Giải Bất Phương Trình Bằng Phương Pháp Xét Dấu Biểu Thức - 123doc

Đặc biệt trong chương trình Đại số 10 tôi thấy phần kiến thức về Bất phương trình học sinh tiếp thu kiến thức rất khó khăn, nhiều học sinh khi học phần này thấy có rất nhiều dạng bất p

1 Mở đầu

1.1 Lí do chọn đề tài.

Trong quá trình dạy học môn Toán THPT, Tôi đã dạy học ở nhiều trường THPT

khác nhau, với nhiều học sinh có năng lực tiếp thu kiến thức khác nhau, từ những học sinh có học lực yếu, trung bình, khá giỏi Hiện nay bản thân Tôi là một giáo viên đang dạy học các lớp 10A9, 10A10, 10A11 tại trường THPT Yên Định 1, đối tượng học sinh của Tôi chủ yếu là Học sinh có học lực ở mức Yếu, trung bình và khá, nên khả năng tiếp thu kiến thức còn hạn chế Đặc biệt trong chương trình Đại

số 10 tôi thấy phần kiến thức về (( Bất phương trình )) học sinh tiếp thu kiến thức rất khó khăn, nhiều học sinh khi học phần này thấy có rất nhiều dạng bất phương trình , mỗi dạng lại có một cách giải khác nhau nên học sinh rất khó nhớ Các bài tập lại có su hướng ra theo hình thức trắc nghiệm nên đòi hỏi làm bài phải nhanh, đúng Vì vậy nhiều học sinh không có hứng thú học, dẫn đến mất gốc về bất phương trình Tôi rất chăn trở với những khó khăn mà các em gặp phải, làm sao để các em nhớ được kiến thức , phương pháp giải để các em trong quá trình làm bài tập, dễ nhớ, giải đúng Một ý tưởng để thực hiện là nêu ra cách giải chung cho tất

cả các bất phương trình mà các em học trong sách giáo khoa để học sinh dễ nhớ, làm đúng, nhanh Ý tưởng thực hiện (( Giải bất phương trình bằng phương pháp xét dấu biểu thức )) Đó củng là tên đề tài mà tôi chọn nghiên cứu

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Xây dựng hệ thống bài tập phát triển theo định hướng trong sách giáo khoa Đại

số 10 nâng cao, nói cách khác là tập cho học sinh làm quen với cách giải các bất phương trình theo một phương pháp để học sinh dễ nhớ, có hứng thú học, các kiến thức mà các em nắm được phục vụ cho các phần học kiến thức về sau, nhất là chương trình Giải tích lớp 12

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Đề tài viết về một mảng kiến thức phần bất phương trình Đại số 10 THPT Và hướng tới đối tượng học sinh có học lực từ yếu đến khá, giỏi ở trường THPT Yên Định 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Tôi chủ yếu sử dụng phương pháp thực nghiệm (nghiên cứu và trực tiếp giảng dạy ở lớp 10A9, 10A10, 10A11) Ngoài ra còn sử dụng các phương pháp:

- Phương pháp quan sát (công việc dạy-học của các giáo viên và học sinh)

- Phương pháp đàm thoại, phỏng vấn (lấy ý kiến của các giáo viên và học sinh thông qua trao đổi trực tiếp)

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm.

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

a Cơ sở triết học:

Theo triết học duy vật biện chứng, mâu thuẫn là động lực thúc đẩy quá trình phát triển Vì vậy trong quá trình giúp đỡ học sinh, người giáo viên cần chú trọng gợi

động cơ học tập giúp các em thấy được sự mâu thuẫn giữa những điều chưa biết với khả năng nhận thức của mình, phát huy tính chủ động sáng tạo của học sinh trong việc lĩnh hội tri thức

b Cơ sở tâm lí học:

Theo các nhà tâm lí học: Con người chỉ bắt đầu tư duy tích cực khi nảy sinh nhu cầu tư duy, khi đứng trước một khó khăn cần phải khắc phục

c Cơ sở giáo dục học:

Để giúp các em học sinh học tập tốt hơn, người giáo viên cần tạo cho học sinh hứng thú học tập Cần cho học sinh thấy được nhu cầu nhận thức là quan trọng, con người muốn phát triển cần phải có tri thức, cần phải học hỏi và tổng hợp kiến thức cho riêng mình

d Theo luật giáo dục Việt Nam có viết: “Phương pháp giáo dục phổ thông cần

phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức, tác động đến tính cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập của học sinh”

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Kiến thức rộng, câu hỏi đa dạng, có rải rác trong các đề thi thử của các trường, khó tổng hợp Nhiều học sinh cảm thấy chán nãn và mệt mỏi

2.3 Giải quyết vấn đề.

Xuất phát từ phương pháp giải các bất phương trình quen thuộc !

- Bất phương trình bậc nhất: ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ≥ 0, ax + b ≤ 0 (a≠ 0 )

Cách giải: Xét dấu nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b ( a≠0 )

x −∞

a

b

− + ∞

f(x) trái dấu a 0 cùng dấu a

Từ bảng trên ta xác định dấu của f(x) và suy ra tập nghiệm của bất phương trình

- Bất phương trình bậc hai:

ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c < 0, ax2 + bx + c ≥ 0, ax2 + bx + c ≤ 0 (a≠ 0 )

Cách giải:

Xét dấu tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c ( a ≠0 )

Phương pháp: + Xác định dấu của a

+ Xác định dấu của ∆ ( nghiệm của phương trình f(x) = 0)

Nếu f(x) = 0 vô nghiệm thì ta có bảng xét dấu f(x) sau

x − ∞ + ∞

f(x) cùng dấu a

Nếu f(x) = 0 có nghiệm kép x =

a

b

2

− thì f(x) =

2

2 









 +

a

b x

Ta có trục số xét dấu f(x) sau

x −∞

a

b

2

− + ∞

f(x) cùng dấu a 0 cùng dấu a

Nếu f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 ( x1 < x2 )

Ta có trục số xét dấu f(x) sau

x −∞ x1 x2 + ∞

f(x) cùng dấu a 0 Trái dấu a 0 cùng dấu a

Từ bảng xét dấu ( trục số xét dấu) của biểu thức f(x) ta đưa ra tập nghiệm của bất phương trình

Từ trục số xét dấu biểu thức f(x) ta làm rõ cho học sinh nhận thấy, hai khoảng

kề nhau qua nghiệm đơn thì trái dấu, hai khoảng kề nhau qua nghiệm kép thì cùng dấu Với mỗi giá trị x0 trên một khoảng cho ta giá trị f(x0) có cùng một dấu trên khoảng đó

Nếu bất phương trình có dạng f(x) > 0, f(x) < 0, f(x) ≥ 0, f(x) ≤ 0 thì cách giải như thế nào?

Phương pháp: - Xét dấu biểu thức f(x) trên trục số

- Từ dấu của f(x) ta tìm ra tập nghiệm của bất phương trình

Để làm rõ trọng tâm tôi đưa ra nhóm các câu hỏi và phương pháp giải quyết để học sinh thấy rõ được phương pháp tìm nhanh tập nghiệm

I NHÓM CÂU HỎI VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC

Câu 1 Giải các bất phương trình:

a x2 -3x + 4 > 0

b –x2 +4x – 4 ≥ 0

c x2 - 3x + 2 <0

Định hướng: Xét dấu vế trái trên trục số thực hiện các bước sau.

- Giải phương trình

- Xác định dấu hệ số của biến x có số mũ cao nhất

- Lập trục số ( xác định các nghiệm của phương trình trên trục số) xác định dấu của vế trái

Giải

a x2 -3x + 4 > 0

Ta có: x2 -3x + 4 = 0 vô nghiệm

Trục số xét dấu vế trái

− ∞ + ∞

+

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (− ∞ ;+∞ )

b –x2 +4x – 4 ≥ 0

–x2 +4x – 4 = 0 phương trình có nghiệm kép x = 2

Trục số xét dấu vế trái

−∞ 2 + ∞

0

-Vậy bất phương trình có một nghiêm x = 2

c x2 - 3x + 2 <0

x2 - 3x + 2 = 0 





=

=

↔

2

1

x x

Trục số xét dấu vế trái

− ∞ 1 2 + ∞

+ 0 - 0 +

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (1 ; 2 )

Bình luận - Nếu phương trình có nghiệm kép ( bội chẳn) thì hai khoảng kề nhau

trên trục, dấu của biểu thức vế trái không đổi qua nghiệm kép đó

- Nếu là nghiệm đơn ( bội lẻ) thì hai khoảng kề nhau, dấu của biểu thức

vế trái khác nhau ( đan xen) qua nghiệm đơn đó

- Dấu biểu thức vế trái của bất phương trình trên trục số có khoảng ngoài cùng bên phải luôn cùng dấu với hệ số a

Câu 2 Giải các bất phương trình bậc ba sau

a x3 – x2 + 2x – 2 < 0

b –x3 + 3x + 2 ≤ 0

c x3 + 2x2 – x – 2 > 0

Định hướng Xét dấu vế trái trên trục số thực hiện qua các bước sau

- Giải phương trình ( chú ý cần xác định nghiệm đơn hay kép)

- Lập trục số ( điền các nghiệm trên trục số)

- Xác định dấu của vế trái trên từng khoảng ( lấy phần tử đại diện của khoảng nào đó thay vào vế trái, nếu giá trị là dương thì cả khoảng đó mang dấu dương và ngược lại, hoặc căn cứ vào dấu của hệ số ẩn có mũ cao nhất, khoảng ngoài cùng bên phải cùng dấu với hệ số đó) Các khoảng kề nhau qua nghiệm đơn thì dấu đan xen, qua nghiệm kép thì cùng dấu

Giải

a x3 – x2 + 2x – 2 < 0

x3 – x2 + 2x – 2 = 0 ⇔ x= 1

Trục số xét dấu vế trái

− ∞ 1 + ∞

- 0 +

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (− ∞ ; 1 )

b –x3 + 3x + 2 ≤ 0

Ta có: –x3 + 3x + 2 = 0 





−

=

=

⇔

1

2

x x

Trục số xét dấu vế trái

−∞ -1 2 + ∞

+ 0 + 0

-Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = [2 ; +∞) { }∪ − 1

Bình luận: Qua bài này ta cần chỉ ra cho học sinh cách xác định dấu của biểu thức

nếu trong phương trình có cả nghiệm đơn và nghiệm kép, học sinh thường hay sử dụng máy tính để tìm nghiệm nên không biết được nghiệm nào là nghiệm kép, nghiệm nào là nghiệm đơn vì vậy ta hướng dẫn cho học sinh cách lấy phần tử đại diện thay vào vế trái để xác định dấu Ta hãy nhắc học sinh khoảng ngoài cùng bên phải luôn cùng dấu với hệ số của x có số mũ cao nhất

c x3 + 2x2 – x – 2 > 0

Ta có : x3 + 2x2 – x – 2 = 0 





−

=

±

=

⇔

2

1

x x

Trục số xét dấu vế trái

−∞ -2 -1 1 + ∞

- 0 + 0 - 0 +

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (− 2 ; − 1) (∪ 1 ; +∞)

Bình luận: Phương trình có ba nghiệm đơn nên các khoàng đan xen dấu Khoảng

ngoài cùng bên phải (1 ; +∞) luôn cùng dấu vói hệ số của x có số mũ cao nhất

Câu 3 Giải các bất phương trình sau.

a x4 – 4x2 > 0

b –x4 + 5x2 – 4 ≤ 0

Định hướng Cách giải các bất phương trình bậc bốn phương pháp giống các bất

phương trình bậc ba

Giải

a x4 – 4x2 > 0 Ta có; x4 – 4x2 = 0 





±

=

=

⇔

2

0

x x

Trục số xét dấu vế trái

− ∞ -2 0 2 + ∞

+ 0 - 0 - 0 +

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (− ∞ ; − 2) (∪ 2 ; +∞)

b –x4 + 5x2 – 4 ≤ 0

–x4 + 5x2 – 4 = 0 





±

=

±

=

⇔

2

1

x x

Trục số xét dấu vế trái

− ∞ -2 -1 1 2 + ∞

0 + 0 0 + 0

-Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (− ∞ ; − 2) (∪ − 1 ; 1) (∪ 2 ; +∞)

Lưu ý: Đối với bất phương trình dạng đa thức, khi giải bất phương trình bằng

phương pháp xét dấu vế trái thì khoảng ngoài cùng bên phải trên trục số vế trái luôn cùng dấu với hệ số của x có số mũ cao nhất

Bình luận: Trong quá trình làm bài tập nếu gặp các bài tập về bất phương trình bậc

cao ta cũng thực hiện tương tự cách giải trên

II NHÓM CÂU HỎI VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH DẠNG TÍCH, DẠNG

THƯƠNG.

Phương pháp chung: Lập bảng xét dấu vế trái

Đánh giá: Phương pháp này rất cơ bản nên đa số học sinh khi giáo viên giảng bài

các em đều hiểu, nhưng trong quá trình làm bài tập các em rất hay sai và nếu có làm được cũng mất rất nhiều thời gian Vì vậy trong quá trình dạy học tôi thấy sử dụng phương pháp lập trục số xét dấu các khoảng băng phương pháp lấy phần tử đại diện học sinh dễ nhớ hơn, chính xác và làm nhanh hơn

Bài tập: Giải các bất phương trình sau

1 (x-1)(x+2)3(x-3)4 ≥ 0 2 0

12

3 2 3 2

2

2 3

<

−

−

−

− +

x x

x x x

3 0

3

1

1

2

>

−

−

x

Định hướng: Để giải các bất phương trình trên ta sử dụng phương pháp xét dấu vế

trái bằng phương pháp lập trục số, cụ thể

Giải

1 (x-1)(x+2)3(x-3)4 ≥ 0

(x-1)(x+2)3(x-3)4 = 0











=

−

=

=

⇔

3 2 1

x x x

Trục số xét dấu vế trái

− ∞ -2 1 3 + ∞

+ 0 - 0 + 0 +

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (− ∞ ; − 2] [∪ 1 ; +∞)

Chú ý Nghiệm bội chẳn thì hai khoảng kề nhau cùng dấu, nghiệm bội lẻ thì hai

khoảng kề nhau trái dấu Ta thấy x=-2 và x=1 là nghiệm bội lẻ, x=3 là nghiệm bội chẳn Khoảng ngoài cùng bên phải cùng dấu với tích các hệ số của x trong các biểu thức của vế trái Học sinh có thể xác định dấu bằng cách lấy phần tử đại diện trên khoảng nào đố thay vào vế trái để xác định dấu của khoảng đó Ví dụ lấy x = 0 thuộc (− 2 ; 1) thay vào vế trái ta được -1.23.(-3)4 = - 648 Vậy khoảng (− 2 ; 1) vế trái mang dấu âm

12

3 2 3

2

2

2

3

<

−

−

−

−

+

x

x

x x

x

Định hướng: Để giải bất phương trình dạng thương ta thực hiện các bước sau.

- Tìm điều kiện

- Giải các phương trình tử thức và phương trình mẫu thức

- Lập trục số xét dấu như dạng tích

Giải

Điều kiện: x≠ − 3 và x≠ 4

Ta có: 2x3 + 3x2 – 2x – 3 = 0 ⇔









−

=

±

= 2 3

1

x

x

, x2 – x – 12 = 0 





=

−

=

⇔

4

3

x x

Trục số xét dấu vế trái

−∞ -3

2

3

− -1 1 4 + ∞

- + 0 - 0 + 0 - +

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = ( ) ; 1 ( )1 ; 4

; 2

3 3









− −

∪

−

∞

−

Bình luận: Ta thấy nghiệm của các phương trình của tử và mẫu không có nghiệm

nào trùng nhau (thì ta gọi là các nghiệm đơn), các khoảng kề nhau thì dấu đan xen nhau, vì vậy ta chỉ cần xác định dấu của một khoảng là xác định được dấu các khoảng còn lại Để xác định nhanh ta lấy tích các hệ số của x có số mũ cao nhất ở

tử và mẫu, khoảng ngoài cùng bên phải cùng dấu với tích các hệ số này Cụ thể hệ

số của tử là 2, của mẫu là 1 và 2.1 = 2 dương nên ta có dấu như trên

3

1

1

−

−

x

Định hướng: Biến đổi vế trái về dạng thương 0

) (

) ( >

x g

x f

rồi lập trục số xét dấu như bài trên

Giải

0 3

1

1

−

−

7

>

− +

−

⇔

x x x

Điều kiện: x≠ − 1 và x≠ 3

Ta có: x – 7 = 0 ⇔ x= 7, ( )( ) 





=

−

=

⇔

=

− +

3

1 0

3 1

x

x x

x

Trục số xét dấu vế trái

− ∞ -1 3 7 + ∞

- + - 0 +

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = (− 1 ; 3) (∪ 7 ; +∞)

Bình luận: Ta xác định dấu các khoảng rất nhanh dựa vào tích các hệ số của x trong các nhị thức Cụ thể tích bằng 1 nên khoảng ngoài cùng bên phải (7 ; +∞) mang dấu dương, các khaongr kề nhau thì dấu đan xen

III NHÓM CÂU HỎI VỀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN TRONG DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

Phương pháp giải: Bỏ dấu giá trị tuyệt đối bằng cách

- Chia khoảng xét dấu

- Bình phương hai vế Bình luận: Cách này rất thông dụng, khi hướng dẫn học sinh có học lực trung bình, khá, giỏi các em rất dễ hiểu, nhưng nhiều học sinh kỷ năng giải bất phương trình dạng này tôi thấy tiếp thu rất chậm, khi giải bài tập trắc nghiệm thường làm rất chậm và hay sai Vì vậy tôi hướng dẫn theo phương pháp xét dấu tôi thấy học sinh làm nhanh hơn, dễ nhớ hơn, ít sai sót

Câu hỏi: Giải các bất phương trình sau.

1 2x2 − 5x− 3 < 0

2 x− 8 > x2 + 3x− 4

6

5

2

+

−

−

x

x

x

Định hướng: Để giải các bất phương trình trên tôi đưa ra cách giải sau

- Đưa bất phương trình về hai vế, một vế bằng 0 và vế còn lại là một biểu thức chứa biến x

- Giải phương trình

- Lập trục số xét dấu

Giải

1 2x2 − 5x− 3 < 0

Ta có 2x2 − 5x− 3 = 0















=

=

=

−

=

⇔

−

=

⇔

2 3

12

13 3

5

2 2

x x x x x

x

Trục số xét dấu vế trái

−∞ -3

2

1

1

2

3

+ ∞

+ 0 - 0 + 0 - 0 +

Chú ý Để xác định được dấu như trên ta lấy phần tử đại diện trong khoảng 









− 2

1

; 3

, cụ thể lấy x=0 thay vào vế trái của bất phương trình ta được bằng – 3

Vậy trên khoảng 









−

2

1

;

3 vế trái âm, các khoản kề nhau dấu đan xen

Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = 











∪











−

2

3

; 1 2

1

; 3

2 x− 8 > x2 + 3x− 4 ⇔ x2 + 3x− 4 −x+ 8 < 0 (1)

Ta có: x-8 = x2 + 3x− 4 ⇔phương trình vô nghiệm

Trục số xét dấu vế trái

− ∞ + ∞

+

Lấy x=0 thay vào vế trái của (1) ta được bằng 12 Vậy vế trái luôn dương với ∀x

Vậy bất phương trình vô nghiệm

6

5

2

+

−

−

x

x

6 5

6 5 3 2

2

2

≥ +

−

+

−

−

−

⇔

x x

x x x

Điều kiện: x≠ 2và x≠ 3

Ta có: x− 2 − 3(x2 − 5x+ 6)= 0









=

=

⇔

3

102

x x