Hãy đăng ký thành viên để có thể dễ dàng hỏi bài, trao đổi, giao lưu và chia sẻ về kiến thức Đăng nhập
Tăng Giáp Trang chủ Diễn đàn > TOÁN HỌC > LỚP 11 > Chủ đề 1. LƯỢNG GIÁC > Bài 03. PP sử dụng công hạ bậc và nhân đôi > Giải phương trình lượng giác sử dụng công thức hạ bậc
Thảo luận trong 'Bài 03. PP sử dụng công hạ bậc và nhân đôi' bắt đầu bởi Doremon, 11/12/14.
-
Doremon Moderator Thành viên BQT
Tham gia ngày: 29/9/14 Bài viết: 1,299 Đã được thích: 210 Điểm thành tích: 63 Giới tính: Nam I. Phương pháp Bước 1:Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa. Bước 2: Thực hiện việc hạ bậc của phương trình bằng các công thức $\begin{array}{l} 1.\,\,\,{\sin ^2}x\, = \,\frac{1}{2}\left( {1\, - \,\cos 2x} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,5.\,\,{\sin ^3}x\, = \frac{1}{4}\left( {3\sin x\, - \sin 3x} \right)\\ 2.\,\,{\cos ^2}x\, = \,\frac{1}{2}\left( {1\, + \,\cos 2x} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,6.\,\,{\cos ^3}x\, = \,\frac{1}{4}\left( {3\cos x\, + \,\cos 3x} \right)\\ 3.\,\,{\tan ^2}x\, = \,\frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}\, = \,\frac{{1\, - \,\cos 2x}}{{1\, + \,\cos 2x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,7.\,\,{\tan ^3}x\, = \,\frac{{3\sin x\, - \sin 3x}}{{3\cos x\, + \,\cos 3x}}\\ 4.\,\,{\cot ^2}x\, = \,\frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}\, = \,\frac{{1\, + \,\cos 2x}}{{1\, - \,\cos 2x}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,8.\,\,{\cot ^2}x\, = \,\frac{{3\sin x\, + \sin 3x}}{{3\cos x\, - \,\cos 3x}} \end{array}$ $\begin{array}{l}{\sin ^4}x\, + \,{\cos ^4}x\, = \,\frac{3}{4}\, - \,\frac{1}{4}\cos 4x\\{\sin ^4}x\, - \,{\cos ^4}x\, = \, - \cos 2x\\{\sin ^6}x\, + \,{\cos ^6}x\, = \,\frac{5}{8}\, + \,\frac{3}{8}\cos 4x\\{\sin ^6}x\, - \,{\cos ^6}x\, = \,\frac{1}{4}{\cos ^3}2x\, + \,\frac{3}{4}\cos 2x\end{array}$ - Hạ bậc đối xứng: Giả sử cần biến đổi biểu thức dạng :
$A\, = \,{\sin ^3}x.\,\cos 3x\, + \,\sin 3x.\,{\cos ^3}x$ Ta có thể lựa chọn theo hai cách sau: Cách 1: Ta có: $\begin{array}{l}A\, = \,{\sin ^3}x.\,\cos 3x\, + \,\sin 3x.\,{\cos ^3}x\\\,\,\,\,\, = \,\left( {1\, - \,{{\cos }^2}x} \right)\sin x.\cos 3x\, + \,\left( {1\, - \,{{\sin }^2}x} \right)\sin 3x.\cos x\\\,\,\,\,\, = \,\sin x.\cos 3x\,\, + \,\sin 3x.\cos x\, - \,(\cos x.\cos 3x\, + \,\sin x.\sin 3x)\sin x.\cos x\\\,\,\,\, = \,\,\sin 4x\, - \,\frac{1}{2}\cos 2x.\,\sin 2x\, = \,\,\sin 4x\, - \,\frac{1}{4}\sin 4x\, = \,\frac{3}{4}\sin 4x\end{array}$ Cách 2: Ta có : $\begin{array}{l}A = \,\,\frac{1}{4}(3\sin x\, - \,\,\sin 3x)\cos 3x\, + \,\frac{1}{4}\,\,(3\cos x\, + \,\cos 3x)\sin 3x\,\\\,\,\,\,\,\, = \,\,\frac{3}{4}(\sin x.\cos 3x\, + \,consx.\sin 3x\, = \,\frac{3}{4}\sin 4x \end{array}$ Chú ý: - Tuỳ thuộc bậc từng bài toán ta lựa chọn việc hạ bậc cho phù hợp . Chẳng hạn đối với phương trình bậc lẻ các nhân tử bậc cao (giả sử bằng 3) thông thường ta không đi hạ bậc tất cả các nhân tử đó mà chỉ chọn ra hai nhân tử để hạ bậc.
- Với các nhân tử bậc cao hơn 3 ta phải hạ bậc dần dần.
Ví Dụ Minh Hoạ: Ví dụ 1: Giải phương trình: ${\sin ^2}x\, = \,{\cos ^2}x\, + \,{\cos ^2}3x$ GiảiPhương trình được biến đổi dưới dạng $\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\frac{{1\, - \,\cos 2x}}{2}\, = \,\frac{{1\, + \,\cos 2x}}{2} + \,{\cos ^2}3x\,\, \Leftrightarrow \,\,2{\cos ^2}3x\, + \,(\cos 4x\, + \,cos2x)\\ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}3x\, + \,2\cos 3x.\cos x\, = \,0\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,(\cos 3x + \,cos5x)\cos 3x\, = \,0\\ \Leftrightarrow 2\cos 2x.\cos x.\cos 3x\, = \,0\end{array}$ $\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\\cos x = 0\\\cos 3x = 0\end{array} \right.\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x = 0\\\cos 3x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x\, = \,\frac{\pi }{2}\, + \,k\pi \\3x\, = \,\,\frac{\pi }{2}\, + \,k\pi \end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,\,\,\left[ \begin{array}{l}x\, = \,\frac{\pi }{4}\, + \,k\frac{\pi }{2}\,\\x\, = \,\frac{\pi }{6}\, + \,k\frac{\pi }{3}\end{array} \right.\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,k\, \in \,Z$ Vậy phương trình có 2 họ nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình ${\sin ^4}x\, + \,{\sin ^4}(x\, + \,\frac{\pi }{4})\, + \,{\sin ^4}(x\, - \,\frac{\pi }{4})\,\, = \,\frac{9}{8}$ (1) Giải.Ta có: (1) $ \Leftrightarrow \,\,\,{\left( {\frac{{1\, - \,\cos 2x}}{2}} \right)^{2\,}} + \,{\left( {\frac{{1\, - \,\cos (2x\, + \,\frac{\pi }{4})}}{2}} \right)^2}\, + \,{\left( {\frac{{1\, - \,\cos (2x\, - \,\frac{\pi }{4})}}{2}} \right)^{2\,}}\, = \,\frac{9}{8}$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow {(1\, - \,\cos 2x)^2}\, + \,{(1\, + \,\sin 2x)^2} + \,{(1\, - \,\sin 2x)^2}\, = \,\frac{9}{2} \Leftrightarrow 1\, - \,2\cos 2x\, + \,{\cos ^2}2x\, + \,2(1\, + \,{\sin ^2}2x)\, = \,\frac{9}{2}\\ \Leftrightarrow \,2{\cos ^2}2x\, + \,4\cos 2x - \,1\, = \,0\end{array}$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x\, = \,1\, - \,\frac{{\sqrt 6 }}{2}\\ \cos 2x = \,1\, + \,\frac{{\sqrt 6 }}{2}\,\,\,\,(loai)\end{array} \right.\,\,\\ \Leftrightarrow \,\,\cos 2x\, = \,1\, - \,\frac{{\sqrt 6 }}{2}\, = \,\cos 2\alpha \,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,2x\, = \, \pm 2\alpha \, + k2\pi \,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,x\, = \, \pm \alpha \, + \,k\pi \,\,\,\,(k \in Z)\end{array}$$\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos 2x\, = \,1\, - \,\frac{{\sqrt 6 }}{2}\\\cos 2x = \,1\, + \,\frac{{\sqrt 6 }}{2}\,\,\,\,(loai)\end{array} \right.\,\,\\ \Leftrightarrow \,\,\cos 2x\, = \,1\, - \,\frac{{\sqrt 6 }}{2}\, = \,\cos 2\alpha \,\,\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,\,\,\,\,2x\, = \, \pm 2\alpha \, + k2\pi \,\,\, \Leftrightarrow \,\,\,x\, = \, \pm \alpha \, + \,k\pi \,\,\,\,(k \in Z)\end{array}$ Vậy phương trình có một họ nghiệm. Ví dụ 3: Giải phương trình: $\,{\sin ^3}x\, + \,{\cos ^3}x\, + \,{\sin ^3}x.\cot \,x + \,{\cos ^3}x.\tan x\, = \,\sqrt {2\sin 2x} $ (2) GiảiTa có: (2) $ \Leftrightarrow \,\,\,{\sin ^3}x\, + \,{\cos ^3}x\, + \,{\sin ^2}x.\cos \,x + \,{\cos ^2}x.sinx\, = \,\sqrt {2\sin 2x} $ $\begin{array}{l}\,\, \Leftrightarrow \,\,\,{\sin ^2}x(\sin x\, + \,\cos x)\, + \,co{{\mathop{\rm s}\nolimits} ^2}x(\cos \,x + \,sinx)\, = \,\sqrt {2\sin 2x} \\\, \Leftrightarrow \,\,\,({\sin ^2}x + \,co{{\mathop{\rm s}\nolimits} ^2}x)(\sin x\, + \,\cos x)\,\, = \,\sqrt {2\sin 2x} \,\,\, \Leftrightarrow \,\,\sin x\, + \,\cos x\, = \,\,\sqrt {2\sin 2x} \,\,\,(3)\end{array}$ Điều kiện$\left\{ \begin{array}{l}\sin x\, + \,\cos x\, \ge 0\\\sin 2x\, \ge 0\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}\sin x\, + \,\cos x\, \ge 0\\\sin x.\cos x\,\, \ge 0\end{array} \right.\,\,\, \Leftrightarrow \,\,\left\{ \begin{array}{l}\sin x\, \ge 0\\\,\cos x \ge 0\end{array} \right.\,\,\,(*)$ Bình phương hai vế của phương trình (3) ta có: ${(\sin x + \cos x)^2} = 2\sin 2x$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 + 2\sin x\cos x = \sin 2x \Leftrightarrow 2\sin 2x \Leftrightarrow \sin 2x = 1\\2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\,\,\,\,k \in Z\end{array}$ Các giá trị x = π/4 + kπ thỏa mãn điều kiện (*) khi và chỉ khi k = 2m Vậy phương trình đã cho có 1 họ nghiệm duy nhất. Ví Dụ 4: Giải phương trình: ${\sin ^7}x + {\cos ^5}x + \frac{1}{2}({\sin ^5}x + {\cos ^3}x)\sin 2x = \sin x + \cos x$ (4) GiảiTa có $(4) \Leftrightarrow {\sin ^7}x + {\cos ^5}x + ({\sin ^5}x + {\cos ^3}x)\sin x\cos x = \sin x + \cos x$ $\, \Leftrightarrow {\sin ^7}x + {\cos ^5}x + {\sin ^6}x\cos x + \sin x{\cos ^4}x = \sin x + \cos x$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow ({\sin ^7}x + {\sin ^6}x\cos x) + ({\cos ^5}x + \sin x{\cos ^4}x) = \sin x + \cos x\\ \Leftrightarrow {\sin ^6}x(\sin x + \cos x) + {\cos ^4}x(\sin x + \cos x) = \sin x + \cos x\\ (\sin x + \cos x)({\sin ^6}x + {\cos ^4}x - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x + \cos x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(5)\\{\sin ^6}x + {\cos ^4}x = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,(6)\end{array} \right.\end{array}$ Ta có (5)↔tan(x) = - 1 ↔ x = π/4 + kπ với k ∈ Z Lại có: $\left\{ \begin{array}{l} {\cos ^6}x \le {\cos ^2}x\\{\sin ^4}x \le {\sin ^2}x\end{array} \right. \Rightarrow {\cos ^6}x + {\sin ^4}x \le {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$ Dâú đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi sin(x) = 0 hoặc cos(x) = 0 Bởi thế (6) $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\cos x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{2}\,\,\,\,k \in Z$ Vậy phương trình có hai họ nghiệm Ví Dụ 5: Giải phương trình : $\frac{{{{\sin }^4}\frac{x}{2} + {{\cos }^4}\frac{x}{2}}}{{1 - \sin x}} - {\tan ^2}x\sin x = \frac{{1 + \sin x}}{2} + \tan x$ (7) GiảiĐiều kiện: cos(x) ≠ 0 Ta có: ${\sin ^4}\frac{x}{2} + {\cos ^4}\frac{x}{2} = {({\sin ^2}\frac{x}{2} + {\cos ^2}\frac{x}{2})^2} - 2{\sin ^2}\frac{x}{2}{\cos ^2}\frac{x}{2} = $ $\,\,\,\,\, = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}x = \frac{{1 + {{\cos }^2}x}}{2}$ $ \Rightarrow \frac{{{{\sin }^4}\frac{x}{2} + {{\cos }^4}\frac{x}{2}}}{{1 - \sin x}} = \frac{{1 + {{\cos }^2}x}}{{2(1 - \sin x)}}$. Thay vào (7) ta thu được $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{1 + {{\cos }^2}x}}{{2(1 - \sin x)}} - {\tan ^2}x\sin x = \frac{{1 + \sin x}}{2} + {\tan ^2}x\\ \Leftrightarrow \frac{{1 + {{\cos }^2}x}}{{2(1 - \sin x)}} = \frac{{1 + \sin x}}{2} + (1 + \sin x){\tan ^2}x\end{array}$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{1 + {{\cos }^2}x}}{{2(1 - \sin x)}} = \frac{{(1 + \sin x)(1 + 2{{\tan }^2}x)}}{2}\\ \Leftrightarrow \frac{{1 + {{\cos }^2}x}}{{2(1 - \sin x)}} = \frac{{(1 + \sin x)(1 - \sin x)(1 + 2{{\tan }^2}x)}}{{2(1 - \sin x)}}\\ \Leftrightarrow 1 + {\cos ^2}x = (1 + \sin x)(1 - \sin x)(1 + 2{\tan ^2}x) \Leftrightarrow 1 + {\cos ^2}x = (1 - {\sin ^2}x)(1 + 2{\tan ^2}x)\\ \Leftrightarrow 1 + {\cos ^2}x = \,\,{\cos ^2}x(1 + 2{\tan ^2}x) \Leftrightarrow 1 + {\cos ^2}x = \,\,{\cos ^2}x + 2{\sin ^2}x)\\ \Leftrightarrow 1 = 2{\sin ^2}x \Leftrightarrow \cos 2x = 0 \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,k \in Z \end{array}$ Vậy phương trình có 1 họ nghiệm Ví Dụ 6: Giải phương trình: ${\tan ^3}2x + {\cot ^3}2x + \frac{6}{{\sin 2x}} = \frac{8}{{{{\sin }^3}4x}}$ (8) GiảiTa có: $\frac{8}{{{{\sin }^3}4x}} = \frac{8}{{{{(2\sin 2x\cos 2x)}^3}}} = \frac{1}{{{{(\sin 2x\cos 2x)}^3}}} = {(\tan 2x + \cot 2x)^3}$ $\begin{array}{l} = {\tan ^3}2x + {\cot ^3}2x + 3\tan 2x\cot 2x(\tan 2x + \cot 2x)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\tan ^3}2x + {\cot ^3}2x + \frac{3}{{\sin 2x}}\end{array}$ Do vậy (8) ↔$\,{\tan ^3}2x + {\cot ^3}2x + \frac{6}{{\sin 2x}} = {\tan ^3}2x + {\cot ^3}2x + \frac{3}{{\sin 2x}}$ $ \leftrightarrow \frac{3}{{\sin 2x}} = 0$ (vô nghiệm ). Vậy phương trình đã cho vô nghiệm Nhận xét: Việc sử dụng công thức hạ bậc tỏ ra rất hữu hiệu đối với có chứa các hạng tử bậc cao, khó giải .Vì vậy để có thể sử dụng tốt phương pháp này đòi hỏi học sinh cần nắm vững các công thức hạ bậc đã nêu ở trên, đồng thời phải sử dụng hằng đẳng thức một cách linh hoạt.
Bài viết mới nhất
- Tìm điều kiện để phương trình có k nghiệm thuộc D12/12/2014
- Biện luận phương trình lượng giác chứa tham số12/12/2014
- Dùng phương pháp khảo sát hàm số12/12/2014
- Giải phương trình lượng giác bằng phương pháp đánh giá.12/12/2014
- Biến đổi phương trình lượng giác thành tổng các đại lượng không âm12/12/2014
Doremon, 11/12/14 #1
(Bạn phải Đăng nhập hoặc Đăng ký để trả lời bài viết.) Show Ignored Content
Chia sẻ trang này
Tên tài khoản hoặc địa chỉ Email: Mật khẩu: Bạn đã quên mật khẩu? Duy trì đăng nhập Đăng nhập
Thống kê diễn đàn
Đề tài thảo luận: 6,074 Bài viết: 12,738 Thành viên: 18,036 Thành viên mới nhất: DuyChien
Chủ đề mới nhất
-
Giải chi tiết gần 300 bài tập... Tăng Giáp posted 30/1/26 lúc 15:51 - 82 Bài Tập Khí Lý Tưởng Vật Lí... Tăng Giáp posted 26/4/25
- [HOT] Đề Toán Thi Thử 2025... Tăng Giáp posted 10/4/25
- [8+] Phân tích bài thơ Đất nước... Tăng Giáp posted 6/8/20
- Hướng dẫn viết dàn ý bài thơ... Tăng Giáp posted 6/8/20
Đang tải... Tăng Giáp Trang chủ Diễn đàn > TOÁN HỌC > LỚP 11 > Chủ đề 1. LƯỢNG GIÁC > Bài 03. PP sử dụng công hạ bậc và nhân đôi >