Giải Chi Tiết Các Câu Hay Và Khó đề Chính Thức Môn Toán THPT QG ...

MÃ ĐỀ 101 (TỪ CÂU 35 ĐẾN 50) GIẢI CHI TIẾT VÀ NHẬN XÉT

Nhận xét chung: Trong 16 câu (01 vận dụng thấp và 15 câu vận dụng cao) này không cần phải tính toán nhiều. Các câu chỉ trải qua nhiều nhất là khoảng 3 bước tính toán đơn giản (cộng, trừ, nhân, chia). Chủ yếu trong 16 câu này là kiểm tra về tư duy toán học, việc nắm kiến thức của học sinh có chắc chắn, sâu sắc và đủ rộng không. So với đề thi năm 2017, mức độ tính toán ở 16 câu cuối giảm đi 50% nhưng mức độ tư duy thì nặng gấp đôi. Điều này có lợi cho các học sinh nắm kiến thức sâu sắc và tư duy sáng sủa, nhưng lại gây khó khăn cho các học sinh học theo hình thức thuộc bài và thiên về tính toán.

Câu 35: Có bao nhiêu giá trị nguyên của $m$ để hàm số $y=\frac{x+2}{x+5m}$ đồng biến trên $\left( -\infty ;-10 \right)$?

LG: Ta có ${y}'=\frac{5m-2}{{{\left( x+5m \right)}^{2}}}$. Từ dáng điệu hàm phân thức ta thấy

Vậy có 2 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.

Nhận xét. Đây là câu ở mức vận dụng thấp, được cho nhẹ nhàng và đẹp, nhưng học sinh không vững kiến thức về nhận biết đồ thị vẫn không làm được.

Câu 36: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số $m$ để hàm số $y={{x}^{8}}+\left( m-2 \right){{x}^{5}}-\left( {{m}^{2}}-4 \right){{x}^{4}}+1$ đạt cực tiểu tại $x=0$?

LG: Ta có ${y}'=8{{x}^{7}}+5\left( m-2 \right){{x}^{4}}-4\left( {{m}^{2}}-4 \right){{x}^{3}}$. Vậy

Vậy có 4 giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn.

Nhận xét.  Ở đây phải nhận thấy hàm đạt cực tiểu tại $x=0$ thì tương đương với ${y}'\left( 0 \right)=0$ và ${y}'=\left( x \right)$ đổi dấu tử âm sang dương khi $x$ chạy qua điểm 0 (từ âm sang dương), điều này lại tương đương với số hạng chứa lũy thừa thấp nhất của $x$ có hệ số khác không trong biểu thức ${y}'$ phải là lũy thừa bậc lẻ và hệ số dương. Đây là bước tư duy không tầm thường, học sinh phải hiểu thật sâu sắc kiến thức.

Câu 37: Cho hình lập phương $ABCD.{A}'{B}'{C}'{D}'$ có tâm $O$. Gọi $I$ là tâm hình vuông ${A}'{B}'{C}'{D}'$ và $M$ là điểm thuộc đoạn $OI$ sao cho $MO=2MI$. Khi đó cosin góc tạo bởi 2 mặt phẳng $\left( M{C}'{D}' \right)$ và $\left( MAB \right)$ bằng?

LG. Ta coi cạnh hình vuông bằng 6. Lấy $P,Q$ là trung điểm $AB$ và ${C}'{D}'$. Góc cần tính là góc tạo bởi 2 véctơ $\overrightarrow{MP}$ và $\overrightarrow{MQ}$. Xét mặt phẳng tọa độ gốc $I$, 2 trục là $IQ,\,IO$. Khi đó

$\overrightarrow{MQ}=\left( 3;-1 \right),\,\overrightarrow{MP}=\left( -3;5 \right);\,\cos \alpha =\frac{\left| -9;-5 \right|}{\sqrt{{{3}^{2}}+1}\sqrt{{{3}^{2}}+{{5}^{2}}}}=\frac{14}{\sqrt{10}\sqrt{34}}=\frac{7\sqrt{85}}{85}.$

Nhận xét: Đây là bài hình không gian cơ bản, tuy nhiên: học sinh có tư duy tốt thì sẽ làm rất ngắn gọn và không mất nhiều thời gian, ngược lại, sẽ phải tính toán nhiều hơn.

Câu 38: Có bao nhiêu số phức $z$ thỏa mãn $\left| z \right|\left( z-4-i \right)+2i=\left( 5-i \right)z$?

LG. Dễ thấy phương trình đã cho tương đương với $z=\frac{4\left| z \right|+\left( \left| z \right|-2 \right)i}{\left| z \right|-5+i}$ (*). Lấy môđun  2 vế ta được

                        ${{\left| z \right|}^{2}}=\frac{16{{\left| z \right|}^{2}}+{{\left( \left| z \right|-2 \right)}^{2}}}{{{\left( \left| z \right|-5 \right)}^{2}}+1}\Leftrightarrow {{\left| z \right|}^{4}}-10{{\left| z \right|}^{3}}+9{{\left| z \right|}^{2}}+4\left| z \right|-4=0$

Học sinh có thể bấm máy để thấy phương trình cuối cùng có đúng 3 nghiệm dương, hoặc tách một nhân tử $\left( \left| z \right|-1 \right)$ và khảo sát nhân tử bậc 3 còn lại có hai nghiệm dương khác nữa. Thay vào (*) thì được 3 số phức

Nhận xét: Bài toán này học sinh nắm chắc kiến thức mới nhận thấy mỗi nghiệm $\left| z \right|>0$ của phương trình cuối sẽ cho ra đúng 1 và chỉ 1 nghiệm $z$ của phương trình đầu thông qua mối liên hệ (*). Ngược lại nếu học sinh đặt $z=x+yi$ sẽ rất khó khăn để làm.

Câu 39: Trong không gian $Oxyz$, cho $\left( S \right):{{\left( x+1 \right)}^{2}}+{{\left( y+1 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=9$ và điểm $A\left( 2;3;-1 \right)$. Xét các điểm $M$ trên $\left( S \right)$ sao cho $AM$ tiếp xúc với $\left( S \right)$. Khi đó $M$ luôn thuộc mặt phẳng?

LG. Tâm mặt cầu $I\left( -1;-1;-1 \right)$. $A{{I}^{2}}=25,A{{M}^{2}}=A{{I}^{2}}-9=16$ vậy $M$ thuộc vào mặt cầu

$\left( {{S}'} \right):{{\left( x-2 \right)}^{2}}+{{\left( y-3 \right)}^{2}}+{{\left( z+1 \right)}^{2}}=16.$

Lấy phương trình của $\left( S \right)$ trừ đi phương trình của $\left( {{S}'} \right)$ (tương ứng vế với vế) ta được phương trình của mặt phẳng luôn chứa $M$ là

$6x+8y-11=-7\Leftrightarrow 3x+4y-2=0.$

Nhận xét: Tọa độ không gian luôn là phần dễ nhất, nhưng yêu cầu đối với học sinh bày này chỉ là tư duy tưởng tượng hình, việc tính toán gần như không đáng kể.

Câu 40: Cho hàm số $y=\frac{1}{4}{{x}^{4}}-\frac{7}{2}{{x}^{2}}$. Có bao nhiêu điểm $A$ thuộc đồ thị hàm số sao chi tiếp tuyến tại $A$ cắt lại đồ thị tại hai điểm khác $A$ là $M\left( {{x}_{1}};{{y}_{1}} \right),N\left( {{x}_{2}};{{y}_{2}} \right)$ thỏa mãn ${{y}_{1}}-{{y}_{2}}=6\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)$.

LG: Chú ý ${y}'={{x}^{3}}-7x=0\Leftrightarrow x=-\sqrt{7};0;\sqrt{7};$ và ${{y}'}'=3{{x}^{2}}-7$. Ta thấy hàm số đã cho là hàm trùng phương bậc 4 hướng lên trên, vậy 1 điểm $A\left( {{x}_{0}};{{y}_{0}} \right)$ mà tiếp tuyến tại đó có đúng 3 điểm chung với đồ thị khi và chỉ khi ${{x}_{CT1}}2$ là số nhỏ nhất có tính chất này, như vậy trên một khoảng dạng $\left( b;{{x}_{0}} \right),b