Giải Bài 3 Trang 113 – SGK Môn Giải Tích Lớp 12 - Chữa Bài Tập

Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính:

a) \(\int\limits_{0}^{3}{\dfrac{{{x}^{2}}}{{{\left( 1+x \right)}^{\frac{3}{2}}}}dx}\) (đặt \(u=x+1\));

b) \(\int\limits_{0}^{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}dx}\) (đặt \(x=sint\));

c) \(\int\limits_{0}^{1}{\dfrac{{{e}^{x}}\left( 1+x \right)}{1+x{{e}^{x}}}dx}\) (đặt \(u=1+xe^x\));

d) \(\int\limits_{0}^{\frac{a}{2}}{\dfrac{1}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}dx\,\left( a>0 \right)}\) (đặt \(x=asint\));

Lời giải:

Phương pháp đổi biến:

Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn \([a;b]\). Giả sử hàm số \(x=\varphi \left( t \right)\) có đạo hàm liên tục trên đoạn \(\left[ \alpha ;\beta \right]\) sao cho \(\varphi \left( \alpha \right)=a,\varphi \left( \beta \right)=b \) và \(a\le \varphi \left( t \right)\le b\) với mọi \( t\in \left[ \alpha ;\beta \right] \)Khi đó\(\int\limits_{a}^{b}{f(x)dx}=\int\limits_{\alpha }^{\beta }{f\left( \varphi \left( t \right) \right)\varphi '\left( t \right)dt} \)

 

a) Đặt \( u=1+x\Rightarrow \left\{ \begin{align} & du=dx \\ & x=u-1 \\ \end{align} \right. \)

Đổi cận

x	0	3
u	1	4

\(\begin{align} \int\limits_{0}^{3}{\dfrac{{{x}^{2}}}{{{\left( 1+x \right)} ^{\frac{3}{2}}}}dx}&=\int\limits_{1}^{4}{\dfrac{{{\left( u-1 \right)}^{2} }}{{{u}^{\frac{3}{2}}}}dx} \\ & =\int\limits_{1}^{4}{\left( {{u}^{\frac{1}{2}}}-2{{u}^{-\frac{1}{2}}}+{{u}^{-\frac{3}{2}}} \right)dx} \\ & =\left( \dfrac{2}{3}{{u}^{\frac{3}{2}}}-4{{u}^{\frac{1}{2}}}-2{{u}^{-\frac{1}{2}}} \right)\left| _{\begin{smallmatrix} \\ 1 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} 4 \\ \end{smallmatrix}} \right. \\ & =\dfrac{16}{3}-8-1-\dfrac{2}{3}+4+2 \\ & =\dfrac{5}{3} \\ \end{align} \)

b) Đặt \(x=\sin t\Rightarrow dx=\cos tdt \)

Đổi cận

x	0	1
t	0	\(\dfrac{\pi}{2}\)

\(\begin{align} \int\limits_{0}^{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}dx}& =\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\sqrt{1-{{\sin }^{2}}t}.\cos tdt} \\ & =\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{{{\cos }^{2}}tdt} \\ & =\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{2}}{\dfrac{1+\cos 2t}{2}dt} \\ & =\left( \dfrac{t}{2}+\dfrac{\sin 2t}{4} \right)\left| _{\begin{smallmatrix} \\ 0 \end{smallmatrix}}^{\frac{\pi }{2}} \right. \\ & =\dfrac{\pi }{4} \\ & \\ \end{align} \)

c) Đặt \( u=1+x{{e}^{x}}\Rightarrow du=\left( 1+x \right){{e}^{x}}dx \)

Đổi cận

x	0	1
u	1	1 + e

\(\begin{align} \int\limits_{0}^{1}{\dfrac{{{e}^{x}}\left( 1+x \right)} {1+x{{e}^{x}}}dx}&=\int\limits_{1}^{1+e}{\dfrac{du}{u}} \\ & =\ln \left| u \right|\,\,\left| _{\begin{smallmatrix} \\ 1 \end{smallmatrix}}^{\begin{smallmatrix} 1+e \\ \end{smallmatrix}} \right. \\ & =\ln \left( 1+e \right) \\ \end{align} \)

d) Đặt \(x=asint\Rightarrow dx=acostdt\)

Đổi cận

x	0	\(\dfrac{a}{2}\)
t	0	\(\dfrac{\pi}{6}\)

\(\begin{align} \int\limits_{0}^{\frac{a}{2}}{\dfrac{1}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{x}^{2}}}}dx\,}&=\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{6}}{\dfrac{1}{\sqrt{{{a}^{2}}-{{a}^{2}}{{\sin }^{2}}t}}.a\cos tdt} \\ & =\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{6}}{\dfrac{1}{a\cos t}.a\cos tdt} \\ & =\int\limits_{0}^{\frac{\pi }{6}}{dt}=t\left| _{\begin{smallmatrix} \\ 0 \end{smallmatrix}}^{\frac{\pi }{6}} \right.=\dfrac{\pi }{6} \\ \end{align} \)

 

Tham khảo lời giải các bài tập Bài 2: Tích phân khác • Giải bài 1 trang 112 – SGK môn Giải tích lớp 12 Tính các tích phân... • Giải bài 2 trang 112 – SGK môn Giải tích lớp 12 Tính các tích phân... • Giải bài 3 trang 113 – SGK môn Giải tích lớp 12 Sử dụng phương pháp... • Giải bài 4 trang 113 – SGK môn Giải tích lớp 12 Sử dụng phương pháp... • Giải bài 5 trang 113 - SGK môn Giải tích lớp 12 Tính các tích phân... • Giải bài 6 trang 113 – SGK môn Giải tích lớp 12 Tính \(\int\limits_{0}^{... Mục lục Giải bài tập SGK Toán 12 theo chương •Chương 1: Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số - Giải tích 12 •Chương 1: Khối đa diện - Hình học 12 •Chương 2: Hàm số lũy thừa. Hàm số mũ và hàm số lôgarit - Giải tích 12 •Chương 2: Mặt nón, mặt trụ, mặt cầu - Hình học 12 •Chương 3: Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng - Giải tích 12 •Chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian - Hình học 12 •Chương 4: Số phức - Giải tích 12