Giải Bài Tập Ma Trận Nghịch đảo - 123doc

Giải bài tập ma trận nghịch đảo

ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH

§8 Giải bài tập về ma trận nghịch đảo

Phiên bản đã chỉnh sửa

PGS TS Mỵ Vinh Quang

Ngày 29 tháng 12 năm 2004

Bài 21 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận

A =







1 0 3

2 1 1

3 2 2







Giải

Cách 1 Sử dụng phương pháp định thức

Ta có: det A = 2 + 12 − 9 − 2 = 3

A11=

1 1

2 2

= 0 A21= −

0 3

2 2

= 6 A31=

0 3

1 1

= −3

A12= −

2 1

3 2

= −1 A22=

1 3

3 2

= −7 A32= −

1 3

2 1

= 5

A13=

2 1

3 2

= 1 A23= −

1 0

3 2

= −2 A33 =

1 0

2 1

= 1

Vậy

A−1 = 1

3







0 6 −3

−1 −7 5

1 −2 1







Cách 2 Sử dụng phương pháp biến đổi sơ cấp

Xét ma trận

A =







1 0 3

2 1 1

3 2 2

1 0 0

0 1 0

0 0 1







d 2 →−2d 1 +d 2

−−−−−−−→

d 3 →−3d1+d 3







1 0 3

0 1 −5

0 2 −7

1 0 0

−2 1 0

−3 0 1







d 3 =−2d 2 +d 3

−−−−−−−→





1 0 3

0 1 −5

1 0 0

−2 1 0



 d 3 =13d 3

−−−−→





1 0 3

0 1 −5

1 0 0

−2 1 0







1 0 0

0 1 0

0 0 1

0 2 −1

−1

3 −7

3

5

3

1

3 −2

3

1

3





Vậy

A−1 =







0 2 −1

−1

3 −7

3

5

3

1

3 −2

3

1

3







Bài 22 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận

A =







1 3 2

2 1 3

3 2 1







Giải

Ta sử dụng phương pháp định thức

Ta có det A = 1 + 27 + 8 − 6 − 6 − 6 = 18

A11=

1 3

2 1

= −5 A21= −

3 2

2 1

= 1 A31=

3 2

1 3

= 7

A12= −

2 3

3 1

= 7 A22=

1 2

3 1

= −5 A32= −

1 2

2 3

= 1

A13=

2 1

3 2

= 1 A23 = −

1 3

3 2

= 7 A33=

1 3

2 1

= −5

Vậy

A−1 = 1

18







−5 1 7

7 −5 1

1 7 −5







(Bạn đọc cũng có thể sử dụng phương pháp biến đổi sơ cấp để giải bài này)

Bài 23 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận

A =













−1 1 1 1

1 −1 1 1

1 1 −1 1

1 1 1 −1













Giải

Ta sử dụng phương pháp 3

Xét hệ















−x1+ x2 + x3+ x4 = y1 (1)

x1 − x2 + x3+ x4 = y2 (2)

x1 + x2− x3+ x4 = y3 (3)

x1 + x2+ x3− x4 = y4 (4)

(1) + (2) + (3) + (4) =⇒ x1+ x2+ x3+ x4 = 1

2(y1+ y2 + y3+ y4) (∗)

(∗) − (1) =⇒ x1 = 1

4(−y1+ y2+ y3+ y4)

(∗) − (2) =⇒ x2 = 1

4(y1− y2+ y3+ y4)

(∗) − (3) =⇒ x3 = 1

4(y1+ y2− y3+ y4)

(∗) − (4) =⇒ x4 = 1

4(y1+ y2+ y3− y4)

Vậy

A−1 = 1

4













−1 1 1 1

1 −1 1 1

1 1 −1 1

1 1 1 −1













Bài 24 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận

A =













0 1 1 1

−1 0 1 1

−1 −1 0 1

−1 −1 −1 0













Giải

Sử dụng phương pháp 3

Xét hệ















x2+ x3+ x4 = y1 (1)

−x1+ x3+ x4 = y2 (2)

−x1− x2+ x4 = y3 (3)

−x1− x2− x3 = y4 (4)

(1) + (2) − (3) + (4) =⇒ −x1+ x2 + x3+ x4 = y1+ y2 − y3+ y4 (∗)

(1) − (∗) =⇒ x1 = −y2+ y3− y4

(∗) − (2) =⇒ x2 = y1− y3+ y4

(4) =⇒ x3 = −x1− x2− y4 = −y1+ y2− y4

(3) =⇒ x4 = x1+ x2+ y3 = y1− y2+ y3

A−1 =













0 −1 1 −1

1 0 −1 1

−1 1 0 −1

1 −1 1 0













Bài 25 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận



















1 1 1 · · · 1

0 1 1 · · · 1

0 0 1 · · · 1

. .

0 0 0 · · · 1



















n×n

Giải

Sử dụng phương pháp 3

Xét hệ



















x1+ x2+ · · · + xn = y1 (1)

x2+ · · · + xn = y2 (2)

xn−1+ xn = yn−1 (n − 1)

xn= yn (n)

(1) − (2) =⇒ x1 = y1− y2

(2) − (3) =⇒ x2 = y2− y3

(n − 1) − (n) =⇒ xn−1= yn−1− yn

(n) =⇒ xn= yn

Vậy

A−1=



















1 −1 0 0 · · · 0 0

0 1 −1 0 · · · 0 0

. . . 0 0

0 0 0 0 · · · 1 −1

0 0 0 0 · · · 0 1



















Bài 26 Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận

A =



















1 + a 1 1 · · · 1

1 1 + a 1 · · · 1

1 1 1 + a · · · 1

. . .

1 1 1 · · · 1 + a



















Giải

Sử dụng phương pháp 3

Xét hệ















(1 + a)x1+ x2+ x3+ · · · + xn= y1 (1)

x1+ (1 + a)x2+ x3+ · · · + xn= y2 (2)

x1+ x2+ x3+ · · · + (1 + a)xn= yn (n)

Lấy (1) + (2) + · · · + (n), ta có

(n + a)(x1+ x2+ · · · + xn) = y1+ y2+ · · · + yn

1 Nếu a = −n, ta có thể chọn tham số y1, y2, , yn thỏa y1+ · · · + yn 6= 0 Khi đó hệ vô

nghiệm và do đó ma trận A không khả nghịch

2 Nếu a 6= −n, khi đó ta có

x1+ x2+ · · · + xn = 1

n + a(y1 + · · · + yn) (∗)

(1) − (∗) =⇒ ax1 = 1

n + a((n + a − 1)y1 − y2− · · · − yn)

(a) Nếu a = 0, ta có thể chọn tham số y1, y2, , yn để phương trình trên vô nghiệm

Do đó hệ vô nghiệm và ma trận A không khả nghịch

(b) Nếu a 6= 0, ta có

x1 = 1

a(n + a)((n + a − 1)y1− y2− · · · − yn)

(2) − (∗) =⇒ x2 = 1

a(n + a)(y1− (n + a − 1)y2− y3− · · · − yn)

(n) − (∗) =⇒ xn= 1

a(n + a)(y1− y2− y3− · · · − (n + a − 1)yn)

Vậy

A−1 = 1

a(n + a)



















n + a − 1 −1 −1 · · · −1

−1 n + a − 1 −1 · · · −1

−1 −1 n + a − 1 · · · −1

. . .

−1 −1 −1 · · · n + a − 1

















