Giá Trị Tuyệt đối – Wikipedia Tiếng Việt

Với mọi số thực a {\displaystyle a}  , giá trị tuyệt đối của a {\displaystyle a}   - ký hiệu là | a | {\displaystyle |a|}   - được định nghĩa:

| a | = { a , n e ^ ´ u   a ≥ 0 − a , n e ^ ´ u   a < 0. {\displaystyle \left|a\right|={\begin{cases}a,&{\mbox{n}}{\acute {\hat {\mbox{e}}}}{\mbox{u}}\ a\geq 0\\-a,&{\mbox{n}}{\acute {\hat {\mbox{e}}}}{\mbox{u}}\ a<0.\end{cases}}}  

Định nghĩa trên cho thấy, giá trị tuyệt đối của a {\displaystyle a}   luôn là một số không âm.

 

Hiểu theo góc độ hình học, giá trị tuyệt đối của một số thực là khoảng cách từ số đó đến điểm 0 trên đường thẳng thực (real number line, còn gọi là trục số thực). Tổng quát hơn, giá trị tuyệt đối giữa hai số thực khác nhau là khoảng cách giữa chúng trên đường thẳng thực, ví dụ: |5 - 3| = 2 (khoảng cách giữa 5 và 3).

Mệnh đề 1 dưới đây là một đồng nhất thức (identity). Nó tương đương với định nghĩa trên và đôi khi có thể được sử dụng để định nghĩa về giá trị tuyệt đối.

MỆNH ĐỀ 1:

| a | = a 2 . {\displaystyle |a|={\sqrt {a^{2}}}.}  

MỆNH ĐỀ 2:

| a | ≥ 0 {\displaystyle \left|a\right|\geq 0}	Tính không âm
| a | = 0 ⇔ a = 0 {\displaystyle \left|a\right|=0\Leftrightarrow a=0}	Xác định tính dương
| a b | = | a | | b | {\displaystyle |ab|=|a||b|\,}	Tính kết hợp
| a + b | ≤ | a | + | b | {\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|}	Subadditivity

Chứng minh:

• Nếu a {\displaystyle a}   hoặc b {\displaystyle b}   bằng 0, chẳng hạn:

a = 0 ⟺ | a + b | = | 0 + b | = | 0 | + | b | = | a | + | b | {\displaystyle a=0\iff |a+b|=|0+b|=|0|+|b|=|a|+|b|}  

• Nếu a {\displaystyle a}   và b {\displaystyle b}   cùng bé hơn 0 hoặc cùng lớn hơn 0 thì ta có:

| a + b | = | a | + | b | {\displaystyle |a+b|=|a|+|b|}  

• Nếu a {\displaystyle a}   và b {\displaystyle b}  , có một số lớn 0, một số bé hơn 0 thì ta có:
  • Với | a | ≥ | b | ⟺ | a + b | = | a | − | b | {\displaystyle |a|\geq |b|\iff |a+b|=|a|-|b|}  
  • Với | a | ≤ | b | ⟺ | a + b | = | b | − | a | {\displaystyle |a|\leq |b|\iff |a+b|=|b|-|a|}  

Vì | a | {\displaystyle |a|}   và | b | {\displaystyle |b|}   đều lớn hơn 0 nên | a | − | b | {\displaystyle |a|-|b|}   hoặc | b | − | a | {\displaystyle |b|-|a|}   đều nhỏ hơn tổng | a | + | b | {\displaystyle |a|+|b|}  . Vậy ta luôn có: | a + b | ≤ | a | + | b | {\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|}  .

MỆNH ĐỀ 3:

| − a | = | a | {\displaystyle |-a|=|a|\,}	Tính đối xứng
| a − b | = 0 ⟺ a = b {\displaystyle |a-b|=0\iff a=b}	Đẳng thức indiscernibles (tương đương với xác định dương)
| a − b | ≤ | a − c | + | c − b | {\displaystyle |a-b|\leq |a-c|+|c-b|}	Bất đẳng thức tam giác (tương đương với subadditivity)
| a b | = | a | | b |   ( n e ^ ´ u   b ≠ 0 ) {\displaystyle |{\frac {a}{b}}|={\frac {|a|}{|b|}}\ ({\mbox{n}}{\acute {\hat {\mbox{e}}}}{\mbox{u}}\ b\neq 0)\,}	Bảo toàn trong phép chia (tương đương với multiplicativeness)
| a − b | ≥ | a | − | b | {\displaystyle |a-b|\geq |a|-|b|}	Điều phải chứng minh (Articles need to prove)

Ta cũng có hai bất đẳng thức (inequalities) quan trọng:

| a | ≤ b ⟺ − b ≤ a ≤ b {\displaystyle |a|\leq b\iff -b\leq a\leq b}   | a | ≥ b ⟺ a ≤ − b   hoặc   b ≤ a {\displaystyle |a|\geq b\iff a\leq -b\ {\mbox{hoặc}}\ b\leq a}  

Hai bất đẳng thức trên thường được sử dụng để giải các bài toán bất đẳng thức khác. Ví dụ:

| x − 3 | ≤ 9 {\displaystyle |x-3|\leq 9}	⟺ − 9 ≤ x − 3 ≤ 9 {\displaystyle \iff -9\leq x-3\leq 9}
⟺ − 6 ≤ x ≤ 12 {\displaystyle \iff -6\leq x\leq 12}