Giải Thích Về Thuật Toán Tính Ma Trận Nghịch đảo

Có thể bạn quan tâm

Trong giáo trình đại số tuyến tính có nêu thuật toán tính ma trận nghịch đảo bằng cách là viết ma trận đơn vị ở bên cạnh ma trận cần tính nghịch đảo, sau đó sử dụng các phép biến đổi hàng áp dụng cùng lúc cho cả hai ma trận này, sao cho ma trận cần tính nghịch đảo chuyển về ma trận đơn vị, thì ma trận đơn vị chuyển về ma trận nghịch đảo mong muốn. Cơ sở của phương pháp là gì?

Nó xuất phát từ nhận xét đơn giản sau: Nhân bên trái là biến đổi hàng, còn nhân bên phải là biến đổi cột.

Ví dụ: Cho $A= [A_1|A_2 |\ldots |A_n]$ là một ma trận, trong đó $A_i$ là các cột của ma trận $A.$ Khi đó, nếu $\begin{bmatrix}x_1\\x_2\\ \ldots\\x_n\end{bmatrix}$ là một ma trận cột, thì $[A_1|A_2 |\ldots |A_n]\cdot \begin{bmatrix}x_1\\x_2\\ \vdots\\x_n\end{bmatrix}= x_1A_1 +\ldots +x_nA_n.$

Tương tự, nếu $A = \begin{bmatrix}A_1\\A_2\\ \vdots\\A_n\end{bmatrix}$ là ma trận với $A_i$ là các dòng, ta có $[x_1 x_2 \ldots x_n]\cdot \begin{bmatrix}A_1\\A_2\\ \vdots\\A_n\end{bmatrix} = x_1A_1 +\ldots +x_nA_n.$

Như vậy các phép biến đổi hàng chính là phép nhân vào phía bên trái của ma trận đã cho một ma trận thích hợp. Khi biến đổi hàng liên tục để ma trận cần tính nghịch đảo trở thành ma trận đơn vị, tức là ta nhân liên tiếp vào phía bên trái ma trận đó một số ma trận để trở thành ma trận đơn vị. Tóm lại, ta đã nhân vào phía bên trái ma trận đã cho ma trận nghịc đảo của nó, và vì thế ma trận đơn vị trở thành ma trận nghịch đảo.

Khi hiểu điều này, thì ta có thể mở rộng vấn đề ra một chút: nếu viết hai ma trận $A$ và $B$ cạnh nhau, trong đó $B$ là ma trận khả nghịch, và biến đổi dòng sao cho $B$ thành ma trận đơn vị, thì $A$ thành ma trận $B^{-1}A.$