Geometrische Summenformel – Serlo „Mathe Für Nicht-Freaks“

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Beweis (Geometrische Summenformel)

Es ist

∑ k = 0 n q k =   1 + q + q 2 + ⋯ + q n ↓   beide Seiten mit  q  multiplizieren ⟹   q ⋅ ∑ k = 0 n q k =   q + q 2 + q 3 + ⋯ + q n + 1 ↓   zweite von erster Gleichung subtrahieren ⟹   ∑ k = 0 n q k − q ⋅ ∑ k = 0 n q k =   ( 1 + q + ⋯ + q n ) − ( q + q 2 + ⋯ + q n + 1 ) = 1 − q n + 1 ↓   links  ∑ k = 0 n q k  ausklammern ⟹   ( 1 − q ) ⋅ ∑ k = 0 n q k =   1 − q n + 1 ↓   ⋅ 1 1 − q , da  q ≠ 1 ⟹   ∑ k = 0 n q k =   1 − q n + 1 1 − q {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n}q^{k}&=\ 1+q+q^{2}+\dotsb +q^{n}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{beide Seiten mit }}q{\text{ multiplizieren}}\right.}\\[0.5em]\implies \ q\cdot \sum _{k=0}^{n}q^{k}&=\ q+q^{2}+q^{3}+\dotsb +q^{n+1}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{zweite von erster Gleichung subtrahieren}}\right.}\\[0.5em]\implies \ \sum _{k=0}^{n}q^{k}-q\cdot \sum _{k=0}^{n}q^{k}&=\ (1+q+\dotsb +q^{n})-(q+q^{2}+\dotsb +q^{n+1})\\[0.5em]&=1-q^{n+1}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {\text{links }}\sum _{k=0}^{n}q^{k}{\text{ ausklammern}}\right.}\\[0.5em]\implies \ (1-q)\cdot \sum _{k=0}^{n}q^{k}&=\ 1-q^{n+1}\\[0.5em]&{\color {OliveGreen}\left\downarrow \ {}\cdot {\frac {1}{1-q}}{\text{, da }}q\neq 1\right.}\\[0.5em]\implies \ \sum _{k=0}^{n}q^{k}&=\ {\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}\\[0.5em]\end{aligned}}}

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