Home Forums New posts Search forums Lớp 12 Vật Lí 12 What's new Featured content New posts New profile posts Latest activity Members Current visitors New profile posts Search profile posts Đăng nhập Có gì mới? Tìm kiếm Tìm kiếm Everywhere Threads This forum This thread
Chỉ tìm trong tiêu đề Note Search Tìm nâng cao… Menu Đăng nhập Install the app
Install How to install the app on iOS
Follow along with the video below to see how to install our site as a web app on your home screen.
Note: This feature may not be available in some browsers.
Home Forums Lớp 11 Toán học 11 Chủ đề 1. LƯỢNG GIÁC Bài 03. PP sử dụng công hạ bậc và nhân đôi JavaScript is disabled. For a better experience, please enable JavaScript in your browser before proceeding. You are using an out of date browser. It may not display this or other websites correctly.You should upgrade or use an alternative browser. Giải phương trình lượng giác sử dụng công thức hạ bậc
Thread starter Thread starter Doremon Ngày gửi Ngày gửi 11/12/14 Doremon Moderator Thành viên BQT I. Phương pháp Bước 1:Đặt điều kiện để phương trình có nghĩa. Bước 2: Thực hiện việc hạ bậc của phương trình bằng các công thức Hạ bậc đơn:
${{\mkern 1mu} {\kern 1pt} {{\sin }^2}x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \frac{1}{2}\left( {1{\mkern 1mu} {\kern 1pt} - {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \cos 2x} \right)}$ ${{{\cos }^2}x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \frac{1}{2}\left( {1{\mkern 1mu} {\kern 1pt} + {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \cos 2x} \right)}$ ${{{\tan }^2}x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}}{\mkern 1mu} {\kern 1pt} = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \frac{{1{\mkern 1mu} {\kern 1pt} - {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \cos 2x}}{{1{\mkern 1mu} {\kern 1pt} + {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \cos 2x}}}$ ${{{\cot }^2}x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \frac{{{{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x}}{\mkern 1mu} {\kern 1pt} = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \frac{{1{\mkern 1mu} {\kern 1pt} + {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \cos 2x}}{{1{\mkern 1mu} {\kern 1pt} - {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \cos 2x}}}$ ${{{\sin }^3}x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} = \frac{1}{4}\left( {3\sin x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} - \sin 3x} \right)}$ ${{\kern 1pt} {{\cos }^3}x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \frac{1}{4}\left( {3\cos x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} + {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \cos 3x} \right)}$ ${{{\tan }^3}x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \frac{{3\sin x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} - \sin 3x}}{{3\cos x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} + {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \cos 3x}}}$ ${{\kern 1pt} {{\cot }^2}x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \frac{{3\sin x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} + \sin 3x}}{{3\cos x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} - {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \cos 3x}}}$ Hạ bậc toàn cục
${{{\sin }^4}x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} + {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {{\cos }^4}x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \frac{3}{4}{\mkern 1mu} {\kern 1pt} - {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \frac{1}{4}\cos 4x}$ ${{{\sin }^4}x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} - {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {{\cos }^4}x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} - \cos 2x}$ ${{{\sin }^6}x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} + {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {{\cos }^6}x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \frac{5}{8}{\mkern 1mu} {\kern 1pt} + {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \frac{3}{8}\cos 4x}$ ${{{\sin }^6}x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} - {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {{\cos }^6}x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \frac{1}{4}{{\cos }^3}2x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} + {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \frac{3}{4}\cos 2x}$ Hạ bậc đối xứng: Giả sử cần biến đổi biểu thức dạng : $A\, = \,{\sin ^3}x.\,\cos 3x\, + \,\sin 3x.\,{\cos ^3}x$ Ta có thể lựa chọn theo hai cách sau: Cách 1: Ta có: $\begin{array}{l}A\, = \,{\sin ^3}x.\,\cos 3x\, + \,\sin 3x.\,{\cos ^3}x\\\,\,\,\,\, = \,\left( {1\, - \,{{\cos }^2}x} \right)\sin x.\cos 3x\, + \,\left( {1\, - \,{{\sin }^2}x} \right)\sin 3x.\cos x\\\,\,\,\,\, = \,\sin x.\cos 3x\,\, + \,\sin 3x.\cos x\, - \,(\cos x.\cos 3x\, + \,\sin x.\sin 3x)\sin x.\cos x\\\,\,\,\, = \,\,\sin 4x\, - \,\frac{1}{2}\cos 2x.\,\sin 2x\, = \,\,\sin 4x\, - \,\frac{1}{4}\sin 4x\, = \,\frac{3}{4}\sin 4x\end{array}$ Cách 2: Ta có : $\begin{array}{l}A = \,\,\frac{1}{4}(3\sin x\, - \,\,\sin 3x)\cos 3x\, + \,\frac{1}{4}\,\,(3\cos x\, + \,\cos 3x)\sin 3x\,\\\,\,\,\,\,\, = \,\,\frac{3}{4}(\sin x.\cos 3x\, + \,consx.\sin 3x\, = \,\frac{3}{4}\sin 4x \end{array}$ Chú ý:
Tuỳ thuộc bậc từng bài toán ta lựa chọn việc hạ bậc cho phù hợp . Chẳng hạn đối với phương trình bậc lẻ các nhân tử bậc cao (giả sử bằng 3) thông thường ta không đi hạ bậc tất cả các nhân tử đó mà chỉ chọn ra hai nhân tử để hạ bậc. Với các nhân tử bậc cao hơn 3 ta phải hạ bậc dần dần. Ví Dụ Minh Hoạ: Ví dụ 1: Giải phương trình: ${\sin ^2}x\, = \,{\cos ^2}x\, + \,{\cos ^2}3x$ GiảiPhương trình được biến đổi dưới dạng $\frac{{1{\mkern 1mu} {\kern 1pt} - {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \cos 2x}}{2}{\mkern 1mu} {\kern 1pt} = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \frac{{1{\mkern 1mu} {\kern 1pt} + {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \cos 2x}}{2} + {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\cos ^2}3x{\mkern 1mu} $ $ \Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} 2{\cos ^2}3x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} + {\mkern 1mu} {\kern 1pt} (\cos 4x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} + {\mkern 1mu} {\kern 1pt} cos2x)$ $ \Leftrightarrow 2{\cos ^2}3x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} + {\mkern 1mu} {\kern 1pt} 2\cos 3x.\cos x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} 0{\mkern 1mu} {\kern 1pt} $ ${\kern 1pt} \Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} (\cos 3x + {\mkern 1mu} {\kern 1pt} cos5x)\cos 3x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} 0$ ${ \Leftrightarrow 2\cos 2x.\cos x.\cos 3x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} 0}$ ${\kern 1pt} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\cos 2x = 0}\\ {\cos x = 0}\\ {\cos 3x = 0} \end{array}} \right.{\mkern 1mu} {\kern 1pt} $ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\cos 2x = 0}\\ {\cos 3x = 0} \end{array}} \right.$ $ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {2x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \frac{\pi }{2}{\mkern 1mu} {\kern 1pt} + {\mkern 1mu} {\kern 1pt} k\pi }\\ {3x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \frac{\pi }{2}{\mkern 1mu} {\kern 1pt} + {\mkern 1mu} {\kern 1pt} k\pi } \end{array}} \right.{\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} $ $ \Leftrightarrow {\kern 1pt} \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \frac{\pi }{4}{\mkern 1mu} {\kern 1pt} + {\mkern 1mu} {\kern 1pt} k\frac{\pi }{2}{\mkern 1mu} {\kern 1pt} }\\ {x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \frac{\pi }{6}{\mkern 1mu} {\kern 1pt} + {\mkern 1mu} {\kern 1pt} k\frac{\pi }{3}} \end{array}} \right.\left( {{\mkern 1mu} {\kern 1pt} k{\mkern 1mu} {\kern 1pt} \in {\mkern 1mu} {\kern 1pt} Z} \right)$ Vậy phương trình có 2 họ nghiệm Ví dụ 2: Giải phương trình ${\sin ^4}x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} + {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\sin ^4}(x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} + {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \frac{\pi }{4}){\mkern 1mu} {\kern 1pt} + {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\sin ^4}(x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} - {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \frac{\pi }{4}){\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \frac{9}{8}$(1) Giải.Ta có: (1) $ \Leftrightarrow \,\,\,{\left( {\frac{{1\, - \,\cos 2x}}{2}} \right)^{2\,}} + \,{\left( {\frac{{1\, - \,\cos (2x\, + \,\frac{\pi }{4})}}{2}} \right)^2}\, + \,{\left( {\frac{{1\, - \,\cos (2x\, - \,\frac{\pi }{4})}}{2}} \right)^{2\,}}\, = \,\frac{9}{8}$ $\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} \Leftrightarrow {(1{\mkern 1mu} {\kern 1pt} - {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \cos 2x)^2}{\mkern 1mu} {\kern 1pt} + {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {(1{\mkern 1mu} {\kern 1pt} + {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \sin 2x)^2} + {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {(1{\mkern 1mu} {\kern 1pt} - {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \sin 2x)^2}{\mkern 1mu} {\kern 1pt} = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \frac{9}{2}\\ \Leftrightarrow 1{\mkern 1mu} {\kern 1pt} - {\mkern 1mu} {\kern 1pt} 2\cos 2x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} + {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\cos ^2}2x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} + {\mkern 1mu} {\kern 1pt} 2(1{\mkern 1mu} {\kern 1pt} + {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\sin ^2}2x){\mkern 1mu} {\kern 1pt} = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \frac{9}{2} \end{array}\\ { \Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\kern 1pt} 2{{\cos }^2}2x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} + {\mkern 1mu} {\kern 1pt} 4\cos 2x - {\mkern 1mu} {\kern 1pt} 1{\mkern 1mu} {\kern 1pt} = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} 0} \end{array}$ ${ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\cos 2x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} 1{\mkern 1mu} {\kern 1pt} - {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \frac{{\sqrt 6 }}{2}}\\ {\cos 2x = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} 1{\mkern 1mu} {\kern 1pt} + {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \frac{{\sqrt 6 }}{2}{\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} (loai)} \end{array}} \right.{\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} }$ ${ \Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \cos 2x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} 1{\mkern 1mu} {\kern 1pt} - {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \frac{{\sqrt 6 }}{2}{\mkern 1mu} {\kern 1pt} = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \cos 2\alpha {\mkern 1mu} {\kern 1pt} }$ $ \Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\kern 1pt} 2x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \pm 2\alpha {\mkern 1mu} {\kern 1pt} + k2\pi {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} $ $ \Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \pm \alpha {\mkern 1mu} {\kern 1pt} + {\mkern 1mu} {\kern 1pt} k\pi {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} (k \in Z)$ ${ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}} {\cos 2x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} 1{\mkern 1mu} {\kern 1pt} - {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \frac{{\sqrt 6 }}{2}}\\ {\cos 2x = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} 1{\mkern 1mu} {\kern 1pt} + {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \frac{{\sqrt 6 }}{2}{\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} (loai)} \end{array}} \right.{\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} }$ ${ \Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \cos 2x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} 1{\mkern 1mu} {\kern 1pt} - {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \frac{{\sqrt 6 }}{2}{\mkern 1mu} {\kern 1pt} = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \cos 2\alpha }$ ${ \Leftrightarrow 2x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \pm 2\alpha {\mkern 1mu} {\kern 1pt} + k2\pi }$ ${ \Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\kern 1pt} x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \pm \alpha {\mkern 1mu} {\kern 1pt} + {\mkern 1mu} {\kern 1pt} k\pi {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} (k \in Z)}$ Vậy phương trình có một họ nghiệm. Ví dụ 3: Giải phương trình: $\,{\sin ^3}x\, + \,{\cos ^3}x\, + \,{\sin ^3}x.\cot \,x + \,{\cos ^3}x.\tan x\, = \,\sqrt {2\sin 2x} $ (2) GiảiTa có: (2) $ \Leftrightarrow \,\,\,{\sin ^3}x\, + \,{\cos ^3}x\, + \,{\sin ^2}x.\cos \,x + \,{\cos ^2}x.sinx\, = \,\sqrt {2\sin 2x} $ $\begin{array}{l}\,\, \Leftrightarrow \,\,\,{\sin ^2}x(\sin x\, + \,\cos x)\, + \,co{{\mathop{\rm s}\nolimits} ^2}x(\cos \,x + \,sinx)\, = \,\sqrt {2\sin 2x} \\\, \Leftrightarrow \,\,\,({\sin ^2}x + \,co{{\mathop{\rm s}\nolimits} ^2}x)(\sin x\, + \,\cos x)\,\, = \,\sqrt {2\sin 2x} \,\,\, \Leftrightarrow \,\,\sin x\, + \,\cos x\, = \,\,\sqrt {2\sin 2x} \,\,\,(3)\end{array}$ Điều kiện $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sin x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} + {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \cos x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} \ge 0}\\ {\sin 2x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} \ge 0} \end{array}} \right.{\mkern 1mu} {\kern 1pt} $ ${\kern 1pt} \Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sin x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} + {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \cos x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} \ge 0}\\ {\sin x.\cos x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \ge 0} \end{array}} \right.{\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} $ ${\mkern 1mu} \Leftrightarrow {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\sin x{\mkern 1mu} {\kern 1pt} \ge 0}\\ {{\mkern 1mu} {\kern 1pt} \cos x \ge 0} \end{array}} \right.{\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} (*)$ Bình phương hai vế của phương trình (3) ta có: ${(\sin x + \cos x)^2} = 2\sin 2x$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow 1 + 2\sin x\cos x = \sin 2x \Leftrightarrow 2\sin 2x \Leftrightarrow \sin 2x = 1\\2x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\,\,\,\,k \in Z\end{array}$ Các giá trị x = π/4 + kπ thỏa mãn điều kiện (*) khi và chỉ khi k = 2m Vậy phương trình đã cho có 1 họ nghiệm duy nhất. Ví Dụ 4: Giải phương trình: ${\sin ^7}x + {\cos ^5}x + \frac{1}{2}({\sin ^5}x + {\cos ^3}x)\sin 2x = \sin x + \cos x$ (4) GiảiTa có $(4) \Leftrightarrow {\sin ^7}x + {\cos ^5}x + ({\sin ^5}x + {\cos ^3}x)\sin x\cos x = \sin x + \cos x$ $\, \Leftrightarrow {\sin ^7}x + {\cos ^5}x + {\sin ^6}x\cos x + \sin x{\cos ^4}x = \sin x + \cos x$ $\begin{array}{l} \Leftrightarrow ({\sin ^7}x + {\sin ^6}x\cos x) + ({\cos ^5}x + \sin x{\cos ^4}x) = \sin x + \cos x\\ \Leftrightarrow {\sin ^6}x(\sin x + \cos x) + {\cos ^4}x(\sin x + \cos x) = \sin x + \cos x\\ (\sin x + \cos x)({\sin ^6}x + {\cos ^4}x - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x + \cos x = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(5)\\{\sin ^6}x + {\cos ^4}x = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,(6)\end{array} \right.\end{array}$ Ta có (5)↔tan(x) = - 1 ↔ x = π/4 + kπ với k ∈ Z Lại có: $\left\{ \begin{array}{l} {\cos ^6}x \le {\cos ^2}x\\{\sin ^4}x \le {\sin ^2}x\end{array} \right. \Rightarrow {\cos ^6}x + {\sin ^4}x \le {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1$ Dâú đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi sin(x) = 0 hoặc cos(x) = 0 Bởi thế (6) $ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 0\\\cos x = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{2}\,\,\,\,k \in Z$ Vậy phương trình có hai họ nghiệm Ví Dụ 5: Giải phương trình : $\frac{{{{\sin }^4}\frac{x}{2} + {{\cos }^4}\frac{x}{2}}}{{1 - \sin x}} - {\tan ^2}x\sin x = \frac{{1 + \sin x}}{2} + \tan x$ (7) GiảiĐiều kiện: cos(x) ≠ 0 Ta có: ${\sin ^4}\frac{x}{2} + {\cos ^4}\frac{x}{2} = {({\sin ^2}\frac{x}{2} + {\cos ^2}\frac{x}{2})^2} - 2{\sin ^2}\frac{x}{2}{\cos ^2}\frac{x}{2} = $ $\,\,\,\,\, = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}x = \frac{{1 + {{\cos }^2}x}}{2}$ $ \Rightarrow \frac{{{{\sin }^4}\frac{x}{2} + {{\cos }^4}\frac{x}{2}}}{{1 - \sin x}} = \frac{{1 + {{\cos }^2}x}}{{2(1 - \sin x)}}$. Thay vào (7) ta thu được $\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{1 + {{\cos }^2}x}}{{2(1 - \sin x)}} - {\tan ^2}x\sin x = \frac{{1 + \sin x}}{2} + {\tan ^2}x\\ \Leftrightarrow \frac{{1 + {{\cos }^2}x}}{{2(1 - \sin x)}} = \frac{{1 + \sin x}}{2} + (1 + \sin x){\tan ^2}x\end{array}$ ${ \Leftrightarrow \frac{{1 + {{\cos }^2}x}}{{2(1 - \sin x)}} = \frac{{(1 + \sin x)(1 + 2{{\tan }^2}x)}}{2}}$ ${ \Leftrightarrow \frac{{1 + {{\cos }^2}x}}{{2(1 - \sin x)}} = \frac{{(1 + \sin x)(1 - \sin x)(1 + 2{{\tan }^2}x)}}{{2(1 - \sin x)}}}$ $ \Leftrightarrow 1 + {\cos ^2}x = (1 + \sin x)(1 - \sin x)(1 + 2{\tan ^2}x)$ $ \Leftrightarrow 1 + {\cos ^2}x = (1 - {\sin ^2}x)(1 + 2{\tan ^2}x)$ $ \Leftrightarrow 1 + {\cos ^2}x = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\cos ^2}x(1 + 2{\tan ^2}x)$ $ \Leftrightarrow 1 + {\cos ^2}x = {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\cos ^2}x + 2{\sin ^2}x)$ $ \Leftrightarrow 1 = 2{\sin ^2}x$ $ \Leftrightarrow \cos 2x = 0$ $ \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{2} + k\pi $ $ \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}{\mkern 1mu} {\kern 1pt} {\mkern 1mu} \left( {{\kern 1pt} k \in Z} \right)$ Vậy phương trình có 1 họ nghiệm Ví Dụ 6: Giải phương trình: ${\tan ^3}2x + {\cot ^3}2x + \frac{6}{{\sin 2x}} = \frac{8}{{{{\sin }^3}4x}}$ (8) GiảiTa có: $\frac{8}{{{{\sin }^3}4x}} = \frac{8}{{{{(2\sin 2x\cos 2x)}^3}}} = \frac{1}{{{{(\sin 2x\cos 2x)}^3}}} = {(\tan 2x + \cot 2x)^3}$ $\begin{array}{l} = {\tan ^3}2x + {\cot ^3}2x + 3\tan 2x\cot 2x(\tan 2x + \cot 2x)\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {\tan ^3}2x + {\cot ^3}2x + \frac{3}{{\sin 2x}}\end{array}$ Do vậy (8) ↔$\,{\tan ^3}2x + {\cot ^3}2x + \frac{6}{{\sin 2x}} = {\tan ^3}2x + {\cot ^3}2x + \frac{3}{{\sin 2x}}$ $ \leftrightarrow \frac{3}{{\sin 2x}} = 0$ (vô nghiệm ). Vậy phương trình đã cho vô nghiệm Nhận xét: Việc sử dụng công thức hạ bậc tỏ ra rất hữu hiệu đối với có chứa các hạng tử bậc cao, khó giải .Vì vậy để có thể sử dụng tốt phương pháp này đòi hỏi học sinh cần nắm vững các công thức hạ bậc đã nêu ở trên, đồng thời phải sử dụng hằng đẳng thức một cách linh hoạt. Chỉnh sửa cuối: 22/10/25
You must log in or register to reply here. Share: Bluesky LinkedIn Reddit Pinterest Tumblr WhatsApp Email Share Link Trending content H Thread 'Cực đại và cực tiểu của hàm số' Trả lời: 179 V Thread 'Bài 2. CHUYỂN ĐỘNG THẲNG ĐỀU' Trả lời: 98 Latest posts Latest: Tăng Giáp 2/12/25 Sóng cơ Latest: Tăng Giáp 2/12/25 Sóng cơ Latest: Tăng Giáp 2/12/25 Bài 22: Sóng điện từ Latest: Tăng Giáp 2/12/25 Sóng cơ Latest: Tăng Giáp 2/12/25 Sóng cơ Latest: Tăng Giáp 2/12/25 Dao động cơ Latest: Tăng Giáp 2/12/25 Dao động cơ Latest: Tăng Giáp 25/11/25 Chương 1. Điện tích - Điện trường Latest: Tăng Giáp 25/11/25 Chương 1. Điện tích - Điện trường Latest: Tăng Giáp 22/11/25 Bài 01. Phương trình Members online No members online now.
Total: 333 (members: 0, guests: 333) Share this page Bluesky LinkedIn Reddit Pinterest Tumblr WhatsApp Email Share Link Home Forums Lớp 11 Toán học 11 Chủ đề 1. LƯỢNG GIÁC Bài 03. PP sử dụng công hạ bậc và nhân đôi Back Top
Thread 'Dạng toán 1. Xác định miền nghiệm của bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.' 
Thread 'SỐ PHỨC' 
Thread 'Bài tập trắc nghiệm hình chóp' 
Thread 'Các bước khảo sát hàm bậc nhất trên bậc nhất'