Giai Thừa (!) Trong Toán Học Và Thống Kê Là Gì?

Trong toán học, các ký hiệu có ý nghĩa nhất định trong ngôn ngữ tiếng Anh có thể có nghĩa là những thứ rất chuyên biệt và khác biệt. Ví dụ, hãy xem xét biểu thức sau:

3!

Không, chúng tôi không sử dụng dấu chấm than để thể hiện rằng chúng tôi rất hào hứng với ba và chúng tôi không nên nhấn mạnh câu cuối cùng. Trong toán học, biểu thức 3! được đọc là "ba giai thừa" và thực sự là một cách viết tắt để biểu thị phép nhân của một số số nguyên liên tiếp.

Vì có nhiều chỗ trong toán học và thống kê mà chúng ta cần nhân các số với nhau, giai thừa khá hữu ích. Một số nơi chính mà nó hiển thị là tổ hợp và tính xác suất .

Sự định nghĩa

Định nghĩa của giai thừa là đối với bất kỳ số nguyên dương n nào , giai thừa:

n ! = nx (n -1) x (n - 2) x. . . x 2 x 1

Ví dụ về giá trị nhỏ

Trước tiên, chúng ta sẽ xem xét một vài ví dụ về giai thừa với các giá trị nhỏ của n :

• 1! = 1
• 2! = 2 x 1 = 2
• 3! = 3 x 2 x 1 = 6
• 4! = 4 x 3 x 2 x 1 = 24
• 5! = 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120
• 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720
• 7! = 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 5040
• số 8! = 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 40320
• 9! = 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 362880
• 10! = 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 3628800

Như chúng ta có thể thấy giai thừa trở nên rất lớn rất nhanh chóng. Một cái gì đó có vẻ nhỏ, chẳng hạn như 20! thực sự có 19 chữ số.

Nguyên tố rất dễ tính toán, nhưng chúng có thể hơi tẻ nhạt khi tính toán. May mắn thay, nhiều máy tính có khóa giai thừa (hãy tìm ký hiệu!). Chức năng này của máy tính sẽ tự động hóa các phép nhân.

Một trường hợp đặc biệt

Một giá trị khác của giai thừa và một giá trị mà định nghĩa tiêu chuẩn ở trên không giữ là giá trị của giai thừa bằng không . Nếu chúng ta làm theo công thức, thì chúng ta sẽ không đạt đến bất kỳ giá trị nào cho 0 !. Không có số nguyên dương nào nhỏ hơn 0. Vì một số lý do, việc xác định 0 là phù hợp! = 1. Giai thừa cho giá trị này đặc biệt xuất hiện trong các công thức về tổ hợp và hoán vị .

Tính toán nâng cao hơn

Khi xử lý các phép tính, điều quan trọng là phải suy nghĩ trước khi chúng ta nhấn phím giai thừa trên máy tính của mình. Để tính toán một biểu thức chẳng hạn như 100! / 98! có một số cách khác nhau để giải quyết vấn đề này.

Một cách là sử dụng máy tính để tìm cả 100! và 98 !, sau đó chia cái này cho cái kia. Mặc dù đây là một cách trực tiếp để tính toán, nó có một số khó khăn đi kèm với nó. Một số máy tính không thể xử lý các biểu thức lớn đến 100! = 9.33262154 x 10 157 . (Biểu thức 10 157 là một ký hiệu khoa học có nghĩa là chúng ta nhân với 1 theo sau 157 số không.) Con số này không chỉ lớn mà còn chỉ là ước tính cho giá trị thực của 100!

Một cách khác để đơn giản hóa một biểu thức với các giai thừa như cách được thấy ở đây không yêu cầu máy tính. Cách tiếp cận vấn đề này là nhận ra rằng chúng ta có thể viết lại 100! không phải là 100 x 99 x 98 x 97 x. . . x 2 x 1, nhưng thay vào đó là 100 x 99 x 98! Biểu thức 100! / 98! bây giờ trở thành (100 x 99 x 98!) / 98! = 100 x 99 = 9900.