Giải Ma Trận Thông Qua Ma Trận Nghịch đảo. Tìm Ma Trận Nghịch đảo ...

Giải ma trận thông qua ma trận nghịch đảo. Tìm ma trận nghịch đảo trực tuyến

Cho một ma trận vuông đã cho. Tìm nghịch đảo của ma trận.

Cách đầu tiên. Trong Định lý 4.1 về sự tồn tại và tính duy nhất của ma trận nghịch đảo, một trong những phương pháp để tìm nó được chỉ ra.

1. Tính định thức của ma trận đã cho. Nếu thì ma trận nghịch đảo không tồn tại (ma trận suy biến).

2. Xây dựng ma trận từ các phần bù đại số của các phần tử của ma trận.

3. Hoán vị ma trận để có ma trận đính kèm .

4. Tìm ma trận nghịch đảo (4.1) bằng cách chia tất cả các phần tử của ma trận liền kề cho định thức

Cách thứ hai. Các phép biến đổi cơ bản có thể được sử dụng để tìm nghịch đảo của ma trận.

1. Xây dựng một ma trận khối bằng cách gán một ma trận nhận dạng có cùng thứ tự cho ma trận này.

2. Với sự trợ giúp của các phép biến đổi cơ bản được thực hiện trên các hàng của ma trận, đưa khối bên trái của nó về dạng đơn giản nhất. Trong trường hợp này, ma trận khối được rút gọn về dạng, ma trận vuông thu được là kết quả của các phép biến đổi từ ma trận nhận dạng.

3. Nếu, thì khối bằng nghịch đảo của ma trận, tức là Nếu, thì ma trận không có nghịch đảo.

Thật vậy, với sự trợ giúp của các phép biến đổi cơ bản của các hàng của ma trận, có thể giảm khối bên trái của nó thành dạng đơn giản (xem Hình 1.5). Trong trường hợp này, ma trận khối được chuyển sang dạng, ở đây là một ma trận cơ bản thỏa mãn đẳng thức. Nếu ma trận không sinh, thì theo mục 2 của Chú thích 3.3, dạng đơn giản của nó trùng với ma trận đơn vị. Sau đó, nó theo sau từ đẳng thức mà. Nếu ma trận suy biến, thì dạng đơn giản của nó khác với ma trận nhận dạng và ma trận không có nghịch đảo.

11. Phương trình ma trận và nghiệm của chúng. Dạng ma trận của ký hiệu SLAE. Phương pháp ma trận (phương pháp ma trận nghịch đảo) để giải SLAE và các điều kiện để áp dụng nó.

Phương trình ma trận là phương trình có dạng: A * X = C; X * A = C; A * X * B = C trong đó ma trận A, B, Cđã biết, chưa biết ma trận X, nếu ma trận A và B không suy biến thì nghiệm của ma trận ban đầu sẽ được viết dưới dạng tương ứng: X = A -1 * C; X = C * A -1; X = A -1 * C * B -1 Kí hiệu ma trận cho hệ phương trình đại số tuyến tính. Một số ma trận có thể được liên kết với mỗi SLAE; hơn nữa, bản thân SLAE có thể được viết dưới dạng phương trình ma trận. Đối với SLAE (1), hãy xem xét các ma trận sau:

Ma trận A được gọi là ma trận hệ thống... Các phần tử của ma trận này là các hệ số của SLAE đã cho.

Ma trận A˜ được gọi là hệ thống mở rộng ma trận... Nó có được bằng cách thêm vào ma trận hệ thống một cột chứa các số hạng tự do b1, b2, ..., bm. Thông thường cột này được ngăn cách bởi một đường thẳng đứng cho rõ ràng.

Ma trận cột B được gọi là ma trận của các thành viên tự do và ma trận cột X là ma trận ẩn số.

Sử dụng ký hiệu trên, SLAE (1) có thể được viết dưới dạng phương trình ma trận: A⋅X = B.

Ghi chú

Các ma trận liên quan đến hệ thống có thể được viết theo nhiều cách khác nhau: tất cả phụ thuộc vào thứ tự của các biến và phương trình của SLAE được xem xét. Nhưng trong mọi trường hợp, thứ tự của các ẩn số trong mỗi phương trình của SLAE nhất định phải giống nhau.

Phương pháp ma trận thích hợp để giải các SLAE trong đó số phương trình trùng với số biến chưa biết và định thức của ma trận chính của hệ là số khác không. Nếu hệ thống chứa nhiều hơn ba phương trình, thì việc tìm ma trận nghịch đảo đòi hỏi nỗ lực tính toán đáng kể, do đó, trong trường hợp này, nên sử dụng Phương pháp Gauss.

12. SLAE đồng nhất, điều kiện cho sự tồn tại của các giải pháp khác không của chúng. Thuộc tính của các giải pháp cụ thể của SLAE đồng nhất.

Một phương trình tuyến tính được gọi là thuần nhất nếu số hạng tự do của nó bằng 0 và không thuần nhất nếu không. Một hệ gồm các phương trình thuần nhất được gọi là thuần nhất và có dạng tổng quát:

13 Khái niệm về tính độc lập tuyến tính và sự phụ thuộc của các nghiệm cụ thể của SLAE thuần nhất. Hệ thống quyết định cơ bản (FDS) và phát hiện của nó. Trình bày giải pháp chung của SLAE đồng nhất về FSR.

Hệ thống chức năng y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) được gọi là phụ thuộc tuyến tính trên khoảng ( Một , b ), nếu có một tập hợp các hệ số không đổi đồng thời không bằng 0, sao cho kết hợp tuyến tính của các hàm này giống hệt nhau bằng 0 trên ( Một , b ): vì . Nếu chỉ có thể có đẳng thức đối với, thì hệ thống các hàm y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) được gọi là độc lập tuyến tính trên khoảng ( Một , b ). Nói cách khác, các chức năng y 1 (x ), y 2 (x ), …, y n (x ) phụ thuộc tuyến tính trên khoảng ( Một , b ) nếu không có số 0 trên ( Một , b ) kết hợp tuyến tính không tầm thường của chúng. Chức năng y 1 (x ),y 2 (x ), …, y n (x ) độc lập tuyến tính trên khoảng ( Một , b ) nếu chỉ sự kết hợp tuyến tính tầm thường của chúng giống hệt nhau bằng 0 trên ( Một , b ).

Hệ thống quyết định cơ bản (FDS) SLAE đồng nhất được gọi là cơ sở của hệ thống cột này.

Số phần tử trong FSR bằng số ẩn số trong hệ thống trừ đi thứ hạng của ma trận hệ thống. Bất kỳ giải pháp nào cho hệ thống ban đầu đều là sự kết hợp tuyến tính của các giải pháp FSR.

Định lý

Giải pháp chung của SLAE không đồng nhất bằng tổng của một nghiệm cụ thể của SLAE không đồng nhất và nghiệm chung của SLAE đồng nhất tương ứng.

1 . Nếu các cột là nghiệm của hệ phương trình thuần nhất, thì bất kỳ tổ hợp tuyến tính nào của chúng cũng là nghiệm của hệ thuần nhất.

Thật vậy, nó xuất phát từ sự cân bằng mà

những thứ kia. một tổ hợp tuyến tính của các nghiệm là một nghiệm cho một hệ thống thuần nhất.

2. Nếu hạng của ma trận của một hệ thuần nhất bằng nhau thì hệ có nghiệm độc lập tuyến tính.

Thật vậy, sử dụng công thức (5.13) cho nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất, chúng ta tìm thấy các nghiệm cụ thể, cho các biến tự do như sau bộ giá trị tiêu chuẩn (mỗi lần giả sử rằng một trong các biến tự do bằng một và các biến còn lại bằng 0):

độc lập tuyến tính. Thật vậy, nếu chúng ta tạo một ma trận từ các cột này, thì các hàng cuối cùng của nó sẽ tạo thành ma trận nhận dạng. Do đó, số nhỏ nằm ở các dòng cuối cùng không bằng 0 (nó bằng một), tức là là cơ bản. Do đó, hạng của ma trận sẽ bằng nhau. Do đó, tất cả các cột của ma trận này là độc lập tuyến tính (xem Định lý 3.4).

Bất kỳ tập hợp các nghiệm độc lập tuyến tính nào của một hệ thuần nhất được gọi là hệ thống cơ bản (tập hợp) các giải pháp .

14 Bậc nhỏ thứ, bậc nhỏ cơ bản, thứ hạng ma trận. Tính hạng của ma trận.

Một con bậc k của ma trận A là định thức của một số ma trận con bình phương bậc k của nó.

Trong m x n ma trận A, một con của bậc r được gọi là cơ bản nếu nó khác không và tất cả các con bậc cao hơn, nếu chúng tồn tại, đều bằng không.

Các cột và hàng của ma trận A, tại giao điểm của nó có một ô nhỏ cơ bản, được gọi là cột và hàng cơ bản của A.

Định lý 1. (Về hạng của ma trận). Đối với bất kỳ ma trận nào, hạng phụ bằng hạng hàng và bằng hạng cột.

Định lý 2. (Về phần cơ bản). Mỗi cột của ma trận được phân tách thành một tổ hợp tuyến tính của các cột cơ sở của nó.

Thứ hạng của ma trận (hoặc hạng thứ yếu) là thứ tự của thứ hạng nhỏ cơ bản, hay nói cách khác, thứ tự lớn nhất mà có những thứ hạng khác nhau. Hạng của ma trận không được coi là 0 theo định nghĩa.

Lưu ý hai thuộc tính hiển nhiên của hạng thứ yếu.

1) Thứ hạng của ma trận không thay đổi khi được hoán vị, vì khi ma trận được chuyển vị, tất cả các ma trận con của nó đều được hoán vị và các ma trận con không thay đổi.

2) Nếu A 'là một ma trận con của ma trận A, thì hạng của A' không vượt quá hạng của A, vì con khác không nằm trong A 'được bao gồm trong A.

15. Khái niệm vectơ số học một chiều. Bằng nhau của vectơ. Các thao tác trên vectơ (cộng, trừ, nhân với một số, nhân với ma trận). Tổ hợp tuyến tính của vectơ.

Bộ sưu tập đã đặt hàng n hợp lệ hoặc số phức triệu tập vectơ n chiều... Các số được gọi là tọa độ vector.

Hai vectơ (khác 0) Một và b bằng nhau nếu chúng có phương đều và có cùng môđun. Tất cả các vectơ không đều được coi là bằng nhau. Trong tất cả các trường hợp khác, các vectơ không bằng nhau.

Phép cộng vectơ. Có hai cách để thêm vectơ: 1. Quy tắc hình bình hành. Để thêm các vectơ và, đặt điểm gốc của cả hai vectơ tại cùng một điểm. Chúng ta hoàn thành việc xây dựng thành hình bình hành và từ cùng một điểm vẽ các đường chéo của hình bình hành. Đây sẽ là tổng của các vectơ.

2. Cách thứ hai để thêm vectơ là quy tắc tam giác. Hãy lấy các vectơ giống nhau và. Thêm đầu của thứ hai vào cuối của vectơ đầu tiên. Bây giờ chúng ta hãy kết nối phần đầu của phần đầu tiên và phần cuối của phần thứ hai. Đây là tổng của các vectơ và. Một số vectơ có thể được thêm vào theo cùng một quy tắc. Chúng tôi đính kèm từng cái một, và sau đó chúng tôi kết nối phần đầu của phần đầu tiên với phần cuối của phần cuối cùng.

Phép trừ vectơ. Vectơ có hướng ngược lại với vectơ. Độ dài của các vectơ là như nhau. Bây giờ thì rõ ràng là phép trừ véc tơ là gì. Hiệu của vectơ và là tổng của vectơ và vectơ.

Nhân một vectơ với một số

Khi một vectơ được nhân với một số k, một vectơ có độ dài khác k lần với độ dài của nó. Nó có hướng với vectơ nếu k lớn hơn 0 và ngược hướng với vectơ nếu k nhỏ hơn 0.

Tích vô hướng của vectơ là tích độ dài của vectơ theo côsin của góc giữa chúng. Nếu vectơ vuông góc, tích chấm của chúng bằng không. Và đây là cách sản phẩm chấm được biểu diễn dưới dạng tọa độ của các vectơ và.

Sự kết hợp tuyến tính của các vectơ

Sự kết hợp tuyến tính của các vectơ được gọi là vectơ

ở đâu - các hệ số của tổ hợp tuyến tính. Nếu như một kết hợp được gọi là tầm thường nếu nó là không tầm thường.

16 .Dot tích của vectơ số học. Độ dài vectơ và góc giữa các vectơ. Tính trực giao của vectơ.

Tích vô hướng của vectơ a và b là một số

Tích số chấm được dùng để tính: 1) tìm góc giữa chúng; 2) tìm hình chiếu của vectơ; 3) tính độ dài của vectơ; 4) điều kiện để các vectơ vuông góc.

Độ dài đoạn thẳng AB gọi là khoảng cách giữa hai điểm A và B. Góc giữa vectơ A và B được gọi là góc α = (a, b), 0≤ α ≤П. Trên đó cần quay 1 vectơ sao cho hướng của nó trùng với vectơ khác. Với điều kiện khởi đầu của chúng trùng khớp.

Vectơ đơn vị a được gọi là vectơ a có độ dài đơn vị và hướng a.

17. Hệ vectơ và tổ hợp tuyến tính của nó. Khái niệm về sự phụ thuộc tuyến tính và tính độc lập của một hệ vectơ. Định lý về điều kiện cần và đủ cho sự phụ thuộc tuyến tính của hệ vectơ.

Hệ thống các vectơ a1, a2, ..., an được gọi là phụ thuộc tuyến tính nếu tồn tại các số λ1, λ2, ..., λn sao cho ít nhất một trong số chúng khác không và λ1a1 + λ2a2 + ... + λnan = 0. Nếu không, hệ thống được gọi là độc lập tuyến tính.

Hai vectơ a1 và a2 được gọi là thẳng hàng nếu hướng của chúng trùng hoặc ngược chiều.

Ba vectơ a1, a2 và a3 được gọi là đồng phẳng nếu chúng song song với một mặt phẳng nào đó.

Tiêu chí hình học cho sự phụ thuộc tuyến tính:

a) hệ (a1, a2) phụ thuộc tuyến tính nếu và chỉ khi các vectơ a1 và a2 thẳng hàng.

b) hệ (a1, a2, a3) phụ thuộc tuyến tính nếu và chỉ khi các vectơ a1, a2 và a3 là đồng phẳng.

định lý. (Điều kiện cần và đủ cho sự phụ thuộc tuyến tính hệ thống vectơ.)

Hệ thống vectơ vectơ khoảng trống là một tuyến tính phụ thuộc nếu và chỉ khi một trong các vectơ của hệ thống được biểu thị tuyến tính theo các vectơ khác vectơ hệ thống này.

Hệ quả.1. Hệ thống các vectơ của không gian vectơ là độc lập tuyến tính nếu và chỉ khi không có vectơ nào của hệ được biểu diễn tuyến tính theo các vectơ khác của hệ này.2. Hệ vectơ chứa một vectơ không hoặc hai vectơ bằng nhau là phụ thuộc tuyến tính.

Các phương pháp tìm ma trận nghịch đảo,. Xem xét một ma trận vuông

Ta đặt Δ = det A.

Ma trận vuông A được gọi là không thoái hóa, hoặc là không đặc biệt nếu định thức của nó là khác 0, và thoái hóa hoặc là đặc biệt, nếu nhưΔ = 0.

Ma trận vuông B tồn tại cho ma trận vuông A cùng bậc nếu tích của chúng A B = B A = E, trong đó E là ma trận đồng dạng cùng bậc với ma trận A và B.

Định lý . Để ma trận A có ma trận nghịch đảo, thì cần và đủ rằng định thức của nó khác không.

Ma trận nghịch đảo của ma trận A, kí hiệu là A- 1, sao cho B = A - 1 và được tính bằng công thức

, (1)

trong đó А i j là các phần bù đại số của các phần tử a i j của ma trận A..

Việc tính A -1 theo công thức (1) cho ma trận bậc cao rất tốn công sức, do đó trong thực tế tìm A -1 bằng phương pháp biến đổi cơ bản (EP) rất tiện lợi. Bất kỳ ma trận nonsingular A nào cũng có thể được rút gọn thành ma trận nhận dạng E bằng EP chỉ gồm các cột (hoặc chỉ các hàng). Thật thuận tiện để thực hiện EP trên ma trận A và E cùng một lúc, viết cả hai ma trận cạnh nhau qua một dòng. Một lần nữa lưu ý rằng khi tìm dạng chính tắc của ma trận cho mục đích tìm kiếm, bạn có thể sử dụng các phép biến đổi hàng và cột. Nếu bạn cần tìm nghịch đảo của ma trận, chỉ các hàng hoặc chỉ các cột nên được sử dụng trong quá trình biến đổi.

Ví dụ 2.10... Đối với ma trận tìm A -1.

Giải pháp.Đầu tiên chúng ta tìm định thức của ma trận A do đó, ma trận nghịch đảo tồn tại và chúng ta có thể tìm nó bằng công thức: , trong đó A i j (i, j = 1,2,3) là các phần bù đại số của các phần tử a i j của ma trận ban đầu.

Ở đâu .

Ví dụ 2.11... Sử dụng phương pháp biến đổi cơ bản, hãy tìm A -1 để ma trận: A =.

Giải pháp.Chúng tôi gán cho ma trận ban đầu ở bên phải ma trận nhận dạng có cùng thứ tự: ... Với sự trợ giúp của các phép biến đổi cột cơ bản, chúng tôi đưa "nửa" bên trái về đơn vị một, đồng thời thực hiện chính xác các phép biến đổi tương tự trên ma trận bên phải. Để làm điều này, hãy hoán đổi cột đầu tiên và cột thứ hai: ~ ... Thêm cột đầu tiên vào cột thứ ba và cột đầu tiên nhân với -2 đến cột thứ hai: ... Từ cột đầu tiên, chúng tôi trừ đi nhân đôi thứ hai, và từ thứ ba - thứ hai nhân với 6; ... Hãy thêm cột thứ ba vào cột đầu tiên và cột thứ hai: ... Hãy nhân cột cuối cùng với -1: ... Ma trận vuông thu được ở bên phải thanh dọc là nghịch đảo của ma trận A. Vì vậy, .

Xem xét vấn đề xác định phép toán nghịch đảo với phép nhân ma trận.

Cho A là ma trận vuông bậc n. Ma trận A ^ (- 1), cùng với ma trận A đã cho, thỏa mãn các giá trị bằng nhau:

A ^ (- 1) \ cdot A = A \ cdot A ^ (- 1) = E,

triệu tập đảo ngược... Ma trận A được gọi là có thể đảo ngược nếu có một nghịch đảo cho nó, ngược lại - không thể thay đổi.

Từ định nghĩa rằng nếu tồn tại ma trận nghịch đảo A ^ (- 1) thì nó là bình phương cùng bậc với A. Tuy nhiên, nghịch đảo không tồn tại cho mọi ma trận vuông. Nếu định thức của ma trận A bằng 0 (\ det (A) = 0) thì không có nghịch đảo nào đối với nó. Thật vậy, áp dụng định lý về định thức của tích các ma trận cho ma trận đồng dạng E = A ^ (- 1) A, chúng ta thu được một mâu thuẫn

\ det (E) = \ det (A ^ (- 1) \ cdot A) = \ det (A ^ (- 1)) \ det (A) = \ det (A ^ (- 1)) \ cdot0 = 0

vì định thức của ma trận nhận dạng là 1. Hóa ra rằng sự khác biệt so với 0 của định thức của ma trận vuông là điều kiện duy nhất để tồn tại ma trận nghịch đảo. Nhớ lại rằng một ma trận vuông, định thức của nó bằng 0, được gọi là suy biến (số ít), nếu không thì nó là không sinh (nonsingular).

Định lý 4.1 về sự tồn tại và tính duy nhất của ma trận nghịch đảo. Ma trận vuông A = \ begin (pmatrix) a_ (11) & \ cdots & a_ (1n) \\ \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ (n1) & \ cdots & a_ (nn) \ end (pmatrix), định thức trong số đó khác không, có ma trận nghịch đảo và hơn nữa, chỉ có một:

A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ det (A)) \ cdot \! \ begin (pmatrix) A_ (11) & A_ (21) & \ cdots & A_ (1n) \\ A_ (12) & A_ (22) & \ cdots & A_ (n2) \\ \ vdots & \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ A_ (1n) & A_ (2n) & \ cdots & A_ (nn) \ end (pmatrix) = \ frac (1) (\ det (A)) \ cdot A ^ (+),

trong đó A ^ (+) là ma trận được hoán vị cho ma trận bao gồm các phần phụ đại số của các phần tử của ma trận A.

Ma trận A ^ (+) được gọi là ma trận đính kèmđối với ma trận A.

Thật vậy, ma trận \ frac (1) (\ det (A)) \, A ^ (+) tồn tại trong điều kiện \ det (A) \ ne0. Nó phải được chứng minh rằng nó nghịch đảo với A, tức là thỏa mãn hai điều kiện:

\ begin (căn chỉnh) \ mathsf (1)) & ~ A \ cdot \! \ left (\ frac (1) (\ det (A)) \ cdot A ^ (+) \ right) = E; \\ \ mathsf (2)) & ~ \! \ Left (\ frac (1) (\ det (A)) \ cdot A ^ (+) \ right) \! \ Cdot A = E. \ End (căn chỉnh)

Hãy để chúng tôi chứng minh sự bình đẳng đầu tiên. Theo khoản 4 của Nhận xét 2.3, từ các thuộc tính của định thức mà AA ^ (+) = \ det (A) \ cdot E... Cho nên

A \ cdot \! \ Left (\ frac (1) (\ det (A)) \ cdot A ^ (+) \ right) = \ frac (1) (\ det (A)) \ cdot AA ^ (+) = \ frac (1) (\ det (A)) \ cdot \ det (A) \ cdot E = E,

mà đã được yêu cầu để được hiển thị. Đẳng thức thứ hai được chứng minh tương tự. Do đó, với điều kiện \ det (A) \ ne0, ma trận A có nghịch đảo

A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ det (A)) \ cdot A ^ (+).

Hãy để chúng tôi chứng minh tính duy nhất của ma trận nghịch đảo bằng mâu thuẫn. Giả sử, ngoài ma trận A ^ (- 1), còn tồn tại một ma trận nghịch đảo nữa B \, (B \ ne A ^ (- 1)) sao cho AB = E. Nhân cả hai vế của đẳng thức này bên trái với ma trận A ^ (- 1), chúng ta thu được \ underbrace (A ^ (- 1) AB) _ (E) = A ^ (- 1) E... Do đó B = A ^ (- 1), mâu thuẫn với giả thiết B \ ne A ^ (- 1). Do đó, ma trận nghịch đảo là duy nhất.

Ghi chú 4.1

1. Nó tuân theo định nghĩa rằng ma trận A và A ^ (- 1) đi lại.

2. Ma trận nghịch đảo của một đường chéo không sinh cũng là đường chéo:

\ Bigl [\ tên toán tử (đường chéo) (a_ (11), a_ (22), \ ldots, a_ (nn)) \ Bigr] ^ (- 1) = \ tên toán tử (đường chéo) \! \ Left (\ frac (1 ) (a_ (11)), \, \ frac (1) (a_ (22)), \, \ ldots, \, \ frac (1) (a_ (nn)) \ right) \ !.

3. Nghịch đảo của ma trận tam giác dưới (trên) không sinh ra là tam giác dưới (trên).

4. Ma trận cơ bản có nghịch đảo, cũng là ma trận cơ bản (xem mục 1 của Chú thích 1.11).

Thuộc tính ma trận nghịch đảo

Phép toán nghịch đảo ma trận có các thuộc tính sau:

\ begin (căn) \ bold (1) & ~~ (A ^ (- 1)) ^ (- 1) = A \ ,; \\ \ bold (2) & ~~ (AB) ^ (- 1 ) = B ^ (- 1) A ^ (- 1) \ ,; \\ \ bold (3.) & ~~ (A ^ T) ^ (- 1) = (A ^ (- 1)) ^ T \ ,; \\ \ bold (4.) & ~~ \ det (A ^ (- 1)) = \ frac (1) (\ det (A)) \ ,; \\ \ bold (5) & ~~ E ^ (- 1) = E \ ,. \ end (căn chỉnh)

nếu các phép toán được chỉ ra bằng 1-4 có ý nghĩa.

Hãy để chúng tôi chứng minh tài sản 2: nếu tích AB của ma trận vuông không sinh cùng bậc có nghịch đảo, thì (AB) ^ (- 1) = B ^ (- 1) A ^ (- 1).

Thật vậy, định thức của tích của ma trận AB không bằng 0, vì

\ det (A \ cdot B) = \ det (A) \ cdot \ det (B), ở đâu \ det (A) \ ne0, ~ \ det (B) \ ne0

Do đó, ma trận nghịch đảo (AB) ^ (- 1) tồn tại và là duy nhất. Hãy chứng minh bằng định nghĩa rằng ma trận B ^ (- 1) A ^ (- 1) là khả nghịch đối với ma trận AB. Có thật không.

Ma trận A -1 được gọi là ma trận nghịch đảo đối với ma trận A nếu A * A -1 = E, trong đó E là ma trận đơn vị bậc n. Ma trận nghịch đảo chỉ có thể tồn tại đối với ma trận vuông.

Mục đích dịch vụ... Với dịch vụ này trong chế độ online người ta có thể tìm thấy các phần bù đại số, ma trận chuyển vị A T, ma trận liền kề và ma trận nghịch đảo. Giải pháp được thực hiện trực tiếp trên website (trực tuyến) và hoàn toàn miễn phí. Kết quả tính toán được trình bày trong một báo cáo Định dạng từ và ở định dạng Excel (tức là có thể kiểm tra giải pháp). xem ví dụ thiết kế.

Hướng dẫn. Để có được một lời giải, cần phải thiết lập thứ nguyên của ma trận. Tiếp theo, trong một hộp thoại mới, hãy điền vào ma trận A.

Kích thước ma trận 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Xem thêm Ma trận nghịch đảo sử dụng phương pháp Jordan-Gauss

Thuật toán tìm ma trận nghịch đảo

1. Tìm ma trận chuyển vị A T.
2. Định nghĩa các phần phụ đại số. Thay mỗi phần tử của ma trận bằng phần bù đại số của nó.
3. Lập ma trận nghịch đảo từ phép cộng đại số: mỗi phần tử của ma trận kết quả được chia cho định thức của ma trận ban đầu. Ma trận kết quả là nghịch đảo của ma trận ban đầu.

Kế tiếp thuật toán ma trận nghịch đảo tương tự như phần trước, ngoại trừ một số bước: đầu tiên, phần phụ đại số được tính toán, sau đó xác định ma trận liền kề C.

1. Xác định xem ma trận có vuông không. Nếu không, thì không có ma trận nghịch đảo cho nó.
2. Tính định thức của ma trận A. Nếu nó không bằng 0 thì ta tiếp tục giải, ngược lại thì không tồn tại ma trận nghịch đảo.
3. Định nghĩa các phần phụ đại số.
4. Làm đầy ma trận liên hợp (đối ứng, liền kề) C.
5. Lập ma trận nghịch đảo từ các phép cộng đại số: mỗi phần tử của ma trận liền kề C được chia cho định thức của ma trận ban đầu. Ma trận kết quả là nghịch đảo của ma trận ban đầu.
6. Kiểm tra được thực hiện: ma trận gốc và ma trận kết quả được nhân lên. Kết quả phải là ma trận nhận dạng.

Ví dụ 1. Hãy viết ma trận như sau:

Phần bổ sung đại số.

A 1,1 = (-1) 1 + 1

-1 -2 5 4

∆ 1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

A 1,2 = (-1) 1 + 2

2 -2 -2 4

∆ 1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

A 1,3 = (-1) 1 + 3

2 -1 -2 5

∆ 1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

A 2,1 = (-1) 2 + 1

2 3 5 4

∆ 2,1 = -(2 4-5 3) = 7

A 2,2 = (-1) 2 + 2

-1 3 -2 4

∆ 2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

A 2,3 = (-1) 2 + 3

-1 2 -2 5

∆ 2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

A 3,1 = (-1) 3 + 1

2 3 -1 -2

∆ 3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

A 3,2 = (-1) 3 + 2

-1 3 2 -2

∆ 3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

A 3,3 = (-1) 3 + 3

-1 2 2 -1

∆ 3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3 sau đó ma trận nghịch đảo có thể được viết như:

A -1 = 1/10

6 -4 8 7 2 1 -1 4 -3

A -1 =

0,6 -0,4 0,8 0,7 0,2 0,1 -0,1 0,4 -0,3

Một thuật toán khác để tìm ma trận nghịch đảo

Hãy để chúng tôi đưa ra một sơ đồ khác để tìm ma trận nghịch đảo.

1. Tìm định thức của ma trận vuông A đã cho.
2. Tìm các phần phụ đại số cho tất cả các phần tử của ma trận A.
3. Chúng tôi viết phần bổ sung đại số của các phần tử hàng vào cột (chuyển vị).
4. Chúng ta chia mỗi phần tử của ma trận thu được cho định thức của ma trận A.

Như bạn có thể thấy, phép toán chuyển vị có thể được áp dụng cả ở đầu, trên ma trận ban đầu và ở cuối, trên các phần bổ sung đại số thu được.

Một trường hợp đặc biệt: Nghịch đảo của ma trận nhận dạng E là ma trận nhận dạng E.

Ma trận $ A ^ (- 1) $ được gọi là nghịch đảo đối với ma trận vuông $ A $ nếu thỏa mãn điều kiện $ A ^ (- 1) \ cdot A = A \ cdot A ^ (- 1) = E $ , trong đó $ E $ Là ma trận nhận dạng, bậc của nó bằng bậc của ma trận $ A $.

Ma trận không suy biến - ma trận, định thức của nó không bằng không. Theo đó, ma trận suy biến là ma trận mà định thức bằng 0.

Ma trận nghịch đảo $ A ^ (- 1) $ tồn tại nếu và chỉ khi ma trận $ A $ không suy biến. Nếu tồn tại ma trận nghịch đảo $ A ^ (- 1) $ thì nó là duy nhất.

Có một số cách để tìm nghịch đảo của ma trận, và chúng ta sẽ xem xét hai trong số chúng. Trang này sẽ thảo luận về phương pháp ma trận adjoint, được coi là tiêu chuẩn trong hầu hết các khóa học toán cao hơn. Phương pháp thứ hai để tìm ma trận nghịch đảo (phương pháp biến đổi cơ bản), liên quan đến việc sử dụng phương pháp Gauss hoặc phương pháp Gauss-Jordan, được thảo luận trong phần thứ hai.

Phương pháp ma trận liền kề (adjoint)

Cho ma trận $ A_ (n \ times n) $ đã cho. Để tìm nghịch đảo của $ A ^ (- 1) $, cần thực hiện ba bước:

1. Tìm định thức của ma trận $ A $ và đảm bảo rằng $ \ Delta A \ neq 0 $, tức là rằng ma trận A là không suy biến.
2. Tạo phần bổ sung đại số $ A_ (ij) $ của mỗi phần tử của ma trận $ A $ và viết ma trận $ A_ (n \ lần n) ^ (*) = \ left (A_ (ij) \ right) $ từ phần bổ sung đại số tìm thấy.
3. Viết ma trận nghịch đảo có tính đến công thức $ A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ Delta A) \ cdot (A ^ (*)) ^ T $.

Ma trận $ (A ^ (*)) ^ T $ thường được gọi là liền kề (nghịch đảo, liền kề) với ma trận $ A $.

Nếu giải pháp được thực hiện theo cách thủ công, thì phương pháp đầu tiên chỉ tốt cho các ma trận có thứ tự tương đối nhỏ: thứ hai (), thứ ba (), thứ tư (). Các phương pháp khác được sử dụng để tìm nghịch đảo của ma trận bậc cao. Ví dụ, phương pháp Gauss, được thảo luận trong phần thứ hai.

Ví dụ 1

Tìm nghịch đảo của $ A = \ left (\ begin (array) (cccc) 5 & -4 & 1 & 0 \\ 12 & -11 & 4 & 0 \\ -5 & 58 & 4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \ end (mảng) \ phải) $.

Vì tất cả các phần tử của cột thứ tư đều bằng 0 nên $ \ Delta A = 0 $ (nghĩa là ma trận $ A $ suy biến). Vì $ \ Delta A = 0 $, ma trận nghịch đảo với ma trận $ A $ không tồn tại.

Ví dụ số 2

Tìm nghịch đảo của ma trận $ A = \ left (\ begin (array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \ end (array) \ right) $.

Chúng tôi sử dụng phương pháp ma trận liền kề. Đầu tiên, chúng ta tìm định thức của ma trận $ A $ đã cho:

$$ \ Delta A = \ left | \ begin (array) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \ end (array) \ right | = -5 \ cdot 8-7 \ cdot 9 = -103. $$

Vì $ \ Delta A \ neq 0 $ nên ma trận nghịch đảo tồn tại, do đó chúng ta sẽ tiếp tục giải. Tìm phần bổ sung đại số

\ begin (căn chỉnh) & A_ (11) = (- 1) ^ 2 \ cdot 8 = 8; \ U0026 A_ (12) = (- 1) ^ 3 \ cdot 9 = -9; \\ & A_ (21) = (- 1) ^ 3 \ cdot 7 = -7; \ U0026 A_ (22) = (- 1) ^ 4 \ cdot (-5) = - 5. \\ \ end (căn chỉnh)

Chúng tôi tạo một ma trận từ phần bổ sung đại số: $ A ^ (*) = \ left (\ begin (array) (cc) 8 & -9 \\ -7 & -5 \ end (array) \ right) $.

Hoán vị ma trận kết quả: $ (A ^ (*)) ^ T = \ left (\ begin (array) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ end (array) \ right) $ (kết quả ma trận thường được gọi là ma trận liền kề hoặc liền kề với ma trận $ A $). Sử dụng công thức $ A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ Delta A) \ cdot (A ^ (*)) ^ T $, chúng ta có:

$$ A ^ (- 1) = \ frac (1) (- 103) \ cdot \ left (\ begin (array) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ end (array) \ right) $$

Vì vậy, nghịch đảo được tìm thấy: $ A ^ (- 1) = \ left (\ begin (array) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ end (array) \ right) $. Để kiểm tra độ đúng của kết quả, chỉ cần kiểm tra độ đúng của một trong các giá trị bằng nhau: $ A ^ (- 1) \ cdot A = E $ hoặc $ A \ cdot A ^ (- 1) = E $. Hãy để chúng tôi kiểm tra đẳng thức $ A ^ (- 1) \ cdot A = E $. Để làm việc ít hơn với phân số, chúng tôi sẽ thay thế ma trận $ A ^ (- 1) $ không ở dạng $ \ left (\ begin (array) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ end (array) \ right) $ và dưới dạng $ - \ frac (1) (103) \ cdot \ left (\ begin (array) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ end (mảng) \ phải) $:

Câu trả lời: $ A ^ (- 1) = \ left (\ begin (array) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ end (array) \ right) $.

Ví dụ số 3

Tìm nghịch đảo của ma trận $ A = \ left (\ begin (array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \ end (array) \ right) $.

Hãy bắt đầu bằng cách tính định thức của ma trận $ A $. Vì vậy, định thức của ma trận $ A $ như sau:

$$ \ Delta A = \ left | \ begin (array) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \ end (array) \ right | = 18-36 + 56-12 = 26. $$

Vì $ \ Delta A \ neq 0 $ nên ma trận nghịch đảo tồn tại, do đó chúng ta sẽ tiếp tục giải. Chúng tôi tìm phần bổ sung đại số của mỗi phần tử của một ma trận đã cho:

Chúng tôi soạn một ma trận các phần bổ sung đại số và hoán vị nó:

$$ A ^ * = \ left (\ begin (array) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37 \ end (array) \ right); \ U0026 (A ^ *) ^ T = \ left (\ begin (array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37 \ end (array) \ right) $$

Sử dụng công thức $ A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ Delta A) \ cdot (A ^ (*)) ^ T $, chúng ta nhận được:

$$ A ^ (- 1) = \ frac (1) (26) \ cdot \ left (\ begin (array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37 \ end (array) \ right) = \ left (\ begin (array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \ end (mảng) \ phải) $$

Vì vậy, $ A ^ (- 1) = \ left (\ begin (array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 / 13 & -3/26 & 37/26 \ end (mảng) \ phải) $. Để kiểm tra độ đúng của kết quả, chỉ cần kiểm tra độ đúng của một trong các giá trị bằng nhau: $ A ^ (- 1) \ cdot A = E $ hoặc $ A \ cdot A ^ (- 1) = E $. Hãy để chúng tôi kiểm tra đẳng thức $ A \ cdot A ^ (- 1) = E $. Để làm việc ít hơn với phân số, chúng tôi sẽ thay thế ma trận $ A ^ (- 1) $ không ở dạng $ \ left (\ begin (array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \ end (array) \ right) $ và dưới dạng $ \ frac (1) (26) \ cdot \ left (\ begin (array) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37 \ end (array) \ right) $:

Kiểm tra thành công, $ A ^ (- 1) $ nghịch đảo được tìm thấy chính xác.

Câu trả lời: $ A ^ (- 1) = \ left (\ begin (array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6 / 13 & -3/26 & 37/26 \ end (mảng) \ phải) $.

Ví dụ số 4

Tìm nghịch đảo của $ A = \ left (\ begin (array) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4 \\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7 \\ -4 & 8 & -8 & -3 \ end (mảng) \ phải) $.

Đối với ma trận bậc 4, việc tìm ma trận nghịch đảo bằng cách sử dụng các phép bổ trợ đại số có phần khó khăn. Tuy nhiên, những ví dụ như vậy trong công việc kiểm soát gặp nhau.

Để tìm nghịch đảo của ma trận, trước tiên bạn cần tính định thức của ma trận $ A $. Cách tốt nhất để làm điều này trong tình huống này là mở rộng định thức theo hàng (cột). Chúng tôi chọn bất kỳ hàng hoặc cột nào và tìm phần bổ sung đại số của từng phần tử của hàng hoặc cột đã chọn.