[Giải Tích II] Hàm Véc-tơ - {Epsilon + Bit}'s Blog

Trang chủ » Toán Vectơ Giải Tích » [Giải Tích II] Hàm Véc-tơ - {Epsilon + Bit}'s Blog

Có thể bạn quan tâm

I. Định nghĩa

Cho I \in \mathbb{R} là một khoảng

Ánh xạ r: I \rightarrow \mathbb{R}^n

t \rightarrow \overrightarrow{r(t)} = (x_1(t), x_2(t), ... , x_n(t)) được gọi là hàm vecto

Đặc biệt với n =3 và gọi các vecto đơn vị trên Ox, Oy, Oz lần lượt là \overrightarrow{i}, \overrightarrow{j}, \overrightarrow{k} thì ta có

\overrightarrow{r(t)} = x(t)\overrightarrow{i} + y(t)\overrightarrow{j} + z(t)\overrightarrow{k}

Tập hợp các điểm M sao cho \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{r(t)} tạo thành một đường cong L trong không gian gọi là tốc độ của hàm \overrightarrow{r(t)} . Khi đó, L có dạng tham số: \left\{ \begin{matrix} x = x(t) \\ y=y(t) \\ z=z(t)  \end{matrix} \right.

II. Giới hạn

\overrightarrow{r(t)} gọi là có giới hạn là \overrightarrow{a} khi t \rightarrow t_0 kí hiệu \lim_{t\rightarrow t_0} \overrightarrow{r(t)} = \overrightarrow{a} . Nếu với mọi \epsilon >0 , tồn tại \delta >0 ; mọi t : |t-t_0| < \delta thì |\overrightarrow{r(t)} - \overrightarrow{a} | < \epsilon .

\overrightarrow{r(t)} gọi là liên tục tại t = t_0 nếu \lim_{t\rightarrow t_0} \overrightarrow{r(t)} = \overrightarrow{r(t_0)}

III. Đạo hàm

Giới hạn nếu có của \lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{\Delta \overrightarrow {r}}{h} = \lim_{h\rightarrow 0} \dfrac{\overrightarrow{r(t_0+h)}-\overrightarrow{r(t_0)}}{h} được gọi là đạo hàm của hàm vecto \overrightarrow{r(t)} tại t_0 , kí hiệu \overrightarrow{r'(t_0)} hay \dfrac{d\overrightarrow{r(t_0)}}{dt}

Nhận xét, nếu x(t), y(t), z(t) khả vi tại t_0 thì \overrightarrow{r(t)} cũng khả vi tại t_0 và \overrightarrow{r'(t_0)}=x'(t_0)\overrightarrow{i} +y'(t_0)\overrightarrow{j}+z'(t_0)\overrightarrow{k} .

Tài liệu tham khảo chi tiết hơn có thể tải về tại đây

Các bạn có thể dễ hình dung nhất là coi đây là một vecto có các thông số phụ thuộc vào một tham số t.

Khi đó, hàm vecto còn có các tính chất cơ bản của một vecto thông thường như Tích vô hướng, Độ dài, Tích có hướng.

BÀI TẬP

Giả sử \overrightarrow{p(t)}, \overrightarrow{q(t)}, \alpha(t) là các hàm khả vi. Chứng minh rằng:

1. \qquad \dfrac{d}{dt}(\overrightarrow{p(t)}+\overrightarrow{q(t)})=\dfrac{d\overrightarrow{p(t)}}{dt}+\dfrac{d\overrightarrow{q(t)}}{dt} \\ 2. \qquad \dfrac{d}{dt}(\alpha(t)\overrightarrow{p(t)})=\alpha(t)\dfrac{d\overrightarrow{p(t)}}{dt}+\alpha'(t)\overrightarrow{p(t)} \\ 3. \qquad \dfrac{d}{dt}(\overrightarrow{p(t)}.\overrightarrow{q(t)})=\overrightarrow{p(t)}\dfrac{d\overrightarrow{q(t)}}{dt}+\dfrac{d\overrightarrow{p(t)}}{dt}\overrightarrow{q(t)} \\ 4. \qquad \dfrac{d}{dt}(\overrightarrow{p(t)}\wedge \overrightarrow{q(t)})=\overrightarrow{p(t)}\wedge \dfrac{d\overrightarrow{q(t)}}{dt}+\dfrac{d\overrightarrow{p(t)}}{dt}\wedge \overrightarrow{q(t)}

hoan.ph

Share this:

  • X
  • Facebook
Like Loading...

Related

Từ khóa » Toán Vectơ Giải Tích