Giải Bài Tập Toán 11 Bài 2. Giới Hạn Của Hàm Số

• Home
• Lớp 1,2,3
  • Lớp 1
  • Giải Toán Lớp 1
  • Tiếng Việt Lớp 1
  • Lớp 2
  • Giải Toán Lớp 2
  • Tiếng Việt Lớp 2
  • Văn Mẫu Lớp 2
  • Lớp 3
  • Giải Toán Lớp 3
  • Tiếng Việt Lớp 3
  • Văn Mẫu Lớp 3
  • Giải Tiếng Anh Lớp 3
• Lớp 4
  • Giải Toán Lớp 4
  • Tiếng Việt Lớp 4
  • Văn Mẫu Lớp 4
  • Giải Tiếng Anh Lớp 4
• Lớp 5
  • Giải Toán Lớp 5
  • Tiếng Việt Lớp 5
  • Văn Mẫu Lớp 5
  • Giải Tiếng Anh Lớp 5
• Lớp 6
  • Soạn Văn 6
  • Giải Toán Lớp 6
  • Giải Vật Lý 6
  • Giải Sinh Học 6
  • Giải Tiếng Anh Lớp 6
  • Giải Lịch Sử 6
  • Giải Địa Lý Lớp 6
  • Giải GDCD Lớp 6
• Lớp 7
  • Soạn Văn 7
  • Giải Bài Tập Toán Lớp 7
  • Giải Vật Lý 7
  • Giải Sinh Học 7
  • Giải Tiếng Anh Lớp 7
  • Giải Lịch Sử 7
  • Giải Địa Lý Lớp 7
  • Giải GDCD Lớp 7
• Lớp 8
  • Soạn Văn 8
  • Giải Bài Tập Toán 8
  • Giải Vật Lý 8
  • Giải Bài Tập Hóa 8
  • Giải Sinh Học 8
  • Giải Tiếng Anh Lớp 8
  • Giải Lịch Sử 8
  • Giải Địa Lý Lớp 8
• Lớp 9
  • Soạn Văn 9
  • Giải Bài Tập Toán 9
  • Giải Vật Lý 9
  • Giải Bài Tập Hóa 9
  • Giải Sinh Học 9
  • Giải Tiếng Anh Lớp 9
  • Giải Lịch Sử 9
  • Giải Địa Lý Lớp 9
• Lớp 10
  • Soạn Văn 10
  • Giải Bài Tập Toán 10
  • Giải Vật Lý 10
  • Giải Bài Tập Hóa 10
  • Giải Sinh Học 10
  • Giải Tiếng Anh Lớp 10
  • Giải Lịch Sử 10
  • Giải Địa Lý Lớp 10
• Lớp 11
  • Soạn Văn 11
  • Giải Bài Tập Toán 11
  • Giải Vật Lý 11
  • Giải Bài Tập Hóa 11
  • Giải Sinh Học 11
  • Giải Tiếng Anh Lớp 11
  • Giải Lịch Sử 11
  • Giải Địa Lý Lớp 11
• Lớp 12
  • Soạn Văn 12
  • Giải Bài Tập Toán 12
  • Giải Vật Lý 12
  • Giải Bài Tập Hóa 12
  • Giải Sinh Học 12
  • Giải Tiếng Anh Lớp 12
  • Giải Lịch Sử 12
  • Giải Địa Lý Lớp 12

Trang Chủ › Lớp 11› Giải Bài Tập Toán 11› Giải bài tập Đại số và Giải tích 11› Bài 2. Giới hạn của hàm số Giải bài tập Toán 11 Bài 2. Giới hạn của hàm số

• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 

Bài 2 GIỚI HẠN CỦA HÀM số A. KIẾN THỨC CẦN NAM vững Giới hạn hữu hạn của hàm sô tại một điểm Định nghĩa 1: Cho khoảng K chứa điểm Xo và hàm sô' y = f(x) xác định trên K hoặc trên K \ ịxo). Nếu với mọi dãy sô' (xn), xn e K \ {xol mà limxn = Xo ta đều có limf(xn) = L thì ta nói hàm sô' y = f(x) có giới hạn là sô' L khi X dần tới Xo, kí hiệu lim f(x) = L hay f(x) —> L khi X —> Xo- Định lí 1. a) Giả sử lim f(x) = L và lim g(x) = M thì: X—>x(, X—>x„ • lim [f(x)±g(x)] = L±M x->x0 b) Nếu f(x) > 0 là lim f(x) — L là L > 0 và lim ựf(x) = VẼ. x->x„ x->x„ Giới hạn một bên Định nghĩa 2: Cho hàm số f(x) xác định trong khoảng (x0, b). Nếu với mọi dãy sô' (xn), xn G (x0, b) mà limxn = Xo ta đều có: f(x) —> L thì ta nói L là giới hạn bên phải của f(x) khi X —> Xo- Khi đó ta kí hiệu: lim f(x) = L. x-»xj Trong trường hợp f(x) xác định trên khoảng (a, Xo), ta có lim f(x) = L (L là giới hạn bên trái của f(x) khi X —> Xo). x->xõ Định lí 2. lim f(x) = L lim f(x) = lim f(x) = L x-»x„ X-»xJ x->x,’, Giới hạn của hàm sô' tại vô cực Định nghĩa 3: Cho hàm sô' f(x) xác định trên khoảng (a, + co) (khoảng (-00, a)). Nếu với mọi dãy sô' (xn) mà xn > a (xn L thì ta nói L là giới hạn của f(x) khi X —> + 00 (x —>-00). Khi đó ta kí hiệu: lim f(x) = L I lim f(x) = L ] X->+CO \X->-00 Ị hay f(x) —> L khi X —> + co (f(x) —> L khi X —> - 00) Giới hạn vô cực của hàm sô' Định nghĩa 4: Cho hàm sô' y = f(x) xác định trên khoảng (a, + 00) hay khoảng (—co, a). Nếu với mọi dãy sô' (xn) mà xn > a (xn +CO (x -> - 00) ta đều có íKx) -> - 00 (f(x) -> + 00) thì ta nói hàm sô' f(x) có giới hạn là - 00 (+ 00) khi xn —> + 00 (x —> - co). Khi đó ta kí hiệu: lim f(x) =- 00 I lim f(x) = + 001 X->+cc \x->+co ỉ Định nghĩa tương tự với các trường hợp khác. Một số giới hạn đặc biệt: lim xk = + co, k nguyên dương X->+00 lim xk là -00 nếu k lẻ, là +00 nếu k chẵn. X—>-00 5. Một sô' quy tắc về giới hạn vô cực a) Quỵ tắc tìm giới hạn của tích lim f(x) x-»x0 lim g(x) x->x0 lim f(x).g(x) x-»x„ L > 0 + 00 + 00 -00 — 00 L < 0 + 00 — 00 — 00 + 00 b) Quy tắc tìm giới hạn thương limf(x) x-^x„ lim g(x) x->x0 Dấu của g(x) g(x) L ±00 Tùy ý 0 L > 0 0 + + 00 e — - 00 L < 0 + -00 — + 00 B. GIẢI BÀI TẬP 1. Dùng định nghĩa tìm các giới hạn sau: .. x + 1 2-5x2 a. lim--—— b. lim—z—X- x->4 3x-2 x->+“’ X +3 Giải X +1 í 21 a. Đặt f(x) = -^—7-, TXĐ: D = R \ 0 3x-2 [3J lim xn = 4 n->+00 ■ 2 Xét dãy số (xn), xn G R \ và Xét giới hạn của dãy sô': (flxn)) nếu có: n->+co top (xn+ n—>4-co H3x„ ~2) n—>+00 x lim X + lim 1 4,1 n->+00 n-»+co ' 1 lim 3xn - lim 2 12-2 n—>+õo n—>+co Vậy theo định nghĩa ta có: limf (x) V —' = lim4±l x->4 3x - 2 b. Tương tự a: Đặt f(x) = 2 + 5x2 „ _ , TXĐ: D = R x2+3 Xét dãy số (xn) với xn e (a;+co) và lim xn = +00 n->+00 2_5x2 Ta có: lim f (xn) = lim — n n—>+» v 7 II—>+co -|- 3 X2 An = lim — n—>+00 ■ xỉ Ế’5 = lim 4-5 x„ 2 lim V-_5 x: X? lim 1 + —r x: --5 = +c° = -5 4-00 2 —5x2 Vậy theo định nghĩa ta có: lim f (x) = lim - ■ V xxrr. ' V—X.' - —1_ "2 = -5 2. Cho hàm số f (x) = VX4-1 (nếu x>0) , , _ . Ấ .. 1 và các dãy số (u„) với un - —, với 2x (nếu X < 0) n 'n = - —. Tính limun, limvn, limf(un), limf(vn) n Từ đó có kết luận gì về giới hạn của hàm sô' đã cho khi X —> 0? Giải Ta có: lim un = lim — = 0; lim vn = lim - n k = -lim—= 0 n Vì: — > 0 nên n và < 0 nên: n Vậy lim un = lim lim f (vn)= lim 3. Tính các giới hạn sau: ]• x2-l a. lim ——— b. lini Vr <-*-2 x + 2 a. d. lim 2x-6 4-x e. lim x->+M X +1 Giải .. x/x + 3 -3 c. lim— — X Vó X - 6 f. lim -2Vlĩzl x->+=0 3 + X lim X->+00 x->-3 X + 1 -3 + 1 = ^=-4 -2 n J V = 0 và lim (u) = 1 * lim f (vn) = 0 n ' n—X-Ur/-' ' ' Do đó không tồn tại giới hạn của f(x) khi X —> 0 . 4_x2 b. Đặt f(x) = ——7-, TXĐ: D = R \ {-2} = 2-x 4-x2 4-x2 c. Với Vx 6, ta CÓ: Vx + 3 -3 _ (v(x + 3) -3j(Vx + 3 +3) X —6 (x — 6)(ựx +3 +3) Vậy lim —-— = lim X—>6 x-»6 1_ 6 d. lim ——- = lim J 6 X 2- — V X xf--l k X 2-Ế = lim —= -2 X->+cO 4 1 X 1; 17 c. lim —-— liml7 21 = 0 +oo = lim ^- + 1 X , . X „ 1: ~2x2 +x-l .. f. lim —-7—-— = lim — = lim X. lim X—>+co x-*+10 i.(-2) = -co ỉ. lim x->r x-1 1; 2X-7 c. lim — * x-1 4. Tìm các giới hạn sau: 3x-5 a. lim——-—77 Giải 3x-5 lim _ x->2(x-2)2 lim ^=2 _ 3.2-5 = (2-2)2 -5 —— = +00 0 _Ị_ 0 = +co (vì khi X —> 1 thì X - < 0) lim ——— = -— = -00 (vì X —> 1+ thì X - 1 > 0) x“r x-1 0 Quan sát đồ thị và nêu nhận xét về giá trị hàm số đã cho khi X -> -00, X —> 3~, X —> -3+ Kiểm tra các nhận xét trên bằng cách tính các giới hạn sau: lim f (x) với f(x) được xét trên khoảng (-oo;-3) X—>-00 v 7 lim f (x) với f (x) được xét trên khoảng (3; -3) x->3“ lim f (x) với f (x) được xét trên khoảng (-3; 3) Giải a. Từ đồ thị thấy: f (x) —> 0 khi X -» -co; f (x) -> -co khi X -»3"; f (x) —> +00 khi X —> -3+ b. Ta có: lim f (x) - = J™ - " " - T * < - T - 0 x->-“ x->-« X -9 x->-co 2 7 2 1 X 1 —7 lim 1 —7 3 + 2 32-9 V X J X ) lim f (x) = lim x->3“ v ’ x“rx2-9 (vì trên (3; -3) thì X2 - 9 < 0) -1 = +00 0 f.. x + 2 -3 + 2 lim f (X) = lim — = ——— (vì trên đoạn (-3; 3), X2 - 9 > 0) 6. Tính: b. c. -2x + 5 d. lim ———— 5-2x Giải 1 . 1 Ị_ X” X’ X4 = lim X4. lim I 1 —"V + “T _ X—>+00 X—>+co I X X4 = +00.1 = +co b. lim í-2x3 + 3x2 -5)= lim X3 X—>-00 V ' X—>—co -2+ê-^ X X I 3 5 - lim X3. lim -2+—ị- X—♦—001 x x -2x + 5 = lim Jx2 I I..I ,2,5 • = lim X . 1 + — 1 V XX /25 = lim ịx| lim J1-—+ —7 =+00.1 =+00 X—>—co X—>—co Y XX d. lim x^+w 5 - 2x = lim + l + x —-—— = lim x[--2 \ x xí—-2 X = lim 1-2 X Một thấu kính hội tụ có tiêu cự là f. Gọi d và d’ lần lượt là khoảng cách từ một vật thật AB và từ ảnh A’B’ của nó tới quang tâm o của thấu kính (hình dưới). Công thức thấu kính là ■“ + "7 = 7 • d d' f A' ir; Tìm biểu thức xác định hàm sô' d = ợ?(d). Tìm lim (ơ(d) , lim ý?(d), lim ý9(d). Giải thích ý nghĩa của các kết d->f’ d->f’ d->+co quả tìm được. Giải , „x. 1 . 1 _ 1 1 1 1 \ df Ta có: . + -r = -T d = = g(d) d d' f d' f d d-f Tính: ./.X 1:„ fd f2 lim g(d) = lim ——- = -— = +CO (vì d - f > 0) khi d -> r) d^f 7 d-ir d - f 0 Ý nghĩa: Khi vật dẫn đến tiêu điếm nhưng lớn hơn tiêu điểm thì có ảnh ở 00. fd lim ợ?(d) = lim ——— = -00 (vì d - f D d-ư- d - f Ý nghĩa: Khi vật dẫn đến tiêu điểm nhưng ở giữa tiêu điểm và quang tâm thì có ảnh ảo ngoài vô cực. lim ộ?(d) = lim - lim f = f d—>+co v / d->+co — £ d—>+co 8 d Ý nghĩa: Khi vật ở xa vô cực thì khoảng cách từ ảnh đến quang tâm bằng tiêu cực.

Các bài học tiếp theo

• Bài 3. Hàm số liên tục
• Ôn tập chương IV
• Bài 1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
• Bài 2. Quy tắc tính đạo hàm
• Bài 3. Đạo hàm của các hàm số lượng giác
• Bài 4. Vi phân
• Bài 5. Đạo hàm cấp hai
• Ôn tập chương V

Các bài học trước

• Bài 1. Giới hạn của dãy số
• Ôn tập chương III
• Bài 4. Cấp số nhân
• Bài 3. Cấp số cộng
• Bài 2. Dãy số
• Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học
• Ôn tập chương II
• Bài 5. Xác suất của biến cố
• Bài 4. Phép thử và biến cố
• Bài 3. Nhị thức Niutơn

Tham Khảo Thêm

• Sách Giáo Khoa - Đại Số và Giải Tích 11
• Sách Giáo Khoa - Hình Học 11
• Giải Bài Tập Toán 11 Đại Số
• Giải Bài Tập Toán 11 Hình Học
• Giải Toán 11 Đại Số và Giải Tích
• Giải Toán 11 Hình Học
• Giải bài tập Đại số và Giải tích 11(Đang xem)
• Giải bài tập Hình học 11

Giải bài tập Đại số và Giải tích 11

• Chương I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
• Bài 1. Hàm số lượng giác
• Bài 2. Phương trình lượng giác cơ bản
• Bài 3. Một số phương trình lượng giác thường gặp
• Ôn tập chương 1
• Chương II. TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT
• Bài 1. Quy tắc đếm
• Bài 2. Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp
• Bài 3. Nhị thức Niutơn
• Bài 4. Phép thử và biến cố
• Bài 5. Xác suất của biến cố
• Ôn tập chương II
• Chương III. DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN
• Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học
• Bài 2. Dãy số
• Bài 3. Cấp số cộng
• Bài 4. Cấp số nhân
• Ôn tập chương III
• Chương IV. GIỚI HẠN
• Bài 1. Giới hạn của dãy số
• Bài 2. Giới hạn của hàm số(Đang xem)
• Bài 3. Hàm số liên tục
• Ôn tập chương IV
• Chương V. ĐẠO HÀM
• Bài 1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
• Bài 2. Quy tắc tính đạo hàm
• Bài 3. Đạo hàm của các hàm số lượng giác
• Bài 4. Vi phân
• Bài 5. Đạo hàm cấp hai
• Ôn tập chương V