Tìm kiếm
Menu_cap3
- Toán 10
- Toán 11
- Đại số tổ hợp
- Hóa học 11
- Toán 12
- Vật lí 12
- Hóa học 12
- LTTN
- PP giải phương trình
menu_Chuyende
- PT lượng giác
- Bất đẳng thức
- Công thức lượng giác
- Dao động cơ học
- Đẳng thức cần nhớ
- Hình không gian
- Luyện thi tốt nghiệp
- Luyện thi đại học
Hiển thị mathType
Giải phương trình \[\sqrt {c{\rm{os}}2x} + \sqrt {1 + \sin 2x} = 2\sqrt {\cos x + \sin x} \]
Kiến thức cần biết:
- Cách giải phương trình dạng:
\[\sqrt A = B \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} B \ge 0 \\ A = {B^2} \\ \end{array} \right.\]
\[\sin 2x = 2\sin x.\cos x\] \[c{\rm{os}}2x = c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - {\sin ^2}x\] Kỹ năng:
- Kỹ năng đặt điều kiện có nghiệm của phương trình.
Mức độ khó: bài này tương đối khó với một số học sinh có kỹ năng yếu trong việc giải phương trình vô tỉ. Ta nhận thấy: \[c{\rm{os}}2x = c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x - {\sin ^2}x = \left( {\cos x - \sin x} \right).\left( {\cos x + \sin x} \right)\] Và điều kiện để: \[\sqrt {\cos x + \sin x} \] có nghĩa là: \[\cos x + \sin x \ge 0\] do đó, suy ra điều kiện để: \[\sqrt {c{\rm{os}}2x} \] có nghĩa là: \[\cos x - \sin x \ge 0\] Mặc khác: \[1 + \sin 2x = {\sin ^2}x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x + 2\sin x.\cos x = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^2}\] do đó: \[\sqrt {1 + \sin 2x} \] luôn luôn có nghĩa cho nên ta không cần đặt điều kiện cho nó. Tổng hợp lại, điều kiện để phương trình có nghiệm là: \[\begin{array}{l} \left\{ \begin{array}{l} \cos x + \sin x \ge 0 \\ \cos x - \sin x \ge 0 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \ge 0 \\ \sqrt 2 c{\rm{os}}\left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) \ge 0 \\ \end{array} \right. \\ \Leftrightarrow k2\pi \le x + \frac{\pi }{4} \le \frac{\pi }{2} + k2\pi ;k \in Z \\ \Leftrightarrow - \frac{\pi }{4} + k2\pi \le x \le \frac{\pi }{4} + k2\pi ;k \in Z \\ \end{array}\] Phương trình ban đầu được viết lại: \[\sqrt {\left( {\cos x - \sin x} \right).\left( {\cos x + \sin x} \right)} + \sqrt {{{\left( {\sin x + \cos x} \right)}^2}} - 2\sqrt {\sin x + \cos x} = 0\] Đặt nhân tử chung \[\begin{array}{l} \sqrt {\sin x + \cos x} \left( {\sqrt {\left( {\cos x - \sin x} \right)} + \sqrt {\sin x + \cos x} - 2} \right) = 0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \sqrt {\sin x + \cos x} = 0 \\ \sqrt {\left( {\cos x - \sin x} \right)} + \sqrt {\sin x + \cos x} - 2 = 0 \\ \end{array} \right. \\ \end{array}\] Với phương trình: \[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \sin x + \cos x = 0 \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 0 \\ \Leftrightarrow x + \frac{\pi }{4} = k\pi ;k \in Z \\ \Leftrightarrow x = - \frac{\pi }{4} + k\pi ;k \in Z \\ \end{array}\] Với phương trình: \[\sqrt {\left( {\cos x - \sin x} \right)} + \sqrt {\sin x + \cos x} - 2 = 0\] \[ \Leftrightarrow \sqrt {\left( {\cos x - \sin x} \right)} + \sqrt {\sin x + \cos x} = 2\] Bình phương 2 vế: \[\begin{array}{l} \cos x - \sin x + 2\sqrt {\left( {\cos x - \sin x} \right).\left( {\sin x + \cos x} \right)} + \sin x + \cos x = 4 \\ \Leftrightarrow 2\cos x + 2\sqrt {c{\rm{os}}2x} = 4 \\ \Leftrightarrow \sqrt {c{\rm{os}}2x} = 2 - \cos x \\ \end{array}\] do \[2 - \cos x \ge 0;\forall x \in R\] nên: \[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 1 = 4 - 4\cos x + c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x \\ \Leftrightarrow c{\rm{o}}{{\rm{s}}^2}x + 4\cos x - 5 = 0 \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} \cos x = 1 \\ \cos x = - 5 \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow x = m2\pi ;m \in Z \\ \end{array}\] Kết hợp điều kiện, vậy phương trình có hai nghiệm: \[\left[ \begin{array}{l} x = - \frac{\pi }{4} + k2\pi ;k \in Z \\ x = m2\pi ;m \in Z \\ \end{array} \right.\]
Gửi email bài đăng nàyBlogThis!Chia sẻ lên XChia sẻ lên FacebookChia sẻ lên Pinterest Không có nhận xét nào:
Cám ơn bạn đã góp ý cho Gia sư Khánh Hòa. Chúc bạn sức khỏe và thành công.
Trang chủ
Công ty TNHH HOPMUC.COM
Quán cf Nha Trang
