàm số y - UI là một hàm sô' chẵn, đồ thị của nó nhận Oy làm trục đối xứng. 1. Vẽ đồ thị của các hàm số a) y = 2x - 3 ; Bài tập b) y = yỉĩ. 41 3. 4. c) y = - -rX + 7 ; 2 d) y = UI - 1. 2. Xác định a, b để đồ thị của hàm số ỵ = ax + b đi qua các điểm v í3 A a) /4(0 ; 3) và B 0 \5 ) b) /4(1 ; 2) và B(2 ; 1); c) /4(15 ; -3) và B(2l ;-3). Viết phương trình ỵ = ax + b của các đường thẳng a) Đi qua hai điểm /4(4 ; 3) và B{ 2 ; -1) ; b) Đi qua điểm /4(1 ; -1) và song song với Ox. Vẽ đồ thi của các hàm số a) y = 2x với X > 0 -ị-x với X < 0 ; l 2 b) y = \ X + 1 với X > 1 -2x + 4 với X < 1. HÀM SỐ BÂC HAI Hàm số bậc hai được cho bởi công thức 2 y = ax + bx + c (a * 0). Tập xác định của hàm số này là D = K . 2 9 Hàm sô y = ax (a* 0) đã học ở lóp 9 là một trường hợp riêng của hàm số này. I - ĐỒ THỊ CỦA HÀM số BẬC HAI 4 1 ^ ^Nhắc lại các kết quả đã biết về đồ thị của hàm số y = ax. 42 1. Nhận xét 1) Điểm 0(0 ; 0) là đỉnh của parabol y =ax 2 . Đó là điểm thấp nhất của đồ thị trong trường hợp a > 0 (y > 0 với mọi x), và là điểm cao nhất của dồ thị trong trường hợp a < 0 (y < 0 với mọi x) (h.20). a < 0 Hình 20 • «'_ 4 Ả ■ 4 ~ I ■ ạ'. 2) Thực hiện phép biến đổi đã biết ở lớp 9, ta có thể viết / y = ax + bx + c = a Từ đó ta có nhận xét sau ■ >2 X + V 2 a + -Ạ -, với A = b 2 - 4 ac. Aa Nếu X = — 2 -A í thì y = ——. Vậy điểm I b -A l 2a ’ Aa) thuôc đồ thi của hàm số * * 2 a Aa y = ax“ + bx + c (a * 0). Nếu a > 0 thì y > với mọi X, do đó / là diểm thấp nhất của đồ thị. Aa Nếu a < 0 thì y < với mọi X, do đó I là điểm cao nhất của đồ thị. Như vậy, điểm I Aa _ b_ -A l 2ứ ’ 4ứ / đối với đồ thị của hàm s 6y=ax +bx + c (a* 0) V 1 2 đóng vai trò như đỉnh 0(0 ; 0) của parabol y = ax . 2 . Đổ thị Dưới đây (xem bài đọc thêm) ta sẽ thấy đồ thị của hàm sô ỵ = ax 2 + bx + c chính là đường parabol y = ax sau một số phép "dịch chuyển" trên mặt phẳng toạ độ. 43 Đồ thị của hàm sô' ỵ = ã)C + bx + c (a * 0) là một đường ( b — ỉs\ parabol có đỉnh là điểm / ; — , có trục đôi xứng là V 2a 4a) , 'b x đường thắng X = — . Parabol này quay bề lõm lên trên nêu 2 a a > 0, xuống dưới nếu a < 0 (h.21). a < 0 3. Cách vẽ Hình 21 2 Đế vẽ đường parabol ỵ = ax 1) Xác định toạ độ của đỉnh Ị + bx + c (a ^ 0), ta thực hiện các bước ( b -à'] V 2a ’ 4a J 2) Vẽ trục đối xứngx = 2 a 3) Xác định toạ độ các giao điểm của parabol với trục tung (điểm (0 ; c)) và trục hoành (nếu có). Xác định thêm một số điểm thuộc đồ thị, chẳng hạn điểm đối xứng với điểm (0 ; c) qua trục đối xứng của parabol, để vẽ đồ thị chính xác hơn. 4) Vẽparabol. \ Khi vẽ parabol cần chú ý đến dấu của hệ số a (a > 0 bề lõm quay lên trên, a < 0 bề lõm quay xuống dưới). 44 Ví dụ. Vẽ parabol ỵ = 3x 2 - 2x - 1. Ta có í ị -44 Đỉnh/ 4;-4 ; v3 3 / Trục đối xứng là đường thảng x = 2 ’ Giao điểm với Oy là /4(0 ; -l) ; Điểm đối xứng với điểm /4(0 ; -1) qua ( Giao điểm với Ox là 5(1 ; 0) và c - V Đổ thị như hình 22. Ố 2 ^Vẽ parabol y = -2 2 +X+3. Hình 22 II - CHIỀU BIẾN THIÊN CỦA HÀM số BẬC HAI Dựa vào đổ thị của hàm số y = ax 2 + bx + c (a * 0), ta có bảng biến thiên của nó trong hai trường hợp a > 0 và a < 0 như sau ũ > 0 a < 0 Từ đó ta có định lí dưới đây 45 ĐỊNH LÍ s\ Nếu a > 0 thỉ hàm số y - ax L + bx + c Nghịch biến trên khoảng r — 00 : Đồng biến trên khoảng r V -b IỈL 2 a \2a ; + 00 / r 2 Nếu a < 0 thỉ hàm số y = ax + bx + c Đồng biến trên khoảng í -b \ —00 : V 2 a) Nghịch biến trên khoảng í -b \ \2a ; + 00 BÀI ĐỌC THÊM ĐƯỜNG PARABOL Trong §3, ta đã khẳng định rằng đồ thị của hàm số bậc hai y = ơx 2 + bx + c {a * 0) là một đường parabol. Dưới đây ta sẽ chứng tỏ điều đó và cho thấy đường parabol này được suy ra từ parabol 3 ? = ax 2 như thế nào. 1. Đồ thị của hàm số y - ax 2 + y$ Xét hai hàm số f(x) = ax 2 và g(x) = ax 2 + y 0 . Tại cùng một điểm X G R ta có Y=f(X)=aX 2 ,g(X)= aX 2 +y ồ = Y + y 0 . Do đó t nếu điểm M(X ; Y) thuộc đồ thị của hàm số y = ax 2 thì điểm N(X ; Y + }í 0 ) thuộc đồ thị của hàm số y = ax 2 + y 0 . Ta thấy nếu dịch chuyển (tịnh tiến) điểm M(X ; Y) song song với trục tung một đoạn bằng ịy ồ ị đơn vị (lên trên nếu y 0 > 0, xuống dưới nếu y 0 < 0) thì được điểm N(X;Y + y ồ ). Vậy ĐÔ thị củ 3 hàm số ỵ = co? + >’o nhận được từ đồ thị củ 3 hàm sô ỵ = ax nhờ phép tịnh tiến song song với trục tung 1 ^ 0 1 đơn vị, lên trên nêu ỵ 0 > 0, xuống dưới nếu ỵ 0 < 0 (h.23). Hình 23 2. Đổ thị của hàm số y - a(x + x 0 ) 2 Xét hai hàm số Với xtuỳ ý, ta có f(x) = ax 2 và g(x) = a(x + x 0 ) 2 . f(X) =aX 2 , g(X-* 0 ) = a[(X- x 0 ) + x 0 ] 2 = aX 2 . Nghĩa là, giá trị của hàm s ốf(x) tạl Xbằng giá trị của hàm số g(jt) tại X-XQ. Vậy nếu điểm M(X ; Y) thuộc đồ thị của hàm số y = ax thì điểm N(X-x 0 ; Y) thuộc đồ thị của hàm số y = a(x + x 0 ) 2 . Ta thấy, nếu tịnh tiến điểm M(X ; Y) song song với trục hoành X Q đơn vị về bên trái nếu x 0 > 0, về bên phải nếu x 0 < 0 thì được điểm N(X- A'o ; Y). Vậy Đổ thị củd hàm sốy = a(x + A 0 ) 2 nhận được từ đồ thị củd hàm số ỵ = ơx 2 nhờ phép tịnh tiến song song với trục hoành x 0 đơn vị, về bên trái nếu x 0 > 0, về bên phải nếu x 0 <0 (h.24). 47 / 0 / 1 X-x fì o Ạ"/ 0 X-x 0 -x 0 ỷ // -*0> 0 Hình 24 x ồ < 0 3. ĐỒ thị của hàm số y = ax 2 + bx + c Thực hiện phép biến đổi đã biết ở lớp 9, ta có thể viết _ 2 u _ ( v , b ^| 2 b 2 ( b ^| 2 -A A V = ax + ax + c = u Jf + —-1 -c - a X + — + — VỜI A = b - 4ac. _ Ạ Áp dụng các kết quả trên với x 0 = - r: . >' 0 = 7 “ ta thấy ĐỒ thị của hàm số y = QX + bx + c được suy ra từ đồ thị của hàm số y = ơx 2 trước hết nhờ phép tịnh tiến song song với trục hoành 2 a đơn vị, về bên trái nếu > 0, về bên phải nếu < 0, sau đờ nhờ phép 2 Q 2 a tịnh tiến song song với trục tung đơn vị, lên trên nếu — > 0, 4 a 4 a xuống dưới nếu < 0 (h.25). 4ớ vi , ị ẻl \\ I 'Jh I 3 I - I 2 ^ I , \\ \ 'X - \ A ỵ\ t,\ 4ớ / \ / \ ơ */1 '!4 /_£> TÃ A' 2ứ \\ \ ẹ, \ \ / \ / \ / \ / Ư VA V \ A / /i Ỹ i / // h — A ớ > ớ, -— < 0 , —— > ọ 2ơ 4 Q Hình 25 „ b - -A a > 0, - 7 — < 0, —— < 0 2 a 4a 48 Như vậy, đổ thị của hàm số bậc hai y = ax 2 + bx + c cũng là một đường parabol. Trong đời sống hằng ngày chúng ta thường gặp những hình ảnh của đường parabol, như khi ta ngắm các đài phun nước, hoặc chiêm ngưỡng cảnh bắn pháo hoa muôn màu, muôn sắc. Nhiều công trình kiến trúc cũng được tạo dáng theo hình parabol, như cây cầu, vòm nhà, cổng ra vào,... Điều đó không chỉ bảo đảm tính bền vững mà còn tạo nên vẻ đẹp của công trình. Bài tạp 1. Xác định toạ độ của đỉnh và các giao điểm với trục tung, trục hoành (nếu có) của mỗi parabol a) y = X 2 - 3x + 2 ; b) y = - 2x 2 + 4x - 3 ; c) y = X 2 - 2x ; d) y = - X 2 + 4. 2. Lập bảng biến thiên và vẽ đổ thị của các hàm số a) y = 3x 2 - 4x + 1 ; b) y = -3x 2 + 2x - 1 ; 2 2 c) y = 4x - 4x + 1 ; d) y = -X + 4x - 4 ; e) y = 2x + X + 1 ; f) y = -X + X - 1. 2 3. Xác định parabol ỵ = ax~ + bx + 2, biết rằng parabol đó a) Đi qua hai điểm M( 1 ; 5 ) và N(- 2 ; 8 ) ; '. • 3 b) Đi qua diêm / 4(3 ; - 4) và có trục đối xứng là X = ; c) Có đỉnh là 1(2 ; -2); d) Đi qua điểm B(- 1 ; 6 ) và tung độ của đỉnh là -2. 4 ..-Aì $C'49 4. Xác định ứ, b, c biết parabol y = ax + bx + c đi qua điểm /4(8 ; 0) và có đỉnh là 1(6 ; -12). ÔN TẬP CHƯƠNG II 1. Phát biểu quy ước về tập xác định của hàm số cho bởi công thức. Từ đó hai hàm số y = -- và y = —z ~— có gì khác nhau ? (x + 1)(jT + 2) x z +2 2. Thế nào là hàm số đồng biến (nghịch biến) trên khoảng (a ; b) ? 3. Thế nào là một hàm số chẵn ? Thế nào là một hàm số lẻ ? 4. Chỉ ra khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số y = ax + b, trong mỗi trường hợp a > 0 ; a < 0. ; y y 2 5. Chỉ ra khoang đồng biến, khoang nghịch biến của hàm số y = ax + bx + c, trong mỗi trường hợp a > 0 ; a < 0. 6. Xác định toạ độ của đỉnh, phương trình của trục đối xứng của .parabol 2 y = ax + bx + c. 7. Xác định toạ độ giao điểm của parabol y = ơx z + bx + c với trục tung. Tìm điều kiện để parabol này cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và viết toạ độ của các giao điểm trong trường hợp đó. 8. Tim tập xác định của các hàm số a) y = —— + -Jx + 3 ; X + 1 b)y = yj2 - 3x - ; VI -2jc c) y = 1 với X > 1 X + 3 V2 - X với X <.l. Xét chiều biếò-thiên và vẽ đồ thi của các hàm số * a) V = 2-JC — 1 ; b)y = 4-2jc; 2 50 4. ĐẠI SỐ 10-B c) y = Vx 2 ; d) y = \x + l|. 10. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm sô a) ỵ= X 2 -2x -l ; b) j = -X 2 + 3x + 2. 11. Xác định a, b biết đường thẳng y = ax + bâi qua hai điểm A{ 1 ; 3), B{ -1 ; 5). 12. Xác định a, b, c biết parabol y = CỨT + bx + c a) Đi qua ba điểm A(0 ; -1), B( 1 ; -1), C(- 1 ; 1) ; b) Có đỉnh /(1 ; 4) và đi qua điểm D{3 ; 0). Bài tạp trác nghiệm Chọn phương án đúng trong các bài tập saư 13. Tập xác định của hàm sô' y = \lx - 3 - V1 - 2x là (A) D = ^ ; 3 2 (B) D = 1. — 00 : — 2 u[3;+00) ; (C)D = 0; 14. Parabol y = 3x 2 - 2x + 1 có đỉnh là ' 1 2 ^ (D) D = R. (A)/ V 3 ’ 3y (C) / 1 2^ 3 ) ■2 (B) / (D) / 1 2 n k 3 - ” 3 ; ^3 ; 3 > 15. Hàm số y — X - 5x + 3 (A) Đồng biến trên khoảng (B) Đồng biến trên khoảng í 5 —00: — V f 2 ) \ — : + 00 \2 ) (C) Nghịch biến trên khoảng í \ . — ; + 00 u ) (D) Đồng biến trên khoảng (0 ; 3). 51 ppươnGTRlnp. PẼ ppưrrnG TRlnp PPƯơnG THI IIP. IIP ppươnG TRìnp Chương này bổ sung các kiến thức vé phương trình ; ôn tập và hệ thống hoá cách giải phương trình bậc nhất, bậc hai một ẩn ; phương trình yà hệ phương trình bậc nhất hai ẩn ; đồng thời cung cấp cách giải hệ phương trình bậc nhất ba ẩn thông qua ví dụ. I ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNH _ • I - KHÁI NIỆM PHƯƠNG TRÌNH ẺL 1 / ^Nêu ví dụ về phương trình một ẩn, phương trình hai ẩn. 1. Phương trình một ẩn Phương trình ẩn X là mệnh đề chứa biến có dạng f{x) = g(x) ( 1) trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của X. Ta gọi f{x) là vế trái, g(x) là vế phải của phương trình (1). Nếu có số thực *0 sao cho /(xq) = g(*o) là mệnh đề đúng thì XQ được gọi là một nghiệm của phương trình (1). Giải phương trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm). Nếu phương trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phương trình vô nghiệm (hoặc nói tập nghiệm của nó là rỗng). CHÚ Ý Có trường hợp, khi giải phương trình ta không viết được chính xác nghiệm của chúng dưới dạng sô' thập phân mà chỉ viết gần . V3 đúng. Chăng hạn, X = là nghiệm của phương trình * * Cì s s í S) . ... .. . 2x = \Í3 . Giá trị 0,866 « là một nghiệm gần đúng của \ 2 ) phương trình. 53 2. Điều kiện của một phương trình . , +1 _ Cho phương trình —4 = yjx-ì. x-2 Khi JC = 2 vế trái của phương trình đã cho có nghĩa không ? vế phải có nghĩa khi nào ? Khi giải phương trình (1), ta cần lưu ý tới điều kiện đối với ẩn số X âểýỤc) và g(x) có nghĩa (tức là mọi phép toán đều thực hiện được). Ta cũng nói đó là điều kiện xác định của phương trình (hay gọi tắt là điều kiện của phương trình). Khi các phép tồán ở hai vế của một phương trình đều thực hiện được với mọi giá trị của X thì ta có thể không ghi điều kiện của phương trình. / ^Hãy tìm điều kiện của các phương trình a) 3-x 2 =-F=\ V 2-x 3. Phương trình nhiểu ẩn Ngoài các phương trình một ẩn, ta còn gặp những phương trình có nhiều ẩn số, chẳng hạn 3x + 2y = X 2 - 2xy + 8, (2) 4x 2 - xy + 2z = 3 2 + 2 xz + y 2 . (3) Phương trình (2) là phương trình hai ẩn (x và y), còn (3) là phương trình ba ẩn (x, y và z). Khi X = 2, y = 1 thì hai vế của phương trình (2) có giá trị bằng nhau, ta nói cập sô' (x ; y) = (2 ; 1) là một nghiệm của phương trình (2). Tương tự, bộ ba số {x ; y ; z) = (-1 ; 1 ; 2) là một nghiệm của phương trình (3). 4. Phương trình chứa tham sô Trong một phương trình (một hoặc nhiều ẩn), ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số. 54 Giải và biện luận phương trình chứa tham số nghĩa là xét xem với giá trị nào của tham số phương trình vô nghiệm, có nghiệm và tìm các nghiệm đó. Chảng hạn (m + \)x - 3 = 0, X 2 - 2x + m - 0 có thể được coi là các phương trình ẩn X chứa tham số m. II - PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ PHƯƠNG TRÌNH HỆ QUẢ 4 Các phương trình sau có tập nghiệm bằng nhau hay không a) X 2 +x = 0 và - 2 - + X = 0? b) x 2 -4 = 0và2 + x = 0? x-3 1. Phương trình tương đương Hai phương trình được gọi là tương đương khi chúng có cùng tập nghiệm. Ví dụ 1. Hai phương trình 2x - 5 - 0 và 3x - = 0 tương đương với nhau VÌ cùng có nghiệm duy nhất ìằx = 2. Phép hiến đổi tương đương Để giải một phương trình, thông thường ta biến đổi phương trình đó thành một phương trình tương đương đơn giản hơn. Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biến đổi tương đương. Định lí sau đây nêu lên một số phép biến đổi tương đương thường sử dụng. ĐỊNH LÍ Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương^\ trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương a) Cộng hay trừhaỉ vế với cùng một số hoặc cùng một biểu thức ; b) Nhân, hoặc chia hai vế với cùng một số khác 0 hoặc với cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0. 55 CHÚ Ý Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép cộng hay trừ hai vế với biểu thức dó. Kí hiệu. Ta dùng kí hiệu "o" để chỉ sự tương đương của các phương trình. Ằl _ _ ^Tìm sai lầm trong phép biến đổi sau 11 _1 11, 1 „_, x -\—-— = —-—I-1 <=> x -\—— -—- = ———+ 1 —— ■í?>x=l. x-l .Y - 1 x-l x-l X -l x — l 3. Phương trình hệ quả Nếu mọi nghiệm của phương trình f(x) = g(x) đều là nghiệm của phương trình f\(x) = (x) thì phương trình f\(x) = gj(;t) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f(x) =g(x). Ta viết f(x) = g(x) =>/j(x) = #!<». Phương trình hệ quả có thể có thêm nghiệm không phải là nghiệm của phương trình ban đầu. Ta gọi đó là nghiệm ngoại lai. Khi giải phương trình, không phải lúc nào cũng áp dụng được phép biến đổi tương đương. Trong nhiều trường hợp ta phải thực hiện các phép biến đổi đưa tới phương trình hệ quả, chẳng hạn bình phương hai vế, nhân hai vế của phương trình với một da thức. Lúc đó để loại nghiệm ngoại lai, ta phải thử lại các nghiệm tìm được. Đối với phương trình nhiều ẩn, ta cũng có các khái niệm tương tự. Ví dụ 2. Giải phương trình X + 3 3 2-x -h — — - x(x - 1) X X - 1 (4) Giải. Điều kiện của phương trình (4) là X 0 và X 1 * 1. Nhân hai vế cùa phương trình (4) với x{x - 1 ) ta đưa tới phương trình hệ quả (4) => * + 3 + 3(x - 1) = x(2 - x). => X 2 + 2x =0 x(x + 2) = 0. 56 Phương trình cuối có hai nghiệm là X = 0 và X = -2. Ta thấy X = 0 không thoả mãn điêu kiện của phương trình (4), đó là nghiệm ngoại lai nên bị loại, còn X = -2 thoả mãn điều kiện và là một nghiệm của phương trình (4). Vậy phương trình (4) có nghiệm duy nhất là X = -2. y? 1 * tạp 1. Cho hai phương trình 2 . 3. 4 . 3x = 2 và 2x = 3 Cộng các vế tương ứng của hai phương trình đã cho. Hỏi a) Phương trình nhận được có tương đương với một trong hai phương trình đã cho hay không ? b) Phương trình đó có phải là phương trình hộ quả của một trong hai phương trình đã cho hay không ? Cho hai phương trình 4jc = 5 và 3 jc = 4. Nhân các vế tương ứng của hai phương trình đã cho. Hỏi a) Phương trình nhận được có tương đương với một trong hai phương trình đã cho hay không ? b) Phương trình đó có phải là phương trình hệ quả của một trong hai phương trình đã cho hay không ? Giải các phương trình a) \/3 - X + X - yj3 - X + 1 ; b) X + yjx - 2 = yj2 - X + 2 ; c) JC 2 _ 9 yfx — 1 \X — 1 d) X 2 - yjl - X = \Ịx -2 + 3. Giải các phương trình 2 X + 5 a) X + 1 + X + 3 X + 3 b) 2jc + 3jc X — ỉ X - ỉ c) : 2 - 4jc - 2 *Jx— 2 = yỊx -2 ; d) 2x l — X - 3 V2jc-3 = \Ỉ2x - 3. 57 PHƯƠNG TRÌNH QUY VỂ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI _ » __ _ * _ * I - ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI 1. Phương trình bậc nhất Cách giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0 được tóm tắt trong bảng sau ax + b = 0(1) Hê • SO Kết luân • a * 0 (ỉ) CÓ nghiêm duy nhất X = a a = 0 b* 0 (1) Vớ nghiệm o II (1) nghiệm đúng với mọi X Khi a ^ 0 phương trình ax + b - 0 được gọi là phương trình bậc nhất một ẩn. i 1 Giải và biện luận phương trình sau theo tham số m m(x - 4) = 5x - 2. 2. Phương trình bậc hai Cách giải và công thức nghiệm của phương trình bậc hai được tóm tắt trong bảng sau ax 2 + bx + c = 0 (a ^ 0) (2) A - b 2 - 4ac Kết luân * A > 0 (2) có hai nghiệm phân biệt X, 2 = - ~ —— ’ 2 a A = 0 b (2) có nghiêm kép X - 2 a A < 0 (2) vô nghiệm 58 ũ 2 ' N Lập bảng trên với biệt thức thu gọn A\ 3. Định lí Vi-ét Nếu phương trình bậc hai ax + bx + c = 0 (a ^ 0) có hai nghiệm X\y x 2 thì b c Xị + x 2 = -’ x \ x 2 = a a Ngược lại, nếu hai số u và V có tổng u + V = s và tích uv = p thì u và V là các nghiệm của phương trình X 2 - Sx + p = 0. Ấ 3 / ^ Khẳng định "Nếu avà c trái dấu thì phương trình (2) có hai nghiệm và hai nghiệm đó trái dấu" có đúng không ? Tại sao ? II - PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI Có nhiều phương trình khi giải có thể biến đổi về phương trình bậc nhất hoặc bậc hai. Sau đây ta xét hai trong các dạng phương trình đó. 1. Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối Để giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối ta có thể dùng định nghĩa của giá trị tuyệt đối hoặc bình phương hai vế để khử dấu giá trị tuyệt đối. Vỉ dụ 1. Giải phương trình u - 3| =2x + 1. (3) Giai Cách 1 a) Nếu X > 3 thì phương trình (3) trở thành X - 3 =2x4- 1. Từ đó X = -4. Giá trị X = -4 không thoả mãn điều kiện X > 3 nên bị loại. __ 2 b) Nếu X < 3 thì phưọng trình (3) trở thành -X 4- 3 = 2x 4- 1. Từ đó X = -r • 3 59-. Giá trị này thoả mãn điều kiện X < 3 nên là nghiệm. 2 Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình là X = - 7 -. 3 Cách 2. Bình phương hai vế của phương trình (3) ta đưa tới phương trình hệ quả (3) => (x - 3) 2 = (2x + l) 2 => X 2 - 6x + 9 = Ax 2 + 4x + 1 => 3x 2 + lOx — 8 — 0. ... _ s 2 Phương trình cuối có hai nghiệm là X = -4 và X = — • Thử lại ta thấy phương trình (3) chỉ có nghiệm là X - — 3 Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình là X = — 3 2. Phương trình chứa ẩn dưới dâu căn Để giải các phương trình chứa ẩn dưới dấu căn bậc hai, ta thường bình phương hai vê để đưa về một phương trình hệ quả không chứa ẩn dưới dấu căn. Ví dụ 2. Giải phương trình sl2x -3 = X-2. (4) 3 Giải. Điều kiện của phương trình (4) là x > ~ Bình phương hai vế của phương trình (4) ta đưa tới phương trình hệ quả (4) => 2x - 3 = X 2 - 4x + 4 => X 2 - 6x + 1 = 0. Phương trình cuối có hai nghiệm là X = 3 + V2 và X = 3 - V2. Cả hai giá trị này đểu thoả mãn điều kiện của phương trình (4) , nhưng khi thay vào phương trình (4) thì giá trị X = 3 - V 2 bị loại (vế trái dương còn vế phải âm), còn giá trị X = 3 + V 2 là nghiệm (hai vế cùng bằng V 2 + 1). Kết luận. Vậy nghiệm của phương trình (4) là X = 3 + V2. 60 BÀI ĐOC THÊM PHƯƠNG TRÌNH BẬC n Sách giáo khoa bậc THCS và THPT đã trình bày công thức giải phương trình bậc nhất và phương trình bậc hai. Công thức giải phương trình bậc ba mang tên nhà Toán học l-ta-li-a Các-đa-nô, tuy nhiên Các-đa-nô chỉ là người lần đầu tiên công bố công thức đó trong cuốn sách "Nghệ thuật vĩ đại hay các quy tắc của Đại số học" xuất bản năm 1545. Tác giả của công thức đó là nhà Toán học l-ta-li-a tên là Tác-ta-gli-a (Nicolo Tartaglia, 1500 - 1557). Công thức Các-đa-nô cho các nghiệm của phương trình bậc ba ,v 3 + px + q = 0 là G. CÁC-ĐA-NÔ ịGiroỉamo Cardano , ỉ501 -1576) X — + Sau khi Tác-ta-gli-a tìm ra công thức này thì một học trò của Các-đa-nô là Phe-ra-ri (Ferrari, 1522 - 1565) đã tìm ra công thức giải phương trình bậc bốn, công thức này cũng đã được công bố trong cuốn sách của Các-đa-nô nêu trên. Sau đó nhiều nhà toán học đã cố gắng để tìm công thức giải phương trình bậc năm, nhưng phải đến Thế kỉ XIX hai nhà toán học trẻ tuổi là A-ben người Na-uy và Ga-loa người Pháp mới chứng minh được rằng không thể giải được bằng căn thức phương trình đại số tổng quát bậc cao hơn 4. Trong quá trình tìm cách giải phương trình đại số tổng quát bậc 5 bằng căn thức, A-ben đã giải thích tại sao các phương trình bậc 2, 3, 4 có thể giải được bằng căn thức, còn Ga-loa tìm ra điều kiện cần và đủ để một phương trình có bậc đã cho (có thể lớn hơn 4) giải được bằng căn thức. Công lao to lớn của Ga-loa qua công trình này là đã đặt nền móng cho Đại số hiện đại nghiên cứu các cấu trúc đại số như nhóm, vành, trường,... /V. A-BEN ịNieỉs Henrik Abeỉ, ỉ802 - Ỉ829) E. GA-LOA (Evariste Gaỉois, Ỉ8ỈỈ -Ỉ832) Bài tạp 1. Giải các phương trình 2 . 3. 4. 5. 6 . a) X 4- 3x 4- 2 2,x — 5 b) 2x + 3 24 x 2 -9 + 2 ; 2x + 3 4 ' x-3 x+3 c) \l3x - 5 = 3 ; d) V2x + 5 = 2. Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m a) m(x - 2) = 3x + 1 ; b) m X + 6 = 4x + 3m ; c) (2m + l)x - 2 m = 3x - 2. Có hai rổ quýt chứa số quýt bằng nhau. Nếu lấy 30 quả ở rổ thứ nhất đưa ^ ~ v 1 sang rổ thứ hai thì sổ' quả ở rổ thứ hai bằng 2- của bình phương số quả còn 3 lại ở rổ thứ nhất. Hỏi số quả quýt ở mỗi rổ lúc ban đầu là bao nhiêu ? Giải các phương trình a) 2x 4 - 7x 2 +5 = 0; b) 3x 4 + 2x 2 - 1 = 0. Giải các phương trình sau bằng máy tính bỏ túi (làm tròn kết quả đến chữ sổ' thập phân thứ ba) a) 2x l - 5x - 4 = 0 ; .2 b) — 3x + 4x + 2 — 0. 2 c) 3x^ + 7x + 4 = 0 ; d) 9x* - 6x - 4 = 0. Hướng dẫn cách giải câu a) : Nếu sử dụng máy tính CASIO fx-500 MS, ta ấn liên tiếp các phím MODE MODE 1 ► 2 2 II B 5 II (-) 4 II màn hình hiện ra Xj = 3.137458609. An tiẽp màn hình hiện ra x 2 = -0.637458608. Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ ba ta được nghiệm gần đúng của phương trình là Xj a; 3,137 và x 2 « -0,637. r Giải các phương trình a) |3x - 2| = 2x + 3 ; b) |2x - l| = |-5x - 2\ ; 62 \ X 1 — 3x 4- 1 c) " = -r- , ; d)\2x + 5| = X 2 + 5x + 1. 2x - 3 \x + l| 7. Giải các phương trình a) J5x + 6 - X - 6 ; b) V3 - X - Vx -h 2 + 1 Ị c)V2a: 2 + 5 = X + 2 ; d)yj4x 2 + 2x + 10 = 3* + 8. Cho phương trình 3;t 2 - 2 (m + l)x + 3m - 5 = 0. Xác định m để phường trình có một nghiệm gấp ba nghiệm kia. Tính các nghiệm trong trường hợp đó. PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIÊU Ẩn I - ÔN TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ HAI PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN 1. Phương trình bậc nhất hai ẩn Phương trinh bậc nhất hai ẩn X, y có dạng tổng quát là ax + by = c (1) trong đó a, b, c là các hệ số, với điều kiện a và b không đồng thời bằng 0 . ũ 1 ^ ^Cặp (1 ; -2) có phải là một nghiệm của phương trình 3x -2_y = 7 không ? Phương trình đó còn có những nghiệm khác nữa không ? CHÚ Ý a) Khi a = b = 0 ta có phương trình 0* + Oy = c. Nếu c * 0 thì phương trình này vô nghiệm, còn nếu c = 0 thì rriọi cặp số Ưo ; yo\ đều là nghiệm. 63 (2) b) Khi b * 0, phương trình ax + by = c trở thành ữ c y--.X + — b b Cặp số (xq ; y$) là một nghiệm của phương trình (1) khi và chỉ khi điểm M(x 0 ; y$) thuộc đường thẳng (2). Tổng quát, người ta chứng minh được rằng phương trình bậc nhất hai ẩn luôn luôn có vô số nghiệm. Biểu diễn hình học tập nghiệm của phương trình (ỉ) là một đường thẳng trong mặt phẳng toạ độ Oxy. Hãy biểu diễn hình học' tập nghiệm của phương trình 3x - 2y = 6. 2. Hệ hai phương trình bậc nhâ't hai ẩn (3) Hệ hai phương trình bậc nhất hai ân có dạng tổng quát là ỊơịX + bự = C] a 2 x + b 2 y = c 2 trong đó X , y là hai ẩn ; các chữ còn lại là hệ số. Nếu CỘP' số (jcq / y$) đồng thời là nghiệm của cả hai phương trình của hệ thì (JC0 ; jvq) được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (3). Giải hệ phương trình (3) là tìm tập nghiệm của nó. a) Có mấy cách giải hệ phương trình 4x -3y = 9 2x+ y = 51 b) Dùng phương pháp cộng đại số để giải hệ phương trình J 3x - 6ỵ = 9 \-2x + 4y = -3. CÓ nhận xét gì về nghiệm của hệ phương trình này ? II - HỆ BA PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT BA Ẩn Phương trình bậc nhất ba ẩn có dạng tổng quát là ax + by + cz = dy trong đó X, y, z là ba ẩn ; ứ, b , c, d là các hệ số và a , b , c không đổng thời bằng 0. Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn cố dạng tổng quát là ịoỵX + bợ + CịZ = dị + C 2 Z = d 2 (4) \ch>x + b^y + C 3 Z = d 3 trong đó X, y, z là ba ẩn ; các chữ còn lại là các hệ số. Mỗi bộ ba số (xq ; )>Q ; zq) nghiệm đúng cả ba phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ phương trình (4). a 2 x + b 2 y Chẳng hạn. r 17 3 3 \ ^ 4 là nghiệm của hệ phương trình còn 7 4 5 _\ l 2 ’ 2 ’ 2) 4 2) X + 3v — 2z = —1 4y + 3z = Ậ 2 2z = 3, là nghiệm của hệ phương trình X + 2y + 2z = — 2 2x + 3y + 5z = -2 -4x - ly + z = -4. Hệ phương trình (5) có dạng đặc biệt, gọi là hệ phương trình dạng tam giác. Việc giải hệ phương trình dạng này rất đơn giản. Từ phương trình cuối tính được z rồi thay vào phương trình thứ hai ta tính được y và cuối cùng thay z và y tính được vào phương trình đầu sẽ tính được Ố 4 /^Hãy giải hệ phương trình (5). 5.DAI SỐ 10-A 65 Mọi hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn đều biến đổi được về dạng tam giác, bằng phương pháp khử dần ẩn số . Chẳng hạn, sau đây là cách giải hệ phương trình (6). Giải. Nhân hai vế của phương trình thứ nhất của hệ (6) với -2 rồi cộng vào phương trình thứ hai theo từng vế tương ứng, nhân hai vế của phương trình thứ nhất với 4 rồi cộng vào phương trình thứ ba theo từng vế tương ứng, ta được hệ phương trình (đã khử X ở hai phương trình cuối) X + 2y + 2z = — 2 - y + z = -3 y + 9z = -2. Tiếp tục cộng các vế tương ứng của phương trình thứ hai và phương trình thứ ba của hệ mới nhận được, ta được hệ phương trình tương đương dạng tam giác i X + 2y + 2z = — 2 - y + z = -3 10 z = -5. Ta dễ dàng giải ra được Vậy nghiệm của hệ phương trình là , , (15 n {x-y-z)= V l l l) (*) Phương pháp này do nhà toán học Đức Gau-xơ (Gauss,. 1777 - 1855) tìm ra, nên cũng còn gọi là phương pháp Gau-xơ. 66 5.ĐAI SỐ 10-B BÀI ĐỌC THÊM Trong kho tàng văn hoá dân gian Việt Nam có bài toán 'Trăm trâu trăm cỏ" sau đây Trăm trâu trăm cỏ, Trâu đứng ăn năm, Trâu nằm ăn ba, Lụ khụ trâu già, Ba con một bó. Hỏi có bao nhiêu trâu đứng, bao nhiêu trâu nằm, bao nhiêu trâu già ? Giải . Gọi số trâu đứng là JC, số trâu nằm là y t số trâu già là z (x, y t z là những số nguyên dương nhỏ hơn 100). Ta có hệ phương trình JC + y + z = 100 5jc + 3 y + -Ị-z = 100. 3 Đây là hệ hai phương trình bậc nhất ba ẩn, nếu không tính đến điều kiện của ẩn thì hệ phương trình này có vô số nghiệm (nếu khử z ta được một phương trình bậc nhất của hai ẩn 7.V + 4y = 100). Tuy nhiên, vì x t y t z phải là những số nguyên dương nhỏ hơn 100, nên chỉ có một số hữu hạn nghiệm, cụ thể ở đây có ba nghiệm = 4 x 2 = 8 w 3 = 12 y\ = 18 T 2 = 11 ^3=4 Zị = 78 ; z 2 =81; z 3 = 84, Bài toán dân gian ở trên thuộc loại phương trình Đi-ô-phăng (mang tên nhà toán học cổ Hi Lạp là Diophante). 67 Bài tộp 1. Cho hệ phương trình ' Ix- 5y= 9 14x - 10y = 10. Tại sao không cần giải ta cũng kết luận được hệ phương trình này vô nghiệm ? Giải các hệ phương trình j 2x - 3y =1 X + 2 y = 3 ;■ 3x + 4y = 5 [4x -2y -2. 0,3x - 0,2y = 0,5 0,5x + 0,4y = 1,2. 3. 4. Hai bạn Vân và Lan đến cửa hàng mua trái cây. Bạn Vân mua 10 quả quýt, 7 quả cam với giá tiền là 17 800 đồng. Bạn Lan mua 12 quả quýt, 6 quả cam hết 18 000 đồng. Hỏi giá tiền mỗi quả quýt và mỗi quả cam là bao nhiêu ? Có hai dây chuyền may áo sơ mi. Ngày thứ nhất cả hai dây chuyền may được 930 áo. Ngày thứ hai do dây chuyền thứ nhất tăng năng suất 18%, dây chuyền thứ hai tăng năng suất 15% nên cả hai dây chuyền may được 1083 áo. Hỏi trong ngày thứ nhất mỗi dây chuyền may được bao nhiêu áo sơ mi ? Giải các hệ phương trình a) X 4 - 3y 4 - 2z — 8 2x + 2y + z = 6 3x + y + z = 6 ; X - 3y + 2z = -7 — 2x 4 - 4y 4 - 3z - 8 3x + y - z = 5. Một cửa hàng bán áo sơ mi, quần âu nam và váy nữ. Ngày thứ nhất bán được 12 áo, 21 quần và 18 váy, doanh thu là 5 349 000 đồng. Ngày thứ hai bán được 16 áo, 24 qụần và 12 váy, doanh thu là 5 600 000 đồng. Ngày thứ ba bán được 24 áo, 15 quần và 12 váy, doanh thu là 5 259 000 đồng. Hỏi giá bán mỗi áo, mỗi quần và mỗi váy là bao nhiêu ? Giải các hệ phương trình sau bằng máy tính bỏ túi (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai) *l 3 , r\. 4x + ly = -8 ; [ 5x + 2y = 4. 68 - X + 2y - 3z = 2 d) < 2x + y + 2z = -3 -2x - 3y + z = 5. 2* - 3y + 4z = -5 c) < -4.X + 5y - z = 6 3x + 4y-3z = 7 ; Hướng dẫn cách giải câu a) Nếu sử dụng máy tính CASIO fx-500 MS ta ấn liên tiếp dãy các phím MODEI [mÕDẼỊ 0 0 0 0 Ẽ3 @ E @ E 0 E [ĩ 3 00 E thấy hiện ra trên mán hình X = 0.048780487. Ấn tiếp phím = ta thấy màn hình hiện ray =-1.170731707. Làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai ta được nghiệm gần đúng của hệ phương trình là Ịx * 0,05 y * -1,17. Hướng dẫn cách giải câu c) Nếu sử dụng máy tính CASIO fx -500 MS ta ấn liên tiếp dãy các phím modeI ImodeI |T|ỊT|r2lP1|H|[T|[^1[4~|P1ỊH|ỊT|[r o 0 00 00000000003 T| |T| [T| |T _ _ _ ■ thấy hiện ra trên màn hình X = 0.217821782. Ấn tiếp phím = ta thấy màn hình hiện ra y = 1.297029703. An tiếp phím = trên màn hình hiện ra z =-0.386138613. Vậy nghiệm gần đúng của hệ phương trình là (làm tròn kết quả đến chữ sô' thập phân thứ hai) X « 0,22 < y « 1,30 z ss -0,39. V 69 ÔN TÂP CHƯƠNG III 1. Khi nào hai phương trình được gọi là tương đương ? Cho ví dụ. 2. Thế nào là phương trình hệ quả ? Cho ví dụ. 3. Giải các phương trình a) y/x - 5 + X = yỊx - 5 + 6 ; b) Vl - X + X = yjx - 1 + 2 ; c) X 2 8 yịx -2 yjx - 2 4. Giải các phương trình 3x + 4 1 4 a) X - 2 X + 2 x 2 -4 + 3 ; b) 3x z - 2x + 3 3jc — 5 2x-l = 2 c) \/x 2 - 4 = X - 1. Giải các hệ phương trình : -2x + 5y = 9 4x + 2y = 11 ; 2x - 3y = 5 3x + 2y = 8 ; d) 3 4- V 2 — X — 4x 2 — X + Vx — 3. 3x + 4y = 12 b) c 7 ‘ [5x-2y= 7 ; 5x + 3y = 15 d ) . ; [4x - 5y = 6. Hai công nhân được giao việc sơn một bức tường. Sau khi người thứ nhất làm được 7 giờ và người thứ hai làm được 4 giờ thì họ sơn được ^ bức 9 1 tường. Sau đó họ cùng làm việc với nhau trong 4 giờ nữa thì chỉ còn lại -4- bức tường chưa sơn. HỎỊ nếu mỗi người làm riêng thì sau bao nhiêu giờ mỗi người mới sơn xong bức tường ? Giải các hệ phương trình r f 2x - 3y + z = -7 -4x + 5_y + 3z = 6 X + 2_y — 2z = 5 ; b) . X + 4y — 2z = -2x + 3y + z = 3x + 8 y — z = 1 -6 12 . 70 8 . Ba phân số đều có tử sô là 1 và tổng của ba phân sô đó bằng 1. Hiệu của phân số thứ nhất và phân số thứ hai bằng phân số thứ ba, còn tổng của phân so thu nhat va phân sô thu hai băng 5 lan phan so thu ba. Tìm cac phân số đó. 9 . Một phân xuởng đuợc giao sản xuất 360 sản phẩm trong một số ngày nhất định. Vì phân xuởng tãng năng suất, mỗi ngày làm thêm đuợc 9 sản phẩm so với định mức, nên truớc khi hết hạn một ngày thì phân xuởng đã làm vuợt số sản phẩm đuợc giao là 5%. Hỏi nếu vẫn tiếp tục làm việc với năng suất đó thì khi đến hạn phân xuởng làm đuợc tất cả bao nhiêu sản phẩm ? 10 . Giải các phuơng trình sau bằng máy tính bỏ túi a) 5x 2 - 3x - 7 = 0 ; c) 0,2x 2 + l,2x - 1 = 0 ; 11 . Giải các phuơng trình a) \4x - 9\ = 3 - 2x ; b) 3x 2 + 4x + 1 = 0 ; d) yỈ2x 2 + 5x + 78 = 0. b) \2x + ll = |3x + 5 . 12 . Tìm hai cạnh của một mảnh vuờn hình chữ nhật trong hai truờng hợp a) Chu vi là 94,4 m và diện tích là 494,55 m 2 . b) Hiệu của hai cạnh là 12,1 m và diện tích là 1089 m 2 . 13 . Hai nguời quét sân. cả hai nguời cùng quét sân hết 1 giờ 20 phút, trong khi nếu chỉ quét một mình thì nguời thứ nhất quét hết nhiều hơn 2 giờ so với nguời thứ hai. Hỏi mỗi nguời quét sân một mình thì hết mấy giờ ? Bài tập trắc nghiệm Chọn phương án đúng trong các bài tập sau 1 /Ị ^ 14 . Điều kiện của phuơng trình X + 2 — , = ——-là \J~x + 2 x + l (A) JC > -2 và * -1 ; (B) x> -2 X < -7 3 (C) X > -2, A' * -1 và X < 7 - ; (D) X -2 và X * -1 71 15. Tập nghiệm của phương trình (w 2 + 2)x + 2 m X = 2 trong trường hợp m í- 0 là (B)0. (C) R ; (D) R \ {0}. 16. Nghiệm của hệ phương trình 3x - 5y = 2 [4x + 2y = 7 (A) (C) 39 3 ì V 26 ’ Ỉ3J ( 39 1V 126 ’ 2J ’ (B) (D) 17 _ -5^ _ < 13 ’ 13/ ’ '_Ị_ . 17 ^ V 3 ; 6 / 17. Nghiệm của hệ phương trình là (A)(-10 ; 7;9); (C) _Ị_' -9 . 5 l 4’ 2 ’ a) 3x - 2 y - 1=1 -4x + 3y - 2z =15 - X - 2y + 3z = -5 _ ( 3 (B) 4;-2 . \2 \ / (D) (-5 ; -7 ; -8). 72 BtiT ũímG mức. RÉÍT PHƯDT1G TRìrm ĐfíT ĐứriG mức flứT PRưữriG TRìriP Chương Hai nội dung cơ bản của chương là bất đẳng thức và bất phương trình. Các vấn đề này đã được học từ những lớp dưới. Chương này sẽ củng cố và hoàn thiện các kĩ năng chứng minh bất đẳng thức và giải bất phương trình. Ngoài các phép biến đổi tương đương, học sinh còn được học cách xét dấu nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai lầm cơ sở cho việc giải các bất phương trình và hệ bất phương trình. BẤT ĐANG thức _ I - ÔN TẬP BẤT ĐẲNG THỨC 1. Khái niệm bất đẳng thức âi V \ Trong các mệnh để sau, mệnh đề nào đúng~ a) 3,25 <4; b) -5 > -4- ; 4 c) -4Ĩ < 3 ? Ằrhnn dAl thích / ™ Chọn dấu thích hợp (=, <, >) để khi điền vào ô vuông ta được một mệnh đề đúng. a) 2 V 2 Q 3 ; 4 |—I 2 b) -- ; 3 1 — 3 c) 3 + 2>/2 Q (1 + V 2) 2 ; d) a 2 + 1 0 với a là một số đã cho. Các mệnh đề dạng "a < b" hoặc "a > b" được gọi là bất dẳng thức. 2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng thức tương đương Nếu mệnh đê "a c < d" đúng thì ta nói bất đẳng thức c < d là bất đẳng thức hệ quả của bă't đẳng thức a c < d. Chẳng hạn, ta đã biết a a < c (tính chất bắc cầu). a < b, c tuỳ ý=>a + c c < d. ẤL 8 - r »„ 9 ,< lo ,K t . 3. Tính chất của bất đẳng thức Như vậy để chứng minh bất đẳng thức a < b ta chỉ cần chứng minh a - b < 0. Tổng quát hơn, khi so sánh hai số, hai biểu thức hoặc chứng minh một bất đẳng thức, ta có thể sử dụng các tính chất của bất đảng thức được tóm tắt trong bảng sau Tính chất Tên gọi Điều kiên ♦ Nội dung a<b<^>a + c 0 a ac < bc Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số c < 0 a ac > bc a<bvằc<d=>ơ + c 0, c > 0 a ac < bd Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều ne N* a<b^ a 2n+i 0 a<b& a 2n 0 a \fã < \fb Khai căn hai vế của một bất đẳng thức a ¥ã <3fb jk* .. . . . v “ Nêu ví dụ áp dụng một trong các tinh chất trên. 75 CHÚ Ý Ta còn gặp các mệnh đề dạng a b. Các mệnh dề dạng này cũng dược gọi là bất dẳng thức. Để phân biệt, ta gọi chúng là các bất đẳng thức không ngặt và gọi các bất dẳng thức dạng a b là các bất đẳng ihức ngặt. Các tính chất nêu trong bảng trên cũng dứng cho bất dẳng thức không ngặt. II - BẤT ĐẲNG THỨC GIỮA TRUNG BÌNH CỘNG VÀ TRUNG BÌNH NHÂN (BẤT ĐANG thức CÔ-SI) 1. Bất đẳng thức Cô-si^ ĐỊNH LÍ Chứng minh Ta có yfãb- = -ị(ứ + b - 2 yfãb) = -ị(Jã - yỉb) 2 <0. 2 2 2 • Vậy 4ãb < 2 ' Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ( yỉã - yỊb Ý = 0, tức là khi và chỉ khi a = b. 2. Các hệ quả HỆ QUẢ 1 ^ Tổng cuã một sốdữỡng với nghịch đảo của nó lớn hơn ~hõạc ^ bằng 2. a + — > 2, Vứ > 0. v___ a _ ____ ) (*) Augustin Louis - Cauchy, 1789 - 1857. 76 HỆ QUẢ 2 Chứng minh. Đặt s = X + y. Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có .2 y[xỹ < X + y s . .. . s = — , do đó xy < 2 2 4 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi X = y = . ỏ , s Vậy tích xy đạt giá trị lớn nhất bằng —— khi và chỉ khi X = y = -- 4 2 -Ý NGHĨA HÌNH HỌC Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất (h.26). Ả B 1 cm 2 / D c H G Hỉnh 26 HỆ QUẢ 3 ( - 1 l ^1 Nếu X, y cùng dương và có tích không đổi thì tổng X + y nhỏ nhất khi và chỉ khi X = y. Ý NGHĨA HÌNH HỌC Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu ví nhỏ nhất (h.27). 77 5 Hãy chứng minh hệ quả 3. Hình 27 III - BẤT ĐẲNG THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT Đối 4« / ^ Nhắc lại định nghĩa giá trị tuyệt đối và tính giá trị tuyệt đối của các sô' sau a) 0 ; b) 1,25 ; c) d) -n. Từ định nghĩa giá trị tuyệt đối, ta có các tính chất cho trong bảng sau Ví dụ. Cho X e [-2 ; 0]. Chứng minh rằng ụ + ll < 1. • 2 * Giai X e [-2 ; 0] => -2 < JC < 0 =>-2+1<jc+1<0+1 => -1 < x+ 1 < 1 => \x + ll < 1. 78 Bài tập 1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng với mọi giá trị của X ? a) 8x > 4x ; .. b) 4 jc > 8jc ; c)8x 2 >4x 2 ; d)8+x>4 + x. 2. Cho số X > 5, số nào trong các số sau đây là số nhỏ nhất ? 5 „ 5 „ 5 ^ X A — — Ị B — — + 1 ; c — — — 1 ’ D — —• XXX 5 3. Cho a, b, c là đô dài ba cạnh của một tam giác. a) Chứng minh (b - c) < a 2 ; 2 2 2 s* / I I b) Từ đó suy ra ứ + b + c <2 ( ơb + bc + ca). 4. Chứng minh rằng X 2 + y 3 > x 2 y + xý 2 , Vx > 0, Vy > 0. 5. Chứng minh rằng X 4 - V? + X - yfx + 1 > 0, Va: > 0. Hướng dẫn. Đặt yfx = t, xét hai trường hợp 0 < A < 1 ; A > 1. 6. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, trên các tia Ox và Oy lần lượt lấy các điểm A và B thay đổi sao cho đường thẳng AB luôn tiếp xúc với đường tròn tâm o bán kính 1. Xác định toạ độ của A và B để đoạn AB có độ dài nhỏ nhất. H SỬ Cô-si là nhà toán học Pháp, ông nghiên cứu nhiều lĩnh vực Toán học khác nhau, công bố hơn 800 công trình về số học, Lí thuyết số, Đại số, Giải tích toán học, Phương trình vi phân, Cơ học lí thuyết, Cơ học thiên thể, Vật lí toán. Các công trình của Cô-si cho thấy rõ nhược điểm của việc dựa vào trực giác hình học để suy ra các kết quả tế nhị của Giải tích. Ổng định nghĩa một cách chính xác các khái niệm A. CÔ-SỈ giới hạn và liên tục của hàm số. ồng xây dựng một cách chặt (Augusíin LOUỈS Cauchy, c hẽ |_í thuyết hội tụ của chuỗi, đưa ra khái niệm bán kính hội tu. 1789 - ỉ857) 79 ổng định nghĩa tích phân là giới hạn của các tổng tích phân và chứng minh sự tồn tại tích phân của các hàm số liên tục. Ông phát triển cơ sỏ của Lí thuyết hàm sô biến sô phức, về Hình học, về Đại số, về Lí thuyết số, về Cơ học, về Quang học, về Thiên văn học, Cô-si đều có những cống hiến lớn lao. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT Ẩn 4 _•_ I - KHÁI NIỆM BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT Ẩn 1. Bất phương trình một ẩn ầ 1 / ® Cho một ví dụ về bất phương trình một ẩn, chỉ rõ vế trái và vế phải của bất phương trình này. Bất phương trình ẩn X là mệnh đê chứa biến có dạng f(x)<g(x) ự(x)<g(x)) (1) trong đó f{x) và g(x) là những biểu thức của X . Ta gọi jịx) và g(x) lần lượt là vế trái và vế phải của bất phương trình (1). Sô'thực Xq sao cho f(x 0 ) < g(x Q ) ự(x 0 ) < g(x Q )) là mệnh đê đúng được gọi là một nghiệm của bái phương trình ( 1 ). Giải bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó, khi tập nghiệm rỗng thì ta nói bất phương trình vô nghiệm. CHÚ Ý Bất phương trình (1) cũng có thể viêt lại dưới dạng sau SƯ) >/00 (sOO ^/00). 80 M 2 /\cho bất phương trình 2x < 3. a) Trong các số ~yx ; 2-7 ; 71 ; vTÕ số nào là nghiệm, số nào không là nghiệm của bất 2 ' phương trình trên ? b) Giải bất phương trình đó và biểu diễn tập nghiệm của nó trên trục số. 2. Điểu kiện của một bất phương trình Tương tự dối với phương trình, ta gọi các điều kiện của ẩn số X để f(x) và g(x) có nghĩa là điều kiện xác định (hay gọi tắt là điều kiện) của bất phương trình (1). Chẳng hạn điều kiện của bất phương trình ■>/3 — X \j X -+- 1 ^ X là3-x>0vàx+l>0. 3. Bất phương trình chứa tham số Trong một bất phương trình, ngoài các chữ đóng vai trò ẩn số còn có thể có các chữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham sổ. Giải và biện luận bất phương trình chứa tham số là xét xem với các giá trị nào của tham số bất phương trình vô nghiệm, bất phương trình có nghiệm và tìm các nghiệm đó. Chẳng hạn (2 m - l)x + 3 < 0 X 2 - mx + 1 > 0 có thể được coi là những bất phương trình ẩn X tham số m. II - HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT Ẩn • ■ „ Hệ bất phương trình ẩn X gồm một số bất phương trình ẩn X mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi giá trị của X đồng thời là nghiệm của tất cả các bất phương trình của hệ được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nó. Để giải một hệ bất phương trình ta giải từng bất phương trình rồi lấy 'giao của các tập nghiệm. 6,ĐẠI SỔ 10-A 81 Ví dụ 1. Giải hệ bất phương trình í3 - X > 0 \x + 1 > 0. V. Giải. Giải từng bất phương trình ta có 3-x>0<=>3>x X + 1 >0 <=> X > -1. Biểu diễn trên trục số các tập nghiệm của các bất phương trình này ta được 3 Tập nghiêm của 3 - X > 0 - X Tập nghiệm của X + 1 > 0 - ► -1 JC ' Giao của hai tập hợp trên là.đoạn [-1 ; 3]. Vậy tập nghiệm của hệ là [-1 ; 3] hay còn có thể viết là -1 < X < 3. III - MỘT SỐ PHÉP BIẾN ĐỔI BÂT phương trình 1. Bất phương trình tương đương ẤL k„ V ^1 Hai bất phương trình trong ví dụ 1 có tương đương hay không ? Vì sao ? Ta đã biết hai bất phương trình có cùng tập nghiêm (có thể rỗng) là hai bất phương trình tương đương và dùng kí hiệu để chỉ sự tương đương của hai bất phương trình đó. Tương tự , khi hai hệ bất phương trình có cùng một tập nghiệm ta củng nói chúng tương đương với nhau và dùng kí hiệu để chỉ sự tương đương đó. 2. Phép biến đổi tương đương Đê giải một bất phương trình (hệ bất phương trình) ta liên tiếp biến đổi nó thành những bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương cho đến khi được bất phương trình (hệ bất phương trình) đơn giản nhất mà ta có thê viết ngay tập nghiệm. Các phép biến đổi như vậy được gọi là các phép biến đôi tương đương . 82 6.ĐẠI SỐ 10-B Chẳng hạn khi giải hệ bất phương trình trong ví dụ 1 ta có thể viêt f3-x > 0 [x + 1 > 0 <=> <»-1 < -V < 3. Dưới đây ta sẽ lần lượt xét một số phép biến đổi thường sử dụng khi giải bất phương trình. 3. Cộng (trừ) Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương. P(x) < Q(x) o P(x) +f(x) < Q(x) +f(x) Ví dụ 2. Giải bất phương trình (x + 2)(2x - l) - 2 < X 2 + (x - 1 )(jc + 3). Phân tích bài toán Khai triển và rút gọn từng vế ta được bất phương trình 2x 2 + 3x - 4 < 2X 2 + 2x - 3. Chuyển vế và đổi dấu các hạng tử của vế phải bất phương trình này (thực chất là cộng hai vế của bất phương trình với biểu thức -(2x + 2x - 3) ta được một bất phương trình đã biết cách giải. Giai (x + 2)(2x - 1) - 2 < X 2 + (JC - ÌX* + 3) <=> 2x 2 + 4x-x-2-2<x 2 +x 2 -x + 3x-3 <=> 2x 2 + 3x - 4 < 2x 2 + 2x - 3 <=> 2x 2 + 3x - 4 - (2x 2 + 2x - 3) ^ 0 <=>*- 1 <0 X < l. Vậy tập nghiệm của bất phương trình là (-00 ; 1]. Nhận xét. Nếu cộng hai vế của bất phương trình P(x) < Q(x) +f(x) với biểu thức -f(x) ta dược bất phương trình P(x) -f(x) < Q(x). Do đó P(x) < Q(x) +f(x) « P(x) -f(x) < Q(x). 83 Như vậy chuyển vế và đổi dấu một hạng tử trong một bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương. 4. Nhân (chia) Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị dường (mà không làm thay đổi điều kiện của bất phương trình) ta được một bất phương trình tương đương. Nhân (chia) hai vế của bất phương trình với cùng một biểu thức luôn nhận giá trị âm (mà không làm thay dổi diều kiện của bất phương trình) và đổi chiều bất phương trình ta được một bất phương trình tương đương. P(x ) < Q(x ) <=> P(x).f(x) < Q(x).f(x) nếu f(x) > 0, Vx P(x) < Q(x) <=> P(x).f(x) > Q(x).f(x) nếu f(x) < 0, Vjc / Ví dụ 3 . Giải bất phương trình 2 2 X + X + 1 X + X 2 7 2 7' X + 2 X + 1 Phân tích bài toán. Mẫu thức của hai vế bất phương trình là những biểu thức luôn dương. Nhân hai vế của bất phương trình với hai biểu thức luôn dương đó, ta được một bất phương trình tương đương. Giai 2 2 X + A + 1 X + X - 7 ' > 7 x z +2 X 2 + 1 <=> (x 2 + X + ỉ)(x 2 + 1) > (x 2 + x){x“ + 2) 4 , 3 , ~2- . 4 3 , -2 • oa: + X +2x +a:+1>a + X +2x + 2x 4 , 3 -2 _ , 4 3 ~2 „ ox + X +2x + X + 1 - X - X —2x -2a>0 »-jí+1>0ok1. Vậy nghiệm của bất phương trình là X < 1. 5. Bình phương Bình phương hai vế của một bất phương trình có hai vế không âm mà không làm thay đổi điêu kiện của nó ta được một bất phương trình tương đương. P(x) < Q(x) o p 2 (x) < Q 2 (x) nếu P(x) > 0, Q(x) > 0, Va 84 Ví dụ 4. Giải bất phương trình \[x 2 + ~2x + 2 > V* 2 -2x + 3. Giải. Hai vế bất phương trình đều có nghĩa và dương với mọi- X. Bình phương hai vế bất phương trình này ta được (V.X 2 +2x + 2 ) > (V* 2 - 2jc + 3 ) <=> X + 2x + 2 > .V — 2x + 3 <=> 4x > 1 . 1 <=>.*>—■ 4 Vậy_nghiệm của bất phương trình là X > -7- 4 6. Chú ý t Trong quá trình biến đổi tnột bất phương trình thành bất phương trình tương đương cần chú ý những điều sau ' ỉ) Khi biến đổi các biểu thức ở hai vế của một bất phương trình thì diều kiện của bất phương trình có thể bị thay đổi. Vì vậy, để tìm nghiệm của một bất phương trình ta phải tìm các giá trị của X thoả mãn điều kiện của bất phương trình đó và là nghiệm của bất phương trình mới. Ví dụ 5. Giải bất phương trình 5x + 2V3 - ~x 4 Giải. Điều kiện 3 - À' > 0. Ta có 5x + 2V3 - ~x . X . 4 — 3-^3 - X 1 > — -7-- 4 6 - X 4 - 3yj3 - X - 1 > —--- 4 6 53f \Ỉ3 - X o — +■——— 4 2 . X 2 ỵj3 - X 4 3 2 5x y/3-X « - 7 - + — 7 — 4 2 => X - -7 > 0. 3 X 2 yj 3 - X 1 - — + —- _ > 0 4 3 2 85 Kết hợp với điều kiện của bất phương trình, ta có nghiệm của bất phương trình là nghiệm của hệ X - -ị- > 0 3 3 - * > 0. Hệ bất phương trình này có nghiệm là ^ < * < 3. Kết luận. Nghiệm của bất phương trình đã cho là -ị- < X < 3. 3 2) Khi nhăn (chia) hai vế của bất phương trình P(x) < Qự) với biểu thức f(x) ta cần lưu ý đến điều kiện về dấu của f(x). Nếu f(x) nhận cả giá trị dương lẫn giá trị âm thì ta phải lần lượt xét từng trường hợp. Mỗi trường hợp dẫn đến một hệ bất phương trình. Ta minh hoạ điều này qua ví dụ sau. Ví dụ 6. Giải bất phương trình ——— > 1. X - 1 Giải. Điều kiện X * 1 . a) Khi * - 1 < 0 (tức là *.< 1) ta có ——— < 0. Do đó trong trường hợp này X - 1 mọi * < 1 đều không là nghiệm của bất phương trình hay bất phương trình vô nghiệm. b) Khi * - 1 > 0 (tức là X > 1), nhân hai vế của bất phương trình đã cho với * - 1 ta được bất phương trình tương đương 1 > X - li Như vậy trong trường hợp này nghiệm của bất phương trình đã cho là nghiệm của hệ Jl > x-l 1 X > 1 . Giải hệ này ta được nghiệm là 1 < < 2. Kết luận. Nghiệm của bất phương trình đã cho là 1 < X < 2. 3) Khi giải bất phương trình P(x) < Q(x) mà phải bình phương hai vế thì ta lần lượt xét hai trường hợp : a) P(x), Q(x) cùng có giá trị không âm, ta bình phương hai vế bất phương trình. b) P(x), Q(x) cùng có giá trị âm ta viết P(x) < Q(x) o - Q(x) < -P(x) rồi bình ph ương hai vế bất ph ương trình mới. Ví dụ 7. Giải bất phương trình 2 ,17 1 X + —— > X + _ . 4 2 Giải. Hai vế của bất phương trình có nghĩa với mọi X. a) Khi X + — < 0 (tức là X < vế phải của bất phương trình âm, vế trái 2 2 dương nên trong trường hợp này mọi X < đều là nghiệm của bất phương trình. b) Khi X + — > 0 (tức là X > ), hai vế của bất phương trình đã cho đều 2 2 không âm nên bình phương hai vế của nó ta được bất phương trình tương 2 17 2 1 đương X + — > X + X + —. Như vậy, nghiệm của bất phương trình đã cho trong trường hợp này là nghiệm của hệ ',ĩ-i 2 2 , 17 2 .... 1 X + —— > X + X + —. / 4 4 Giải hệ này ta được nghiệm là --- < X < 4. Tổng hợp lại, nghiệm của bất phương trình đã cho bao gồm * 1 ~ 1 ^ _ . JC<-— và-—<JC<4. 2 2 \ Kết luận. Nghiệm của bất phương trình đã cho là X < 4. Bài tạp Tim các giá trị X thoả mãn điều kiện của mỗi bất phương trình sau X X + \ b) 1 < 2x X 2 -4 X 2 - 4x + 3 c) 2\x\ - l + Vx - 1 < 2x X + 1 d) 2y/l - X > 3x + 1 X + 4 87 2. Chứng minh các bất phương trình sau vộ nghiệm a) X + yỊ X + 8 ^ — 3 b) ựl + 2(* - 3) 2 + ^5-4x + X 2 < I; Vi c) VI + - yĩ+x 2 > 1. 3. Giải thích vì sao các cặp bất phương trình sau tương đương ? a) -4x + 1 > 0 và 4x - 1 < 0 ; b) 2x 2 + 5 < 2x - 1 và 2x 2 - 2x + 6 < 0 ; c) x+l>0 vàx+l + —— > X 2 + 1 X 2 + 1 d) yfx - 1 > X và (2x + 1) Vx - 1 > X (2x + 1). 4. Giải các bất phương trình sau , 3x + 1 X - 2 1 - 2x a) — -—- < ——— b) (2x - l)(x + 3) - 3x + 1 < (x - l)(x + 3) + X 2 - 5 5. Giải các hệ bất phương trình a) 6x + ^ < 4x + 7 7 8x + 3 < 2x + 5 ; b) 15x - 2 > 2x + — 3 2(x - 4) < 3* - 14 88 DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT _ * * I - ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT 1. Nhị thức bậc nhâ't • 0 và biểu diễn trên trục số tập nghiệm của nó. b) Từ đó hãy chỉ ra các khoảng mà nếu X lấy giá tri trong đó thì nhị thức f(x) = -2x + 3 có giá trị Trái dấu với hệ số của X ; Cùng dấu với hệ số của X, 2. Dâu của nhị thức bậc nhât • * ĐỊNH LÍ Nhị thức f(x) =ax + b có giá trị cùng dấu với hệ sô' a khỉ X f h ' lấy các giá trị trong khoảng —; +00 \ a J r khỉ X lấy các giá trị trong khoảng , trái dấu với hệ sô a 1 > \ b — 00 ;- V aj í Chứng minh . Ta cọ f(x) = ax + h = a X + — V aj í Với x> - — thì X +— > 0 nên f(x) = a a a \ X + — V aj cùng dấu với hệ số a í \ Với X < - — thì X + — < 0 nên f(x) = a a a X H- V aj trái dấu với hệ số a. 89 Các kết quả trên được thể hiện qua bảng sau X b — 00 —— +00 a /( x) = ax + b trái dấu với a 0 cùng dấu với a Ta gọi bảng này là bảng xét dấu nhị thức f(x) = ax + b. Khi X = nhị thức f{x) = ax + b có giá trị bằng 0, ta nói số Xq a nghiệm của nhị thức/00. Nghiệm Xq = - — của nhị thức chia trục số thành hai khoảng (h.28). Hình 28 Minh hoạ bằng đồ thị 3. Ap dụng Ã* vXét dấu các nhị thức f(x) = 2>x + 2, g(x) = ~2x + 5. Ví dụ 1. Xét dấu nhị thức/00 = fnx - 1 với m là một tham số đã cho. Giải. Nếu /77 — 0 thì/00 = -1 < 0, với mọi X. . 0 , . „ 1 Nếu m * 0 thì/(jí) là một nhị thức bậc nhất có nghiệm Xn = — . m 90 Ta có'bảng xét dấu nhị thức/Cx) trong hai trường hợp m > 0, m < 0 như sau m > 0 X — 00 1 m + 00 /w — 0 ■ + m < 0 X 1 — 00 — +00 m — + 0 II - XÉT DẤU TÍCH, THƯƠNG CÁC NHỊ THỨC BẬC NHẤT Giả sửf(x ) là một tích của những nhị thức bậc nhất. Áp dụng định lí vê' dấu của nhị thức bậc nhất có thể xét dấu từng nhân tử. Lập báng xét dấu chung cho tất cả các nhị thức bậc nhất có mặt trong f(x) ta suy ra được dấu của f(x). Trường hợp f(x) là một thương cũng được xét tương tự. Ví dụ 2. Xét dấu biểu thức f(x) J ix - + 2) . -3x + 5 Giải f(x) không xác định khi JC = ^. Các nhị thức 4x - 1, X + 2, -3x + 5 có các nghiệm viết theo thứ tự tăng là -2 ; -7 ; 7 . Các nghiêm này chia khoảng 4 3 ' (- 00 ; 4- 00 ) thành bốn khoảng, trong mỗi khoảng các nhị thức đang xét có dấu hoàn toàn xác định. JC 1 5 — 00 —2 — “ +00 4 3 4jc- 1 — '0 + + X + 2 - 0 + + + -3x + 5 + + + 0 - /U) + 0 - 0 + — 91 Từ bảng xét dấu ta thấy f(x) > 0 khi X e (- 00 ; -2) hoặc X € / 1 c\ 1 . 5 V4 ; 3 / í 0 ( 5 3 -2 ; - hoặc X e — ; + 00 4 J b J f(x) = 0 khi X = -2 hoặc A' = — • J 4 5 .,• f(x) không xác định khi X = -r (trong bảng kí hiệu bởi II) Xét dấu biểu thức f(x) = (2r - 1)(—X + 3). III - ÁP DỤNG VÀO GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH Giải bất phương trình f(x) > 0 thực chất là xét xem biểu thức/(x) nhận giá trị dương với những giá trị nào của JC (do đó cũng biết f(x) nhận giá trị âm với những giá trị nào của x), làm như vậy ta nói đã xét dấu biểu thức f(x). 1. Bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu thức Ví dụ 3 . Giải bất phương trình 1 - X GiảL Ta biến đổi tương đương bất phương trình đã cho —!— > 1 o —— - 1 > 0 o - 2 — > 0. ỉ - X \ - X ỉ - X Xét dấu biểu thức f(x) = ——— ta suy ra nghiệm của bất phương trình đã 1 - X cho là 0 < A < 1. ^4 ^ Giải bất phương trình X 3 - 4x < 0. 92 Bât phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối Một trong những cách giải bất phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối là sử dụng định nghĩa để khử dấu giá trị tuyệt đối. Ta thường phải xét bât phương trình trong nhiều khoảng (nửa khoảng, đoạn) khác nhau, trên đó các biểu thức nằm trong dấu giá trị tuyệt đối đều có dấu xác định. Ví dụ 4. Giải bất phương trình -2x + l| + JC - 3 < 5. /^1 • J > * Giai. Theo định nghĩa giá trị tuyệt đối ta có —2x + l| -2x + 1 nếu -2x + 1 > 0 -(-2x + 1) nếu -2x + 1 < 0. Do đó ta xét bất phương trình trong hai khoảng a) Với X < ta có hệ bất phương trình X < -7 2 (— 2x 4- 1) + X — 3 <c 5 \x < j- hay ị 2 -X < 7 Hệ này có nghiệm là -7 < X < j-- b) Với X > ^ ta có hệ bất phương trình X > — 2 (2jc - 1) + X - 3 < 5 hay X > — 2 X < 3. Hệ này có nghiệm là < X < 3. Tổng hợp lại tập nghiệm của bất phương trình đã cho là hợp của hai khoảng Kết luận. Bất phương trình đã cho có nghiệm là -7 < X < 3. 93 Bằng cách áp dụng tính chất của giá trị tuyệt đôi (§1) ta có thê dễ dàng giải các bất phương trình dạng |/(x)| < a và / |/(x)| > a với a> 0 đã cho - Ta có ( -^ \f(x)\ < a <=> -a <f(x) < a ' ,' , _ (ữ>0) ^ |/Q)| > a <=>/(*) < -ạ hoặc f{x) > ạ. _^ Bài tộp Xét dấu các biểu thức a )f(x) = (2x - 1)(JC + 3) c) /( x) = ——- —-— ; 3jc + 1 2 - X Giải các bất phưcmg trình , 2^5 a) ——- < ; X - ỉ 2x - 1 X X + 4 X + 3 3. Giải các bất phương trình a) \5x-4\>6 ; b) f(x) = (~3x - 3)(x + 2)(x + 3) ; d)f(x) = 4x I 2 - 1. 1 ■ 1 7 ^ . 9 ’ x + ỉ (x-ỉỹ X 2 - 3jc + 1 < 1. -5 X + 2 < X - ỉ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI Ẩn I - BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHÂT hai Ẩn Ta cũng gặp những bất phương trình nhiều ẩn số, chẳng hạn 2x + - z < 3 ; 3x + 2y < ỉ. Khi X = -2, y = 1, z - 0 thì vế trái bất phương trình thứ nhất có giá trị nhỏ hơn vế phải của nó, ta nói bộ ba số (jc ; y ; z) = (-2 ; 1 ; 0 ) là một nghiệm của bất phương trình này. 94 Tương tự, cặp số (x ; y) = (1 ; -2) là một nghiệm của bất phương trình thứ hai. Bát phương trình bậc nhất hai ẩn X, y có dạng tông quát là ax + by < c (1) (ax + by < c ; ax + by > c ; ax + by > c) trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0 , X và y là các ẩn số. II - BIỂU DIỄN TẬP NGHIỆM CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI AN - Cũng như bất phương trình bậc nhất một ẩn, các bất phương trình bậc nhất hai ẩn thường có vô số nghiệm và để mô tả tập nghiệm của chúng, ta sử dụng phương pháp biểu diễn hình học. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tập hợp các điểm có toạ độ là nghiệm bất phương trình ( 1 ) được gọi là miền nghiệm của nó. Người ta đã chứng minh được rằng trong mặt phẳng toạ độ Oxy, đường thẳng ax + by = c chia mặt phẳng thành hai nửa mặt phẳng, một trong hai nửa mật phẳng đó là miền nghiệm của bất phương trình ax + by < c, nửa mặt phẳng kiạ là miền nghiệm của bất phương trình ax + by> c. Từ đó ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) của bất phương trình ax + by < c như sau (tương tự cho bất phương trình ax + by > c) Bước 1. Trên mặt phẳng toạ độ Oxy, vẽ đường thẳng A : ax + by = c. Bước 2. Lấy một điểm MAxq^q) không thuộc A (tơ thường lấy gốc toạ độ O) Bước 3. Tính ơXq + /n' () và so sánh ax Q + by 0 với c. 1 Bước 4. Kết luận * Nếu ữXn + byQ < c thì nửa mặt phẳng bờ A chứa M 0 là miền nghiệm của ax + by < c. Nếu ax Q + byQ > c thì nửa mặt phẳng bờ A không 'chứa Mq là miền nghiệm của ax + by < c. 95 CHÚ Ý Miền nghiệm của bất phương trình ax + by < c bỏ đi đường 9 " thăng ax + by = c là miền nghiệm của bất phương trình ax + by < c. Ví dụ 1. Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn 2x + ỵ < 3. • 2 ĩ Giái Vẽ đường thẳng A : 2x + y = 3. Lấy gốc toạ độ 0(0 ; 0), ta thấy o Ễ A và có 2.0 + 0 < 3 nên nửa mặt phẳng bờ A chứa gốc toạ độ o là miển nghiệm của bất phương trình đã cho (miền không bị tô đậm trong hình 29). Biểu diên hình học tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn -3x + 2y > 0 . Hình 29 III - HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI Ẩn T ương tự hệ bất phương trình một ẩn Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn X, y mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho. Cũng như bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn. Ví dụ 2. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn 3x + y < 6 X + y < 4 x>0 y>Ò. 96 Giải. Vẽ các đường thẳng (d|) : 3x + y = 6 (d 2 ) X + y = 4 (d 3 ) : X = 0 (trục tung) (d 4 ) : y = 0 (trục hoành). Vì điểm Mq( I ; 1) có toạ độ thoả mãn tất cả các bất phương trình trong hệ trên nên ta tô đậm các nửa mặt phẳng bờ (dị), (d 2 ), (d 3 ), (d 4 ) không chứa điểm Mq. Miền không bị tô đậm (hình tứ giác OCIA kể cả bốn cạnh AI, IC, CO, OA) trong hình vẽ (h.30) là miền nghiệm của hệ đã cho. ũ 2 ., /\Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn Í2.V - y < 3 2 A‘ +' 5 V 5Í 12 A' + 8. V ' IV - ÁP DỤNG VÀO BÀI TOÁN KINH TẾ Giải một số bài toán kinh tế thường dẫn đến việc xét những hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn và giải chúng. Loại bài toán này được nghiên cứu trong một ngành toán học có tên gọi là Quy hoạch tuyến tính. Sau đây ta sẽ xét một bài toán đơn giản thuộc loại đó. Bài toán . Một phân xưởng có hai máy đặc chủng M|, M 2 sản xuất hai loại sản phẩm kí hiệu là I và II. Một tấn sản phẩm loại I lãi 2 triệu đồng, một tấn sản phẩm loại II lãi 1,6 triệu đồng. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại I phải dùng máy Mị trong 3 giờ và máy M 2 trong 1 giờ. Muốn sản xuất một tấn sản phẩm loại II phải dùng máy Mị trong 1 giờ và máy M 2 trong 1 giờ. Một máy không thể dùng để sản xuất đồng thời hai loại sản phẩm. Máy My làm việc không quá 6 giờ trong một ngày, máy M 2 một ngày chỉ làm việc không quá 4 giờ. Hãy đặt kế hoạch sản xuất sao cho tổng số tiển lãi cao nhất. Giải. Gọi A\ y theo thứ tự là số tấn sản phẩm loại I, loại II sản xuất trong một ngày (x > 0, ỵ > 0). Như vậy tiền lãi mỗi ngày là L = 2x + l ,6y (triệu đồng) và số giờ làm việc (mỗi ngày) của máy M] là ĩx + y và máy M 2 là X + y. 7.ĐAI SÔ 10-A 97 % Vì môi ngày máy Mị chỉ làm việc không quá 6 giờ, máy Mo nên X, y phải thoả mãn hệ bất phương trình 3x + y < 6 „Y + y < 4 ' X > 0 y > 0. Bài toán trở thành Trong các nghiêm của hệ bất phương trình (2), tìm nghiệm (x =i XQ ; y = y 0 ) sao cho L-2x+ 1,6 y lớn nhất. Miền nghiệm của hệ bất phương trình (2) là tứ giác OAIC kể cả miền trong (gọi là miền tứ giác OAỈC) xem ví dụ ở mục III hình 30. Người ta chứng minh dược rằng biểu thức L = 2x + l,6y đạt được giá trị lớn nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác OAIC (xem bài đọc thêm). Tính giá trị của biểu thức L - 2x + l ,6y tại tất cả các đỉnh của tứ giác OAIC, ta thấy L lớn nhất khi X = 1 , y = 3. Vậy đế có sô tiền lãi cao nhất, mỗi ngày cần sản xuất 1 tấn sản phẩm loại I và 3 tấn sán phẩm loại II. không quá 4 giờ ( 2 ) BÀI ĐOC THÊM PHƯƠNG PHÁP TÌM CỰC TRỊ CỦA BIỂU THỨC F = a x + by TRẼN MỐT MIỀN ĐA GIÁc_ Bài toán. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = ax + by (a, b là hai số đã cho không đổng thời bằng 0), trong đó X, y là các toạ độ của các điểm 98 1 đại số 10-B thuộc miền đa giác A { A 2 ... AịA i+[ ... A n . nhỏ nhất. Giải (h.31). Ta minh hoạ cách giải trong trường hợp n = 5 và chỉ xét trường hợp b > 0 (các trường hợp còn lại xét tương tự). Giả sử M(xq ; 3 >q) là một điểm đã cho thuộc miền đa giác. Qua điểm M và mỗi đỉnh của đa giác, kẻ các đường thẳng song song với đường thẳng ax + by = 0. Trong các đường thẳng đó, đường thẳng qua điểm M có phương trình ax + by = oxq + byQ và cắt trục tung tại điểm N 0 ; ax ° * ^ v ° , K b \ ) Xác định Jt, y để F đạt giá trị lớn nhất, Vì b > 0 nên ax 0 + by 0 lớn nhất khi và chỉ khi ax o + t, yo ,A lớn nhất. Hình 3 ỉ Trên hình 31, F = ax + by lớn nhất khi (x; y) là toạ độ của điểm A j, bé nhất khi (jc ; y) là toạ độ điểm Á 4 . Tóm lại, giá trị lớn nhất (nhỏ nhất) của biểu thức F = ax + by đạt được tại một trong các đỉnh của miền đa giác. 1 . 2 . Bài tập ỉ Biểu diễn hình học tập nghiệm của các bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau. a) -JC + 2 + 2 (y - 2) < 2(1 - x) ; b) 3(jr - 1) + 4 (y - 2) < 5x - 3. Biểu diễn hình học tập nghiệm của các hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau. X - 2ỵ < 0 a) lx + 3y > -2 y - X < 3 ; b) 3 2 - 1 < 0 X + - 2 .V > 0. L_3z < 2 , Có ba nhóm máy A, B. c dùng đế sản xuất ra hai loại sản phẩm I và II. Để sản xuất một đơn vị sản phẩm mỗi loại phải lần lượt dùng các máy thuộc 99 các nhóm khác nhau. Số máy trong một nhóm và sô' máy của từng nhóm cần thiết để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm thuộc mỗi loại được cho trong bảng sau Nhóm Sô máy trong mỗi nhóm Số máy trong từng nhóm đê sản xuất ra một đơn vị sản phẩm Loại I Loại II A 10 2 2 B 4 0 2 c 12 2 4 Một đơn vị sản phẩm I lãi 3 nghìn đồng, một đơn vị sản phẩm II lãi 5 nghìn đồng. Hãy lập phương án để việc sản xuất hai loại sản phẩm trên có lãi cao nhất. Hướng dần : Áp dụng phương pháp giải trong mục IV. DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI I - ĐỊNH LÍ VỀ DẤU CỦA TAM THỨC BẬC HAI 1. Tam thức bậc hai ỵ 2 Tam thức bậc hai đôi với X là biêu thức có dợngýục) -ax + bx + í\ trong đó a, b, c là nhữỉĩg hệ Sớ, a ^ 0. ^^1) Xét tam thức bậc hai f(x) = -V 2 - 5.V + 4 . Tính /(4),/(2),/(-l),/(0) và nhận xét về dấu của chúng, 2) Quan sát đồ thị hàm số V = ,v 2 - 5.V + 4 (h. 32a)) và chỉ ra các khoảng trên đó đồ thị ở phía trên, phía dưới trục hoành. 100 CHU Y Trong định lí trên, có thể thay biệt thức A = ố 2 - 4 ac bằng biệt thức thu gọn A' = ( b ') 2 - ac. 101 Minh hoạ hình học Định lí về dấu của tam thức bậc hai có minh hoa hình hoc sau (h.33). * * * ' A < 0 A = 0 A > 0 a > 0 7 + /+ V y/+ -N— + ^ Vi + 1 / + / + y'+ •5 /7 VL • v 2/ + Ớ X 0 A A ' 2a Ớ A < 0 A = 0 A > 0 a < 0 V i i Vi 0 \ h 2a Vi Ỡ --/ k + / v 1 ' v 2\ - J 0 -/ ► -7 Hình 33 \ 3. Áp dụng Ví dụ 1 a) Xét dấu tam thức /(.v) = -A' 2 + 3a' - 5 . b) Lập bảng xét dấu tam thức /(A') = 2 a- 2 - 5jf + 2 . Giai a) /(a) có A = -11 < 0, hệ số a = -1 <0 nên f{x) < 0, với mọi X. 2 ^ 1 b) /(.v) = 2 a' - 5a + 2 có hai nghiệm phân biệt Xị =-r, A+ =2, hệ 2 số a = 2 > 0. Ta có bảng xét dấu f(x) như sau A' 1 9 — 00 — z +00 2 . /(•*) + 0 — 0 + 102 2 Xét dấu các tam thức a) f(x) = 3jc 2 + 2jc - 5 ; b) g(x) = 9a' 2 - 24jc + 16. I Tương tự như tích, thương của những nhị thức bậc nhất, ta có thể xét dấu tích, thương của các tam thức bậc hai. Ví dụ 2. Xét dấu biểu thức m = Giải. Xét dấu các tam thức 2x 2 - X - \ và X 2 - 4 rồi lập bảng xét dấu f(x) ta được ũ X —00 —2 — — 1 2 +00 2x 2 - X - 1 + + 0 - 0 + + X 2 - 4 + 0 - — - 0 + /« + - 0 + 0 - + II - BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT Ẩn 1. Bất phương trình bậc hai Bất phương trình bậc hai ẩn X là bất phương trình dạng 2 _ 2 2 r\ ax + bx + c < 0 {hoặc: ax + bx + c < 0, ax + bx + c > 0, ax + bx + c > 0), trong dó a, b, c là những sô thực đã cho , a ^ 0. 2. Giải bất phương trình bậc hai Giải bất phương trình bậc hai ax + bx + c < 0 thực chất là tìm các khoảng mà trong đó f{x) = ax 2 + bx + c cùng dấu với hệ số a (trường hợp a < 0) hay trái dấu với hệ số a (trường hợp a > 0). Ằl................ N Trong các khoảng nào a) /( X) = -2x 2 + ĩx + 5 trái dấu với hệ sô' của X 2 ? b) fj(.v) = -3.V 2 + lx - 4 cùng dấu với hệ số của 2 ? 103 Ví dụ 3. Giải các bất phương trình sau a) 3x 2 + 2x + 5 > 0 ; b) -2x 2 + 3x + 5 > 0 ; c) -3x 2 + Ix - 4 < 0 ; d) 9x 2 - 24x + 16 > 0. Giai a) Tam thức f(x) = 3x 2 + 2x + 5 có A' = 1 - 3 . 5 < 0, hệ số a = 3 > 0 nên f{x) luôn dương (cùng dấu với à). x 2 - Do đó tập nghiệm của bất phương trình 3x + 2x + 5 > 0 là (-00 ; +oo). • 2 . 0 b) Tam thức /(x) = -2.V + 3x + 5 có hai nghiệm làx, = -1 ; ^2 = -T, hệ 2 \ 2j ( 5 sô a = -2 < 0, nên /(,v) luôn dương với mọi X thuộc khoang -1 ; (- V 2 _ 2 ^ 5 Vậy bất phương trình -2x + 3x + 5 > 0 có tập nghiệm là khoảng -1; T- V 2 ^ 2 ^ . • 4 , c) Tam thức /(x) = -3x + 7x - 4 có hai nghiệm làx, = 1; X 2 = —, hệ sô 3 ỡ = -3 < 0, nên f(x) luôn âm với mọi JC thuộc khoảng (-00 ; 1) hoặc \ — ; + 00 Vậy tập nghiệm của bất phương trình — 3jc + Ix - 4 < 0 là / (-00; 1) u — ; + 00 u d) Tam thức f(x) = 9x 2 - 24x + 16 có hệ số a = 9, A' = 12 2 - 9.16 = 0, 4 . 4 4 /(x) có nghiệm kép X = -7- nên / (x) > 0 với mọi X 77 và /(x) = 0 với X = 77 . 3 3 3 Vậy bất phương trình 9x - 24x + 16 > 0 nghiệm đúng với mọi X. Ví dụ 4. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có hai nghiệm trái dấu 104 2x 2 — (m 2 — m + l)x + 2 m 2 — 3m — 5 — 0. Giải. Phương trình bậc hai sẽ có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi các hệ sô a và c trái dấu, tức là 772 phải thoả mãn điểu kiện \ 2(2 rr?' - ĩm - 5) < 0 <=> 2 m 2 - 3 m - 5 < 0. Vì tam thức f(m) - 2 m - 3m - 5 có hai nghiệm 1 à /77 Ị = -1, ỈĨÌ2 = — và hệ số của m 2 dương nên 2m 2 — 3w — 5 < 0 <=> -1 < 777 < Ậ- 2 Kết luận. Phương trình đã cho có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi . „5 -1 < 777 < — • 2 Bài tạp 1. Xét dấu các tam thức bâc hai ề a) 5x - 3x + 1 ; b) —2x 2 + 3x + 5 ; c) X +12*+ 36; d) (2x - ĩ)(x + 5). 2. Lập bảng xét dâ'u các biểu thức sau a) /(*) = (3x 2 - 10* + 3)(4* - 5) ; b) /(*) = (3x 2 - 4x)(2x 2 - X - 1) ; c) f(x) - (4x 2 - l)(-8x 2 +x- 3)(2x + 9) ; b) -3x 2 + X + 4 > 0 ; d) 2 - X - 6 < 0. 4. Tìm các giá trị của tham sô m để các phương trình sau vô nghiệm a) (»7 - 2)x 2 + 2(2m - 3)x + 5m -6 = 0; b) (3 - m)x 2 - 2(777 + 3).v + 777 + 2 = 0. d )f(x) = (3x 2 - x)(3 - X 2 ) 4x + * - 3 3. Giải các bất phương trình sau a) 4 jc 2 - * + 1 < 0 ; , 1 3 c) < X 2 - 4 3x^ + X - 4 105 V ÔN TẬP CHƯƠNG IV 1. Sử dụng dấu bất đẳng thức để viết các mệnh đề sau a) X là số dương ; b) y là số không âm ; c) Với mọi số thực a, \a\ là sô không âm ; d) Trung bình cộng của hai số dương a và ố không nhỏ hơn trung bình nhân của chúng. 2. Có thể rút ra kết luận gì về dấu của hai số a và b nếu biết a) ab > 0 ; b) > 0 ; b 4. Khi cân một vật với độ chính xác đến 0,05kg, người ta cho biết kết quả là 26,4kg. Hãy chỉ ra khối lượng thực của vật đó nằm trong khoảng nào. 5. Trên cùng một mặt phẳng toạ độ, hãy vẽ đồ thị hai hàm sô' y = f(x) = .V + 1 và y = g{x) = 3 - .V và chỉ ra các giá trị nào của X thoả mãn : a) /(.*•) = g(x) ; b) /(.v) > g(x) ; c) /(.v) < g(x). Kiểm tra lại kết quả bằng cách giải phương trình, bất phương trình. 6. Cho a, b, c là các sô dương. Chứng minh rằng a + b b + c c + a . , —— + —— + ——— > 6 . c a b 106 7. Điều kiện của một bất phương trình là gì ? Thế nào là hai bất phương trình tương đương. 8. Nêu quy tắc biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình ax + by < c. 9. Phát biểu định lí về dấu của tam thức bậc hai. * * 10. Cho a > 0, b > 0. Chứng minh rằng 4 + 4 >^ + 7ã. ' A lb A Ịa 11. a) Bằng cách sử dụng hằng đẳng thức a 2 - b 2 = (a - b){a + b) hãy xét dấu f(x ) = X 4 - .V 2 + 6x - 9 '2 ^ 4 và g(x) = X - 2x -T—- X 1 - 2x b) Hãy tìm nghiệm nguyên của bất phương trình sau x(x* - X + 6) > 9. 12. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai, chứng minh rằng b 2 x 2 - (b 2 + c 2 - a 2 )x + c 2 > 0 , Vx. 13. Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn 3„t + y > 9 „Y > }’ - 3 2y > 8 - -V y < 6. Bài tạp trắc nghiệm Chọn phương án đúng trong các bài tập sau 14. Số -2 thuộc tập nghiệm của bất phương trình (A) 2.V + 1 > \ - X \ (B) (2x+ 1)(1 -x) < x 2 ; 1 9 (C) —^— + 2 < 0 ; (D) (-2 - X)(X + 2) < 0. 1 - ,Y 107 15. Bất phương trình (x + 1) yịx <0 tương đương với bất phương trình (A) ^x(x + ]) 2 <0; (B) (x + 1 )yfx <0; (C) (x + \) 2 yfx < 0 ■ (D) (x + \) 2 yfx<0. 16. Bất phương trình mx 2 + (2 m - \)x + m + 1 < 0 có nghiệm khi (A) m = 1 ; (B) m = 3 ; (C) «7 = 0; (D) m = 0,25. 17. Hệ bất phương trình sau vô nghiệm X 2 - 2x < 0 2jc + 1 < 3jc + 2 ; X 2 -5x + 2 <0 X' 2 + 8x + 1 < 0 ; (B) (D) X - 4 > 0 111 . —h- < ——-; ; X + 2 X + 1 |x - l| < 2 |2x + ll < 3. 108 □upKi Chương TflÚnG HÊ 11 I . * SỐ LƯỢNG GtA SÚC i.:.T 1991 Trảu 1995 _ _ 2000 2001 Năm I ì Bo Lọn Thống kê là khoa học nghiên cứu các phương pháp thu thập, phân tích và xử lí các số liệu nhằm phát hiện các quy luật thống kê trong tự nhiên và xã hội. Chương này giúp học sinh nắm vững một số phương pháp trình bầy số liệu (bằng bảng, biểu đồ) và thu gọn số liệu nhờ các số đặc trưng. BẢNG PHÂN BỐ TẦN số VÀ TẦN SUẤT I - ÔN TẬP 1. SỐ liệu thống kê Khi thực hiện điều tra thống kê (theo mục đích đã định trước), cần xác định tập hợp các đơn vị điều tra, dấu hiệu điều tra và thu thập các số liệu. Ví dụl. Khi diều tra "Nãng suất lúa hè thu năm 1998" của 31 tỉnh, người ta thu thập được các số liệu ghi trong bảng dưới đây Năng suất lúa hè thu (tạ/ha) năm 1998 của 31 tỉnh 30 30 25 25 35 45 40 40 35 45 25 45 30 30 30 40 30 25 45 45 35 35 30 40 40 40 35 35 35 35 35 Bảng 1 Tập hợp các dơn vị điều tra là tập hợp 31 tính, mỗi một tỉnh là một dơn vị điều tra. Dấu hiệu diều tra là nâng suất lúa hè thu năm 1998 ở mỗi tỉnh. Các số liệu trong bảng 1 gọi là các sô' liệu thống kê, còn gọi là các giá trị của dấu hiệu. 2. Tần sô Trong 31 số liệu thống kê ở trên, ta thấy có 5 giá trị khác nhau là X] = 25 ; x 2 = 30 ; x 3 = 35 ; x 4 = 40 ; x 5 = 45. Giá trị Xị = 25 xuất hiện 4 lần, ta gọi /7 J = 4 là tần sô của giá trị X|. Tương tự, «2 = 7 ; «3 = 9 ; n 4 = 6 ; «5 = 5 lần lượt là tẩn sô' của các giá trị x 2 ; x 3 ; x 4 ; x 3 . ! 10 II - TẦN SUẤT Trong 31 sô liệu thống kê ở trên, giá trị X] có tần sô là 4, do đó chiếm tỉ lệ là w 12,9%. 31 4 Tỉ số — hay 12,9% được gọi là tần suât của giá trịX|. Tương tự, các giá trị x 2 ; x 3 ; x 4 ; „Y 5 lần lượt có tần suất là 2 - * 22,6%; 2 - * 29,0% * 19,4%; ị- * 16,1%. 31 31 31 31 Dựa vào các kết quả đã thu được, ta lập bảng sau Năng suất lúa hè thu năm 1998 của 31 tỉnh 'Năng suất lúa (tạ/ha) rp /0 V Tan số Tần suất (%) 25 4 12,9 30 7 22,6 35 9 29,0 40 6 19,4 45 5 16,1 Cộng 31 100 (%) Bảng 2 Bảng 2 phản ánh tình hình* năng suất lúa của 31 tỉnh, được gọi là bảng phân bô tần sô và tần suất. Nếu trong bảng 2, bỏ cột tần số ta được bảng phân bố tần suất ; bỏ cột tần suất ta được bảng phân bô tần số. III - BẢNG PHẢN BỐ TẦN số VÀ TAN suất ghép lớp Ví dụ 2. Để chuẩn bị may đồng phục cho học sinh, người ta đo chiều cao của 36 học sinh trong một lớp học và thu được các số liệu thống kê ghi trong bảng sau Chiều cao của 36 học sinh (đơn vị : cm) 158 T52 156 158 168 160 170 166 161 160 172 173 150 167 -165 163 158 162 169 159 163 164 161 160 164 159 163 155 163 165 154 161 164 151 164 152 Bảng 3 Để xác định hợp lí số lượng quần áo cần may cho mỗi "kích cỡ" ta phân lớp các số liệu trên như sau Lớp 1 gồm những sổ đo chiều cao từ 150 cm đến dưới 156 cm, kí hiệu là [150; 156); Lớp 2 gồm những số đo chiều èao từ 156 cm đến dưới 162 cm, kí hiệu là [156 ; 162) ; Lớp 3 gồm những số đo chiều cao từ 162 cm đến dưới 168 cm, kí hiệu là [162; 168); Lớp 4 gồm những số đo chiều cao từ 168 cm đến 174 cm, kí hiệu là [168; 174]. Ta thấy có 6 sô' liệu thuộc vào lớp 1, ta gọi «1 ■= 6 là tần sô' của lớp 1. Cũng vậy, ta gọi «2 = 12 là tần số của lớp 2, /?3 = 13 là tần số của lớp 3, /?4 = 5 là tần số của lớp 4. Các tỉ số /, = ậ- « 16,7% ; A = * 33,3% ; 1 36 36 /3 = ịị * 36,1% ; /4 = ị- * 13,9% ■ 3 36 36 được gọi là tẩn suất của các lớp tương ứng. Các kết quả trên được trình bày gọn trong bảng dưới đây Chiều cao của 36 học sinh * Lớp số đo chiều cao (cm) Tần số Tần suất (%) [150 ; 156) 6 16,7 [156; 162) 12 33,3 [162 ; 168) 13 36,1 [168 ; 174] 5 13,9 Cộng 36 100 (%) Bảng 4 Bảng 4 được gọi là bảng phân bố tần sô và tần suất ghép lớp. Nếu trong bảng 4 bỏ cột tần sô' thì sẽ có bảng phân bổ tần suất ghép lớp, bỏ cột tần suất thì sẽ có bảng phán bố tần sô ghép lớp. í Bảng 4 ờ trên cho ta cơ sở để xác định số lượng quần áo cần may của mỗi cở (tương ứng với mỗi lớp). Chẳng hạn, vì số học sinh có chiều cao thuộc lớp thứ nhất chiếm 16,7% tổng số học sinh, nên số quần áo cần may thuộc cỡ tương ứng với lớp đó chiếm 16,7% số lượng quần áo cần may. Ta cũng có kết luận tương tự đối với các lớp khác. Nếu lớp học kể trên đại diện được cho toàn trường thì có thể áp dụng kết quả đó để may quần áo cho học sinh cả trường. Ằ Cho các số liệu thống kê ghi trong bảng sau Tiền lãi (nghìn đồng) của mỗi ngày trong 30 ngày được khảo sát ở mộ/ quầy bán báo 81 37 74 65 31 63 58 82 67 77 63 46 30 53 73 51 44 52 92 93 53 85 77 47 42 57 57 85 55 64 Bảng 5 Hãy lập bảng phân bố tẩn suất ghép lớp với các lớp như sau [29,5 ; 40,5), [40,5 ; 51,5), [51,5 ; 62,5), [62,5 ; 73,5), [73,5 ; 84,5), [84,5 ; 95,5]. Bài tập 1. Cho các số liệu thống kê ghi trong bảng sau Tuổi thọ của 30 bóng đèn điện được thắp thử (đơn vị ỉ giờ) 1180 1150 1190 1170 1180 1170 1160 1170 1160 1150 1190 1180 1170 1170 1170 1190 1170 1170 1170 1180 1170 1160 1160 1160 1170 1160 1180 1180 1150 1170 a) Lập bảng phân bố tần sô' và bảng phân bố tần suất. b) Dựa vào kết quả của câu a), hãỹ đưa ra nhận xét về tuổi thọ của các bóng dèn nói trên. 2. Cho bảng phân bố tần số ghép lớp sau Độ dài của 60 lá dương xỉ trưởng thành Lớp của độ dài (cm) Tần sô [10; 20) 8 [20 ; 30) 18 [30 ; 40) 24 [40 ; 50] 10 Cộng 60 »■ Bụi dương xỉ a) Lập bảng phân bố tần suất ghép lớp. b) Dựa vào kết quả của câu a), hãy nêu rõ trong 60 lá dương xỉ được khảo sát: Số lá có độ dài dưới 30 cm chiếm bao nhiêu phần trăm ? Sô' lá có độ dài từ 30 cm đến 50 cm chiếm bao nhiêu phần trăm ? 3. Cho các số liệu thống kê ghi trong bảng sau Khối lượng của 30 củ khoai rây thu hoạch được ở nông trường T (đơn vị: g). 90 73 88 99 100 102 111 96 79 93 81 94 96 93 95 82 90 106 103 116 109 108 112 87 74 91 84 97 85 92 Lập bảng phân bô' tần SỐ và tẩn suất ghép lớp, với các lớp sau [70; 80); [80; 90) ; [90; 100); [100; 110); [110; 120]. 4. Cho các số liệu thống kê ghi trong bảng sau Chiều cao của 35 cây bạch đàn (đơn vị: m) 6,6 7,5 8,2 8,2 7,8 7,9 9,0 8,9 8,2 7,2 7,5 8,3 7,4 8,7 7,7 7,0 9,4 8,7 8,0 7,7 7,8 8,3 8,6 8,1 8,1 9,5 6,9 8,0 7,6 7,9 7,3 8,5 8,4 8,0 8,8 1 14 8,ĐAI SỐ 10-8 a) Lập báng phân bô tần suất ghép lớp. \Ớ 1 các lớp sau [6,5 ; 7,0) ; [7,0 ; 7,5) ; [7,5 ; 8,0) ; [8,0 ; 8,5) ; [8,5 ; 9,0) ; [9,0 ; 9,5]. b) Dựa vào kết quả của câu a), hãy nêu nhận xét vể chiều cao của 35 cây bạch đàn nói trên. Biểu ĐỒ I - BIỂU ĐỒ TẦN SUẤT HÌNH CỘT VÀ ĐUỜNG GẤP KHÚC TAN suất Ta có thể mô tả một cách trực quan các bảng phân bố tần suất (hoặc tần số), bảng phân bố tần suất (hoặc tần số) ghép lớp bằng biểu đồ hoặc đường gấp khúc. 1. Biểu đồ tần suất hình cột * Ỵí dụ 1. Để mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp (bảng 4) trong § 1, có thể vẽ biểu đồ tần suất hình cột sau (h.34). Tẩn suất Ặ 36,1 33,3 _ 20 16,7 13,9 H-H o 1 174 —-- ► Chiêu cao Hình 34. Biếu đó tần suất hình cột \ é chiêu cao ị an) của 36 học sinh. 2. Đường gâ'p khúc tần suất Bảng phân bố tần suất ghép lớp kể trên (bảng 4) cũng có thể được mô tả bằng một đường gấp khúc, vẽ như sau. Trên mặt phẳng toạ độ, xác định các điểm (Cị ; fị), i= 1, 2, 3, 4, trong đó Cị là trung bình cộng hai mút của lớp i (ta gọi Cị là giá trị đại diện của lớp i). Vẽ các đoạn thẳng nối điểm (Cị ; fị) với điểm(c J+1 ; fị .), i = 1, 2, 3, ta thu được một đường gấp khúc, gọi là đường gấp khúc tần suất (h.35). _ r ^ Cho bảng phân bố tần suất ghép lớp sau Nhiệt độ trung bình của tháng 12 tại thành phố Vinh từ 1961 đến 1990 (30 năm). Lớp nhiệt độ (°C) Tần suất (%) [15; 17) 16,7 [17 ; 19) 43,3 [19 ; 21) 36,7 [21 ; 23] 3,3 Cộng iòo (%) Bảng 6 Hãy mô tả bảng 6 bằng cách vẽ biểu đồ tẩn suât hình cột và đường gấp khúc tần suất. 3. Chú ý Ta cũng có thể mô tả bảng phân bô' tần sô' ghép lớp bằng biểu đồ tần sô' hình cột hoặc đường gấp khúc tần số. Cách vẽ cũng như cách vẽ biểu đồ tần suất hình cột hoặc đường gấp khúc tần suất, trong đó thay trục tần suất bởi trục tần số. II - BIỂU ĐỒ HÌNH QUẠT Người ta còn dùng biểu đổ hình quạt để mô tả bảng cơ cấu trong ví dụ dưới đây Vỉ dụ 2. Cho bảng 7 Cơ cấu giá trị sản xuất công nghiệp trong nước năm 1997 , phân theo thành phần kinh tế. Các thành phần kinh tế Sô phần trăm (1) Khu vực doanh nghiệp nhà nước 23,7 (2) Kha vực ngoài quốc doanh 47,3 (3) Khu vực đầu tư nước ngoài 29,0 Cộng 100 (%) Bảng 7 Hình 36a dưới đây là biểu đồ hình quạt mô tả bảng 7. a) b) Hình 36 CHÚ Ý Các bảng phân bô' tần suất ghép lớp cũng có thể mô tả bằng biểu đồ hình quạt, chẳng hạn hình 36b mô tả bảng 6. 117 j ^ 2 / ^Dựa vào biểu đồ hình quạt cho ở hình 37 dưới đây, hãy lập bảng cơ cấu như trong ví dụ 2. (1) Khu vực doanh nghiệp nhà nước (2) Khu vực ngoài quốc doanh (3) Khu vực đầu tư nước ngoài Hình 37. Biểu đồ hình quạt về cơ cấu giá trị sơn xuất công nghiệp trong nước năm 1999, phân theo thành phần kinh tẽ'(%). Bài tộp 1. Hãy mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp đã được lập ở bài tập sô' 2 của § 1 bằng cách vẽ biểu đồ tần suất hình cột và đường gấp khúc tần suất. 2. Xét bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp đã được lập ở bài tập sô' 3 của § 1. a) Hãy vẽ biểu đồ tần suất hình cột, đường gấp khúc tần suất. b) Hãy vẽ biểu đồ tần sô hình cột, đường gấp khúctần số. c) Dựa vào biểu dồ tần suất hình cột đã vẽ ở câu a), hãy nêu nhận xét về khối lượng của 30 củ khoai tây được khảo sát. 3. Dựa vào biểu dồ hình quạt dưới đây (h.38), hãy lập bảng cư cấu như trong ví dụ 2. (1) Khu vực doanh nghiệp nhà nước (2) Khu vực ngoài quốc doanh (3) Khu vực đầu tư nước ngoài Hình 38. Biểu đồ hình quạt về cơ câu giá trị sản xuất công nghiệp trong nirớc nơm 2000. phân theo thành phàn kinh ĩâ (*7() SỐ TRUNG BÌNH CỘNG. SỐ TRUNG VI. MỐT Để thu được các thông tin quan trọng từ các số liệu thống kê, người ta sử dụng những số đặc trưng như sô' trung bình cộng, số trung vị, mốt, phương sai, độ lệch chuẩn. Các số đặc trưng này phản ánh những khía cạnh khác nhau của dấu hiệu điều tra. ừ I - SỐ TRUNG BÌNH CỘNG (HAY số TRUNG BÌNH) Ví dụ 1 a) Áp dụng công thức tính số trung bình cộng đã học ở lớp 7, ta tính được chiều cao trung bình X của 36 học sinh trong kết quả điều tra được trình bày ở bảng 3 của §1 là X » 161cm. b) Sử dụng bảng phân bô' tần sô' và tần suất ghép lớp, ta tính gần đúng chiều cao trung bình X của 36 học sinh trong kết quả điều tra được trình bày ở bảng 4 của §1 theo hai cách sau Cách 1. Sử dụng bảng phân bố tần số ghép lớp Nhân giá trị đại diện của mỗi lớp với tần số của lớp đó, cộng các kết quả lại rồi chia cho 36, ta được 6x 153 + 12x 159 + 13x 165 + 5x171 36 * 162 (cm). Kết quả này có nghĩa là chiều cao trung bình của 36 học sinh kể trên là X ~ 162 cm. Ta cũng nói 162 cm là sô trung bình cộng của bảng 4. Cách 2 . Sử dụng bảng phán bố tần suất ghép lớp Nhân giá trị đại diện của mỗi lớp với tần suất của lớp đó rồi cộng các kết quả lại ta cũng được X « 16,7 , 33,3 36,1 X 153 H — X 159 H——- X 165 + 100 100 100 13,9 T^r-x 171 * 162 (cm) 100 119 Vậy ta có thế tính số trung bình cộng của các số liệu thống kê theo các công thức sau đây. Trường hợp bảng phân bô tần số, tần suất X — (n^Xị + ^2^2 ■■■ ^k^k ) = f\X\ fk*k _ n _ _ , trong đó n r fị lần lượt là tần số, tần suất của giá trị Xị, n là số các sô'liệu thống kê (nị + n 2 + ... + n k = n). Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp X = + n 2 c 2 + - + n k c 0 ~ f\ c \ + h c 2 + - + fk c k trong đó Cị, rtị./ị lần lượt là giá trị đại diện, tần số, tần suất của lớp thứ i, n là số các số liệu thống kê (n 1 + «2 + •••+ n k = n). / \Cho bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp sau Nhiệt độ trung bình của tháng 2 tại thành phố Vinh từ 1961 đến hết 1990 (30 năm). Lớp nhiệt độ (°C) ^ a' Tan sô Tần suất (%) [12; 14) 1 3,33 [14; 16) 3 10,00 [16; 18) 12 40,00 [18 ; 20) 9 30,00 [20 ; 22] 5 16,67 Cộng 30 . 100% 1 Bảng 8 a) Hãy tính số trung bình cộng của bảng 6 và bảng 8. b) Từ kết quả đã tính được ở câu a), có nhận xét gì về nhiệt độ ở thành phố Vinh trong tháng 2 và tháng 12 (của 30 năm được khảo sát). II - SỐ TRUNG VỊ Ví dụ 2. Điểm thi Toán cuối năm của một nhóm 9 học sinh lớp 6 là 1 ; 1 ; 3 ; 6 ; 7 ; 8 ; 8 ; 9 ; 10. Điểm trung bình của cả nhóm là X ~ 5,9. 120 Ta thấy hầu hết học sinh (6 em) trong nhóm có số địểm vượt điểm trung bình và có những điểm vượt rất xa. Như vậy, điểm trung bình X không đại diện được cho trình độ học lực của các em trong nhóm. Khi các số liệu thống kê có sự chênh lệch lớn thì số trung bình cộng không đại diện được chọ các sô' liệu đó. Khi đó ta chọn số đặc trưng khác đại diện thích hợp hơn, đó là số trung vị. Sắp thứ tự các sô liệu thống kê thành dãy không giảm (hoặc không tăng). Sô' trung vị (của các sô' liệu thống kê đã cho) kí hiệu M e là sô' dứng giữa dãy nếu sô'phần tử là lẻ và là trung bình cộng của hai sô đứng giữa dãy nếu sô phần tử là chẵn. Trong ví dụ 2 ta có M e = 7. Ví dụ 3. Điểm thị Toán của bốn học sinh lớp 6 được xếp thành dãy không giảm là 1 ; 2,5 ; 8 ; 9,5. Trong dãy này có hai số đứng giữa là 2,5 và 8. Khi đó, ta chọn số trung vị là trung bình cộng của hai sô' này 2,5 + 8 2 5,25. ề I / ^Trong bảng phân bố tần số, các số liệu thống kê đã được sắp thứ tự thành dãy không giảm theo các giá trị của chúng. Hãy tìm số trung vị của các số liệu thống kê cho ở bảng 9. Số' áo bán được trong một quý ỏ một cửa hàng bán ảo sơ mi nam Cỡ áo 36 37 38 39 40 41 42 Cộng -r /v' V Tan so (số áo bán được) 13 45 126 110 126 40 5 ■ 465 Bảng 9 III -MỐT . Ở lớp 7 ta đã biết Mốt của một bảng phân bô tần sổ là giá trị có tần sô lớn nhất và được kí hiệu là Mq. Nếu trong bảng phần bô' tần sô' có hai giá trị có tần sô' bằng nhau và lớn hơn tần sô' của các giá trị khác thì chọn mốt là giá trị nào ? Tạ xét bảng 9 ở trên. 121 Trong bảng 9, có hai giá trị là 38 và 40 cùng có tần số lớn nhất là 126, trong trường hợp này ta coi rằng có hai mốt là = 38, = 40. Kết quả vừa thu được cho thấy rằng trong kinh doanh, cửa hàng nên ưu tiên nhập hai cỡ áo sô' 38 và sô' 40 nhiều hơn. Bài tộp 1. Tính sô' trung bình cộng của các bảng phân bô' đã đượoiập ở bài tập sô' 1 và bài tập sô' 2 của § 1. 2. Trong một trường THPT, để tìm hiểu tình hình học môn Toán của hai lớp 10A và 10B, người ta cho hai lớp thi Toán theo cùng một đề thi và lập được hai bảng phân bô' tần sô' ghép lớp sau đây Điểm thi Toán của lớp 10A Lớp điểm thi Tần số [0 ; 2) 2 [2 ; 4) 4 [4 ; 6) 12 [6 ; 8) 28 [8 ; 10] 4 Cộng 50 Điểm thi Toán của lớp 10B Lớp điểm thi Tần sô' [0 ; 2) 4 [2; 4) 10 [4; 6) 18 [6; 8) 14 [8 ; 10] 5 Cộng 51 Tính các sô' trung bình cộng của hai bảng phân pố ở trên và nêu nhận xét về kết quả làm bài thi của hai lớp. 122 3. Điều tra tiển lương hàng tháng của 30 công nhân của một xưởng may, ta có bảng phân bố tần số sau Tiền lương của 30 công nhân xưởng may Tiển lương (nghìn đồng) 300 500 700 800 900 1000 Cộng Tần số 3 5 6 5 6 5 30 Tìm mốt của bảng phân bố trên. Nêu ý nghĩa của kết quả đã tìm được. 4. Tiền lương hàng tháng của 7 nhân viên trong một công ti du lịch là : 650, 840, 690, 720, 2500, 670, 3000 (đơn vị : nghìn đồng). Tim sô' trung vị của các số liệu thống kê đã cho. Nêu ý nghĩa của kết quả đã tìm được. » 5. Cho biết tình hình thu hoạch lúa vụ mùa nãtn 1980 của ba hợp tác xã ở địa phương V như sau Hợp tác xã Năng suất lúa (tạ/ha) Diện tích trồng lúa (ha) A 40 150 B 38 130 c 36 120 Hãy tính năng suất lúa trung bình của vụ mùa năm 1980 trong toàn bộ ba hợp tác xã kể trên. PHƯƠNG SAI VÀ Độ LỆCH CHưẨn I - PHƯƠNG SAI Ví dụ 1. Cho biết giá trị thành phẩm quy ra tiền (nghìn đồng) trong một tuần lao động của 7 công nhân ở tổ 1 là 180, 190, 190, 200, 210, 210, 220, (1) còn của 7 công nhân ở tổ 2 là 150, 170, 170, 200, 230, 230, 250. (2) 123 Ta thấy số trung bình cộng .V của dãy (1) và sô' trung bình cộng V cùa dãy (2) bằng nhau X = ỹ = 200. Tuy nhiên, khi so sánh dãy (1) và dãy (2) ta thấy các sô' liệu ở dãy (1) gần với sô' trung bình cộng hơn, nên chúng đồng đều hơn. Khi đó ta nói các số liệu thống kê ở dãy (1) ít phân tán hơn dãy (2). Để tìm số đo độ phán tán (so với số trung hình cộng) của dãy (ỉ) ta tính Các độ lệch của mỗi sô' liệu thống kê đối với số trung hình cộng (180 - 200) ; (190 - 200) ; (190 - 200) ; (200 - 200) ; (210 - 200) ; ( 210 - 200 ); ( 220 - 200 ). Bình phương các độ lệch và tính trung bình cộng của chúng, ta được 2 (180 - 200) 2 + 2(190 - 200) 2 + (200 - 200) 2 + 2(210 - 200) 2 + (220 - 200) 2 c — — 1 7 = 171,4. SỐ Sị được gọi là phương sai của dãy (1). Tương tự phương sai $2 cua dãy (2) là 2 _ (150 - 200) 2 + 2(170 - 200) 2 + (200 - 200) 2 + 2(230 - 200) 2 + (250 - 200) 2 * 2 ” • 7 s 1228,6. Ta thấy phương sai của dãy (1) nhỏ hơn phương sai của dãy (2). Điều đó biểu thị độ phân tán của các sô' liệu thống kê ở dãy (1) ít hơn ở dãy (2). Ví dụ 2. Tính phương sai 5 2 của các sô liệu thông kê cho ở bảng 4, §1 (cũng gọi là phương sai của bảng 4). Sô' trung bình cộng của bảng 4 là X = 162 cm. Mỗi sô' liệu thống kê thuộc một lớp được thay thế bởi giá trị đại diện của lớp đó. a) Phương sai s~ của bảng 4 (bảng phân bô' tần sô và tần suất ghép lớp) được tính như sau „2 _ 6(153 - 162) 2 + 12(159 - I62) 2 + 13(165 - 162) 2 + 5(171 - I62) 2 36 124 Hệ thức (3) hiểu thị cách tính gần đúng phương sơi của hảng 4 theo tần số. b) Từ (3) ta có s 2 = ^(153 - 162) 2 + -^-(159 - 162) 2 + ị |(165 - 162) 2 + ^(171 - 162) 2 36 36 36 36 hay S 2 * ^ 2(153 - 162) 2 + ^(159 - 162) 2 + ^-(165 - 162) 2 + ^(171 - 162) 2 100 100 100 100 « 31 . ( 4 ) Hệ thức (4) hiếu thị cách tính gần đúng phương sai của bảng 4 theo tần suất. CHÚ Ý a) Khi hai dãy số liệu thống kê có cùng đơn vị đo và có số trung bình cộng bằng nhau noặc xấp xỉ nhau, nếu phương sai càng nhỏ thì mức độ phân tán (so với sô' trung bình cộng) của các sô' liệu thống kê càng bé. b) Có thể tính phương sai theo các công thức sau đây Trường hợp bảng phân bô tần số, tần suất _ 2 _ 2 / _. 2 ~ (jt| ^ jc) + /?2(*2 ” JC ) .+ ••■ + n Ị c ( JC Ị ( - x ) = /ịQcị - J ) 2 + f 2 (x 2 - T ) 2 + - + f k (x k - I) 2 . trong đó Uị , fị lần lượt là tần số, tần suất của giá trị Xị ; n là số các sô' liệu thống kê (n = Uị + «2 + ... + n k ) ; X là sô' trung bình cộng của các sô' liệu đã cho. Trường hợp bảng phản bô tần số, tần suất ghép lớp 1 _ 2 _ 2 / _ 2 ~ = — /ij(Cj - x) + « 2 ( 6 2 - - v ) + — + n k( c k - ' v ) , 2 =- - f\( c \ ~ X Ý + Ỉ2^ c 2 - x ^ + **■ + fk( c k - ' —\2 trong đó c- n 11 ị , fị lần lượt là giá trị đại diện, tần số, tần suất của lớp thứ / ; n là số các số liệu thống kê (n = ỉiị + /?2 + ... 4- ) ; .7 là số trung bình cộng cua các số !iộu thong kê đã cho. Ngoài ra, người ta còn chứng minh được công thức sau 2 trong đó X là trung bình cộng của các bình phương sô liệu thống kê, tức là X 2 = "i n \ x ì + « 2*2 + - + n k x ỉ) = A x ỉ + / 2*2 + - + fk x ỉ (đối với bảng phân bố tần số, tần suất), X 2 = — (/7|f 2 4- « 2^2 + + n k c k^ = A c ỉ + fl c 2 ••• fk c \ (đối với bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp). 4 tính phương sai .của bảng 6 (ở §2). 11 - ĐỘ LỆCH CHUẨN Trong ví dụ 2 ở trên, ta đã tính được phương sai của bảng 4 (ở §1) bàng s 2 »31. Nếu để ý đến đơn vị đo thì ta thấy đơn vị đo của s 2 là cm 2 (bình phương đơn vị đo của dấu hiệu được nghiên cứu). Muốn tránh điều này, có thê dùng căn bậc bai của phương sai gọi là độ lệch chuẩn (của bảng 4) và kí hiệu là 5. Vậy s = sís 2 » \Jỹĩ »5,6 (cm). Phương sai s 2 và độ lệch chuẩn s đều được dùng đê đánh giá mức độ phân rán của các sô liệu thống kê (so với số trung bình cộng). Nhưng khi cần chú ý đến đơn vị đo thì ta dùng s, vì s có cùng dơn vị do với dấu hiệu được nghiên cứu. ẤL k ^)Hãy tinh độ lệch chuẩn của bảng 6 (ở §2). 126 BÀI ĐỌC THÊM « SỬ DỤNG MÁY TÍNH Bỏ TÚI CASIO fx - 500MS ĐỂ TÌM SỐ TRUNG BÌNH CỘNG VÀ Độ LỆCH CHUẨN Ví dụ. Cho bảng phân bố tần số Khôi lượng của 30 con thằn lằn Khối lượng (gam) 140 150 160 170 180 190 Cộng Tần số 2 3 5 9 8 3 30 Sử dụng máy tính bỏ túi CASIO ÍX-500MS, ta tìm số trung bình cộng .? và độ lệch chuẩn 5 của bảng phân bố đã cho như sau 1. Chọn MODE cho phép tính thống kê : ấn iMODEl in 2. Xoá những bài thống kê cũ ấn lần lượt SHIFTI |CLR 1 3. Nhập dữ liệu ấn liên tiếp 140 SHIFT ; 2 DT 150 SHIFT ; 1 3 DT Tương tự đối với các cột 160, 170, 180, 190. 4. Gọi kết quả a) Để tìm X , ấn SHIFỊ S-VAR 1 ■ ■ — Kết quả là X = 169 (gam). b) Để tìm 5 , ấn [ SHIFT _— 1 S-VAR 2. Kết quả cho giá trị .V ơ n = 13,5 ; đây chính là giá trị s cần tìm. 5. Chú ý a) Không cần nhập đúng thứ tự của số liệu. hoặc Để gọi dữ liệu (đã nhập), ấn Có thể hiệu chỉnh sô liệu hoặc tần sô như sau Gọi sô liệu (hay tần số) đó, rồi nhập giá trị mới và ấn giá trị cũ. , giá trị mới sẽ thay thế CL (các Có thể xoá một dữ liệu bằng cách gọi nó lên, rồi ấn I SHIFT dữ liệu còn lại sẽ tự động dồn số thứ tự lại). b) Đối với bảng phân bô tân số ghép lớp, ta sử dụng các giá trị đại diện của các lớp và làm tương tự. Bài tộp 1. Tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng phân bố tần số đã được lập ở bài tập 1 và của bảng phân bố tần số ghép lớp cho ở bài tập 2 của §1. 2. Hai lớp 10C, 10D của một trường Trung học phổ thông đồng thời làm bài thi môn Ngữ văn theo cùng một đề thi. Kết quả thi được trình bày ở hai bảng phân bố tần số sau đây Điểm thì Ngữ văn của lớp 10C Điểm thi 5 6 7 8 9 10 Cộng rp Tan số 3 7 12 14 3 1 40 Điểm thi Ngữ văn của lớp 10D Điểm thi 6 7 8 9 Cộng l-n a' r/ Tan số 8 18 10 4 40 a) Tính các số trung bình cộng, phương sai, độ lệch chuẩn của các bảng phân bố tần số đã cho. b) Xét xem kết quả làm bài thi của môn Ngữ văn ở lớp nào là đồng đều hơn ? 3. Cho hai bảng phân bố tần số ghép lớp Khối lượng của nhóm cá mè thứ 1 Lớp khối lượng (kg) [0,6; 0,8) [0,8; 1,0) [1,0; 1,2) [1,2; 1,4] Cộng Tần số 4 6 6 4 20 Khối lượng của nhóm cá mè thứ 2 Lóp khối lượng (kg) [0,5; 0,7) [0,7; 0,9) [0,9; 1,1) [1,1 ; 1,3) [1,3; 1,5] Cộng Tần số 3 4 6 4 3 20 a) Tính các số trung bình cộng của các bảng phân bố tần số ghép lớp đã cho. b) Tính phương sai của các bảng phân bố tần số ghép lớp đã cho. c) Xét xem nhóm cá nào có khối lượng đồng đều hơn ? ÔN TÂPCHƯƠNG V 1. Chi rõ các bước để a) Lộp bảng phân bố tần suất ghép lớp ; b) 1 .;,fi báng phâri bó tẩn so ghép lóp. 128 2. Nêu rõ cách tính số trung bình cộng, số trung vị, mốt, phương sai và độ lệch chuẩn. 3. Kêt quả điều tra 59 hộ gia đình ở một vùng dân cư về sô con của mỗi hộ gia đình được ghi trong bảng sau 3 2 1 1 1 1 0 2 4 0 3 0 1 3 0 2 2 2 1 3 2 2 3 3 2 2 4 3 2 2 4 3 2 4 1 3 0 1 3 2 3 1 4 3 0 2 2 1 2 1 2 0 4 2 3 1 1 2 0 a) Lập bảng phân bố tần í ỉố và tần suất; b) Nêu nhân xét vể số con của 59 • gia đình đã đươc điều tra ; c) Tính sô' trung bình cộng số trung vị, mốt của các số liệu thống kê đã cho. Cho các số liệu thống kê được gh i trong hai bảng sau đây Khối lượng (tính theo gam) của nhóm cá thứ 1 650 645 644 650 635 650 654 650 650 643 650 630 647 650 650 645 642 652 635 647 652 Khối lượng (tính theo gam) của nhóm cá thứ 2 640 650 645 650 643 645 650 650 642 640 650 645 650 641 650 650 649 645 645 650 650 644 650 650 645 640 a) Lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp theo nhóm cá thứ 1 với các lớp là [630 ; 635); [635 ; 640) ; [640 ; 645) ; [645 ; 650) ; [650 ; 655] ; b) Lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp theo nhóm cá thứ 2 với các lớp là [638 ; 642) ; [642 ; 646) ; [646 ; 650) ; [650 ; 654] ; c) Mô tả bảng phân bố tần suất ghép lớp đã được lập ở câu a) bằng cách vẽ biểu đồ tần suất hình cột và đường gấp khúc tần suất; d) Mô tả bảng phân bố tần số ghép lớp đã được lập ở câu b), bằng cách vẽ biểu đồ tần số hình cột và đường gấp khúc tần số ; 9.ĐẠI SỐ 10-A 129 e) Tính số trung bình cộng, phương sai và độ lệch chuẩn của các bảng phân bố tần sô và tần suất ghép lớp đã lập được. Từ đó, xét xem nhóm cá nào có khối lượng đồng đều hơn. 5. Cho các số liệu thống kê được ghi trong bảng sau Mức lương hàng nám của các cán bộ và nhân viên trong một công ti (đơn vị : nghìn đồng) 20910 76000 20350 20060 21410 20110 21410 21360 20350 21130 20960 125000 Tìm mức lương bình quân của các cán bộ và nhân viên trong công ti, số trung vị của các số liệu thống kê đã cho. Nêu ý nghĩa của sô' trung vị. 6. Người ta đã tiến hành thăm dò ý kiến của khách hàng về các mẫu 1, 2, 3,4, 5 của một loại sản phẩm mới được sản xuất ở một nhà máy. Dưới đây là bảng phân bố tần sô' theo sô' phiếu tín nhiệm dành cho các mẫu kể trên. Mẫu 1 2 3 4 5 Cộng Tần sô' 2100 1860 1950 2000 2090 10000 a) Tìm mốt của bảng phân bô' tần sô' đã cho. b) Trong sản xuất, nhà máy nên ưu tiên cho mẫu nào ? Bài tộp trắc nghiệm Chọn phương án đúng trong các bài tập sau 7. Cho bảng phân bô' tần sô' Tiên thưởng (triệu đồng) cho cán bộ và nhân viên trong một công ti. Tiền thưởng 2 3 4 5 6 Cộng T* í s' lân sô 5 15 10 6 7 43 Mốt của bảng phản bô' tần sô' đã cho là (A) 2 triệu đồng ; (C) 3 triệu đồng ; (B) 6 triệu đổng ; (D) 5 triệu đổng. 130 9.đại só 10 -b 8. Cho bảng phân bô tần sô Tuôi của 169 đoàn viên thanh niên Tuỗi 18 19 20 21 22 Cộng Tần số 10 50 70 29 10 169 Sô' trung vị của bảng phân bố tần số đã cho là (A) 18 tuổi; (B) 20 tuổi; (C) 19 tuổi; (D) 21 tuổi. 9. Cho dãy số liệu thống kê : 21, 23, 24, 25, 22, 20. Số trung binh cộng của các số liệu thống kê đã cho là (A) 23,5 ; (B) 22 ; (C) 22,5 ; (D) 14. 10. Cho dãy số liệu thống kê : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Phương sai của các số liệu thống kê đã cho là (A) 1 ; (B) 2 ; (C) 3 ; (D) 4. 11. Ba nhóm học sinh gồm 10 người, 15 người, 25 người. Khối lượng trung bình của mỗi nhóm lần lượt là : 50 kg, 38 kg, 40 kg. Khối lượng trung bình của cả ba nhóm học sinh là (A) 41,4 kg ; (B) 42,4 kg ; (C) 26 kg ; (D) 37 kg. 9 Bài tập thực hành dành cho các nhóm học sinh (mỗi nhóm từ 3 đến 5 học sinh) Chọn một lớp học trong trường rồi thực hiện các hoạt động sau 1. Điều tra và thu thập các số liệu thống kê trên lớp học đã chọn theo một dấu hiệu nào đó do nhóm tự lựa chọn (ví dụ như sô' anh chị em ruột của từng gia đình ; thời gian dành cho học Toán ở nhà của mỗi học sinh ; chiều cao của mỗi người trong lớp ; điểm kiểm tra Toán của từng học sinh trong kì kiểm tra gần nhất; ...). 2. Trình bày, phân tích, xử lí các sô' liệu thống kê đã thu thập được. 3. Rút ra kết luận và đề xuất các kiến nghị. 131 CUÍ1G VẾ Gúc LượnG GIÍIC. cũnG ĨGIỨC LượriG Glức cunG VẾ Gúc LượnG Giflc cũnG T+tức Luunb GIÍIC Trong chương này, học sinh được cung cấp các khải niệm về đường tròn định hướng, cung và góc lượng giác (mở rộng khái niệm cung vầ góc hình học) chuẩn bị cho việc xây dựng khái niệm các hàm số lượng giác ở lớp 11. Cũng trong chương này, học sinh được học các công thức lượng giác cơ bản rihất và biết vận dụng các công thức này để thực hiện các biến đổi lượng giác. • I CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC I - KHÁI NIỆM CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC 1. Đường tròn định hướng và cung lượng giác Cắt một hình tròn bằng bìa cứng, đánh dấu tâm o và đường kính AA\ Đính một sợi dây vào hình tròn tại A. Xem dây như một trục số t't, gốc tại A, đơn vị trên trục bằng bán kính OA. Như vậy hình tròn này có bán kính R= l. Cuốn dây áp sát đường tròn, điểm 1 trên trục t't chuyển thành điểm Mị trên đường tròn, điểm 2 chuyển thành điểm Mo, ... ; điểm -1 thành điểm /Vị, ... (h.39). Như vậy mỗi điểm trên trục số được đặt tương ứng với một điểm xác định trên đường tròn. Nhận xét * a) Với cách đặt tương ứng này hai điểm khác nhau trên trục số có thể ứng với cùng một điểm trên đường tròn. Chẳng hạn điểm 1 trên trục số ứng với điểm Mị, nhưng khi cuốn quanh đường tròn một vòng nữa thì có một điểm khác trên trục số cũng ứng với điểm Mị. b) Nếu ta cuốn tia At theo đường tròn như trên hình 39 thì mỗi số thực dương t ứng vói một điểm M trên đường tròn. Khi t tăng dần thì điểm M chuyển động trên đường tròn theo chiều ngược chiều quay c.ủa kim đồng hồ. Tương tự, nêu cuốn tia i4Ctheo đường tròn thì mỗi số thực âm t ứng với một điểm M trên đường tròn và khi t giảm dần thì điểm M chuyển động trên đường tròn theo chiếu quay của kim đồng hồ. 133 Ta đi tới khái niệm đường tròn định hướng sau đây : Đường tròn định hướng là một đường tròn trên đó ta dã chọn một chiều chuyển động gọi là chiều dương, chiều ngược lại là chiều âm. Ta quy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ làm chiều dương (h.40). Trên đường tròn định hướng cho hai điểm A và B. Một điểm M di động trên đường tròn luôn theo một chiều (âm hoặc dương) từ A đến B tạo nên một cung lượng giác có điểm đầu A điểm cuối B. Hình 41 cho ta hình ảnh của bốn cung lượng giác khác nhau có cùng điểm đầu A, điểm cuối B. B B Ta có thể hình dung một điểm M di động trên đường tròn từ A đến B theo chiều ngược với chiểu quay của kim đồng hồ, nó lần lượt tạo nên các cung tô đậm trên hình 41. Nếu dừng lại ngay khi gặp B lần đầu, nó tạo nên cung tô đậm trên hình 4la), nếu nó dừng lại sau khi quay một vòng rồi đi tiếp gập B lần thứ hai nó tạo nên cung tô đậm trên hình 41b),... Khi M di động theo chiều ngược lại, nó tạo hên cung tô đậm trên hình 41 d) nếu nó dừng lại khi gặp B lần đầu,... Mỗi lần điểm M di động trên đường tròn định hướng luôn theo một chiều (âm hoặc dương) từ điểm A và dừng lại ở điểm B, ta được một cung lượng giác điểm đầu A điểm cuối B. Như vậy p Với hai điểm A , B đã cho trên đường tròn định hướng ta có vô số cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B. Mỗi cung như vậy đều được kí hiệu là Ẩầ. 134 CHỨ Ý Trên một đường tròn định hướng, lấy hai điểm A và B thì Kí hiệu AB chỉ một cung hình học (cung lớn hoặc cung bé) hoàn toàn xác định. Kí hiệu Ẩầ chỉ một cung lượng giác điểm đầu A, điểm cuối B. 2. Góc lươna aiác Góc lượng giác Trên đường tròn định hướng cho một cung lượng giác Ób (h.42). Một điểm M chuyển động trên đường tròn từ c tới D tạo nên cung lượng giác Ób nói trên. Khi đó tia OM quay xung quanh gốc o từ vị trí oc tới vị trí OD. Ta nói tia OM tạo ra một góc lượng giác, có tia đầu là oc, tia cuối là OD. Kí hiệu góc lượng giác đó là ( oc , OD ). 3. Đường tròn lượng giác tròn định hướng tâm o bán kính R = 1 (h.43). Đường tròn này cắt hai trục toạ độ tại bốn điểm A( 1 ; 0), A\-l ; 0), fl(0 ; 1), z?'(0 ; -1). Ta lấy A(1 ; 0) làm điểm gốc của đường tròn đó. Đường tròn xác định như trên được gọi là đường tròn lượng giác (gốc A). II - SỐ ĐO CỦA CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC 1. Độ và rađian a) Đơn vị rađian Đơn vị độ đã được sử dụng để đo góc từ rất lâu đời. Trong Toán học và Vật lí người ta còn dùng một đơn vị nữa để đo góc và cung, dó là rađian (đọc là ra-đi-an). 135 Trên hình 39 ta thấy độ dài cung nhỏ AMỵ bằng 1 đơn vị, tức là bằng độ dài bán kính. Ta nói sô đo của cung AM Ị (hay sô đo của góc ở tâm AOM [) bằng 1 rađian (viết tắt là 1 rad). Tổng quát Trên dường tròn tu ỳ ý, cung có độ dài bằng bán kính dược gọi là cung có số đo 1 rad. b) Quan hệ giữa độ và rađian Ta biết độ dài cung nửa đường tròn là nR, nên trong hình 43. sô' đo của cung AA' (hay góc bẹt AOA') là n rad (vì R = 1). Vì góc bẹt có số đo độ là 180 nên ta viết 180° = n rad. Suy ra n / 180 rad và 1 rad = 180 V It y Với 71 * 3,14 thì 1° « 0,01745 rad và 1 rad * 57 0 17'45". CHÚ Ý Khi viết số đo của một góc (hay cung) theo đơn vị rađian, người ta thường không viết chữ rad sau số đo. Chẳng hạn cung Tí , 71 — được hiếu là cung -- rad. 2 2 9 * 9 _ ? _ _ Báng chuyên đôi thông dụng Độ 30° 45° o o SO o o o\ N> o o 135° 150° o o- 00 Rađian 71 71 71 % 2n 3tt 5 71 — 71 6 4 7 2 3 4 6 4’. t . . / ^Sử dụng máy tinh bỏ túi để đổi từ độ sang rađian và ngược lại. Nếu dùng máy tính CASIO fx-500MS ta làm như sau a) Đổi 35°47’25” sang rađỉan Ấn ba lần phím MODE rỗi ấn 2 để màn hình hiện chữ R . Sau đó ấn liên tiếp SHIFT DRG ► cho kết quả 0.6247 (đã làm tròn đến bốn chữ số thập phân). 136 b) Đổi 3 rad ra độ Ân ba lần phím MODE 3 SHIFT DRG ► 2 Sau đó ấn liên tiếp SHIFT cho kết quả )71°53’J4” (đã làm tròn đến giây). c) Độ dài của một cung tròn Trên đường tròn bán kính /?, cung nửa đường tròn có số đo là n rad và có độ dài là ĩiR. Vậy Cung có sô'đo a rad của đường tròn bán kính R có độ dài 7 = Ra. 2. Số đo của một cung lượng giác Ví dụ. Xét cung lượng giác Ẫầ trong hình 44a). Một điểm M di động trên đường tròn theo chiều dương. Khi M di động từ A đến B tạo nên cung — 4 TE đường tròn, ta nói cung này có sô' đo -ị, sau đó đi tiếp một vòng tròn nưa (thêm 2n), ta được cung lượng giác Ẩầ có số đo là ^ + 2 71 = -^-. Tương tự, cung lượng giác Aầ trong hình 44b) có số đo là 7Ĩ . 9n ~r + 2n + 2n = 2 2 Cung lượng giác Ẩt trong hình 44c) lại có số đo là a) c) b) Hình 44 137 Từ các ví dụ nêu trong hình 44 ta thấy Số đo của một cung lượng giác Ẵề/l (A ±M) là một số thực, âm hay dương . - X Kí hiệu số đo của cung Ấỳỉ là sđ Ẵì/Ị. Cung lượng giác ữ> (h.45) có sô đo là bao nhiêu ? GHI NHỚ Số đo của các cung lượng giác có cùng điểm đầu và điểm cuối sai khác nhau một bội của 271. Ta viết sáẨề/Ị = a + kin, ke z ị trong đó a là số đo của một cung lượng giác tuỳ ý có điểm đầu là A và điểm cuối là M. Khi điểm cuối M trùng với điểm đầu A ta có sđ AA = k2n, ke TL\ khi k = 0 thì sđ ẴẰ =0. Người ta cũng viết sô' đo bằng độ. Công thức tổng quát của số đo bằng độ của các cung lượng giác Ẩề/Ị là sđ Ẩftỉ = a° + k360°, ke 1 trong đó a là sô' đo của một cung lượng giác tuỳ ý có điểm đầu là A và điểm cuối là M. 3. Sô đo của một góc lượng giác Ta định nghĩa Số đo của góc lượng giác (OA, OC) là sô do của cung lượng ì giác Ẫt tương ứng. 138 Â 3 /^Tìm số đo của các góc lượng giác (OA, OE) và (OA, OP) trên hình 46 (điểm E là điểm chính giữa của cung ĨẼB ', AP = ị AB ). Viết số đo này theo đơn vị rađian và theo đơn vl đô. * m CHÚ Ý Hình 46 Vì mỗi cung lượng giác ứng với một góc lượng giác và ngược lại, đồng thời số đo của các cung và góc lượng giác tương ứng là trùng nhau, nên từ nay về sau khi ta nói về cung thì điều đó cũng đúng cho góc và ngược lại. 4. Biểu diễn cung lượng giác trên đường tròn lượng giác Chọn điểm gốc /4(1 ; 0) làm điểm đầu của tất cả các cung lượng giác trên đường tròn lượng giác. Để biểu diễn cung lượng giác có số đo ortrên đường tròn lượng giác ta cần chọn điểm cuối M của cung này. Điểm cuối M được xác định bởi hệ thức sđ M/ỉ = a. * ■ Ví dụ. Biểu diễn trên đường tròn lượng giác các cung lượng giác có số đo lần lượt là 2571 —£ C 0 a) — -7— ; b) -765 . 4 • 2l Giải ^ + 3.271. 4 Vậy điểm cuối của cung —Ị- là điểm 4 chính giữa M của cung nhỏ/4£ (h.47). b) -765° =-45° +(-2).360°. Vậy điểm cuối của cung -765° là điểm chính giữa N của cung nhỏ AB' (h.47). Hình 47 139 Bài tập 1. Khi biểu diễn các cung lượng giác có sô' đo khác nhau trên đường tròn lượng giác, có thể xảy ra trường hợp các điểm cuối của chúng trùng nhau không ? Khi nào trường hợp này xảy ra ? 2. Đổi số đo của các góc sau đây rả rađian a)18°; b)57°30'; o 1 tó Lh à 'i * d)-125°45 Đổi số đo của các cung sau đây ra đô, phút, giây a) — ; 18 >%■ c)-2 ; d) 7 4. Một đường tròn có bán kính 20cm. Tìm độ dài của các cung trên đường tròn đó có số đo a)-^; b) 1,5; c)37°. 5. Trên đường tròn lượng giác hãy biểu diễn các cung có số đo b)135°; d) -225°. 6. Trên đường tròn lượng giác gốc A, xác định các điểm M khác nhau, biết V rx , răng cung AM có sô đo tương ứng là (trong đó k là một số nguyên tuỳ ý) a) kn ; b) ; c) k^- 2 3 7. Trên đường tròn lượng giác cho điểm M xác định bởi sđ ẤỀí = a (0 < a <-^). Gọi lần lượt là điểm đối xứng của M qua trục Ox, trục Oỵ và gốc toạ độ. Tìm số đo của các cung Ấftf\,Ấìfa 2>™^3 ■ 140 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG • • • I - GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA CUNG a K'. * " 5 Nhắc lại khái niệm giá trị lượng giác của góc a, 0° < a< 180°. Ta có thể mở rộng khái niệm giá trị lượng giác cho các cung và góc lượng giác. 1. Định nghĩa Trên đường tròn lượng giác cho cung ẢM có sđ ÁM=ữ (còn viết ẨÈí = a) (h.48). Tung độ y = OK của điểm M gọi là sin của ỚT và kí hiệu là sin ỚT. sin a= OK. Hoành độ X = OH của điểm M gọi là côsin của oc và kí hiệu là cos a. cos a = OH . Hình 48 Nếu COSỚT * 0, tỉ số SinQr gọi là tang của ữ và kí hiệu là tana (người ta COSỚT còn dùng kí hiệu tgớr) sin ỚT tan a = COSỚT Nêu sin ỚT * 0, tỉ số ——— gọi là côtang của cu và kí hiệu là cotớr (người ta sin ỚT còn dùng kí hiệu cotgớr) cos a cot a = ——— sin a Các giá trị sin ỚT, cos a, tan ỚT, cot a được gọi là các giá trị lượng giác của cung a. Ta cũng gọi trục tung là trục sin, còn trục hoành là trục côsin. 141 CHÚ Ý 1. Các định nghĩa trên cũng áp dụng cho các góc lượng giác. 2. Nếu 0° 1? ơ- < 180° thì các giá trị lượng giác của góc ơ chính là các giá trị lượng giác của góc đó đã nêu trong SGK Hình học 10. 2. Hệ quả 1) sinor và cosor xác định với mọi ae R. Hơn nữa, ta có sin(or+Ấ:27i) = sinor, Mke cos(or+ k2n) = cosor, VẤ: e z ■ 2) Vì -1 < ÕK < 1 ; -1 < ỡ/ỹ < 1 (h.48) nên ta có -1 < sin a< 1 -1 < cosor< 1. 3) Với mọi me R mà -1 < m < 1 đều tồn tại orvà /3 sao cho sinor = m và cos Ị3 = m. 4) tanor xác định với mọi a ^ -r + kn (k e z). í 2 Thật vậy, tanor không xác định khi và chỉ khi cosor = 0, tức là điểm cuối M của cung Ẩìti trùng với B hoặc B' (h.48), hay a = -Ị- + kn (k e Z). 5) cotorxác định với mọi a ^ kn (ke Z). Lập luận tương tự 4). 6) Dấu của các giá trị lượng giác của _ góc a phụ thuộc vào vị trí điểm cuối B của cung Mi = a trên đường II tròn / 1 lượng giác (h.49). ( \ Aị_ h\ /1 [ 0 Xã rỉ * \ K' 1 ~~ỵ M III IV B' Hình 49 142 Bảng xác định dấu của các giá trị lượng giác I + + + + 3. Giá trị lương giác của các cung đặc biệt 3 Từ định nghĩa của sina và cosa, hãy phát biểu ý nghĩa hình học của chúng. 1. Ý nghĩa hình học của tan a Từ A vẽ tiếp tuyến t'At với đường tròn lượng giác. Ta coi tiếp tuyến này là một trục số bằng cách chọn gốc tại A và vectơ đơn vị 1 = OB. 143 Cho cung lượng giác AM có sô' đo là a (a ^ + kn). Gọi T là giao điểm của OM với trục t'At (h.50). Giả sử T không trùng với A. Vì MH // AT, , AT _ OA .. ta có —— = ——. Từ đó suy ra HM OH AT OA HM OH Vì HM = sina, OH = cos a và OA = 1 nên từ (1) suy ra sin a HM AT tan a = = AT. cos a OH OA Khi T trùng A thì a - kn và tana = 0. Vậy Hình 50 tan a đươc biểu diễn bởi đô dài dai số của vectơ AT trên truc ỈAt. Trục t'At được gọi là trục tang. 2. Ý nghĩa hình học của cota Từ B vẽ tiếp tuyến s'Bs với đường tròn lượng giác và xác định trên tiếp tuyến này một trục có gốc tại B và vectơ đơn vị bằng OA. Cho cung lượng giác AM có số đo là a (a^ kn). Gọi s là giao điểm của OM và trục T5s(h.51). Lí luận tương tự mục trên, ta có cotor = BS. Hình 51 — p ^ 9 - * cot a được biểu diễn bởi độ dài đại sô của vectơ BS trên trục s’Bs. Trục s’Bs được gọi là trục côtang. 144 4 « r ^ Từ ý nghĩa hình học của tan a và cot a hãy suy ra với mọi số nguyên k % tan(ữ + kn) = tan <2, cot(a + kn) = cot a. III - QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC 1. Công thức lượng giác cơ bản Đối với các giá trị lượng giác, ta có các hằng đẳng thức sau . 2 _ , _ 2 _1 sin a + cos a = 1 1 + tan a =--—> cos 2 a 1 + cot a -—-—, sin 2 a tana . cota = 1, 4 « / ^Từđịnh nghĩa của sina, cosa hãy chứng minh hằng đẳng thức đầu tiên, từ đó suy ra các hằng đẳng thức còn lại. 2. Ví dụ áp dụng 71 a ^ — + kĩi, k e z 2 a * kn, k e z a * —, k e z. , 3 71 Ví í/ạ 7. Cho sin a = —, với — < a < n. Tính cos a. 5 2 > 2 .2 16 4 Giải. Ta có cos a = l - sin a = 4-7, do đó cos a = ± — 25 5 71 Vì < a < 71 nên điểm cuối của cung a thuộc cung phần tư thứ II, do đó cosa < 0. Vậy cos a = 4 3 tc Vỉ dụ 2. Cho tana = , với ~r<a< 2n. Tính sin a và cosa. 5 2 10.ĐẠI Số 10-A 145 /^1 • ỹ • 'T' _ _ ' Giai. I a có cos a = ] 1 25 1 + tan 2 a 1 + 1Ế. 41 25 ±5 cosa = s[ÃĨ suy ra 3tc ■> Vì -Ị2 '< a < 2n nên điểm cuối của cung a nằm ở cung phần tư thứ IV, do đó cos a > 0. Vậy cos a - yỊĨĨ _ _ . _ 4 5 Từ đó sin a = tan a . cos a = — 5 Vũ. 4ÃĨ Ví dụ 3. Cho a * -r + kn, k e z. 2 cos a 4- sin a T 1 Chứng minh rằng - = tan 5 a + tan 2 a + tan a + 1 „3 cos a 71 Giải . Vì a ^ — + fc7T nên cos a ^ 0, do đó cả hai vế của đẳng thức cần '2 chứng minh đếu có nghĩa. Ta có cosa + sina 1 cosa + sina „3 cos a cos 2 a cos a = (1 + tan a) (] + tana) 3 2 = tan a + tan a + tan a + 1. 3. Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt 1 ) Cung đối nhau : a và -a. I Các điểm cuối của hai cung a = _ rx và -a = AM đối xứng nhau qu hoành (h.52), nên ta có cos(-a) sin(-ậ) tan(-ậ) cot(-ậ) cosa -sina -tana —cot a. 146 10.ĐẠI SỐ 10-B 2) Cung bù nhau : a và 71 - a. Các điểm cuối của hai cung a- ẤỀ và 71 ~ a= Am' đối xứng nhau qua trục tung (h.53), nên ta có sin (71 - tí) = sin ơ cos (71 - Ờ) = -cos cc tan(7ĩ - a) = - tan a cot(7T - tí) - -cotớr. 3) Cung hơn kém 7t: a và (a+ n). Các điểm cuối của hai cung cc và (ứr+ n) đối xứng nhau qua gốc toạ độ o (h.54), nên ta có sin(ớr+ 71) = -sinớr cos(ớr+ 71) = -cos cc tan (a + n) = tan a cot(ớr+ 71) = cotớr. í 4) Cung phụ nhau : cc và 71 — — oc \2 Các điểm cuối của hai cung (X và í 71 — - a \2 đối xứng nhau qua phân giác d của góc xOy (h.55), nên ta có 147 Tính cos f Un'' V 4 ; tan^ỉ^, sin(-1380°). 6 Bài tạp 1. Có cung <2 nào mà sin <2 nhận các giá trị tương ứng sau đây không ? a) -0,7 ; b) 3 ; :) -V2; d) 2. Các đẳng thức sau có thể đồng thời xảy ra không ? . . _ V2 ___ s . a) sin <2 = — và cos <2 - —— ; 3 3 b) sin a = —- và cos a = —— ; 5 5 c) sin a = 0,7 và cos a = 0 , 3 . 3. Cho 0 < a <-T Xác định dấu của các giá trị lượng giác 2 . I í a) sih (<2 - 7t) ; b) cos 3n \ K 2 - a c) tan(a + 7ĩ) ; d) cot f K ^ ct + —“ k 2 ) 4. Tính các giá trị lượng giác của góc a, nếu 4 „ n a) cosa = — và 0 <ứ;<- 7 ; 13 ,_ 15 7t c) tana = và — < a< K ; 7 2 5. Tính a, biết a) cos < 2 = 1 ; c) cos ữ = 0 ; b) sin a = -0,7 và K < a < 3n d) cot a = -3 và < a < 2n. e) sin a - -1 ; 148 b) cos a - -1 ; d) sin <2 = 1 ; f) sin <2 = 0. CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC I - CÔNG THỨC CỘNG Công thức cộng là những công thức biểu thị cos(ứ ± b ), sin(ứ ± b), tan (a ± b )- cot(ứ ± b) qua các giá trị lượng giác của các góc a và b. Ta có cos(ứ - b) - cosacosb + sinasinố cos(ứ + b) = cosacosb - sinứsínố sin(ứ - b) = sinứcosố - cosữsinố sin(ứ + b) = sinacosố + cosứsinố , ,. tanữ - tan b tan (a - b) =-—---- 1 + tan a tan b , ,. tan ứ + tan b tan(ứ + b)= - --- 1 - tan <2 tan Với điểu kiện là các biểu thức đều có nghĩa. Ta thừa nhận công thức đầu. Từ công thức đó có thể chứng minh dễ dàng các công thức còn lại. Chẳng hạn cos(ứ + b) = cos[ứ - (-b)] = cosữcos (—b) + sinứsin(-ố) = cosacosb - sinasinố. sin(ứ -b)- cos - cos f n ^ - a + b 12 J v2 J f n 7 * f n A cos — - ơ cos b - sin — — a \2 ) u J - sinacosố - cosứsinố. Hãy chứng minh công thức sin(ứ + b) = siriứcosò + cosứsinò 149 1371 Ví dụ 1. Tính tanTr-- 12 Giải. Ta có 137Ĩ r n ^ n ^71 tan — = tan — + n - tan — = tan — — 12 I12 J 12 lĩ 4 J % _ n tan f~ lan 4 V3-1 1 + tan ^ tan ^ 1 + >/3 3 4 Vỉ dụ 2. Chứng minh rằng sin(ứ + b) tana + tanò sin(ớ - b) tan a- tan b • _2 • rp s Giai . Ta có sin(a + b) sinacosồ + cosasinồ sin(a - b) sin a cos b - cos a sin b Chia cả tử và mẫu của vế phải cho cosacosồ, ta được điéu phải chứng minh. II - CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI Cho a - b trong các công thức cộng ta được các côhg thức nhân đôi sau. sin2a = 2sinacosa- 2 .2 2 . 2 cos2a - cos a - sin a = 2cos a — 1 = 1- 2sin a - 2 tan <2 tan2a =-———— 1 - tan 2 a Từ các công thức nhân đôi suy ra các công thức 2 1 + cos2a cos a =-——— . 2 .2 1 - cos2a sin a = -7-— 2 150 2 1 - cos2a tan a - -——— • 1 + cos2a Các công thức này gọi là các công thức hạ bậc . Ví dụ 1. Biết sina + cosa = -ị, tính sin2a. 2 Giải. Ta có 1 = sin 2 ứ + cos 2 <3 = (sina + cosa) 2 - 2sinacosa - sin 2 a. Suy ra sin2a = . 4 Ví dụ 2. Tính cos^. 8 . 9« rp s \ »2 Tí Giai. Ta có —— = cos — 2 4 9 71 , V 2 Suy ra 2cos 2 -7 - 1 4 - — 8 2 Wft .._2 rc- _ 2 + V 2 Vậy cos — = ——-— 8 4 ~2 n 2 cos — Vì COS-Ị 7 > 0 nên suy ra cos^- = — ^2 . 8 8 2 III - CÔNG THỨC BIẾN Đổi TÍCH THÀNH TổNG, TỔNG THÀNH TÍCH 1. Công thức biên đổi tích thành tổng Các công thức trên được gọi là các công thức biến đổi tích thành tổng. 151 Từ các công thức cộng, hãy suy ra các công thức trên Ví dụ 1. Tính giá trị của các biểu thức 3tc , _ K ™ 3tc . D . 1 3tc . 5n A = sin — cos —B = sin——sin —• 8 8 24 24 Giải. Ta có . 71 3tĩ 1 * ^ 7t 371 ^ • í n 3ti^ sin —cos =z — sin — — - + sin — + 8 8 2 u 8 , V8 8 J 1 " í ít ì . 71 1 í, sin — + sin — — — 1 - —— 2 V 4 J 2 _ 2 l 2 ) . 13ti . 571 1 ^13tĩ 5tc^ ( 13ti 571^ sin —sin — — — cos — - - cos — + 24 24 2 l 24 24 ) t 24 24 J í TC 3tt cos — - cos — \ ) IÍI + ^ 2 I 2 + 2 ) 1 + 72 Công thức biến đổi tổng thành tích Bằng cách đạt li = a - b, V = a + b t hãy biến đổi cos u + cosv, sinw + sinv thành tích. Ta gọi các công thức sau đây là các công thức biến đổi tổng thành tích _ u + V u — V cos u + cosv = 2cos——cos ——- cos u - cos V = sin« + sin V = sinw - sin V = . M + V u - V -2 sin —-— sin —-— 2 . 2 _ . u + V u - V 2sin-cos-- _ u + V . li - V 2cos——sin--- Ví dụ 2. Tính n 5ti 7ti A = cos— + cos—— + cos— 9 9 9 Giải. Ta có n 7n) 5n COS— + COS— + COS-— 9 9) 9 ~ 4n n ( 5n = 2cOS— -cos— - cos 71- — 9 3 V 9 _ 4n 4tĩ = cos —— - cos— = 0. 9 9 Ví dụ 3. Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có ABC sin/4 + sinfi + sinC = 4cos—cos—cos—• 2 2 2 Giải. Trong tam giác ABC ta có A + B + c = n. ___ A + B n c Từ đó suy ra 2 2 A + B c . c _ A + B Vì vây, sin—-— = cos—, sin— = cos—— 2 2 2 2 Bây giờ ta có A , /-. _ -> ^ + B „„„ A - B c _ c sin/t + sinc + sinC = 2sin—-—cos— -1- 2sin—cos—T 2 2 2 2 - c ( A - B . c\ 2\ 2 2 ) B . _A + B) = 2cos— cos—-— + cos—— 2 V 2 2 ) = 4cos—cos—cos—• 2 2 2 Bài tạp 1. Tính a) cos225°, sin240°, cot(-15°), tan75° ; . 7ti ( n} \3n b) sin > cos “TT > tan-^-. ' 12 V 127 12 153 2. Tính 4. 5. a)cos ^ 71N « + - V 3 J , . . . 1 _ TỊ , biết sin a = - 7 =- và 0 < <2 < — v3 2 / b) tan 7t^ . . 1.71 a —- V 4) , biết cosa = -4- và -4 < a < 71, 3 2 c) cos(ứ + b), sin(ứ - b), biết sin ứ = 4, 0° < a < 90° và sin b 5 4 , 90° < b 3 3. Rút gọn các biểu thức ( a) sin(ứ + b) + sin 71 — - a \ V2 í b) GOS 7t — + a \ í n N — - a v4 cos í c) cos n - a J \ \4 ) sin (-b). 1 .2 „ + —sin a 2 V 2 sin ) -z - b - sin(ứ \2 ) -b). Chứng minh các đẳng thức cos(ứ - b) _ cot ứCOt b + 1 a) cos(ứ + b ) cot ữcot b - 1 b) sin(ứ + b)sin(ứ - b) = sin z a - 2 sin 2 b c) cos(ứ + b)cos(a - b) = cos a Tính sin2ứ, cos2ứ, tan2ứ, biết - sin 2 b 2 2 cos b - cos = cos z b - sin a) sinứ = -0,6 và 71 < a < 371 6 . b) cosứ =- và — < a < 71. 13 2 , _ 1 .371 c) sinứ + cosứ = — và — < a < n. 2 4 Cho sin2ứ = -4 và < a < 71. 9 2 Tính sina và cos a. <180°. a. a. 154 7. Biên đổi thành tích các biểu thức sau a) 1 - sinx ; c) 1 + 2cosjc ; Rút gọn biểu thức b) 1 + sinx ; d) 1 - 2sin;c. sin JC + sin3x + sìn5x A =-—---—• cosx + cos3a' + cos5x ÔN TẬP CHƯƠNG VI * 1. Hãy nêu định nghĩa của sina, cos a và giải thích vì sao ta có sin(tf+ k2n) = sina ; k G z cos(a + k2n) = cos a ; k € z. 2. Nêu định nghĩa của tana, cottt và giải thích vì sao ta có tan(a+ - tana, k G z ; col (a + kn) = cola, k e z. 3. Tính . .__ V2 7t a) sin a, nêu cos = —— va — < < 7t ; .32 b) cosa, nếu tan a = 2yÍ2 vần < a < 3n 4 . , __._2 3n c) tana, nêu sin a= yà— < a < 2n ; 3 2 _ 1 ... n d) cota, nêu cosa= va— < a < n. 4 2 Rút gọn các biểu thức 2sin2tf - sin4a a) 2sin2tf + sin4a sin c) / n ^ — - a V4 J + cos n , “— cc KA / sin 7t -- - a u - cos / n . — - a V4 b)tan a f __2 1 + cos V sina d) sin5tf - sin3tt 2cos4<2 \ sina ; ) 155 5. Không sử dụng máy tính, hãy tính . 2271 a) cos—— ; b) sin 23 n . . 25n 10 7 t c) sin —-tan- 3 3 6 . Không sử dụng máy tính, hãy chứng minh Vỏ d) cos — - sin — 8 8 a) sin 75° + cos75° = b) tan 267° + tan 93° = 0 ; c) sin 65° + sin 55° =. V3cos5° ; 7. Chứng minh các đổng nhất thức d) cosl2° -cos48° =sinl 8 °. . 1 - cosx + cos 2 x a) — -= cotx ; sin 2x - sin X . 2cos2x - sin 4x . 2 c) 7 -T--— 7 - = tan 2cos2x + sin4x ( n -X \ V4 sinx + sin^ b) --— = tan^- ; , __ „ X 2 1 + cosx + cos — 2 d) tanx - tany = sin(x - y) cosxcos y 8 . Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc X ( _ \ 71 fn ì sin — + X - cos -X u ) v4 ) í b) B = cos 71 - X - sin í n ^ — + X K6 ) \3 . 2 r n ^ ^ 71 ^ sin X + cos cos -h X V 3 J b ) _ 1 - cos 2 x + sin 2 x d) D = -— — ~ 7 " • cot X. 1 + cos 2 x + sin 2 x 156 Bài tộp trắc nghiệm Chọn phương án đúng trong các bài tập sau 9. Giá trị sin là (A) VI (B) i’ (C) V2 V5 .. 3n 10. Cho cosa = —~~ với n < a < - 7 -- Giá trị tana là (D) V (A) -4 (B) VI’ (C)- VI’ (D)- VI 5rt , 9 í 7Ĩ 11. Cho a = - 7 - . Giá trị của biểu thức cos3a + 2cos(ĩĩ - 3a)sin z -7 - l,5a 6 ■ \4 \ (A) 4 (B) VI (C) 0; là (D) 2-VI 12. Giá trị của biểu thức A = 2cos 2 ?-1 8 1 + 8 sin — cos — là 8 8 (A) - VI (B) -VI. (C)- VI (D) VI ^ 1 4sina + 5cosa )V 13. Cho cotớ = 7 -. Giá trị của biếu thức B = 7 —- ~ là 2 ■ 2sina-3cosớ (A) 1 17 (B)|; (C) 13 ; (D)|. 9 14. Cho tana = 2. Giá trị của biểu thức c = sin <3 'ì _ 3 sin a + 2 cos a là (A) 12 (B) 1 ; (C) - s_ 11 (D) - 10 ĨT 11 DẠI só 10-A 157 CHỈ DẪN LỊCH sử Như mọi khoa học khác, Lượng giác phát sinh từ nhu cầu của đời sống. Sự phát triển của ngành Hàng hải đòi hỏi phải biết xác định vị trí của tàu bè ngoài biển khơi theo Mặt Trời lúc ban ngày và theo các vì sao lúc ban đêm. Các cuộc chiến tranh đòi hỏi phải biết xác định những khoảng cách lớn và lập những bản đồ. Người nông dân cần biết sự thay đổi của thời tiết trong năm để sản xuất cho kịp thời vụ, nên phải có lịch, v.v... Các nhu cầu kể trên đã làm cho môn Lượng giác phát sinh và phát triển. Trước hết các nhà toán học Hy Lạp đã góp phần đáng kể vào việc phát triển môn Lượng giác và sau đó ơ-le là người đã xây dựng Lí thuyết hiện đại về Hàm số lượng giác trong cuốn "Mở đầu về Giải tích các đại lượng vô cùng bé" xuất bản năm 1748. Ơ-LE ơ-le là một trong những nhà toán học lớn nhất từ xưa đến nay. Ông sinh tại Ba-lơ (Thuỵ Sĩ), ông đã phát triển tất cả các ngành Toán học, từ những vấn đề rất cụ thể như đường tròn ơ-le, cho tới những khái niệm hiện đại nhất nằm ở mũi nhọn của tiến bộ trong thời đại ông. ơ-le đã tiến hành nghiên cứu những đề tài khoa học rất đa dạng như Cơ học, Lí luận âm nhạc, Lí thuyết vẽ bản đổ địa lí, Khoa học hàng hải, các vấn đề về nước triều lên xuống, v.v... Ông thường bổ sung, hoàn bị những lí thuyết Toán học cũ, và nghiên cứu thêm những lí thuyết Toán học mới. Trong cuộc đời mình, ơ-le đã viết trên 800 công trình về Toán học, Thiên văn và Địa lí. Ồng đã đặt cơ sở cho nhiều ngành Toán học hiện nay đang được dạy ở bậc đại học. ơ-le là người rất say mê và cần cù trong công việc, ông không từ chối bất kì việc gì, dù khó đến đâu. Chẳng hạn, để giải một bài toán thiên văn, mà nhiều nhà toán học khác đòi hỏi một thời gian vài ba tháng, thì ông đã giải xong chỉ trong ba ngày. Do những cố gắng phi thường đó ông đã mắc bệnh và hỏng mất mắt phải, về sau,'ông bị mù cả hai mắt. Tuy thế, ông vẫn tiếp tục lao động sáng tạo và không ngừng cống hiến xuất sắc cho khoa học trong suốt 15 năm cuối đời mình. Tên của ơ-le được đặt cho một miệng núi lửa ở phần trông thấy được của Mặt Trăng. L. Ơ-LE (Leonhard Euỉer, 1707 - 1783 ) 158 11 .ĐẠI SỐ 10-B ÔN TẬP CUỐI NĂM I - Câu hỏi 1. Hãy phát biểu các khảng định sau đây dưới dạng điều kiện cần và đủ Tam giác ABC vuông tại A thì BC 2 = AB 2 + AC 2 . Tam giác ABC có cắc cạnh thoả mãn hệ thức BC 2 = AB 2 + AC 2 thì vuông tại A. 2. Lập bảng biến thiên và vẽ đổ thị của các hàm số a) y = - 3x + 2 ; b) y = ĩ 2 ; c ) y = 2 2 -3x + 1. 3. Phát biểu quy tắc xét dấu một nhị thức bậc nhất. Áp dụng quy tắc đó để giải bất phương trình (3* - 2)(5 - -0 (2 - lx) 4. Phát biểu định lí về dấu của một tam thức bậc hai /00 = ax + bx + c. Áp dụng quy tắc đó, hãy xác định giá trị của m để tam thức sau luôn luôn âm. f(x) = -2x 2 + 3x + 1 - m. 5. Nêu các tính chất của bất đẳng thức. Áp dụng một trong các tính chất đó, hãy so sánh các số 2 3000 và 3 2000 . 6. a) Em hãy thu thập diểm trung bình học kì I về môn Toán của từng học sinh lớp mình. b) Lập bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớp để trình,bày các số liệu thống kê thu thập được theo các lớp [0 ; 2), [2 ; 4), [4 ; 6), [6 ; 8), [8 ; 10]. 7. Nêu các công thức biến đổi lượng giác đã học. 8. Nêu cách giải hệ hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn và giải hệ Í2x + y>ỉ X - 3y < 1 . II - Bài tập 1. Cho hàm s ố/co = 'ịx 2 + 3x + 4 - yj-x 2 +8x - 15. 159 a) Tìm tập xác định A của hàm s ốf(x). b) Giả sử = {x e R I 4 <X < 5}. Hãy xác định các tập A \ B và R \{A\B). 2. Cho phương trình 2 mx -2x — 4m - 1 = 0. a) Chứng minh rằng với mọi giá trị m 0, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt. b) Tim giá trị của /77 để — 1 là một nghiệm của phương trình. Sau đó tìm nghỉệm còn lại. 3. Cho phương trình X 2 - 4mx + 9(m - l) 2 = 0. a) Xét xem với giá trị nào của m, phương trình trên có nghiệm. b) Giả sử Xị, Xi là hai nghiệm cửa phương trình đã cho, hãy tính tổng và tích của chúng. Tim một hệ thức giữa X| và *2 không phụ thuộc vào m. c) Xác định m để hiệu các nghiệm của phương trình bằng 4. 4. Chứng minh các bất đẳng thức sau a) 5(x - 1) < X 5 - 1 < 5;t 4 (x - 1), nếu X - 1 > 0 ; b) X 5 + y 5 - x*y - xy 4 > 0, biết rằng X + y > 0 ; c) \Ỉ4ÕTỉ + V4 b + 1 + yÍ4c + 1 < 5, biết rằng a, b, c cùng lớn hơn —7 và a + b + c = 1. 4 5. Giải hệ phương trình sau bằng cách đưa về hệ phương trình dạng tạm giác X + 3y + 2z = ì < 3x + 5y - z = 9 5* - 2y - 3z = -3. 6. a) Xét dấu biểu thức f(x) = 2x(x + 2) - (x + 2)(x + 1). 160 b) Lập bảng biến thiên và vẽ trong cùng một hệ toạ độ vuông góc các đồ thị của các hàm số sau y = 2x{x + 2) (C,) y = (jc + 2)(jc+l) (C 2 ). Tính toạ độ các giao điểm AvaB của (Cj) và (C 2 ). c) Tính các hệ số ứ, b, c để hàm số y = ax + bx + c có giá trị lớn nhất bằng 8 và đồ thị của nó đi qua A và B. Chứng minh các hệ thức sau _2 1 - 2 sin a _ 1 - tana 1 + sin 2a 1 + tan a , . sina + sin3a + sin5a b) ——— - ^ -— = tan 3 a ; cosa + cos3a + cos5a sin a — cos a + cos a 2 ữ c)- „„ _ x -= cos - ; d) 2(1 - cosa) 2 Rút gọn các biểu thức sau . 1 + sin 4a - cos 4 a , ' a) ---—— ; b) : 1 + cos4a + sin4a „ cos 2 jc - sin 4 jc - cos 6x c)——- -r—- -—— cos 2x + sin 4x - cos 6x Tính a) 4(cos24° + cos48° - cos84° - cosl2°). tan 2x tan X tan 2 X - tan Jf = sin2;r. . . 1 + cos a . 2 a 2 b)^-tan — - cos a ; 1 - cos a 2 _ Ị— . 7t Tí Tí 71 Tí b) 96V3 sin --- cos cos - 7-7 cos "- 7 - cos -7 ■ 48 48 24 12 6 c) tan9° - tan63° + tan81° - tan27°. 10. Rút gọn . _ X 2x 4x 8 jc , , . X - , 3x . 5x a) cos—cos —— cos —— cos —— ; b) sin—+ 2 sin—+ sin —• 5 5 5 5 7 7 7 11. Chứng minh rằng trong một tam giác ABC ta có a) tan A + tan B + tan c = tan A tan B tan c (Ầ , B , c cùng khác ) ; b) sin2i4 + sin 27? + sin2C = 4 sin ;4 sin 7? sin c. 12. Không sử dụng máy tính, hãy tính sin 40° - sin 45° + sin 50° 6(73 + 3 tan 15°) cos 40° - cos 45° + cos 50° 3-73 tan 15° 161 ĐÁP SỐ CHƯƠNG I § 1 - ]. a) Mệnh đề ; b) Là mệnh đề chứa biến. c) Là mệnh đề chứa biến; d) Mệnh đề. 5. a) \/x e R : X. 1 -x; b) 3x € R : X + X = 0 ; c) Vjc e M : X + (-jc) = 0. 7. a) 3n G N : n không chia hết cho n (đúng); b) v.t e Q : X 2 2 (đúng) ; c) 3x e M : X > X + 1 (sai) ; d) V;t 6' R : 3x X 2 + 1 (sai). § 2 . 1. a)A = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18} ; b) B = (x e N \x = n(n + 1), 1 < n < 5 Ị. 2. a) A c B và A * B ; b )A = B. 3. a) 0 , (ứ), [b),A\ b) 0 , (01, |1|, (2), 10, 1 Ị, {0, 2}, |1,2},£. §3. 1. C7ỈịC, o, /, T, N,E} ; &= |C, o, H , /, T, N, Ê, Ô, G, M, A, s, Ă, Y,K) ; c4\&= |//| ; |Ớ,G, M, A, s, Ă, Y,K }. 3. a) 25 ; b) 20. 162 4. A n A = A ; AuA = A;An0-0; Au0 = A; C a A = 0 ; c A <z> = 4 . §4. 1. a) [-3 ; 4] ; b) [-1 ; 2] ; c) (-2 ; + 00 ) ; d) [-1 ; 2) ; e) (-00 ; +oo). 2. a) [-1 ; 3] ; b) 0 ; c) 0 ; d) [-2 ; 2]. 3. a) (-2 ; 1] ; b) (-2 ; 1);. c) (-00 ; 2] ; d) (3 ; +oo). §5. 2. /=1745,3. 3. a)a = 3,141592654; b) Với b = 3,14, A b < 0,002 ; với c = 3,1416, A c < 0,0001. 4. b) 51139,3736. 5. b) 0,0000127 ; c) -0,02400. Ôn tập chương I 8. a) Đúng ; b) Sai. 9. E cG c B cC c A ; E cz D cz B czC cz A. 10. a) A = (-2, 1,4,7, 10, 13} ; b ) B= (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 , 12 } ; c) C= {-1, 1}. lLP<=>:r;/?<=>S;<2<=>X. 12. a) (0 ; 7) ; b) (2 ; 5) ; c) [3, +oo). 13. a = 2,289 ; A a < 0,001. 14. 347. 15. a) Đúng ; c) Đúng ; e) Đúng. 16. (A). 17. (B). 2 d) y = X - 3x + 2 hoặc y = 16x 2 + Ỉ2x + 2. 4. a = 3, b = -36, c = 96. Ôn tập chương II CHƯƠNG II § 1 - 1. a )D= R\j~Ị ; b) D = R \ {1 ; -3} ; 8. a) D = [-3 ; +oo)\ )-] } ; b)D = — 00 : — V 27 c)D=R. 11. a = -1, b = 4. 12. a) a = l,ồ = -l,c = -l. c) D = b) a = -1, ò = 2, c = 3. 13. (C). 2 . 3. 4. § 2 . 2 . 3. * = 3,y = 4 ; * = -l,y = -1 ; ^ = 2,^ = 3. a) M thuộc đồ thị ; b) N không thuộc đổ thị ; c) p thuộc đồ thị. a) Hàm số chẵn ; b) Không là hàm số chẵn, không là hàm số lẻ ; c) Hàm số lẻ ; d) Không là hàm số chẵn, không là hàm số lẻ. a) a = -5, 6 = 3; b) a - - 1 , 6 = 3; c) a = 0, 6 = -3. a) y = 2x - 5 ; b) y = -1. 14. (D). 15. (B). CHƯƠNG III §1. 3. a) X = 1 ; b) X = 2 ; o * II ƯO ■ d) Vô nghiệm. 4. a) X = 0 ; b) X = —; 2 c) X = 5 ; d) Vô nghiệm. §2. / 23 1. a) x= ; 16 b) Vô nghiệm ; c) x = = ; 3 d) X — ——• 2 §3. 3. a )y = 2x 2 + X + 2 ; b) y = -ịi 2 — .V + 2 ; 3 c) _y = JC 2 -4.V + 2 ; # 2. a) /n * 3 thì nghiệm là X = 2 m + 1 /77-3 /72 = 3 phương trình vô nghiệm, b) /77 ^ 2 và m í- - 2 thì nghiệm là 3 X = /77 + 2 m = 2 thì mọi X G R là nghiệm ; m — -2 phương trình vô nghiệm, c) m * 1 thi nghiệm là A* = 1. m = 1 thì mọi X G R là nghiệm. 3. 45 quả. 4. a) JC, = 1, = -1 ; _ _ Vĩõ M . * 3= 2 ’ A ' 4= ' 2 : b) *2 = 5. b) JCj = -0,387 , x 2 = 1,721 ; c) JC| =-l, x 2 =-1,333 ; d) x l =1,079, x 2 =-0,412. 6. a) X = --1 , X = 5 ; 1 b) X. =-l , X, = -■£■ ; c) -Xị 2 = 11 ±%/Õ5 14 d) X\ = 1, x 2 = -6. 7. a) JC = 15 ; b) X = -1 ; c) JCJ 2 =2 ±n/3; d) JC = 1. 4 8. /7? = 7 => jCj = 4 , *2 = — • m = 3 x } = 2 = -• §3. 2. a) c) (11 . 5 v7 ; 7 M ( 9 7 ì UI u) \ V 8 \ d) (2 ; 0,5). 3. Giá mỗi quả quýt là 800 đồng, giá mỗi quả cam là 1400 đổng. 4. Dây chuyền thứ nhất : 450 áo ; Dây chuyền thứ hai : 480 áo. 5. a) (x ; y ; ì) = (1 ; 1 ; 2) ; . w _ . (11 . 5 o b)U;y;z)= V14 2 7 / 6. Giá một áo là 98 000 đổng, giá một quần là 125 000 đổng, giá một váy là 86 000 đồng. 7. b) (x ; y) ~ (0,11 ; 1,74); d) (Jt;y ;z)*M,00; 1,57; 1,71). Ôn tập chương III 3. a) * = 6 ; c) X = 2\Í2 ; b) Vô nghiệm ; d) Vô nghiệm. 4. a) Vô nghiệm ; b) Jt = “ ; c) JC = 5. a) (x ; y) = (37 29 1.24 ’Ĩ2j („ 3) b) (x;y)= 2;- V 2) c) (x ;y) = (34 l\ 113 ’ 13/ , (93 30A d) (x ;>’) = \37 31) 6. Người thứ nhất sơn xong sau 18 giờ, người thứ hai sơn xong sau 24 giờ. „ ,(33 13Ì 7. a)(jr;y;z)= -ÍTỈ-TỈ ; 10 / b)(x;y;z) = * • r 5 2 (181 7 83 "ị _ « _ « _ l 43 ’ 43 ’ 43 J 8. Ba phân số dó là^-, ^ và 2 3 6 9. 432 sản phẩm. 164 m I <N 10. Nêu làm tròn đến chữ số thập phân thứ ba thì kết quả là <0 Xj ~ 1,520 ; x 2 — “0,920 \ b) X x - -0,333; x 2 *-1,000 ; c) x { -0,741; x 2 a -6,741 ; d) x { * -0,707; x 2 ^-2,828. 11. a) Vô nghiêm ; b) X, = -4; x 7 = 5 12. a) Chiều dài là 31,5cm, chiều rộng là 15,7m. b) Chiều dài là 39,6cm, chiều rộng là 27,5m. 13. Người thứ nhất quét sân một mình hết 4 giờ, người thứ hai quét sân một mình hết 2 giờ. 14. (C) ; 15. (A); 16. (C) ; 17. (D). CHƯƠNG IV § 1 . 1. d) 2. Số c. 3. a) HD. Vì a y b y c là độ dài ba cạnh tam giác nên <2 + ò- c>0;ò + c- a > 0;c + < 2 -ò> 0 . b) HD. Áp dụng a) có ( b-c) 2 <<3 2 , (c-ớ) 2 <ò 2 , (ơ-b) 2 <c 2 . Cộng từng vế ba bất đẳng thức này. 4. HD. Xét hiệu (x 3 +y 3 )-(x 2 y + xy 2 ). 6. HD. Gọi H là tiếp điểm của đường thẳng AB với đường tròn. Ta có AB = HA + HB> l-lHA.HB. § 2 . 1. a) X e R \ {0 ; -1Ị ; b) X e R \ (1 ; 3 ; 2 ; -21 ; c) x*-l ; d) X e (-00 ; 1] \ {-4}. 4. a) X <; b) Vô nghiệm. 7,7 5. a) x<— ; b) — <x<2. 4 39 §3. 2. a)Ậ<x<l;3<x< +00 ; 2 b) X < -1 ; 0 < X < 1 ; 1 < X < 3 ; c) -12<x<-4;-3<x<0; d) -1 < X < Ậ; 1 < X < +00. 3 3. a) X <; X > 2 ; 5 b) X < -5 ; - 1 < X < 1 ; X > 1. §4. 3. Để có lãi cao nhất, xí nghiệp cần lập phương án sản xuất các sản phẩm I và II theo tỉ lệ 4 : 1. §5. 1. a) 5x 2 -3x + 1 > 0, Vx ; b) -2x 2 +7>x + 5>ũ khi-1 <x< ^ ; -2x 2 + 3x + 5 <0 khi X < - 1 hoặc x>4 ; 2 c) X 2 + 12x + 36 > 0, Vx ; d) (2x - 3)(x + 5) < 0 khi -5 < X <-“• 165 (2x - 3)(x + 5) > 0 khi X < -5 ; X >Ậ‘ 2 3. a) Vô nghiệm ; .4 b) - 1 < X < -7; 3 -4 c) X < -8 ; -2 < X < —— ; 1 < X < 2 ; 3 d) -2 < X < 3. 3 4. a) m < 1 ; m > 3 ; b) - —< m < -1/ 2 g(x) <0o 1 - V 3 < X < 0 hoặc 2 < X < 1 + V 3 . b) Nghiệm nguyên của bất phương trình là X = 2 ; 3 ; 4 ... hoặc X = -3 ; -4... 12. //D. Xét dấu biệt thức A = (b 2 + c 2 -a 2 ) 2 -4b 2 c 2 . 14. (B) ; 15. (C) ; 16. (C) ; 17. (C). Ôn tập chương IV 1. a) X > 0 ; b) ỵ > 0 ; c) \a\ >0 , Va e E ; d) ỈLL— > , Vứ > 0, b > 0. 2 2 . a) ứ, ò cùng dấu ; b) a y b cùng dấu ; c) a y b trái dấu ; d ) a y b trái dấu. 3. (C). 4. Gọi p là khối lượng thực của vật. Ta có 26,35 1 ; c) X < 1. 6. HD. — + — >2. c a I. , ,, , „ _ -1-VĨ3 _ -1 + VĨ3 II . a)/(x) < 0 <=>-—-— < X <-—— 2 2 /y \ — 1 — VĨ3 /(x) > 0 <=> X <--— hoặc 2 „ -1 + VĨ3 g(x) > 0 <=> X < 1 - V3 hoặc 0 < X < 2 hoặc X > 1 + V 3 ; ¥ 7 CHƯƠNG V § 1 . 2. b) 43,3% ; 56,7% §3. 1. 1170 giờ ; 31 cm. 2. 6,1 điểm ; 5,2 điểm Điểm trung bình cộng của lớp 10A cao hơn, nên có thể nói học sinh của lớp 10A có kết quả làm bài thi cao hơn. 3. Có hai mốt là A#<» =700 nghìn đồng ; M {2) = 900 nghìn dồng. 4. Số trung vị M e = 720 nghìn đồng. 5. 38,15 tạ/ha. §4. 1. « 120 ; s « 11 giờ « 84 ; S Y « 9,2 cm. 2. a) Dãy sô' liệu về điểm thi của lớp 10C có X ~ 7,2 điểm ; sịa 1,3; s x a 1,13 điểm. 166 Dãy số liệu về điểm thi của lớp 10D có ỹ * 7,2 điểm ; sị * 0,8 ; 5 ^ » 0,9 điểm. b) Điểm số của các bài thi ở lớp 10D đồng đều hơn. 3. a) Nhóm cá thứ 1 có X = 1 kg ; nhóm cá thứ 2 có ỹ = 1 kg ; b) Nhóm cá thứ 1 có 5^ =0,042; nhóm cá thứ 2 có sị = 0,064 ; c) Nhóm cá thứ 1 có khối lượng đồng đều hơn. Ôn tập chương V 3. c) X « 2 (con) ; M o = 2 (con) ; M e = 2 (con). 4. e) Nhóm cá thứ 1 có X ~ 648 (gam) ; sị -33,2; s x - 5,76 (gam), Nhóm cá thứ 2 có y - 647 (gam) ; sị - 23,14 ; ^ - 4,81 (gam), Nhóm cá thứ 2 có khối lượng đồng đều hơn. 5. X = 34 087 500 đồng ; A/, =21 045 000 đồng. 6. a) Mốt là mẫu 1. 7. (C) ; 8. (B) ; 9. (C) ; 10. (D) ; 11. (A). 3. a) 10° ; b) 33°45' ; c)-114°35 , 30 M ; d) 42°58'19 M . 4. a) 4,19 cm ; b) 30 cm ; c) 12,92 cm. 7. sđ AMj = -a + k2n, k e z ; ry sđ AM 2 = 71 - a + £271, £ e z ; ry sđ AM 3 = a + 71 + k 2 n, £ e z. § 2 . „ _3n/Ĩ7_3%/Ĩ7 4. a) sina = ——— ; tana = —-— ; 13 4 4 cota = b) cosa - -0,71 ; tana - 0,99 ; cot a X 1,01. _ 7 ._ 15 c) cosa = — 7 = ; sina = , ; V274 V274 cota = -—-. 15 d) sina = - 1 Vĩõ ; cosa = >/ĩõ ; tana = Ị_ 3 5. a) a = £2ĩt, £ e z ; b) a = (2 £ + 1)71, £ G z ; 71 c) a = ~ + £tc, £ G z ; 2 CHƯƠNG VI § 1 . 2. a) 0,3142 rad ; b) 1,0036 rad ; c) -0,4363 rad ; d) -2,1948 rad. d) a = ^- + k 2 n y k e z ; 2 e) ỡf = “ + £271, £ e z ; 2 f) a = kn y ke z . 167 § 3 . 1. a) cos225° = --ệ- ; sin240° = --ệ- 2 2 cot(-15°) = -2-73 ; tan75° = 2+ 73 . . 7 71 72(1 + 73) ìn-= -----; \ b) sin 12 cos \ V 127 71 1 72(1 + 73) tan 13ti 2. a ) ị 2 12 '76 = 2-73 . V -1 3 J b) 375+8 15 6 + 475 15 9 + 472 c) cos (a + b) = sin (a-b) = 3. a) sina sinò ; b) -ịcos 2 a ; 2 c) cosa sinò. 5. a) sin2ứ = 0,96 ; cos2a = 0,28 ; tan2a « 3,43 K v . ~ 120. 119 b) sin2a=-— 7 ^-; cos2a = tan2a = 169 120 119 169 c) sin2tf = -—; cos2 a = ^~ 4 4 tan2a = 77' , ._2 + 7Ĩ4 _ 2-7Ĩ4 0 . sina =-——, cos a = --— hoặc _ 7Ĩ4-2 sina = -—-—, cos a = 6 2 + 7Ĩ4 7. a) 1 - siru = 2sin i b) 1 + siru = 2sin i Tí X \Ã~2J í n X u 2 ) 1 . o A^Ẩ n . n c) 1 + 2cosx = 4cos — +— cos — \6 2 ) ^6 2 ) d) l-2sinx = 4cos 8. A = tan3x. Ôn tập chương VI 77 ( n f n x} — + — sin — — — \12 2) vl2 2) 3. a) c) 1 b)--; 275 d) 1 7Ĩ5 4. a) tạn z ơ c) -cotơ; I 5. a> -i; 0 - 4 : b)2cosơ ; d) sinơ. 72 b) ~ ; d) 72 9. (D) ; 10. (B); 11. (C); 12. (D); 13. (C) ; 14. (B). ÔN TẬP CUỐI NẢM I - Câu hỏi '2 2 3. X e 7 ’ 3 u[5; 00) , 17. 4. m > 8 5 ,2000 > 2 3000 Vì 2 < 3 3 ^ ríl _/o 3x1000 ^ /o2 \ 1000 (2 J ) iUUU <(3^) 168 II - Bài tập 1. a) [3 ; 5]. b)A\B = [3 ; 4], K\ (A\B) = (-00 ; 3) u (4 ; oo). „ ux 1 2. b) m = —, x 9 = 7. 3 3 3. a) ^ < m < 3. 5 b) s = Xj + x 2 = 4m , P = =9(m-l) 2 ; 9(Xj + x 2 -4) 2 -16 xjX 2 = 0. 13 c) m = 1 hoặc m =-—■ 5 5. (x ; y ; z) = (-1 ; 2 ; -2). 6. a)/(x) > 0 khi X € (-00 ; - 2) u (1 ; oo) f(x) < 0 khi X e (-2 ; 1). b) A(-2;0),£(l ; 6). c) ứ = - 2 ;è = 0 ;c = 8 ; . x _2 , _16 40 hoặc a - — ; b = — ; c = —• 9 9 9 8 . a) tan 2 ứ ; b) sin 2 a. c) tan(x-15°)cot(x + 15°). 9. a) 2 ; b) 9 ; c) 4. . 16x sin — 7 - - 10 . a) -— ; b)4sin—ị^cos 2 -^- 16sin^ 7 7 5 12. -5. 169 BẢNG TRA CỨU THUÂT NGỮ Thuật ngữ Bảng biến thiên 36 Bảng phân bố tần số 111 Bảng phân bố tần suất 111 Bảng phân bố tần số và tần suất 111 Bảng phân bố tần sô' ghép lớp 113 Bảng phân bố tần suất ghép lớp 113 Bảng phân bô' tần số và tần suất ghép lớp 113 Bảng xét dấu 90 Bất đẳng thức 74 Bất đẳng thức hệ quả 74 Bất đẳng thức tương đương 75 Bất phương trình ẩn X 80 Bất phương trình bậc hai một ẩn 103 Bất phương trình bậc nhất hai ẩn 95 Bất phương trình tương đương 82 Biến số 32 Biểu đồ 115 Biểu đồ tần số hình cột 117 Biểu đồ tần suất hình côt È 115 Biểu đồ hình quạt 117 Công thức cộng Công thức biến đổi tích thành tổng Công thức biến đổi tổng thành tích 152 Công thức ha bâc 151 Thuật ngữ Trang Công thức nhân đôi 150 Cung lượng giác 134 Điểm đầu của cung lượng giác 134 Điểm cuối của cung lượng giác 134 Điều kiên cần * 6 Điều kiện cần và đủ 7 Điều kiên đủ ■ 6 Điều kiện của bất phương trình 81 Điều kiện của phương trình 54 Đoạn [a ; b\ 17 Đồ thi của hàm số * 34 Độ lệch chuẩn 126 Độ chính xác của một số gần đúng 20 Đường gấp khúc tần suất 116 Đường gấp khúc tần số 117 Đường tròn định hướng 134 Đường tròn lượng giác 135 Giá trị của hàm số/tại X 32 Giá trị đại diện của lóp 116 Giải bất phương trình 81 Giải hệ bất phương trình 81 Giải và biện luận phương trình 55 Giao (của hai tập hợp) 13 Giá trị lượng giác của cung 141 135 7 Hàm số 32 Hàm sô' bậc hai 42 170 Thuật ngữ Hàm sô' bậc nhất Hàm số chẩn 37 Hàm sô cho bằng bảng 32 Hàm số cho bằng biểu đổ 33 Hàm sô cho bằng công thức 33 Hàm số đồng biến (tăng) 36 Hàm sộ hằng HI Hàm số lẻ 37 Hàm sô' nghịch biến (giảm) 36 Hàm sô' y = X 40 Hệ bất phương trình ẩn X 81 Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn 96 Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn 64 Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn 65 Hiệu (của hai tập hợp) 14 Hợp (của hai tập hợp) 14 Khoảng ( a ; b) 17 7 Mênh đề • 4 Mênh đề đảo • 7 Mệnh đề chứa biến 4 Mệnh đề kéo theo p => Q 6 Mệnh đề phủ định 5 Miền nghiệm của bất phương trình bậc nhất hai ẩn 95 f Mốt 121 Nghiệm của bất phương trình 80 Nghiệm của hệ phương trình Nghiệm của phương trình nhiều ẩn 65 Nghiệm ngoại lai 56 Nhi thức bâc nhất ■ * _,--- 1 89 Thuật ngữ Nửa khoảng 17 Phần bù (của B trong A) 15 Phép biến đổi tương đương phương trình 55 Phép biến đổi tương đương bất phương trình 82 \ Phương Sai Phương trình bậc hai 58 Phương trình bậc nhất hai ẩn 63 Phương trình bậc nhất 58 Phương trình hệ quả 56 Phương trình ẩn X 53 Phương trình nhiều ẩn 54 Phương trình tương đương 55 Rađian 136 Sai sô' tuyệt đối 19 Sai sô' tương đối 21 SỐ trung vị 121 Sô' trung bình cộng nn *•' Tán sô m Tan số của lớp 112 1 Tần suất 111 ; Tần suất của lớp 112 1 Tập hợp (tập) 10 Tập hợp bằng nhau 12 Tập hợp con (tập con) 11 ! Tập hợp rỗng (tập rỗng) 11 ; Tập xác định của hàm sổ 32 Tham số 54 Trục côsin 141 Trục côtang 144 Trục sin 141 1 Trục tang 144 : 171 MỤC LỤC Trang Chương ỉ. MỆNH ĐỀ. TẬP HỢP § 1. Mệnh đề.4 §2. Tập hợp.10 §3. Các phép toán tập hợp.13. §4. Các tập hợp số...16 §5. Số gần đúng. Sai số. 19 Ồn tập chương I.24 Chương II. HÀM số BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI §1. Hàm số. 32 §2. Hàm số y - ax + b ...39 §3. Hàm số bậc hai.42 Ồn tập chương II. 50 Chương III. PHƯƠNG TRÌNH. HỆ PHƯƠNG TRÌNH § 1. Đại cương về phương trình.53 §2. Phương trình quy về phương trình bậc nhất, bậc hai. 58 §3. Phương trình và hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn.63 Òn tập chương III. 70 Chương IV. BẤT ĐANG thức, bất phương trình §1. Bất đẳng thức. 74 §2. Bất phương trình và hệ bất phương trình một ẩn.80 §3. Dấu của nhị thức bậc nhất. 89 §4. Bất phương trình bậc nhất hai ẩn. 94 §5. Dấu của tam thức bậc hai . 100 Ôn tập chương IV.:...106 Chương V. THỐNG KÊ §1. Bảng phân bố tần số và tần suất.110 §2. Biểu đồ. 115 §3. Số trung bình cộng. Số trung vị. Mốt...119 §4. Phương sai và độ lệch chuẩn.123 Ôn tập chương V. 128 Chương VI. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC. CỒNG THỨC LƯỢNG GIÁC § 1. Cung và góc lượng giác.133 §2. Giá trị lượng giác của một cung..141 §3. Công thức lượng giác.149 Ôn tập chương VI.155 Ôn tập cuối năm.159 172 HUẢN CHƯƠNG HÓ CHÍ MINH VUONG MIẼN KIM CUONG CHÃTLUƠNG QUỎC TẺ \ SÁCH GIÁO KHOA LỚP 10 1. T0ẢN HỘC •ĐẠI Số 10 •HÌNH HỌC 10 2. VẬT Lí 10 3. HOÁHỌC 10 4. SINH HỌC 10 5. NGỮ VÃN 10 (tập một, tập hai) 6. LỊCH Sử 10 7. ĐỊA LÍ 10 SÁCH GIÁO KHOA LỚP 10 - NÂNG CAO 8. TIN HỌC 10 9. CỔNG NGHỆ 10 10. GIÁO DỤC CÔNG DÂN 10 11. GIÁO DỤC QUỐC PHÒNG-AN NINH 10 12. NGOẠI NGỮ •TIÉNG ANH 10 •TIẾNG PHÁP 10 • TIÉNG NGA 10 • TIẾNG TRUNG QUỐC 10 Ban Khoa học Tự nhiên : *TOÁN HỌC (ĐẠI số 10, HÌNH HỌC 10) • VẬT LÍ 10 *HOÁ HỌC 10 .SINH HỌC 10 Ban Khoa học Xã hội và Nhân văn : • NGỮ VĂN 10 (tập một, tập hai) •LỊCH SỬ 10 .ĐỊA LÍ 10 • NGOẠI NGỮ (TIẾNG ANH 10, TIẾNG PHÁP 10, TIẾNG NGA 10, TIẾNG TRUNG QUỐC 10) I*.| Giá: 7.1 OOcl

Từ khóa » để Rán Hay Vào Cho Biến X Ta Viết

Full Text Of "Sách Giáo Khoa Đại Số 10 Nâng Cao" - Internet Archive

Internet Archive Audio

Featured

Top

Images

Featured

Top

Software

Featured

Top

Texts

Featured

Top

Video

Featured

Top

Mobile Apps

Browser Extensions

Archive-It Subscription

Save Page Now

See other formats

Để Gán 2 Cho X Ta Viết Lệnh

Top 15 để Rán Hay Vào Cho Biến X Ta Viết

Để Gán 2 Cho X Ta Viết Lệnh - Hoc247 - MarvelVietnam

Để Gán 2 Cho X Ta Viết Câu Lệnh - Trắc Nghiệm Online

Đề Kiểm Tra 45 Phút Môn Tin Học 11 - Thư Viện Đề Thi

Để Gán 2 Cho X Ta Viết Câu Lệnh? - Toploigiai

Giúp Em Với ạ

Để Thực Hiện Gán Giá Trị 10 Cho Biến X. Phép Gán Nào Sau đây

Để Thực Hiện Gán Giá Trị 10 Cho Biến X. Phép Gán Nào Sau đây Là đúng

Bài 6: Phép Toán, Biểu Thức, Câu Lệnh Gán - Hoc24

Chữ Quốc Ngữ – Wikipedia Tiếng Việt

Trứng Rán Cần Mỡ Bắp Cần Bơ Yêu Không Cần Cớ Automated Testing ...

Bí Quyết Bảo Quản Nem Rán Trong Tủ Lạnh Giòn Rụm, Thơm Ngon

Viết Các Biểu Thức Toán Học Sang Pascal - Học Tốt

[DOC] 10 TÌNH HUỐNG VỀ HÌNH SỰ - Phổ Biến Giáo Dục Pháp Luật

Lệnh Gán X := X + 1 Có ý Nghĩa Như Thế Nào? - Tin Học Lớp 8

Liên Hệ