Giải Phương Trình Bậc 4 - TaiLieu.VN

Trang chủ » Viet Phương Trình Bậc 4 » Giải Phương Trình Bậc 4 - TaiLieu.VN

Có thể bạn quan tâm

OPTADS360 intTypePromotion=1 zunia.vn Tuyển sinh 2024 dành cho Gen-Z zunia.vn zunia.vn tailieu.vn NÂNG CẤP Đăng Nhập | Đăng Ký Chủ đề »
  • Công thức lượng giác
  • Khảo sát hàm số
  • Soạn bài Tràng Giang
  • Công thức tích phân
  • Hóa học 11
  • Sinh học 11
    • Toán lớp 10
    • Vật lý 12
  • HOT
    • LV.11: Bộ Luận Văn Tốt Nghiệp Chuyên...
    • TL.01: Bộ Tiểu Luận Triết Học
    • CEO.27: Bộ Tài Liệu Dành Cho StartUp...
    • CMO.03: Bộ Tài Liệu Hệ Thống Quản Trị...
    • FORM.07: Bộ 125+ Biểu Mẫu Báo Cáo...
    • CEO.24: Bộ 240+ Tài Liệu Quản Trị Rủi...
    • FORM.08: Bộ 130+ Biểu Mẫu Thống Kê...
    • CEO.29: Bộ Tài Liệu Hệ Thống Quản Trị...
    • LV.26: Bộ 320 Luận Văn Thạc Sĩ Y...
    FORM.04: Bộ 240+ Biểu Mẫu Chứng Từ Kế Toán...
TUYỂN SINH YOMEDIA ADSENSE Trang Chủ » Tài Liệu Phổ Thông » Trung học phổ thông Giải phương trình bậc 4

Chia sẻ: Nguyễn Vân Nam | Ngày: | Loại File: DOC | Số trang:6

Thêm vào BST Báo xấu 832 lượt xem 96 download Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong chương trình đại số ở trường phổ thông chúng ta chỉ học một loại phương trình bậc bốn đặc biệt. Đó là phương trình trùng phương. Tuy nhiên trong các đề thi đại học thì dạng phương trình thường khai triển và đưa về dạng phương trình bậc bốn không thuộc dạng trùng phương

AMBIENT/ Chủ đề:
  • phương pháp giải toán
  • lý thuyết môn toán
  • tài liệu môn toán
  • hệ phương trình
  • kĩ năng giải toán
  • bất phương trình

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Đăng nhập để gửi bình luận! Lưu

Nội dung Text: Giải phương trình bậc 4

  1. Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math08_11 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BỐN x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 Trong chương trình đại số ở trường phổ thông chúng ta chỉ học một loại phương trình bậc bốn đặc biệt. Đó là phương trình trùng phương. Tuy nhiên trong các đề thi đại học thì dạng phương trình thường khai triển và đưa về dạng phương trình bậc bốn không thuộc dạng trùng phương Sau đây xin giới thiệu với các bạn cách giải các phương trình bậc bốn dạng x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 trong đó a, b, c, d là các số thực khác không. 1. Với các phương trình bậc bốn, trong một số trường hợp cụ thể, nếu ta có cách nhìn sáng tạo, biết biến đổi hợp lí và sáng tạo, ta có thể giải đuợc chúng không khó khăn gì. Ví dụ 1. Giải phương trình ( x 2 − a ) 2 − 6 x 2 + 4 x + 2a = 0 (1) Phương trình (1) được viết thành x 4 − 2ax 2 + a 2 − 6 x 2 + 4 x + 2a = 0 hay x 4 − ( 2a + 6) x 2 + 4 x + a 2 + 2a = 0 (2) Phương trình (2) là phương trình bậc bốn đối với x mà bạn khống đuợc học cách giải. Nhưng ta lại có thể viết phương trình (1) dưới dạng a 2 − 2( x 2 − 1) a + x 4 − 6 x 2 + 4 x = 0 (3) Và xem (3) là phương trình bậc hai đối với a. Với cách nhìn này, ta tìm được a theo x: a1, 2 = x 2 − 1 ± x 4 − 2 x 2 + 1 − x 4 +6 x 2 − 4 x = x 2 − 1 ± 4x 2 − 4x + 1 = x 2 − 1 ± ( 2 x − 1) Giải các phương trình bậc hai đối với x (4) x 2 + 2x − a − 2 = 0 Và x − 2 x − a = 0 (5) 2 Ta tìm đuợc các nghiệm (1) theo a. Điều kiện để (4) có nghiệm là 3 + a ≥ 0 và các nghiệm của (4) là x1, 2 = −1 ± 3 + a Điều kiện để (5) có nghiệm là 1 + a ≥ 0 và các nghiệm của (5) là x 3, 4 = 1 ± 1 + a Tổng kết a -3 -1 Phương trình (4) Vô nghiệm 2 nghiệm 2 nghiệm Phương trình (5) Vô nghiệm Vô nghiệm 2 nghiệm Lê Duơng Trường Giang – T*G*M 1 Trang Tháng 12/2009
  2. Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math08_11 Phương trình (6) Vô nghiệm 2 nghiệm 4 nghiệm 1 nghiệm 3 nghiệm Ví dụ 2. Giải phương trình (1) x 4 − x 3 − 5x 2 + 4x + 4 = 0 Phương trình (1) đuợc viết dưới dạng: ( ) x 4 − x3 − x 2 − 4x 2 − 4x − 4 = 0 ( )( ) x x − x −1 − 4 x − x −1 = 0 2 2 2 (x )( ) − 4 x − x −1 = 0 2 2 Vậy (1) có 4 nghiệm là 1− 5 1+ 5 x1 = −2; x 2 = 2; x3 = ; x4 = . 2 2 Ví dụ 3. Giải phương trình (1) 32 x 4 − 48 x 3 − 10 x 2 + 21x + 5 = 0 Ta viết (1) dưới dạng: ( )( ) 2 16 x 4 − 24 x 3 + 9 x 2 − 7 4 x 2 − 3 x + 5 = 0 Và đặt: y = 4 x 2 − 3x thì (1) được biến đổi thành 2y2 − 7y + 5 = 0 5 Từ đó y1 = 1 và y 2 = 2 Giải tiếp các phương trình bậc hai đối với x sau đây (sau khi thay y1 = 1 và 5 y2 = vào y = 4 x 2 − 3x ): 2 4 x 2 − 3x − 1 = 0 Và 8 x 2 − 6 x − 5 = 0 Ta sẽ đuợc các nghiệm của (1). Ví dụ 4. Giải phương trình 2 x 4 + 3 x 3 − 16 x 2 + 3 x + 2 = 0 (1) 2 e ��d Đây là phương trình bậc bốn (và là phương trình hồi quy khi = � �) a ��b Với phương trình này ta giải như sau: Chia hai vế của phương trình cho x 2 (khác không) thì (1) tương đuơng với 32 2 x 2 + 3 x − 16 + + =0 x x2 �2 1 � � 1 � Hay 2 � + 2 � 3 � + � 16 = 0 +x − x � x � � x� 1 1 Đặt y = x + thì y 2 − 2 = x 2 + 2 x x Phương trình (1) đuợc biến đổi thành: ( ) 2 y 2 − 2 + 3 y − 16 = 0 hay 2 y 2 + 3 y − 20 = 0 Lê Duơng Trường Giang – T*G*M 2 Trang Tháng 12/2009
  3. Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math08_11 5 Phương trình này có nghiệm là y1 = −4, y2 = 2 1 1 5 Vì vậy x + = −4 và x + = tức là x 2 + 4 x + 1 = 0 và 2 x 2 − 5 x + 2 = 0 x x 2 Từ đó ta tìm đuợc các nghiệm của (1) là: 1 x1,2 = −2 3, x3 = , x4 = 2 . 2 Như vậy, với các ví dụ 2,3 và 4 ta giải đuợc phương trình bậc bốn nhờ biết biến đổi sáng tạo vế trái của phương trình để dẫn tới việc giải các phương trình và phương trình quen thuộc. 2. Có thể giải phương trình bậc bốn nói trên bằng cách phân tích vế trái của phương trình thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định. Ví dụ 5. Giải phương trình: x 4 + 4 x3 − 10 x 2 + 37 x − 14 = 0 (1) Ta thử phân tích vế trái thành hai nhân tử bậc hai x 2 + px + q và x 2 + rx + s , trong đó p, q, r , s là các hệ số nguyên chưa xác định. Ta có: x 4 + 4 x3 − 10 x 2 + 37 x − 14 = ( x 2 + px + q ) ( x 2 + rx + s ) (2) Đồng nhất các hệ số của những số hạng cùng bậc hai vế của đồng nhất thức ta có hệ phương trình sau p + r = −4 s + q + pr = −10 ps + qr = 37 qs = −14 Nhờ phương trình cuối cùng của hệ này ta đoán nhận các giá trị nguyên tương ứng có thể lấy đuợc của q và s như sau q 1 2 7 14 -1 -2 -7 -14 s -14 -7- 2 -1 14 72 1 Thử lần lượt các giá trị trên của q thì thấy với q = 2, s = −7 phương trình thứ hai và thứ ba của hệ trên cho ta hệ phương trình mới pr = −5 −7 p + 2r = 37 Mà khử p đi thì đuợc 2r 2 − 37r + 35 = 0 Phương trình này cho nghiệm nguyên của r là 1. Nhờ thế ta suy ra p = −5 Thay các giá trị p, q, r , s vừa tìm được vào (2) thì có: ( )( ) x 4 + 4 x3 − 10 x 2 + 37 x − 14 = x 2 − 5 x + 2 x 2 + x − 7 Phương trình (1) ứng với ( x − 5x + 2) ( x + x − 7) = 0 2 2 Giải phương trình tích này ta đuợc các nghiệm sau của (1): −1 5 17 29 x= ;x = 2 2 Lê Duơng Trường Giang – T*G*M 3 Trang Tháng 12/2009
  4. Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math08_11 Lưu ý: Trong một số truờng hợp ta không thể dùng phương pháp này vì nhiều khi việc phân tích trên không được như mong muốn chẳng hạn khi hệ trên không có nghiệm nguyên. 3. Sau đây ta sẽ tìm công thức nghiệm của phương trình bậc bốn f ( x ) = x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 (1) trong đó a, b, c, d là các số thực. Dụng ý của ta là phân tích đa thức x 4 + ax3 + bx 2 + cx + d thành hai nhân tử bậc hai Dùng ẩn phụ h, ta biến đổi như sau: 2 �1 1� 1 1 1 f ( x ) = � 2 + ax + h �+ bx 2 + cx + d − a 2 x 2 − h 2 − hx 2 − ahx x �2 2� 4 4 2 2 1�� 1 � �1 1 1 � �� �� � f ( x ) = � 2 + ax + h �− �h + a 2 − b � 2 + � ah − c � + � h 2 − d � (2) x x x � � �2 2�� 4 2 4 � �� �� � � Tam thức trong dấu móc vuông có dạng: Ax + Bx + C 2 Ax 2 + Bx + C có thể viết dưới dạng: Ax + Bx + C = ( Px + q ) 2 2 (3) Khi và chỉ khi B − 4 AC = 0 hay 4 AC − B = 0 2 2 2 1 1 1 � � � �� � Ta có: 4 � + a 2 − b � h 2 − d � � ah − c �= 0 − h � �4 �4 2 � �� � Đây là phương trình bậc ba đối với h nến phải có ít nhất một nghiệm thực. Giả sử nghiệm đó là h = 1 . (Ta có thể dùng công thức biểu diễn nghiệm phương trình bậc ba của Cacđanô (nhà toán học người Italia) x3 + px 2 + q = 0 (*) qua các hệ số của nó. Mọi phương trình bậc ba tổng quát: a0 y 3 + a1 y 2 + a2 y + a3 = 0, a0 0 đều có thể a đưa về dạng (*) nhờ phép biến đổi ẩn số y = x − 3a . Công thức được viết 1 0 2 3 2 3 như sau: x = 3 − q + q + p + 3 − q − q + p trong đó mỗi căn thức bậc ba ở 2 4 27 2 4 27 p vế sau có ba giá trị, nhưng phải chọn các cặp giá trị có tích bằng − để cộng 3 với nhau) 2 �1 1� Thế thì (2) đuợc viết dưới dạng: f ( x ) = �2 + ax + t �− ( px + q ) 2 (4) x �2 2� Vậy: �1 1 �1 1 � � f ( x ) = � 2 + ax + t + px + q �x 2 + ax + t − px + q � 0 = x � �2 2 �2 2 � � 1 �1 � Từ đó: x + � a + p � + t + q = 0 2 x 2 �2 � Lê Duơng Trường Giang – T*G*M 4 Trang Tháng 12/2009
  5. Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math08_11 1 1 � � hoặc x + � a − p � + t − q = 0 2 x 2 �2 � Giải hai phương trình bậc hai này ta đuợc tập hợp nghiệm của (1): 2 1�1 1 �� � x1,2 = − � a + p� � a + p �− 4q − 2t 2�2 2 �� � 2 1�1 1 �� � Và x3,4 = − � a − p� � a − p �+ 4q − 2t 2�2 2 �� � Ví dụ 6. Giải phương trình: x 4 − x3 − 7 x 2 + x + 6 = 0 Dựa vào công thức (3) ta xác định đuợc h : 2 � 29 � 1 ��1 � � 4 � + � h 2 − 6 � � h − 1 �= 0 −− h � � 4 �4 ��2 � � tức h + 7h − 25h − 175 = 0 3 2 Ta tìm đuợc một nghiệm thực h của phương trình này là h = 5 −1 7 Dựa vào (3) và với h = t = 5, a = −1,, b = −7, c = 1, d = 6 thì tính đuợc p = , q = 2 2 Phương trình đã cho sẽ đuợc diễn đạt theo (4) là: 2 2 �2 1 5� � 7 1� � − 2 x + 2 �− � x − 2 �= 0 x 2 � �� � �1 57 1��1 57 1� � � 2 − x + + x − �x 2 − x + − x + � 0 = x �2 �2 22 2� 22 2� � Thì đựơc tập nghiệm của phương trình đã cho là: { −1; −2;3;1} 4. Ta còn có thể giải phương trình bậc bốn bằng cách sử dụng đồ thị. Thật vậy, để giải phương trình bậc bốn (1) x 4 + ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 bằng đồ thị, ta hãy đặt x = y − mx 2 Phương trình (1) trở thành: y 2 − 2mxy + m 2 x 2 + axy − axm 2 + bx 2 + cx + d = 0 Để khử đuợc các số hạng có xy trong phương trình này thì phải có: a −2m + a = 0 và m = 2 Vậy nếu đặt a a x 2 = y − mx và m = tức x 2 = y − x 2 2 2 2 a a Thì (1) trở thành: y 2 + x 2 − x 2 + bx 2 + cx + d = 0 (2) 4 2 a Thay x 2 bởi y − x và biến đổi thì (2) trở thành 2 Lê Duơng Trường Giang – T*G*M 5 Trang Tháng 12/2009
  6. Trường THPT chuyên Lê Quý Đôn Math08_11 � a ab ��a � 3 2 a x2 + y 2 + � + − + c � + � − − 1� + d = 0 xb y �8 2 2 �� 4 � Vậy phương trình (1) tương đuơng với hệ phương trình a y = x4 + x, (3) 2 � a 3 ab � � a2 � a x2 + y 2 + � + − + c � + � − − 1� + d = 0, (4) xb y �8 2 2 �� 4 � Do đó hoành độ các giao điểm của parabol, đồ thị (3) và của đuờng tròn, đồ thị của (4), là nghiệm của phương trình (1) đã cho a Nếu ta đặt my = x 2 + x(m 0) thì khi ấy nghiệm của phương trình (1) lại là 2 hoành độ các giao điểm của hai parabol 12 a y= x+ x m 2m � a2 � m�− � b y m2 y 2 4� +�3 Và x = +d ab a 3 ab a − −c − −c 28 2 3 Bây giờ, ta hãy vận dụng các phương pháp trên để giải các phương trình bậc bốn sau: 1) x 4 + 4 x 3 + 3x 2 + 2 x − 1 = 0, 2) x 4 + 2 x 3 + 5 x 2 + 4 x − 12 = 0, 3)6 x 4 + 5 x 3 − 38 x 2 + 5 x + 6 = 0, 4) x 4 + 5 x 3 − 12 x 2 + 5 x + 1 = 0, 5) x 4 + 2 x 3 − 2 x 2 + 6 x − 15 = 0. Lê Duơng Trường Giang – T*G*M 6 Trang Tháng 12/2009
ADSENSE

CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD

EXAM.05: Bộ 300+ Đề Thi Thử THPT Quốc Gia 2022 304 tài liệu 926 lượt tải

  • Giáo án bài: Bất phương trình bậc nhất một ẩn - Toán 8 - GV.Đỗ Thanh Tuấn

    doc 13 p | 485 | 32

  • Giáo án Đại số 9 chương 4 bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai

    doc 13 p | 308 | 24

  • Bài giảng Đại số 9 chương 4 bài 4: Công thức nghiệm của phương trình bậc hai

    ppt 22 p | 193 | 22

  • Giáo án Đại số 9 chương 4 bài 3: Phương trình bậc hai một ẩn

    doc 8 p | 477 | 22

  • Bài giảng Đại số 8 chương 4 bài 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

    ppt 32 p | 194 | 21

  • Bài giảng Giải tích 12 chương 4 bài 4: Phương trình bậc hai với hệ số thực

    ppt 11 p | 188 | 20

  • Bài giảng Đại số 9 chương 4 bài 3: Phương trình bậc hai một ẩn

    ppt 24 p | 301 | 20

  • Bài giảng Đại số 9 chương 4 bài 7: Phương trình quy về phương trình bậc hai

    ppt 16 p | 165 | 17

  • Bài 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn – Toán 8 – Bài giảng

    ppt 10 p | 376 | 15

  • Casio Việt Nam: Phân tích phương trình bậc 4 vô nghiệm - Lâm Hữu Minh

    pdf 6 p | 200 | 13

  • Công thức nghiệm của phương trình bậc hai_ chương trình Toán học lớp 9

    doc 7 p | 284 | 11

  • Giáo án bài Phương trình bậc hai với hệ số thực - Toán 12 - GV.M.T.Xuân

    doc 8 p | 127 | 9

  • Sáng kiến kinh nghiệm: Một số cách giải phương trình bậc 4

    doc 19 p | 74 | 6

  • Giáo án Giải tích lớp 12: Chuyên đề 4 bài 3 - Phương trình bậc hai với hệ số thực

    pdf 15 p | 26 | 6

  • Giáo án Đại số lớp 8: Chương 4 - Bất phương trình bậc nhất một ẩn

    doc 39 p | 24 | 4

  • Giải bài tập Ôn tập chương 4 Bất phương trình bậc nhất một ẩn SGK Đại số 8 tập 2

    pdf 7 p | 136 | 3

  • Bài giảng Đại số 10 - Bài 4: Bất phương trình bậc nhất một ẩn

    ppt 31 p | 42 | 2

Thêm tài liệu vào bộ sưu tập có sẵn: Đồng ý Thêm vào bộ sưu tập mới: *Tên bộ sưu tập Mô Tả: *Từ Khóa: Tạo mới Báo xấu
  • Hãy cho chúng tôi biết lý do bạn muốn thông báo. Chúng tôi sẽ khắc phục vấn đề này trong thời gian ngắn nhất.
  • Không hoạt động
  • Có nội dung khiêu dâm
  • Có nội dung chính trị, phản động.
  • Spam
  • Vi phạm bản quyền.
  • Nội dung không đúng tiêu đề.
Hoặc bạn có thể nhập những lý do khác vào ô bên dưới (100 ký tự): Vui lòng nhập mã xác nhận vào ô bên dưới. Nếu bạn không đọc được, hãy Chọn mã xác nhận khác.. Đồng ý LAVA AANETWORK THÔNG TIN
  • Về chúng tôi
  • Quy định bảo mật
  • Thỏa thuận sử dụng
  • Quy chế hoạt động
TRỢ GIÚP
  • Hướng dẫn sử dụng
  • Upload tài liệu
  • Hỏi và đáp
HỖ TRỢ KHÁCH HÀNG
  • Liên hệ
  • Hỗ trợ trực tuyến
  • Liên hệ quảng cáo
Theo dõi chúng tôi

Chịu trách nhiệm nội dung:

Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA

LIÊN HỆ

Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM

Hotline: 093 303 0098

Email: support@tailieu.vn

Giấy phép Mạng Xã Hội số: 670/GP-BTTTT cấp ngày 30/11/2015 Copyright © 2022-2032 TaiLieu.VN. All rights reserved.

Đang xử lý... Đồng bộ tài khoản Login thành công! AMBIENT

Từ khóa » Viet Phương Trình Bậc 4