Giải Bài Tập Về ánh Xạ Tuyến Tính - TaiLieu.VN
Có thể bạn quan tâm
- Đề thi toán cao cấp 2
- Đại số tuyến tính
- Toán rời rạc
- Xác suất thống kê
- Phương trình vi phân
-
- Toán cao cấp
- Toán kinh tế
- HOT
- CEO.27: Bộ Tài Liệu Dành Cho StartUp...
- FORM.07: Bộ 125+ Biểu Mẫu Báo Cáo...
- TL.01: Bộ Tiểu Luận Triết Học
- FORM.08: Bộ 130+ Biểu Mẫu Thống Kê...
- CEO.29: Bộ Tài Liệu Hệ Thống Quản Trị...
- CEO.24: Bộ 240+ Tài Liệu Quản Trị Rủi...
- LV.11: Bộ Luận Văn Tốt Nghiệp Chuyên...
- LV.26: Bộ 320 Luận Văn Thạc Sĩ Y...
- FORM.04: Bộ 240+ Biểu Mẫu Chứng Từ Kế...
Chia sẻ: Kieu Dinh Tuan | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:10
Thêm vào BST Báo xấu 4.748 lượt xem 358 download Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủTham khảo tài liệu 'giải bài tập về ánh xạ tuyến tính', khoa học tự nhiên, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
AMBIENT/ Chủ đề:- giáo dục
- đào tạo
- sau đại học
- MBA
- toán đại số
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Đăng nhập để gửi bình luận! LưuNội dung Text: Giải bài tập về ánh xạ tuyến tính
- Đ I S CƠ B N (ÔN THI TH C SĨ TOÁN H C) Bài 17. Gi i bài t p v ánh x tuy n tính PGS TS M Vinh Quang Ngày 10 tháng 3 năm 2006 1. a. Cho ánh x f : Rn → R, ch ng minh r ng f là ánh x tuy n tính khi và ch khi t n t i các s a1 , a2 , . . . , an ∈ R đ f (x1 , x2 , . . . , xn ) = a1 x1 + a2 x2 + . . . + an xn b. Cho ánh x f : Rn → Rm . Ch ng minh r ng f là ánh x tuy n tính khi và ch khi t n t i các s aij ∈ R đ f (x1 , x2 , . . . , xn ) = (a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn , . . . , am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn ) (∗) Gi i. Ta ch gi i câu b., câu a. là trư ng h p đ c bi t c a câu b. khi m = 1. Ki m tra tr c ti p, ta th y ngay r ng n u f có d ng như (∗) thì f là ánh x tuy n tính. Ngư c l i, n u f là ánh x tuy n tính, ta đ t: f (ei ) = (a1i , a2i , . . . , ami ) v i i = 1, 2, . . . , n, trong đó ei = (0, . . . , 0, 1, 0, . . . , 0). Khi đó ta có f (x1 , x2 , . . . , xn ) = f (x1 e1 + x2 e2 + . . . + xn en ) = x1 f (e1 ) + x2 f (e2 ) + . . . + xn f (en ) = f (a11 x1 + a12 x2 + . . . + a1n xn , . . . , am1 x1 + am2 x2 + . . . + amn xn ) 2. Tìm công th c c a ánh x tuy n tính f : R3 → R3 bi t a. f (1, 1, 2) = (1, 0, 0), f (2, 1, 1) = (0, 1, 1), f (2, 2, 3) = (0, −1, 0). b. f (1, 2, 3) = (−1, 0, 1), f (−1, 1, 1) = (0, 1, 0), f (1, 3, 4) = (1, 0, 2). Gi i. a. Gi s (x1 , x2 , x3 ) = a1 (1, 1, 2) + a2 (2, 1, 1) + a3 (2, 2, 3) (1) Khi đó f (x1 , x2 , x3 ) = a1 (1, 0, 0) + a2 (0, 1, 1) + a3 (0, −1, 0) = (a1 , a2 − a3 , a2 ) (2) Do đó, đ tính f (x1 , x2 , x3 ), ta c n tính a1 , a2 , a3 qua x1 , x2 , x3 . Do công th c (1), a1 , a2 , a3 là nghi m c a h : 1 2 2 x1 1 2 2 x1 1 1 2 x2 −→ 0 −1 0 −x1 + x2 2 1 3 x3 0 −3 −1 −2x1 + x3 1 2 2 x1 −→ 0 −1 0 −x1 + x2 0 0 −1 x1 − 3x2 + x3 1
- V y: a3 = −x1 + 3x2 − x3 a2 = x 1 − x 2 a1 = x1 − 2a2 − 2a3 = x1 − 2(x1 − x2 ) − 2(−x1 + 3x2 − x3 ) = x1 − 4x2 + 2x3 Thay vào (2), công th c c a ánh x f là: f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 − 4x2 + 2x3 , 2x1 − 4x2 + x3 , x1 − x2 ) b. Gi i tương t câu a., chi ti t xin dành cho b n đ c. 3. Trong R3 cho 2 cơ s : u1 = (1, 0, 0), u2 = (0, 1, 1), u3 = (1, 0, 1) (u) v1 = (1, −1, 0), v2 = (0, 1, −1), v3 = (1, 0, 1) (v) và cho ánh x tuy n tính f : R3 → R3 , f (ui ) = vi . a. Tìm công th c c a f . b. Tìm các ma tr n Af /(u) , Af /(u),(v) , Af /(v) , Af /(v),(u) , Af /(ε3 ) Gi i. a. Gi s (x1 , x2 , x3 ) = a1 u1 + a2 u2 + a3 u3 (1) Khi đó f (x1 , x2 , x3 ) = f (a1 u1 + a2 u2 + a3 u3 ) = a1 f (u1 ) + a2 f (u2 ) + a3 f (u3 ) = a1 (1, −1, 0) + a2 (0, 1, −1) + a3 (1, 0, 1) = (a1 + a3 , −a1 + a2 , −a2 + a3 ) V y f (x1 , x2 , x3 ) = (a1 + a3 , −a1 + a2 , −a2 + a3 ) (2) Ta c n tính a1 , a2 , a3 theo x1 , x2 , x3 , do (1), a1 , a2 , a3 là nghi m c a h 1 0 1 x1 1 0 1 x1 0 1 0 x2 −→ 0 1 0 x2 0 1 1 x3 0 0 1 −x2 + x3 do đó: a3 = −x2 + x3 , a2 = x2 , a1 = x1 − a3 = x1 + x2 − x3 . Thay vào (2) công th c c a f là: f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 , −x1 + x3 , −2x2 + x3 ) b. • Ma tr n Af /(u) Ta có: f (u1 ) = v1 = a1 u1 + a2 u2 + a3 u3 (1) f (u2 ) = v2 = b1 u1 + b2 u2 + b3 u3 (2) f (u3 ) = v3 = c1 u1 + c2 u2 + c3 u3 (3) Khi đó a1 b 1 c 1 Af /(u) = a2 b 2 c 2 a3 b 3 c 3 2
- các ai , bi , ci l n lư t là nghi m c a các phương trình véctơ (1), (2), (3). M i phương trình (1), (2), (3) tương đương v i m t h phương trình tuy n tính có cùng ma tr n các h s (ch khác nhau c t t do), do đó, ta có th gi i cùng lúc 3 h đó như sau: 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 −1 1 0 −→ 0 1 0 −1 1 0 0 1 1 0 −1 1 0 0 1 1 −2 1 – H 1: a3 = 1, a2 = −1, a1 = 1 − a3 = 0 – H 2: b3 = −2, b2 = 1, b1 = −b3 = 2 – H 3: c3 = 1, c2 = 0, c1 = 1 − c3 = 0 V y ma tr n 0 2 0 Af /(u) = −1 1 0 1 −2 1 • Ma tr n Af /(u),(v) Ta có f (u1 ) = v1 = 1v1 + 0v2 + 0v3 f (u2 ) = v2 = 0v1 + 1v2 + 0v3 f (u3 ) = v3 = 0v1 + 0v2 + 1v3 V y ma tr n 1 0 0 Af /(u),(v) = 0 1 0 0 0 1 • Ma tr n Af /(v) Áp d ng câu a., ta s tính đư c f (v1 ), f (v2 ), f (v3 ), sau đó làm như các ph n trư c. C th : f (v1 ) = (1, −1, 2) = a1 v1 + a2 v2 + a3 v3 f (v2 ) = (0, −1, −3) = b1 v1 + b2 v2 + b3 v3 f (v3 ) = (1, 0, 1) = c1 v1 + c2 v2 + c3 v3 ai , bi , ci là nghi m c a 3 h sau: 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 −1 1 0 −1 −1 0 −→ 0 1 1 0 −1 1 0 −1 1 2 −3 1 0 −1 1 2 −3 1 1 0 1 1 0 1 −→ 0 1 1 0 −1 1 0 0 2 2 −4 2 – H 1: a3 = 1, a2 = −a3 = −1, a1 = 1 − a3 = 0 – H 2: b3 = −2, b2 = −1 − b3 = 1, b1 = −b3 = 2 – H 3: c3 = 1, c2 = 1 − c3 = 0, c1 = 1 − c3 = 0 Vy 0 2 0 Af /(v) = −1 1 0 1 −2 1 3
- • Ma tr n Af /(v),(u) làm tương t . • Ma tr n Af /(ε3 ) theo câu a., công th c c a f là f (x1 , x2 , x3 ) = (x1 , −x1 + x3 , −2x2 + x3 ) do đó ta có ngay: 1 0 0 Af /(ε3 ) = −1 0 1 0 −2 1 4. Cho ánh x tuy n tính θ : Rn [x] −→ Rn [x] p(x) −→ p (x) Tìm ma tr n c a θ trong cơ s : a. uo = 1, u1 = x, u2 = x2 , . . . , un = xn (x−a)2 (x−a)n b. vo = 1, v1 = x − a, v2 = 2! ,..., vn = n! Gi i. a. Ta có θ(uo ) = 0 = 0uo + 0u1 + . . . . . . . . . . . . . . . + 0un θ(u1 ) = 1 = 1uo + 0u1 + . . . . . . . . . . . . . . . + 0un θ(u2 ) = 2x = 0uo + 2u1 + . . . . . . . . . . . . . . . + 0un ................................................ θ(uk ) = kxk−1 = 0uo + 0u1 + . . . + kuk−1 + . . . + 0un ................................................ θ(un ) = nxn−1 = 0uo + 0u1 + . . . . . . . . . + nun−1 + 0un Vy 0 1 0 ... 0 ... 0 0 0 2 ... 0 ... 0 0 0 0 ... 0 ... 0 . . . . . . . . . . . . . . . Af /(u) = . . . . . . . . . . . k . . . . . . . . . . . . . . . . 0 0 0 ... 0 ... n 0 0 0 ... 0 ... 0 b. L i gi i tương t câu a., chi ti t xin dành cho b n đ c. 5. Cho ánh x tuy n tính f : R4 → R3 f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x1 − x2 + x3 , 2x1 + x4 , 2x2 − x3 + x4 ) Tìm cơ s , s chi u c a Ker f, Im f 4
- Gi i. • (x1 , x2 , x3 , x4 ) ∈ Ker f ⇔ f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = 0, ⇔ (x1 , x2 , x3 , x4 ) là nghi m c a h x1 − x2 + x3 = 0 2x1 + x4 = 0 (1) 2x2 + x3 + x4 = 0 Do đó, Ker f chính là không gian con các nghi m c a h (1) và h nghi m cơ b n c a h (1) chính là m t cơ s c a Ker f . Đ gi i h (1), ta bi n đ i ma tr n h s m r ng: 1 −1 1 0 0 1 −1 1 0 0 2 0 0 1 0 −→ 0 2 −2 1 0 0 2 1 1 0 0 2 1 1 0 1 −1 1 0 0 −→ 0 2 −2 1 0 0 0 3 0 0 H có vô s nghi m ph thu c 1 tham s là x4 . Ta có x3 = 0 x2 = 1 (2x3 − x4 ) = − 1 x4 2 2 x1 = x2 − x3 = x2 = − 1 x4 2 V y nghi m t ng quát c a h là: x1 = −a x2 = −a x3 =0 x4 = 2a h nghi m cơ b n α1 = (−1, −1, 0, 2), do đó, dim Ker f = 1, cơ s c a Ker f là α1 = (−1, −1, 0, 2). • Đ tìm cơ s c a Im f , ta tìm nh c a cơ s chính t c c a R4 . Ta có: f (e1 ) = (1, 2, 0), f (e2 ) = (−1, 0, 2), f (e3 ) = (1, 0, −1), f (e4 ) = (0, 1, 1) Im f = f (e1 ), f (e2 ), f (e3 ), f (e4 ) H con ĐLTT t i đ i c a f (e1 ), f (e2 ), f (e3 ), f (e4 ) là m t cơ s c a Im f . Ta có 1 2 0 1 1 2 0 1 −1 0 2 2 0 2 2 2 −→ 1 0 −1 3 0 −2 −1 3 0 1 1 4 0 1 1 4 1 2 0 1 0 1 1 2 −→ 0 −2 −1 3 0 2 2 4 1 2 0 1 0 1 1 2 −→ 0 0 1 3 0 0 0 4 V y cơ s c a Im f là f (e1 ), f (e4 ), f (e3 ) và dim f = 3. 5
- 6. Tìm vectơ riêng, giá tr riêng, chéo hóa các ma tr n sau: 1 0 1 (a) 0 0 0 1 0 1 5 −1 1 (b) −1 2 −2 1 −2 2 1 2 1 (c) 2 4 2 1 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 (d) 0 0 0 0 1 0 0 1 1 3 1 2 0 −1 1 3 (e) 0 0 2 5 0 0 0 −2 Gi i. b) Tìm đa th c đ c trưng: 5 − λ −1 1 PA (λ) = −1 2 − λ −2 1 −2 2 − λ = (5 − λ)(2 − λ)2 + 2 + 2 − (2 − λ) − 4(5 − λ) − (2 − λ) = −λ3 + 9λ2 − 18λ PA (λ) = 0 ⇔ λ = 0, λ = 3, λ = 6. V y A có 3 giá tr riêng là λ = 0, λ = 3, λ = 6. • Vectơ riêng ng v i tr riêng λ = 0 là giá các vectơ nghi m khác không a h : c 5 −1 1 0 −1 2 −2 0 −1 2 −2 0 −1 2 −2 0 −→ 5 −1 1 0 −→ 0 −11 11 0 1 −2 2 0 1 −2 2 0 0 0 0 0 H có vô s nghi m ph thu c m t tham s là x3 . Ta có: x3 = a, x2 = a, x1 = 0. Nghi m c a h là t t c các vectơ d ng (0, a, a), a ∈ R. Do đó, vectơ riêng ng v i giá tr riêng λ = 0 là các vectơ có d ng (0, a, a), a = 0, dim V0 = 1. Cơ s c a V0 là α1 = (0, 1, 1). • Vectơ riêng ng v i tr riêng giá λ = 3 là các vectơ nghi m khác không c a h : 2 −1 01 1 −2 −1 0 1 −2 −1 0 −1 −1 −2 0 −→ −1 −1 −2 0 −→ 0 −3 −3 0 1 −2 −1 0 2 −1 1 0 0 3 3 0 1 −2 −1 0 −→ 0 −3 −3 0 0 0 0 0 H có vô s nghi m ph thu c m t tham s là x3 . 6
- Ta có: x3 = b, x2 = −b, x1 = 2x2 + x3 = −b. Nghi m c a h là t t c các vectơ d ng (−b, −b, b), b ∈ R. Do đó, vectơ riêng ng v i giá tr riêng λ = 3 là các vectơ có d ng (−b, −b, b), b = 0, dim V3 = 1. Cơ s c a V3 là α2 = (−1, −1, 1). • Vectơ riêng ng v i tr riêng giá λ = 6 là các vectơ nghi m khác không c a h : −1 −1 1 0 −1 −1 1 0 −1 −1 1 0 −1 −4 −2 0 −→ 0 −3 −3 0 −→ 0 −3 −3 0 1 −2 −4 0 0 −3 −3 0 0 0 0 0 H có vô s nghi m ph thu c m t tham s là x3 . Ta có: x3 = c, x2 = −c, x1 = −x2 + x3 = 2c. Nghi m c a h là t t c các vectơ d ng (2c, −c, c), c ∈ R. Do đó, vectơ riêng ng v i giá tr riêng λ = 6 là các vectơ có d ng (2c, −c, c), c = 0, dim V6 = 1. Cơ s c a V0 là α3 = (2, −1, 1). Chéo hóa. T ng h p 3 trư ng h p trên ta th y ma tr n A có 3 vectơ riêng đ c l p tuy n tính. Do đó A chéo hóa đư c. Ma tr n T c n tìm là: 0 −1 2 T = 1 −1 −1 1 1 1 và 0 0 0 T −1 AT = 0 3 0 0 0 6 là ma tr n chéo. d) Tìm đa th c đ c trưng 1−λ 0 0 0 0 −λ 0 0 PA (λ) = = λ2 (1 − λ)2 0 0 −λ 0 1 0 0 1−λ PA (λ) = 0 ⇔ λ = 0, λ = 1. V y ma tr n A có 2 giá tr riêng là λ = 0, λ = 1. • Vectơ riêng ng vi giá riêng λ tr = 0 là vectơ nghi m khác không c a h : các 1 0 0 0 0 1∗ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −→ 0 0 0 1∗ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 H có vô s nghi m ph thu c hai tham s là x2 , x3 . Ta có: x2 = a, x3 = b, x4 = 0, x1 = 0. Nghi m c a h là t t c các vectơ d ng (0, a, b, 0), a, b ∈ R. Do đó, vectơ riêng ng v i giá tr riêng λ = 0 là các vectơ có d ng (0, a, b, 0), a2 + b2 = 0, dim V0 = 2. Cơ s c a V0 là α1 = (0, 1, 0, 0), α2 = (0, 0, 1, 0). 7
- • Vectơ riêng ng v i giá tr riêng λ = 1 là các vectơ nghi m khác không c a h : 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 −→ 0 −1 0 0 0 0 0 −1 0 0 0 0 −1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 H có vô s nghi m ph thu c tham s là x4 . Ta có: x4 = c, x3 = 0, x2 = 0, x1 = 0. Nghi m c a h là t t c các vectơ d ng (0, 0, 0, c), c ∈ R. Do đó, vectơ riêng ng v i giá tr riêng λ = 1 là các vectơ có d ng (0, 0, 0, c), c = 0, dim V1 = 1. Cơ s c a V1 là α3 = (0, 0, 0, 1). Chéo hóa. T ng h p 3 trư ng h p trên ta th y ma tr n A ch có 3 vectơ riêng đ c l p tuy n tính trong khi A là ma tr n c p 4 nên A không chéo hóa đư c. 7. Trong R3 cho cơ s : u1 = (1, 1, 1), u2 = (−1, 2, 1), u3 = (1, 3, 2) và cho ánh x tuy n tính f : R3 → R3 xác đ nh b i: f (u1 ) = (0, 5, 3) f (u2 ) = (2, 4, 3) f (u3 ) = (0, 3, 2) Tìm m t cơ s đ ma tr n c a f trong cơ s đó là ma tr n chéo. Gi i. Đ u tiên ta tìm ma tr n c a f trong cơ s nào đó c a R3 . Vì è đã cho f (u1 ), f (u2 ), f (u3 ) nên d nh t là tìm ma tr n c a f trong cơ s (u). B n đ c có th d dàng tìm đư c: 0 1 1 Af /(u) = 1 0 1 1 1 0 Bư c ti p theo, ta tìm giá tr riêng và vectơ riêng c a ma tr n A = Af /(u) . T đó s tìm đư c giá tr riêng và vectơ riêng c a f . 0 1 1 Các giá tr riêng, vectơ riêng c a ma tr n A = 1 0 1 , ta đã tìm trong ph n lý thuy t. 1 1 0 K t qu tóm t t như sau: • A có hai giá tr riêng là λ = −1 và λ = 2. • Các vectơ riêng ng v i giá tr riêng λ = −1 là các vectơ (−a − b, a, b), a2 + b2 = 0. Trư ng h p này A có hai vectơ riêng đ c l p tuy n tính là α1 = (−1, 1, 0), α2 = (−1, 0, 1). • Các vectơ riêng ng v i giá tr riêng λ = 2 là các vectơ (c, c, 0), c = 0. Trư ng h p này A có m t vectơ riêng đ c l p tuy n tính là α3 = (1, 1, 1). T đó suy ra: • f có hai giá tr riêng là λ = −1 và λ = 2. • Các vectơ riêng ng v i giá tr riêng λ = −1 là các vectơ d ng (−a − b)u1 + au2 + bu3 = (−2a, a + 2b, b), a2 + b2 = 0. Trư ng h p này f có hai vectơ riêng đ c l p tuy n tính là: β1 = −1.u1 + 1.u2 + 0.u3 = (−2, 1, 0) β2 = −1.u1 + 0.u2 + 1.u3 = (0, 2, 1) 8
- • Các vectơ riêng ng v i giá tr riêng λ = 2 là các vectơ d ng c.u1 + c.u2 + c.u3 = (c, 6c, 4c), c = 0. Trư ng h p này f có m t vectơ riêng đ c l p tuy n tính là: β3 = 1.u1 + 1.1.u2 + 1.u3 = (1, 6, 4) K t lu n. Vì f là phép bi n đ i tuy n tính c a R3 (dim R3 = 3) và f có 3 vectơ riêng đ c l p tuy n tính là β1 , β2 , β3 nên β1 , β2 , β3 (β) chính là cơ s c a R3 c n tìm và ta có: −1 0 0 Af /(β) = 0 −1 0 0 0 2 8. Cho phép bi n đ i tuy n tính ϕ : V → V th a mãn ϕ2 = ϕ. Ch ng minh: (a) Im ϕ + Ker ϕ = V (b) Im ϕ ∩ Ker ϕ = {0} Gi i. a) T t nhiên Im ϕ + Ker ϕ ⊂ V , ta c n ch ng minh: V ⊂ Im ϕ + Ker ϕ. V i m i α ∈ V , ta có: α = ϕ(α) + (α − ϕ(α)) T t nhiên ϕ(α) ∈ Im ϕ, và ϕ(α − ϕ(α)) = ϕ(α) − ϕ2 (α) = ϕ(α) − ϕ(α) = 0. Do đó, α − ϕ(α) ∈ Ker ϕ ⇒ α ∈ Im ϕ + Ker ϕ, và Im ϕ + Ker ϕ = V . b) Gi s β ∈ Im ϕ ∩ Ker ϕ. Khi đó t n t i α ∈ V đ ϕ(α) = β. Theo gi thi t ϕ2 = ϕ nên ta có: β = ϕ(α) = ϕ2 (α) = ϕ(ϕ(α)) = ϕ(β) = 0 (vì β ∈ Ker ϕ). V y β ∈ Im ϕ ∩ Ker ϕ thì β = 0. Do đó, Im ϕ ∩ Ker ϕ = {0}. 9. Cho f : V → V là ánh x tuy n tính, L là không gian vectơ con c a V . Ch ng minh: (a) dim L − dim Ker f ≤ dim f (L) ≤ dim L. (b) dim L ≤ dim f −1 (L) ≤ dim L + dim Ker f . Gi i. Đ gi i bài t p 9 và bài t p 10, ta c n nh k t qu sau (đã ch ng minh trong ph n lý thuy t): N u ϕ : V → U là ánh x tuy n tính thì ta có: dim Im ϕ + dim Ker ϕ = dim V ¯ ¯ ¯ a) Xét ánh x f : L → V , f = f |L , t c là f (α) = f (α) v i m i α ∈ L. ¯ = f (L) = f (L), Ker f = L ∩ Ker f . Ta có Im f ¯ ¯ ¯ Áp d ng k t qu trên v i ϕ = f , ta có: ¯ ¯ dim Im f + dim Ker f = dim L ¯ Do đó, dim f (L) = dim Im f ≤ dim L ¯ và dim f (L) = dim L − dim Ker f ≥ dim L − dim Ker f b) Đ t L = f −1 (L). Khi đó f (L ) = L. Áp d ng a) v i không gian vectơ con L , ta có: dim L − dim Ker f ≤ dim f (L ) ≤ dim L t c là dim f −1 (L) − dim Ker f ≤ dim L ≤ dim f −1 (L) 9
- Do đó: dim L ≤ dim f −1 (L) ≤ dim L + dim Ker f 10. Cho ϕ : V → W , ψ : W → U là ánh x tuy n tính. Ch ng minh: (a) rank(ψϕ) ≤ min{rank ψ, rank ϕ} (b) rank(ψϕ) = rank ϕ − dim(Ker ψ ∩ Im ϕ) (c) rank(ψϕ) ≥ rank kϕ + rank − dim W Gi i. a) Áp d ng câu a) bài 9 cho ánh x tuy n tính ψ : W → U v i L = Im ϕ = ϕ(V ) ⊂ W , ta có: dim ϕ(V ) ≥ dim ψ(ϕ(V )) = dim(ψϕ)(V ) = dim Im(ψϕ) V y ta có: rank(ψϕ) ≤ rank ϕ (1) M t khác, ta có: ϕ(V ) ⊂ W nên ψ(ϕ(V )) ⊂ ψ(W ), do đó dim ψϕ(V ) ≤ dim ψ(W ), t c là: rank ψϕ ≤ rank ψ (2). T (1) và (2) ta có đi u c n ch ng minh. ¯ ¯ ¯ b) Xét ánh x ψ : Im ϕ → U , ψ = ψ|Im ϕ , t c là ψ(α) = ψ(α) v i m i α ∈ Im ϕ. ¯ ¯ ¯ Khi đó, Ker ψ = Ker ψ ∩ Im ϕ và Im ψ = ψ(Im ϕ) = ψ(Im ϕ) = (ψϕ)(V ) = Im ψϕ, t c là: dim Im(ψϕ) + dim(Ker ψ ∩ Im ϕ) = dim Im ϕ. Do v y, rank(ψϕ) = rank ϕ − dim(Ker ψ ∩ Im ϕ). c) Ta có: dim Ker ψ + dim Im ψ = dim W nên dim Ker ψ = dim W − rank ψ. B i v y, theo câu b) rank(ψϕ) = rank ϕ − dim(Ker ψ ∩ Im ϕ) ≥ rank ϕ − dim Ker ψ = rank ϕ − (dim W − rank ψ) = rank ϕ + rank ψ − dim W. 1 1 Đánh máy: LÂM H U PHƯ C, TR N Đ C THU N Ngày: 09/03/2006 10
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Toán cao cấp 2- Bài 6: Ánh xạ tuyến tính và Ma trận
12 p | 2283 | 233
-
Toán cao cấp 2- Bài 3: Hệ phương trình đại số tuyến tính
12 p | 1767 | 189
-
Toán cao cấp 2- Bài 8: Dạng song tuyến tính, dạng toàn phương, không gian Euclid
20 p | 1412 | 157
-
Toán cao cấp 2- Bài 7: Toán tử tuyến tính
12 p | 1551 | 96
-
Tóm tắt bài giảng Giải tích hàm
53 p | 178 | 25
-
Bài giảng Đại số cơ bản: Bài 17 - PGS. TS Mỵ Vinh Quang
10 p | 97 | 7
-
Kế hoạch bài giảng môn Hình giải tích và Đại số tuyến tính
66 p | 56 | 4
- Hãy cho chúng tôi biết lý do bạn muốn thông báo. Chúng tôi sẽ khắc phục vấn đề này trong thời gian ngắn nhất.
- Không hoạt động
- Có nội dung khiêu dâm
- Có nội dung chính trị, phản động.
- Spam
- Vi phạm bản quyền.
- Nội dung không đúng tiêu đề.
- Về chúng tôi
- Quy định bảo mật
- Thỏa thuận sử dụng
- Quy chế hoạt động
- Hướng dẫn sử dụng
- Upload tài liệu
- Hỏi và đáp
- Liên hệ
- Hỗ trợ trực tuyến
- Liên hệ quảng cáo
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn
Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.
Đang xử lý... Đồng bộ tài khoản Login thành công! AMBIENTTừ khóa » Bài Tập Ma Trận ánh Xạ Tuyến Tính
-
( Toán Cao Cấp ) Bài Tập ánh Xạ Tuyến Tính (tt), Chuỗi Lũy ... - StuDocu
-
Ánh Xạ Tuyến Tính – Bài Tập & Lời Giải - TTnguyen
-
Ma Trận Của ánh Xạ Tuyến Tính Và ứng Dụng - YouTube
-
11) Toán 2 - Bài Tập Ma Trận Của Ánh Xạ Tuyến Tính - YouTube
-
[PDF] Bài 6: ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VÀ MA TRẬN - Topica
-
( Toán Cao Cấp ) Bài Tập ánh Xạ Tuyến Tính (tt), Chuỗi Lũy Thừa ... - Issuu
-
ÁNH XẠ TUYếN TÍNH | Học Để Thi
-
Tài Liệu Giải Bài Tập Về ánh Xạ Tuyến Tính Docx - 123doc
-
4.3. Ma Trận Của ánh Xạ Tuyến Tính | Môn - ELEARNING
-
Chuong5 - SlideShare
-
Bài 17. Giải Bài Tập Về ánh Xạ Tuyến Tính
-
Bài Giảng Số 2: Hạng Và Ma Trận Của ánh Xạ Tuyến Tính
-
[PDF] CHƯƠNG 3 Ánh Xạ Tuyến Tính - FITA-VNUA
-
Ánh Xạ Tuyến Tính - Bài Tập & Lời Giải - TTnguyen