Giải SBT Toán 8 Bài 2: Diện Tích Hình Chữ Nhật

Diện tích hình chữ nhật mới là: 90100a.90100b

Diện tích hình chữ nhật ban đầu là: a.b

Phần diện tích bị giảm đi là : ab−90100a.90100b =ab −81100ab =19100ab

Vậy diện tích của hình giảm đi 19% so với diện tích hình ban đầu.

Bài 15 Trang 157 SBT Toán 8 Tập 1 Diện tích hình chữ nhật bằng 48 cm2, một cạnh của nó có độ dài 8cm. Đường thẳng song song với một trong các cạnh của hình chữ nhật chia hình chữ nhật đó thành hai hình chữ nhật bằng nhau. Tính chu vi của mỗi hình chữ nhật được tạo thành.

Phương pháp giải:

Gợi ý: Để chia hình chữ nhật thành hai hình chữ nhật bằng nhau ta kẻ đường thẳng song song với một trong các cạnh của hình chữ nhật tại trung điểm của cạnh còn lại.

Lời giải:

Diện tích hình chữ nhật 48 cm2, một cạnh có độ dài bằng 8cm, độ dài cạnh kia :

48:8=6 (cm)

Có hai cách vẽ đường thẳng song song với một trong các cạnh của hình chữ nhật để chia hình chữ nhật đó thành hai hình chữ nhật bằng nhau.

Cách 1:

Chia hình chữ nhật bởi trung điểm của chiều dài thì ta có hai hình chữ nhật bằng nhau có kích thước là 4cm và 6cm.

Chu vi mỗi hình là: (4+6).2=20 (cm)

Cách 2:

Chia hình chữ nhật bởi trung điểm của chiều rộng thì ta có hai hình chữ nhật bằng nhau có kích thước là 8cm và 3cm.

Chu vi mỗi hình là: (8+3).2=22(cm).

Bài 16 Trang 157 SBT Toán 8 Tập 1 Tính các cạnh của một hình chữ nhật, biết rằng bình phương của độ dài một cạnh là 16 (cm) và diện tích của hình chữ nhật là 28 cm2.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật: S=ab với a,b lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.

Lời giải:

Gọi độ dài hai cạnh của hình chữ nhật là a và b (a>0,b>0).

Theo bài ra, giả sử ta có :

a2=16 và ab=28

a2=16 nên a=4(cm) (vì a>0)

Suy ra b=28:a=28:4=7 (cm)

Vậy hai kích thước là 4cm và 7cm.

Bài 17 Trang 157 SBT Toán 8 Tập 1 Tính các cạnh của một hình chữ nhật, biết tỉ số các cạnh là 49 và diện tích của nó là 144.

Phương pháp giải:

Áp dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật: S=ab với a,b lần lượt là chiều dài và chiều rộng của hình chữ nhật.

Lời giải:

Gọi độ dài hai cạnh hình chữ nhật là a và b (0<a<b).

Theo bài ra ta có: ab =49 và ab=144

Vì ab =49 nên a=49b

Thay a=49b vào ab=144, ta có:

49b.b=144 hay b2=144:49=144.94=324=182

⇒b=18 (cm) ⇒a=49.18=8 (cm)

Vậy hai kích thước là 8cm và 18cm.

Bài 18 Trang 157 SBT Toán 8 Tập 1 Cho tam giác vuông cân, biết độ dài cạnh huyền là l. Tính diện tích tam giác đó.

Phương pháp giải:

Áp dụng định lý Pi-ta-go vào tam giác vuông có cạnh huyền là c và hai cạnh góc vuông a, b, ta có: a2+b2=c2

Công thức tính diện tích tam giác vuông có 2 cạnh góc vuông a, b là: S=12ab

Lời giải:

Gọi độ dài cạnh góc vuông của tam giác vuông cân là a (0<a<l )

Theo định lý Pi-ta-go vào tam giác vuông, ta có: a2+a2=l2

⇒2a2=l2⇒a2=l22S=12a.a=12.a2=12.l22=14l2

Vậy diện tích tam giác là S=14l2

Bài 19 Trang 158 SBT Toán 8 Tập 1 Tính diện tích các hình trên hình 182 (mỗi ô vuông là một đơn vị diện tích ).

Hãy giải thích vì sao được tính như vậy.

Phương pháp giải:

Cắt ghép hình sao cho hợp lí để thành hình chữ nhật

Áp dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật: S=ab

Lời giải:

Hình A cắt rời thành hai tam giác ghép lại được một hình chữ nhật có một cạnh 3 ô vuông và một cạnh 2 ô vuông nên có diện tích 6 ô vuông (6 đơn vị diện tích)

Hình B là một hình thang cân, cắt theo đường cao kẻ từ một đỉnh của đáy nhỏ ghép lại ta được một hình chữ nhật có cạnh 3 ô vuông và một cạnh 2 ô vuông nên diện tích bằng 6 ô vuông (6 đơn vị diện tích)

Hình C là hình thang vuông, cắt phần nhọn ghép lên ta được một hình chữ nhật có một cạnh là 3 ô vuông và một cạnh 2 ô vuông nên diện tích bằng 6 ô vuông (6 đơn vị diện tích)

Hình D ta lấy diện tích hình vuông có cạnh 5 ô vuông trừ đi phần khuyết của 4 góc mỗi góc là một nửa ô vuông ta có diện tích là: 5.5–4.12=25–2=23 ô vuông (23 đơn vị diện tích).

Bài 20 Trang 158 SBT Toán 8 Tập 1 Trên giấy kẻ ô vuông, hãy vẽ:

a) Hai hình chữ nhật có cùng chu vi nhưng khác diện tích.

b) Hai hình chữ nhật có kích thước khác nhau nhưng cùng diện tích.

Phương pháp giải:

Công thức tính chu vi hình chữ nhật: C=(a+b).2

Công thức tính diện tích hình chữ nhật: S=ab

(với a, b là các kích thước của hình chữ nhật)

Lời giải:

Ta có hình vẽ dưới đây:

* Hình a:

Chu vi mỗi hình lần lượt là (2+3).2=10 và (1+4).2=10 (đơn vị độ dài)

Diện tích hai hình lần lượt là: 3.2=6 và 4.1=4 ( đơn vị diện tích).

* Hình b:

Chu vi mỗi hình lần lượt là: (6+1).2=14 và (3+2).2=10 ( đơn vị độ dài).

Diện tích hai hình bằng nhau và bằng: 6.1=3.2=6 ( đơn vị diện tích).

Bài 21 Trang 158 SBT Toán 8 Tập 1

Cho hình bình hành ABCD(h.183).Từ Avà Ckẻ AHvà CKvuông góc với đường chéoBD. Chứng minh rằng hai tam giác ABCH và ADCK có cùng diện tích

Phương pháp giải:

Chứng minh các tam giác bằng nhau để có:

SABC=SCDA

SAHC=SCKA

Suy ra: SABC+SAHC=SCDA+SCKA

Hay SABCH=SADCK

Lời giải:

Xét ∆ABC và ∆CDA có:

AC chung

AB=CD (Vì ABCD là hình bình hành)

BC=DA (Vì ABCD là hình bình hành)

Suy ra ∆ABC=∆CDA(c.c.c)

⇒SABC=SCDA (1)

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC và BD.

ABCD là hình bình hành nên OA=OC (tính chất hình bình hành)

Xét hai tam giác vuông AOH và CKO có:

OA=OC (cmt)

AOH^=COK^ (đối đỉnh)

⇒ΔAOH=ΔCOK (cạnh huyền-góc nhọn)

⇒AH=CK (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác: AH,CK cùng vuông góc với BD nên AH//CK

Tứ giác AHCK có AH=CK (cmt) và AH//CK (cmt) nên AHCK là hình bình hành.

Do đó: AK=CH (tính chất hình bình hành)

Xét ∆AHC và ∆CKA có:

AC chung

CH=AK (cmt)

AH=CK (cmt)

⇒ ∆AHC=∆CKA(c.c.c)

⇒SAHC=SCKA (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

SABC+SAHC=SCDA+SCKA

Hay SABCH=SADCK

Bài 22 Trang 158 SBT Toán 8 Tập 1 Cho hình bình hành ABCD (h.184). Đường phân giác của các góc A và C cắt đường chéo BD tại E,F.

a) Chứng minh rằng hai hình ABCFE và ADCFE có cùng diện tích.

b) Các hình đó có phải đa giác lồi không? Vì sao?

Phương pháp giải:

a) Chứng minh SABE=SCDF

SAED=SCFB

Từ đó suy ra: SABCFE=SADCFE

b) Định nghĩa: Đa giác lồi là đa giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của đa giác đó.

Lời giải:

Vì ABCD là hình bình hành nên A^=C^, mà AE,CF lần lượt là phân giác góc A và góc C nên BAE^=DAE^=BAD^2 và DCF^=BCF^=DCB^2

Suy ra BAE^=DAE^=DCF^=BCF^

Xét ∆ABE và ∆CDF có:

BAE^=DCF^ (chứng minh trên)

AB=CD (vì ABCD là hình bình hành)

ABE^=FDC^ (hai góc ở vị trí so le trong)

⇒∆ABE=∆CDF(g.c.g)

⇒SABE=SCDF (1)

Xét ∆AED và ∆CFB có:

DAE^=BCF^ (chứng minh trên)

AD=CB (vì ABCD là hình bình hành)

ADE^=FBC^ (hai góc ở vị trí so le trong)

⇒∆AED=∆CFB(g.c.g)

⇒SAED=SCFB (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

SABE+SCFB=SCDF+SAED

Hay SABCFE=SADCFE

b. Hình ABCFE không phải đa giác lồi vì nó nằm trên hai nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa cạnh EF.

Hình ADCFE không phải là đa giác lồi vì nó nằm trên hai nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa cạnh EF.

Bài 23 Trang 158 SBT Toán 8 Tập 1 Trên hình 185, các tứ giác ABCD và EFCH đều là hình bình hành. Điểm E nằm trên đường chéo AC.

a) Chứng minh rằng đa giác AEHD và hình ABCFE có cùng diện tích.

b) ABCFE có phải là đa giác lồi không? Vì sao?

Phương pháp giải:

a) SABC=SCDA

SEFC=SCHE

SABC−SEFC=SCDA−SCHE

Hay SABCFE=SAEHD

b) Định nghĩa: Đa giác lồi là đa giác luôn nằm trong một nửa mặt phẳng mà bờ là đường thẳng chứa bất kì cạnh nào của đa giác đó.

Lời giải:

a) Xét ∆ABC và ∆CDA có:

AB=CD ( vì ABCD là hình bình hành)

BC=AD ( vì ABCD là hình bình hành)

AC chung

⇒∆ABC=∆CDA(c.c.c)

⇒SABC=SCDA (1)

Xét ∆EFC và ∆CHE có:

EF=HC (vì EFCH là hình bình hành)

FC=EH (vì EFCH là hình bình hành)

EC chung

⇒∆EFC=∆CHE(c.c.c)

⇒SEFC=SCHE (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

SABC−SEFC=SCDA−SCHE

Hay SABCFE=SAEHD

b) Hình ABCFE không phải đa giác lồi vì nó nằm trên hai nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng chứa cạnh CF.

Bài 24 Trang 159 SBT Toán 8 Tập 1 Cho một tam giác vuông cân. Chứng minh rằng tổng diện tích của hai hình vuông dựng trên hai cạnh góc vuông bằng diện tích của hình vuông dựng trên cạnh huyền (không sử dụng định lý Py-ta-go)

Phương pháp giải:

Chia các hình vuông thành các tam giác vuông cân rồi lập luận.

Lời giải:

Gọi S là diện tích của tam giác ABC

Hình vuông có cạnh AB được chia thành hai tam giác vuông cân bằng ∆ABC nên diện tích hình vuông cạnh AB bằng 2S

Hình vuông có cạnh AC được chia thành hai tam giác vuông cân bằng ∆ABC nên có diện tích bằng 2S

Hình vuông BC được chia thành 4 hình tam giác vuông cân bằng ∆ABC nên có diện tích bằng 4S

Vì 4S=2S+2S nên diện tích hình vuông dựng trên cạnh huyền bằng tổng diện tích hai hình vuông dựng trên hai cạnh góc vuông.

Bài 2.1 Trang 159 SBT Toán 8 Tập 1 a) Nền của một phòng học có dạng hình chữ nhật, với chiều rộng đo được là 4m và chiều dài là 6m. Để có thể lát kín nền đó cần bao nhiêu viên gạch có hình vuông, với cạnh là 33,33cm?

b) Cần bao nhiêu viên gạch có hình vuông, với cạnh là 25cm để có thể lát kín một mảnh sân có dạng như hình bs.23 (biết AB=6cm, BC=8m, CD=8m, DE=3m, EF=6m, FG=3m, GH=4m và góc tại các đỉnh A,B,C,D,E,F,G,H đều là góc vuông)?

Phương pháp giải:

Số viên gạch lát kín nền nhà bằng diện tích của nền nhà chia diện tích một viên gạch.

Lời giải:

a) Đổi đơn vị: 33,33cm=0,3333m

Diện tích nền phòng học là: 4.6=24 (m2)

Diện tích một viên gạch hình vuông với cạnh là 0,3333(m) là: (0,3333)2 (m2)

Khi đó, số viện gạch cần dùng để lát kín nền nhà đó là: 24:(0,3333)2 ≈216 (viên)

b)

Nhìn hình trên, diện tích của mảnh sân đó là:

2.6+3.2+8.3=12+6+24=42 (m2)

Với gạch lát có hình vuông mà cạnh là 25cm=0,25m thì diện tích viên gạch là: 0,252=0,0625m2

Như vậy, cần 42:0,0625=672 viên gạch để lát kín mảnh sân đó.

Bài 2.2 Trang 159 SBT Toán 8 Tập 1 a) Dùng diện tích để chứng tỏ : (a+b)2=a2+2ab+b2

b) Dùng diện tích để chứng tỏ : (a−b)2=a2−2ab+b2với điều kiện b<a

Phương pháp giải:

Dựng hình vuông rồi lấy các điểm và đặt độ dài sao cho phù hợp.

Sau đó áp dụng công thức tính diện tích hình chữ nhật : S=ab

Lời giải:

a) Dựng hình vuông ABCD có cạnh bằng (a+b)

Trên cạnh AB dựng điểm E sao cho AE=a,EB=b, trên cạnh BC dựng điểm H sao cho BH=b,HC=a, trên cạnh CD dựng điểm G sao cho CG=b,GD=a, trên cạnh DA dựng điểm K sao cho DK=a,KA=b, GE cắt KH tại F.

Ta có : diện tích hình vuông ABCD bằng (a+b)2

Diện tích hình vuông DKFG bằng a2

Diện tích hình chữ nhật AKFE bằng a.b

Diện tích hình vuông EBHF bằng b2

Diện tích hình chữ nhật HCGF bằng a.b

SABCD=SDKFG+SAKFE +SEBHF +SHCGF

Vậy ta có : (a+b)2=a2+2ab+b2

b) Dựng hình vuông ABCD có cạnh bằng a

Trên cạnh AB lấy điểm E sao cho BE=b

Từ E dựng đường thẳng song song BC cắt CD tại G

Ta có: CG=b, CE=(a–b), GD=(a–b)

Trên cạnh AD lấy điểm K sao cho AK=b

Từ K kẻ đường thẳng song song với AB cắt BC tại H và cắt EG tại F

Ta có: KD=(a–b), BH=b

Hình vuông ABCD có diện tích bằng a2

Hình vuông DKFG có diện tích bằng (a−b)2

Hình chữ nhật AEFK có diện tích bằng (a–b).b

Hình vuông EBHF có diện tích bằng b2

Hình chữ nhật HCGF có diện tích bằng (a–b).b

SABCD=SDKFG+SAEFK +SEBHF+SHCGF

nên (a−b)2+(a−b)b +(a−b)b+b2=a2

⇔(a−b)2+ab−b2+ab−b2+b2=a2⇔(a−b)2+2ab−b2=a2⇔(a−b)2=a2−2ab+b2

Vậy (a−b)2=a2−2ab+b2

Bài 2.3 Trang 159 SBT Toán 8 Tập 1 Đố vui

a) Có thể dùng kéo cắt một lần và chỉ cắt theo đường thẳng, chia một hình chữ nhật thành hai mảnh để ghép lại được một tam giác vuông hay không ?

b) Có thể dùng kéo cắt hai lần và chỉ cắt theo đường thằng, chai một hình chữ nhật thành ba mảnh để ghép lại được một tam giác thường hay không ?

Phương pháp giải:

Dùng kéo để cắt cho phù hợp.

Lời giải:

a) Ta có thể cắt và ghép theo chỉ dẫn ở hình sau:

b) Ta có thể cắt và ghép theo chỉ dẫn ở hình sau: