Giải Tích Vectơ Giáo Trình Lí Thuyết Và Bài Tập Có Hướng Dẫn - 123doc

Bạn đọc sẽ được hướng dẫn chứng minh sự độc lập của các khái niệm này đối với hệ toạ độ trong các bài tập.Với các kiến thức về hàm vectơ, đường tham sô", mặt tham số và trường vectơ được

N G U Y Ề N X U Â N LIÊM

(GIÁO TRÌNH LÍ THUYẾT

VÀ BÀI TẬP CÓ HƯỚNG DAN)

(Tái bản lân thứnhất)

à i n ả i đ ẩ M s

Giải tích vectơ là phần tiếp theo của Giải tích tập 1 và Giải tích tập 2 của cùng tác giả Nội dung chủ yếu của cuốn sách, như tên gọi của nó là giải tích vectơ, bao gồm tnCờng vectơy tích phân đường và tích phân mặt (theo cách hiểu thông thường) Sách cũng đề cập đến phép tính vi phân của hàm vectơ nhiều biến

số và các dạng vi phân. Một vài giáo trình giải tích nước ngoài gọi đó là phần nghiên cứu nâng cao Sách gồm bảy chương :

Chương I. HÀM VECTƠ, ĐƯỜNG THAM s ố VÀ MẬT THAM s ố

Chương này giới thiệu một cách đơn giản song có hệ thống lí thuyết đường tham sô" và mặt tham sô" Chúng tôi cô" gắng trình bày vấn đề một cách trực quan và sử dụng các kí hiệu hợp lí, dễ nhớ nhằm tạo điều kiện thuận lợi cho bạn đọc trong việc nghiên cứu hai chương tích phân đường và tích phân mặt Một sô" ứng dụng vật lí của lí thuyết đường tham số cũng đã được đề cập đến trong chương này Đó là những ứng dụng hay và lí thú Ta chưa nghiên cứu nhiều và sâu về đường tham sô' song bạn đọc có thể thây với một lí thuyết đơn giản và ngắn gọn về đường tham sô', ta đã có một công cụ hữu hiệu để đi tìm những ứng dụng có ý nghĩa Bạn đọc nên dành thời gian đọc những ứng dụng này, qua đó bạn sẽ hiểu các vấn đề đã học một cách sâu sắc hơn và bồi dưỡng cho mình thêm một bước kĩ năng sử dụng các phép tính đạo hàm và nguy ố n hàm của hàm vectơ.

Chương II. TRƯỜNG VECTƠ

Trường vectơ là trường hợp đặc biệt của hàm vectơ và là hàm vectơ quan trọng Vì lẽ đó, giáo trình này đã dành một chương chỉ để nói về trường vectơ Bạn đọc cần nắm được khái niệm trường vectơ và làm quen với một số trường vectơ hay gặp như trường vận tốc, trường hấp dẫn, điện trường, Từ các trường

vô hướng và trường vectơ cho trước, người ta xây dựng được các trường vectơ građian (gradient), rôta (rotationnel) và trường vô hướng đivecgiăng (divergence) Đó là các trường vectơ và trường vô hướng quan trọng được nhắc nhiều và được sử dụng rộng rãi trong các chương tiếp theo.

3

Dễ nghĩ rằng các khái niệm građian, rôta và đivecgiăng phụ thuộc vào hệ toạ độ được chọn Tuy nhiên không phải như vậy Bạn đọc sẽ được hướng dẫn chứng minh sự độc lập của các khái niệm này đối với hệ toạ độ trong các bài tập.

Với các kiến thức về hàm vectơ, đường tham sô", mặt tham số và trường vectơ được trang bị trong hai chương I và II, việc nghiên cứu hai chương tiếp theo Tích phân đường và Tích phân mặt của bạn đọc sẽ thuận tiện và dễ dàng hơn nhiều.

Chương III. TÍCH PH Ả N ĐƯỜNG

Chương này giới thiệu hai loại tích phân đường : Tích phân đường của một hàm sô" (trường vô hướng) và tích phân đường của một trường vectơ Trong nhiều giáo trình giải tích, người ta gọi đó là tích phân đường loại 1 và tích phân đường loại 2.

Trong định nghĩa, tích phân đường của một hàm số và tích phân đường của một trường vectơ đều được đưa về tích phân một lớp nhờ những công thức đơn giản, dễ nhớ và tiện dụng trong thực hành.

Trong nhiều giáo trình giải tích, sau định lí Grin (Green), người ta thường giới thiệu định lí về bổn mệnh đề tương đương đối với một trường vectơ trên một miền đơn liên trong R 2.

Trong giáo trình này, cách trình bày vấn đề có hơi khác.

• Đầu tiên, ta giới thiệu định lí cơ bản của tích phân đường (định lí 6.1) Đây

là sự mở rộng của định lí Niutơn^Laibnít (Newton-Leibniz) trong tích phân một lớp.

• Tiếp theo là “định lí về ba mệnh đề tương đương” (định lí 7.2) đối với một trường vectơ trên một miền (tức là tập hợp mở đơn liên) trong R ?’ hoặc R 2.

• Cuối cùng, áp dụng công thức Grin, ta xây dựng được điều kiện để một trường vectơ trên một miền đơn liên trong R 2 là một trường thế.

Từ đó dễ dàng suy ra định lí về bốn mệnh đề tương đương đối với một trường vectơ hai chiều.

• Trong chương IV, áp đụng công thức Xtốc (Stokes), ta xây dựng điều kiện để một trường vectơ trên một miền đơn liên trong R 3 là một trường thế.

Từ đó suy ra định lí về bốn mệnh đề tương đương đối với một trường vectơ ba chiều.

Chương IV. TÍCH PHÂN MẶT

Chương này giới thiệu hai loại tích phân mặt : tích phân mặt của một hàm số* (trường vô hướng) và tích phân mặt của một trường vectơ, định lí Xtốc và định

lí Gaoxơ - Ôxtrôgrátxki (Gauss - Ostrogradski) Trong nhiều giáo trình giải tích người ta gọi đó là tích phân mặt loại 1 và tích phân mặt loại 2.

Tích phân mặt của một trường vectơ là một khái niệm khó Để nắm được khái niệm này, cần hiểu một số khái niệm khá trừu tượng : phía của mặt, mặt một phía, mặt hai phía (mặt định hướng được) và mặt định hướng Phía cua một mặt là một khái niệm thông thường, dễ nhận biết Song phía của mát được xác định bởi một trường vectơ pháp tuyến đơn vị liên tục của mặt íà điều không hề dễ tiếp nhận Chúng tôi đã cố gắng trình bày vấn đề một cách sáng sủa, mạch lạc và đưa ra các ví dụ từ đơn giản đến phức tạp nhằm giúp bạn đọc từng bước hiểu được các khái niệm đã nêu.

Cả hai tích phân mặt đều được đưa ra sau khi xét một bài toán Vật lí Nên đọc bài toán đó vì nhờ vậy, bạn sẽ thấy khái niệm được xét là tự nhiên, từ đó

dễ nhớ và khắc sâu nó.

Một vài giáo trình giải tích ngay từ đầu đã đề cập đến mặt định hướng xem như một lớp tương đương của những mặt tham sô" và định nghĩa tích phân mặt của một trường vectơ trên một mặt định hướng Trong chương này, chúng tôi

sẽ không làm như vậy, đơn giản chỉ vì lí do SƯ phạm Theo chúng tôi, việc trình bày vấn đề theo cách đó ngay từ đầu nếu không gây hoang mang thì cũng khiến cho người đọc phân tâm và lúng túng.

Chương V. PHÉP TÍNH VI PHÂN TRONG KHÔNG GIAN Mp

Trong Giải tích tập 1, ta chỉ mới đề cập đến vi phân của hàm sô' nhiều biến sô" thuộc lớp c 1, một trường hợp đặc biệt của hàm số khả vi Trong chương này

ta sẽ đưa ra định nghĩa vi phân của hàm vectơ nhiều biến sô" và nghiên cứu một cách có hệ thống các tính chất của hàm khả vi Từ đó ta có điều kiện xét cực trị của hàm sô' nhiều biến s<ấ một cách đầy đủ và sâu sắc hơn Ta cũng

sẽ nghiên cứu cực trị có điều kiện với một hoặc nhiều ràng buộc của hàm số nhiều biến sô'.

Nhờ áp dụng một sô' kiến thức của Đại số tuyến tính, người ta đã xây dựng được lí thuyết hàm khả vi một cách có hệ thống, chặt chẽ, ngắn gọn và đẹp Với lí thuyết này, bạn đọc sẽ có một cái nhìn bao quát, toàn cục và tinh tế về

5

hàm khả vi Các tính chất của hàm khả vi được diễn đạt bởi một loạt định lí trong đó có nhiều định lí hay Ta kể ra đây một số định lí : định lí về vi phân của hàm hợp, các định lí về giá trị trung bình, định lí về hàm ngược, định lí

về hàm ẩn, các định lí về cực trị của hàm sô" nhiều biến số* và định lí Lagrăng (Lagrange) về cực trị có điều kiện của hàm số nhiều biến số. Đặc biệt, định lí

về đơn ánh địa phương và bổ đề của định lí về ánh xạ mỏ có thể được xem là những phát hiện độc đáo Chúng nêu lên mốì quan hệ mang tính tôpô giữa hàm khả vi và vi phân của nó.

Đây là chương khó nhất của giáo trình này Tuy nhiên đây là một chương hay, quan trọng và có nhiều ứng dụng, đáng được bạn đọc quan tâm một cách thích đáng, đầu tư nhiều thời gian và công sức.

Chương VI. DẠNG VI PHẢN

Chương này gồm hai phần Trong phần A, ta nhắc lại định nghĩa và một sô" tính chất cơ bản của dạng đa tuyến tính thay phiên, thường được giới thiệu trong các giáo trình đại sô" tuyến tính Lí thuyết dạng vi phân được giới thiệu trong phần B Bạn đọc nên quan tâm đến mối quan hệ giữa trường vectơ và dạng vi phân Qua đó, ta sẽ hiểu trường vectơ sâu hơn và nghiên cứu dạng vi phân một cách thuận lợi và dễ dàng hơn Chẳng hạn, nếu để ý rằng nguyên hàm f của dạng vi phân co trong chứng minh định lí Poăngcarê (Poincaré) (định lí VI.3.7) được xây dựng tương tự như hàm sô' thế vị f của trường vectơ F trong chứng minh định lí III.7.2 thì bạn đọc sẽ tiếp nhận định lí Poăngcarê cùng với chứng minh của nó một cách thoải mái và sâu sắc hơn, bạn sẽ hiểu

vì sao tập hợp Q trong định lí được giả thiết là “có sao”, bạn sẽ tự hỏi liệu có thể nới lỏng điều kiện cho tập hợp này được nữa không, bạn sẽ thấy chứng minh định lí này là tự nhiên, không còn cảm thây mình bị áp đặt khi theo dõi chứng minh này nữa Trong phần bài tập, bạn đọc sẽ thấy một số hệ thức phức tạp giữa građian, rôta và đivecgiăng được chứng minh một cách dễ dàng nhờ sử dụng sự tương ứng giữa trường vectơ và dạng vi phân.

Chương VII. TÍCH PHÂN CỦA DẠNG VI PHÂN

Chương này giới thiệu một cách ngắn gọn tích phân đường của một dạng vi phân bậc 1 dọc theo một cung định hướng và tích phân mặt của một dạng vi phân bậc 2 trên một mặt định hướng Các định nghĩa này đơn giản và dễ

nhớ Đó là tích phân một lớp và hai lớp của ảnh chuyển dịch của dạng vi phân đã cho qua hàm vectơ, biểu diễn tham sô" của cung định hướng và mặt định hướng tương ứng.

Quan hệ giữa tích phân của dạng vi phân bậc 1 và bậc 2 với tích phân đường

và rích phân mặt của trường vectơ rất đơn giản : Tích phân của dạng vi phân bậc 1 và bậc 2 cũng là tích phân đường và tích phân mặt của trường vectơ tương ứng Tuy nhiên quan hệ này được xem là một phát hiện quan trọng và đặc sắc của lí thuyết dạng vi phân Từ nay ta có thêm một công cụ để tính tích phân đường và tích phân mặt Có thể chuyển việc tính tích phân của một dạng vi phân về việc tính tích phân đường và tích phân mặt của một trường vectơ và ngược lại Nhờ mốì quan hệ này, dễ dàng thiết lập được các định lí Grin, Xtôc và Gaoxơ - Oxtrôgrátxki cho tích phân của dạng vi phân Các định

lí này được diễn đạt bởi một công thức gọn, đẹp và dễ nhớ Chúng đều nêu len mốì quan hệ giữa tích phân của một dạng vi phân với tích phân của vi phân ngoài của nó.

Ta biết rằng một cung hình học và một mặt hình học có những biểu diễn tham sô" khác nhau Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là : Tích phân đường và tích phân mặt có phụ thuộc vào biểu diễn tham sô" của đường và mặt được xét hay không ? Câu hỏi này được giải đáp trong các định lí 1.4 và 2.5 của chương này : trong một mức độ nào đó, tích phân đường và tích phân mặt không phụ thuộc vào biểu diễn tham số của đường và mặt đưực xét Qua kinh nghiệm giảng dạy, chúng tôi thấy rằng việc giải đáp câu hỏi này ở đây chứ không phải trong các chương III và IV là thoả đáng và đúng lúc hơn.

Để học cuốn sách này, bạn đọc cần có một sô" kiến thức về Đại số tuyến tính như : không gian đổì ngẫu của một không gian tuyến tính, dạng toàn phương, các dạng đa tuyến tính thay phiên, Các vấn đề này đều được nhắc lại trong giáo trình để bạn đọc dễ theo dõi Chúng tôi quy ước việc kết thúc một phép chứng minh bằng kí hiệu □.

Sau mỗi chương đều có một sô" bài tập Các bài tập này nhìn chung không khó, nhằm giúp bạn đọc củng cô" lí thuyết và rèn luyện một sô" kĩ năng cần thiết Các bài tập đều có đáp sô", hướng dẫn hoặc lời giải Để nắm vững giáo trình, bạn đọc nên cô" gắng giải tất cả các bài tập đã cho trong cuốn sách này

và để hiểu và vận dụng sâu sắc hơn Giải tích vectơ bạn đọc nên tham khảo thêm cuốn Bài tập Giải tích vectơ của cùng tác giả.

7

Có thể sử dụng cuốn sách này như một giáo trình một cách rộng rãi cho nhiều đổi tượng : sinh viên các khoa Toán và Lí các trường Đại học Sư phạm và các trường Đại học Khoa học tự nhiên, sinh viên các trường Đại học Bách khoa và các trường Đại học Kĩ thuật, giáo viên Toán các trường Trung học phổ thông.

Giáo trình được biên soạn cẩn thận với mong muôn của tác giả là nhiều bạn đọc có thể dùng nó làm tài liệu tự học Hi vọng rằng Giải tích vectơ sẽ giúp bạn đọc học tập một cách hào hứng và có kết quả một phần quan trọng và có nhiều ứng dụng của bộ môn Giải tích.

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn Giáo sư Đoàn Quỳnh đã đóng góp ý kiến trao đổi về tên gọi của cuốn sách, về một vài thuật ngữ và về mức độ yêu cầu của một sô" phần trong sách.

Chúng tôi xin chân thành cảm ơn Giáo SƯ Phạm Quý Tư đã đọc kĩ bản thảo,

đã giúp chúng tôi kiểm tra các vấn đề trong bản thảo có liên quan đến Vật lí

và sử dụng đúng các thuật ngữ Vật lí.

Chúng tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành đến PGS.TS Trần Diên Hiển

đã chú ý đến cách trình bày cũng như cách tiếp cận các vấn đề trong giáo trình (đây cũng là mối quan tâm lớn của tác giả) và đã góp nhiều ý kiến xác đáng và bổ ích.

Lời cảm ơn đặc biệt của tác giả xin được dành cho Thạc sĩ Trần Lưu Thịnh, Trưởng ban biên tập Toán - Tin, Công ty CPDV xuất bản Giáo dục Gia Định

- Nhà xuất bản Giáo dục Việt Nam, đã giúp đỡ nhiệt tình, tạo điều kiện để cuốn sách này đến tay bạn đọc.

Cuối cùng, chúng tôi xin cảm ơn Thạc sĩ Trần Thanh Hà đã biên tập nghiêm túc, khẩn trương và có chất lượng bản thảo cuốn sách.

TÁC GIẢ

s Hàm vectơ và đường tham s ố ; v' Đạo hàm và tích phân của cá c hàm v e c tơ ;

^ Tiếp tuyến, pháp tuyến và một phổng một tiếp của đường cong ;

s Độ dài cung và độ cong của một đường trong không gian ;

^ ứng dụng Vột lí : chuyển động của một chốt điểm trong không gian ;

r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = x(t)ĩ + y(t)j + z(t)k, t G T, hoặc viết gọn r = x ĩ + yj + zk.

Q/l ẩụ 1. Cho hàm vectơ r(t) = t ĩ + Vt + 1 j + ln(2 - t)k Tìm tập hợp xác định của hàm vectơ r.

iẩi. Các hàm số thành phần của hàm vectơ r là

x(t) = t, y(t) = V t + Ĩ , z(t) = ln(2 - t).

Tập hợp xác định của hàm vectơ r là tập hợp tất cả các t e R sao cho r(t) xác định Các biểu thức x(t), y(t), z(t) đồng thời xác định khi

Vậy tập hợp xác định của hàm vectơ r là khoảng [-1 ,2 ).

1 2 Đ ịn h n g h ĩa Giả sử hàm vectơ r = xi + yj + zk xác định trên một lân cận của điểm t Q e E (có thể trừ điểm t 0) và ĩ = lịĩ + /2 J + /3^ là một vectơ không đổi Ta nói rằng hàm r có giới hạn tại điểm tQ là ĩ và

v iết lim r(t) = ĩ nếu

t->t0

lim x(t) = /., 0

lim y(t) = L,

0 lim z(t) = L

t ^ t 0 Nếu hàm vectơ r xác định trên khoảng ( a , t fJ) (hoặc trên khoảng (t0 ,P)) thì

lim r(t) = / <=>

t— >ÍQ(t-> tg )

lim x(t) = / t— >tQ(t— > Í q )

lim y(t) = / t— > tg )

lim z(t) = /

t— »t.Q(t— > Í q )

n/c dụ 2. Cho hàm vectơ r(t) = Vl - t 1 + t 2 j + sin k.

t Tìm lim r(t) và lim r(t).

t-> r

Lải Tập hợp xác định của r là ( - 00, 0) u (0,1].

lim r(t) = t-> 0 t-> 0 lim v ĩ - t t lim t'— > 0 j +

sin t lim t-» 0 t

= i + k.

lim r(t) = t-> 1"

Dễ dàng chứng minh được định lí sau :

1.3 Đ ịn h lí. Nếu hai hàm vectơ ũ và V có giới hạn tại điểm tg G R thì

a) lim [u(t) + v (t)]= lim u(t) + lim v(t),

lim v(t) vt->t0 J

d) lim [u(t) A v(t)] =

t-» t0 vt->t0 lim u(t)J

A lim v(t) vt-»t0 ) 1.4 Đ ịn h n g h ĩa

a) Giả sử hàm vectơ r xác định trên một lân cận của điểm tQ e R Ta nói rằng r liên tục tại điểm tn nếu lim r(t) = r(tn).

t-»t, b) Hàm vectơ r xác định trên khoảng ( a , t Q] (hoặc trên khoảng [t0 , P)) được gọi là liên tục trái (liên tục phải) tại điểm t Q nếu

11

H iển nhiên hàm vectơ r = XI + yj + zk liên tục (liên tục phải, liê n tục trái) khi và chỉ khi các hàm số thành phần X, y, z của nó đều liê n tục (liên tục phải, liên tục trái).

ĐƯỜNG THAM s ố

1.5 Đ ịn h n g h ĩa Giả sử I là một khoảng trong R (I có th ể là một khoảng

mở hoặc đóng hoặc nửa mở, bị chặn hoặc không bị chặn) và

N ếu I là đoạn [a,b] thì đường c được gọi là một cung trong không gian.

Đ iểm (x(a), y(a), z(a)) được gọi là điểm đầu và điểm (x(b), y(b), z(b)) được gọi là điểm cuối của cung c Nếu điểm đầu và điểm cuối trùng với nhau thì c được gọi là một cung kín.

Có th ể xem đường c được vạch nên bởi điểm cuối M (x(t), y(t), z(t)) của vectơ r(t) = OM khi t biến thiên trên khoảng I.

Q/í dụ 3 Các phương trình

X = Xq + /t, y = y 0 + mt, z = Zq + nt, t e R, trong đó x0, y 0, ZQ

(/, m, n) * (0, 0, 0) lẩ

(x 0 , y 0 , z0 ) với vectơ

n/í dụ 4 Các phương trình

X = cos t, y = sin t, z = t, t € [ 0 , 271]

là biểu diễn tham sô' của cung của

đường xoắn ốc (trên mặt trụ tròn xoay).

2 2 2 1 • 2 1 H s, •

VI X + y = cos t + sin t = 1 với

mọi t € R nên đường xoắn ốc c nằm

2 2

t r ê n m ặ t t r ụ t r ò n x o a y X + y = 1

Với mọi t e [ 0 ,2 7 ĩ] , điểm

M (cos t, sin t, t) nằm trên m ặt trụ

vừa nêu và có độ cao t Khi t tăng từ

0 đến 27Ĩ, điểm M chạy từ điểm

A ( l, 0, 0 ) đến điểm B (l, 0, 2n) vạch

nên cung AB của đường xoắn ốc.

n/c dụ ỹ. V iết một biểu diễn tham sô" của đường cong c, giao tuyến của

m ặ t t r ụ X + 4 y = 4 v à m ặ t p h ă n g X + y + z = 2.

, /, m, n là những số thực cho trước, với biểu diễn tham số của đường thẳng đi qua điểm chỉ phương (/, m, n ).

Hình 2

<^L&L Đường cong c nằm trên mặt trụ đứng có đường chuẩn k elip

X = 2 cos t, y = sin t, z = 2 - 2 cos t - sin t, 0 < t < 2 tc

là một biểu diễn tham số của đường cong giao tuyến c

Phương trình vectơ tương ứng của đường cong c là

r(t) = 2 cos t ĩ + sin t j + (2 - 2 cos t - sin t)k, 0 < t < 271.

^ §2 Đ ẠO H ÀM V Ả T ÍC H P H Â N C Ủ A HÀM V E C TƠ

ĐẠO HÀM CỦA HÀM VECTƠ

2.1 Đ ịn h n g h ĩa Giả sử hàm vectơ r xác định trên một lân cận củađiểm

t Q e M Đạo hàm của hàm vectơ r tại điểm t0 , kí hiệu là ?'(t0) hoặc

hạn này tồn tại.

Đạo hàm phải và đạo hàm trái của hàm vectơ được định nghĩa tươ;g tự

Từ định nghĩa 2.1 và định nghĩa giới hạn của hàm vectơ suy ra

2.2 Hàm vectơ r(t) = x(t)T + y (t)j + z(t)k có đạo hàm tại điểm t0 lai và chỉ khi các hàm sô' thành phần X, y, z của nó có đạo hàm tại t Q.

Nếu hàm vectơ r có đạo hàm tại điểm t Q thì

Gọi M và N là các điểm cuối của hai vectơ r(tQ) và ?(tQ + h) :

M (x (t0 ), y (t0), z(t0)), N (x (t0 + h), y (t0 + h), z(tQ + h)).

Ta có ?(t0 + h) - r(t0 ) = ÕN - ÕM = MN.

Vectơ — [? (tQ + h) - r(tQ)" = — MN có cùng phương với vectơ MN.

N ếu r'(tQ) õ thì khi t —> 0 , đường thẳng MN quay quanh điểm M và dần đến đường thẳng MT đi qua điểm M và có vectơ chỉ phương ?'(tQ) Vectơ ?'(t0) được gọi là vectơ tiếp tuyến của đường c tại điểm M Đường thẳng MT đi qua điểm M và nhận r'(tQ) làm vectơ chỉ phương được gọi là tiếp tuyến của dường c tại điểm M.

Như vậy, có thế xem tiếp tuyến của đường c tại điếm M là vị trí giới hạn của cát tuyến MN khi điểm N theo đường c dần đến điểm M.

Phương trình vectơ của tiếp tuyến của đường c tại điểm M là

Tìm vectơ tiếp tuyến đơn vị của

đường cong tại điểm M(l, 1,1).

g iải. Biểu diễn tham số của đường

cong c là

X = t, y = t2, z = t 3, t e R.

Khử t từ hai phương trình đầu, ta

được y = X2 Vậy đường cong c nằm

trên mặt trụ đứng có đường chuẩn là

parabol y = X2 trong mặt phẳng Oxy.

Một phần của mặt trụ này và cung của đường cong c từ t = 0 đến t = 2, được cho trong hình 4.

Đạo hàm của hàm vectơ r là r'(t) = 1 + 2t J + 3t2 k Độ dài của vectơ

?'(t) là Ị|?'(t)|| = Vl + 4 t2 + 9 t4

Vectơ tiếp tuyến đơn vị của đường cong c tại điếm Ịt, t 2, t 3 j là

T ( t ) = ■ — 1 ( T + 2 t J + 3 t 2 k

'Ị l + 4 t 2 + 9 t 4

Vectơ tiếp tuyến dơn vị của c tại điểm M ( l,l,l) là

1 T 2 1 3 T(l) = - 7= = ĩ + n = = j + - 7==k

-xoắn ốc tại điểm M là đường thẳng đi qua điểm M và có vectơ chỉ

c là một đường thuộc lớp c 1 nhưng không phải là m ột đường trơn.

ị ĐAI HỌC QUOC GIA HÀ n ỘĨ ’

Tại điểm (1 ,0 ), ảnh của

t = 0, đường cong không có

tiếp tuyến Điểm 1(1,0)

gọi là điểm lùi của c.

2.6 Đ ịn h lí. Giả sử u và V là hai hàm vectơ có đạo hàm, ọ là một hàm

số thực có đạo hàm và c là một số thực không đổi Khi đó

2.7. Giả sử hàm vectơ r có đạo hàm trên khoảng I N ếu ||r(t)|| = c với mọi

t £ I , trong đó c là m ột hằng số thì vectơ r'(t) vuông góc với vectơ r(t) với mọi t g I

C h ứ n g m in h Vì ||r(t)||2 = r(t).r(t) nên r(t).r(t) = c2 với mọi t 6 I.

Lấy đạo hàm hai v ế của đồng nhất thức trên, ta được

0 = [ r ( t ) r ( t ) J = r ' ( t ) r ( t ) + r ( t ) r ' ( t ) = 2 r ' ( t ) ? ( t ) ,

do đó r'(t).r(t) = 0 với mọi t 6 I Vậy r'(t) vuông góc với r(t) □

Từ định lí trên suy ra rằng nếu đường cong c nằm trên một mặt cầu thì tiếp tuyến của c tại mỗi điểm vuông góc với bán kính của mặt cầu đi qua điểm đó.

19

TÍCH PHÂN CỦA HÀM VECTƠ

Tích phân của m ột hàm vectơ được định nghĩa qua các hàm số thành phần của nó.

2.8 Đ ịn h n g h ĩa Giả sử hàm vectơ r = x ĩ + y j + z k liên tục trên đoạn [a, b] Tích phân của hàm r trên [a , b] được cho bởi công thức

2.9. Nếu r là m ột hàm vectơ liên tục trên đoạn [a, b] và hàm vectơ R

là m ột nguyên hàm của r trên đoạn [a, b] (tức là R (t) = r(t) với mọi

t G [a, b ] ) thì

f r(t)dt = R(t) = R(b) - R(a).

Kí hiệu Jr(t)dt chỉ m ột nguyên hàm bất kì của hàm vectơ r.

fị/í ắụ 5 Tìm nguyên hàm của hàm vectơ

2.10 Đ ịn h lí. Giả sử ũ , V là hai vectơ liên tục trên đoạn [a ; b], c là một hằng số và c là một vectơ không đổi Khi đó

Đ ặt c = u(t)dt; theo c), ta có c = ^ Ị^c u(t)J dt.

Vì c.u(t) < ||c ||u(t)|| với mọi t e [a; b] nên từ đảng thức trên suy ra

và cung c trong không gian thuộc lớp c1 với biểu diễn tham số

X = x(t), y = y(t), z = z(t), t e [a, b],

có độ dài là

/ = j£Vx'2(t) + y'2(t) + z'2(t)d t (2 )

Có th ể v iết gọn hai công thức (1) và (2) dưới dạng sau đây.

3.1 Cung c thuộc lớp c1 biểu diễn bởi hàm vectơ ĩ? trên đoạn [a, b] có độ

Với cung c trong không gian, ?(t) = x (t)ĩ + y(t)J + z(t)k, t e [a, b] và

T hật vậy, ta giữ nguyên các kí hiệu trong 3.2 Vì ||?'(t)|| > 0 với mọi

t e [a, b] n ên hàm số 1 1—> s(t) tăng nghiêm n gặt trên đoạn [a, b] Do

đó nó có hàm số ngược s h - t ( s ) tăng nghiêm n gặt và thuộc lớp c1 trên đoạn [0, /] Phương trình vectơ của cung c theo tham số s là

Từ đó ta có định nghĩa sau đây :

Đ ịn h n g h ĩa Ta nói rằng cung c có biểu diễn tham sô"

H iển nhiên mọi cung trơn đều có biểu diễn tham số theo độ dài cung.

*Vl ắụ 1. Cho cung c với biểu diễn tham số

X = — — t, y = cos —, z = sin —, t G LO, Znị

Chứng tỏ rằng (1) là biểu diễn tham số theo độ dài cung của c,

^iẴL Phương trình vectơ của cung c là

V3 r(t) = 1 ĩ + cos — J + sin — k, t 6 [0 ,2n].

Q/í dụ 2. Cho đường xoắn ốc tròn c với phương trình vectơ

r(t) = a cos t T + a sin t j + bt k, a > 0, b > 0 Hãy viết một biểu diễn tham số của c theo độ dài cung từ điểm A(a, 0, 0) theo hướng xác định bởi các giá trị tăng của t.

^ iả i. Điểm đầu của cung tương ứng với t = 0.

đường trơn thì tại mỗi điểm

của nó, c đều có tiếp tuyến

Gọi T là vectơ tiếp tuyến

đơn vị của c tại điểm M

Trên hình 6 , ta thấy khi

điểm M di chuyển trên c thì

hướng của vectơ T biến đổi

ít ở những nơi ít “cong” và

hướng của vectơ này biến

đổi nhiều ở những nơi mà c

“cong” nhiều Điều này được

thể hiện trong định nghĩa

3.4 Đ ịn h n g h ĩa Giả sử c là một đường trơn với phương trình vectơ

r(s) = x(s)T + y(s) j + z(s)k, trong đó tham số s là độ dài cung Kí hiệu T(s) là vectơ tiếp tuyến đơn

vị của c tại điểm M (x(s), y(s), z(s)) Nếu hàm vectơ T có đạo hàm

T (s) tại điểm s thì độ dài của vectơ T (s) được gọi là độ cong của đường c tại điểm M, kí hiệu là ó%(s) :

Giả sử phương trình vectơ của c với tham số" s là R = R(s).

Kí hiệu -ư(s) là vectơ tiếp tuyến đơn vị của đường c tại điểm M xác định bởi OM = R(s) = R(s(t)) = r(t) Khi đó, theo định nghĩa, độ cong của đường c tại điểm M là ư'(s) Vectơ tiếp tuyến đơn vị của đường c tại điểm M (x(t), y(t), z(t)) là T(t) = 'ư(s(t)). Ta có

T'(t) = ^ ( s ( t ) ) s '( t ) = 'ữ*'(s(t))||r'(t)|.

Từ đó suy ra rằng độ cong của đường c tại điểm M là

Q/í dụ 3 Tim độ cong của đường tròn bán kính a.

^Lải. Phương trình vectơ của đường tròn tâm 0 bán kính a là

Từ định nghĩa của độ cong suy ra rằng độ cong của một đường thẳng

tạ i mọi điểm của nó đều bằng 0 (vì vectơ tiếp tuyến đơn vị của nó không đổi).

Để tìm độ cong của m ột đường trong không gian người ta thường áp dụng định lí sau đây.

3.7 Đ ịn h lí. Giả sử c là một đường trơn với phương trình vectơ

vì T(t) A T(t) = õ với mọi t Mặt khác, ta biết rằng vì T(t)

vectơ T(t) và T'(t) vuông góc với nhau Do đó

3.8 V ectơ p h á p tu y ế n đơ n vị

Giả sử c là một đường trơn với phương trình vectơ

r(t) = x(t)I + y(t) J + z(t)k

và hàm vectơ r có đạo hàm cấp hai Gọi T(t) là vectơ tiếp tuyến đơn vị của c tại điểm M (x(t), y(t), z(t)) Từ ||T(t)|| = 1 với mọi t, dề dàng suy

ra T (t).T (t) = 0 Do đó vectơ T'(t) vuông góc với vectơ T(t) Nếu độ cong rX(t) của c tại điểm M khác 0 thì T (t) * õ Khi đó, vectơ

N (t)= T (t)

T'(t)

là vectơ đơn vị vuông góc với vectơ T(t) và được gọi là vectơ pháp tuyến chính đơn vị (gọi tắt là vectơ pháp tuyến đơn vị) của đường c tại điểm M.

n/í dụ ỹ. Tìm độ cong và các vectơ tiếp tuyến đơn vị và pháp tuyến đơn

vị của elip x(t) = 2 c o st, y(t) = 3 s in t tại điểm (0, 3).

g iả i. Phương trình vectơ của elip là

Độ cong của elip tại điểm M(0, 3) là

Nếu r(s) = x (s)ĩ + y(s)j + z(s)k là biểu

diễn tham số của dường trơn c, trong

Khi đó, vectơ B(t) = T(t) A N(t) được gọi là vectơ trùng pháp tuyến của đường c tại điểm M Đó là vectơ đơn vị vuông góc với cả hai vectơ T(t)

Ta có r'(t) = cos 2t ĩ + sin 2t j - sin t k ; ||?'(t)| = Vl + sin 2 t ;

do đó vectơ tiếp tuyến đơn vị của đường cong c đã cho tại điểm r(t) (tức là điểm p xác định bởi OP = r(t)) là

T(t) = c o s 2t ? i + , = = = = j - sin 2t 7 s in t

V1 + s in 2 t VI + sin" t• 2Vectơ tiếp tuyến đơn vị của c tại điểm M

Vectơ pháp tuyến dơn vị của c tại điểm M là

3 ~ i ỉ = ầ ( - Ĩ + 2^ 2^

3.10 P h á p d iệ n , m ặ t p h ẳ n g m ậ t tiế p và đ ư ờ n g tr ò n m ậ t tiế p

Giả sử c là một đường trơn có dộ cong khác 0 với phương trình vectơ r r(t) = x(t)T + y(t)j + z(t)ic.

Gọi T(t), N (t), B(t) theo thứ tự, là các vectơ tiếp tuyến đơn vị, pháp )

M ặt phẳng đi qua điểm M và chứa hai vectơ N(t) và B(t) dược gọi là

pháp diện của đường c tại M Đó là m ặt phẳng vuông góc với tiếp tuyến của c tại diểm M.

Mặt phẳng đi qua điểm M và chứa hai vectơ T(t) và N (t) được gọi là

m ặt phẳng m ật tiếp của đường c tại điểm M.

Từ dịnh nghĩa vừa nêu, có thể thấy rằng trong các m ặt phẳng đi qua điểm M, m ặt phẳng m ật tiếp của c tại M là m ặt phẳng ép sát nhâ't phần của đường c nằm gần điểm M Nếu c là m ột đường cong phẳng thì m ặt phẳng m ật tiếp của c tại mỗi điểm của nó là m ặt phẳng chứa đường c Tại các điểm của đường mà độ cong bằng 0, đường không có

m ặt phẳng m ật tiếp Đặc biệt, đường thẳng không có m ặt phẳng mật tiếp tại mỗi điểm của X1Ó.

Giả sử đường c có độ cong <sPf (t) * 0 tại điểm M = r(t) Khi đó, đường tròn nằm trong m ặt phẳng m ật tiếp của c tại điểm M, có cùng tiếp r(t) = M (x(t), y(t), z(t)).

tuyến tại M với c, nằm về phía lõm của c (tức là phía theo hướng của vectơ pháp tuyến đơn vị N(t)) và có bán kính p(t) = — — , được gọi là

đường tròn m ật tiếp cua đường c tại điểm M.

Đó là đường tròn có cùng tiếp tuyến, pháp tuyến và độ cong tại điểm M với c Hiển nhiên đường tròn mật tiếp của một đường tròn r cho trước tại mỗi điểm của r chính là đường tròn r.

Q/í dụ 7 V iết phương trình pháp diện và mặt phẳng mật tiếp cua đường

c trong ví dụ 6 tại điếm r " 7t ^ = M( 1 1 J 2 )

, 4 ; l2’ 2 2 / và tính bán kính đường tròn mật tiếp của c tại điểm M.

^iảL. Pháp diện của đường c tại điểm M vuông góc với vectơ 'j t '

- J — J - ~J= k , do đó vuông góc với vectơ V2 j - k

Phương trình của nó là

0 hay \Í2 y - z = 0.

V 4 J ~ ễ

2VĨ3 3V3

33

Bán kính đường tròn m ật tiếp của đường c tại điểm M là

1 3yỈ3 3 ^3 9

71 V"* /

c7C

/ \ n

( ĩ )

3.11 Độ con g và đư ờng trò n m ậ t tiế p cù a đư ờn g con g p h ẳ n g y = f(x )

Giả sử c là đường cong phẳng y = f(x), trong đó hàm số f có đạo hàm cấp hai trên khoảng I Lấy X làm tham số, phương trình vectơ của đường c là

Q/í dụ s. Cho đường cong phẳng c với phương trình y = ex

a) Tính độ cong của c tại điểm M(0, 1).

b) V iết phương trình đường tròn mật tiếp của c tại điểm M.

^ỈẢL a) Ta có y' = ex ,y" = ex ; do đó độ cong của đường c tại điểm 1 (x , e x j là

rvTXx)= ị y' ị ex

ìy-( l + y '2 )2 Ịl + e2x)

Độ cong của c tại điểm M Ị OM = r(0)j là cvT(O) = — •

b) Phương trình vectơ của c là r(x) = x í + e x j.

T'(0) N(0) =

T'(0) Vã Bán kính của đường tròn mật tiếp của c tại điểm M là p(0) = ■ = 2V2 Tâm I của đường tròn m ật tiếp của c tại điểm M được xác định bởi

Trong mục này ta sẽ ứng dụng lí thuyết về đường vừa trình bày ở trên

để nghiên cứu chuyển động của một chất điểm dọc theo m ột đường.

35

4.1 V ectơ vậ n tố c, tố c đ ộ v à v e c tơ g i a tố c c ủ a c h ấ t đ iể m

Ta hãy quan sát chuyển động của một chất điểm trong không gian toạ độ Giả sử tại thời điểm t, chất điểm ở vị trí của điểm M có các toạ độ là 1 x(t), y(t) và z(t) Vectơ r(t) = x (t)ĩ + y (t)j + z(t)k xác định vị trí của chất t điểm tại thời điểm t được gọi là vectơ vị trí của chất điểm tại thời điểm t Khi t thay đổi, điểm M (x(t), y(t), z(t)) vạch nên đường c , gọi là quỹ đạo 3 của chất điểm Hàm vectơ r : t K r(t) được gọi là hàm vectơ vị trí.

Nếu hàm vectơ r có đạo hàm tại điểm t thì vectơ

rw4.\ _ 1™ r(t + At) - r(t) _ v(t) = lim -—-= r (t)

At->0 At được gọi là ưectơ vận tốc của chất điểm tại thời điểm t.

Nếu v(t) * 0 thì v(t) là vectơ tiếp tuyến của quỹ đạo c của chất điểm 1 tại điểm M = r(t).

Độ dài của vectơ vận tốc v(t), tức là số ||v(t)|Ị được gọi là tốc độ của 1 chất điểm tại thời điểm t.

Nếu hàm vectơ V có đạo hàm tại điểm t, tức là hàm vectơ r có đạo 0

hàm cấp hai tại điểm t thì vectơ

-v*\ _ 1-— v(t + A t ) - v ( t ) V _ a(t) = lim - —-= V (t) = r (t)

At-> 0 At được gọi là vectơ gia tốc của chất điểm tại thời điểm t.

Nếu m là khối lượng của chất điểm thì lực F(t) tác dụng lê n chất điểm 1 tại thời điểm t được cho bởi công thức F(t) = mấ(t).

Đó là định luật thứ hai về chuyển động của Niu-tơn (Newton).

<Vi Ẩụ J. Một chất điểm chuyển động dọc theo m ột đường xoắn ốc tròn n

mà vị trí tại thời điểm t được cho bởi r(t) = a cos cot ĩ + a sin cot ] + bcot k, , trong đó a, b, (0 là những số dương.

a) Tìm vectơ vận tốc, tốc độ, vectơ gia tốc và độ dài của vectơ gia tốc tại i thời điểm t.

b) Tìm góc giữa vectơ vận tốc và vectơ gia tốc tại thời điểm t.

<3*1. a) Vectơ vận tốc và tốc độ của chất điểm tại thời điểm t, theo thứ

tự, là

v(t) = -acosin cot i + aoocoscot j + bcok ;

/ 2 2 2 ” 7 2~2 2 7 1 2 2 / 2 , 1 2

|v(t)| = va co sin Cút + a (0 cos cot + b co =cova + b

Vectơ gia tóc và độ dài của vectơ gia tóc tại thời điểm t, theo thứ tự, là

ã(t) = - a o 2 cos cot í - aco2 sin cot J ;

a) Ta có v(t) = -2 e 2t ĩ + 3el J ; ||v(t)|| = \j4e 4t + 9e2t ;

ã(t) = 4e_2t ĩ + Se1 j ; ||ã(t)|| = yjl6e~4t + 9e2 t.

b) Biểu diễn tham sô của quỹ đạo là X = e-2t ; y = 3el ;

Khử t từ hai phương trình trên, ta được hệ thức giữa X và y :

37

do đó xy 2 = 9, X > 0, y > 0.

Quỹ đạo là phần của đường cong

xy2 = 9 trong góc phần tư thứ

lượng m ? í0 biết rằng chất điểm chuyển động tự do (tức là lực F(t) tácc dụng lên nó tại mỗi thời điểm t đều bằng 0).

<^LảL. Vì m * 0 n ên theo định luật thứ hai về chuyển động của Niutơrn

= t c + X.

giảL. Ta có

v(t) = jã(t)dt = J(et T + e_tk)dt

= e l T - e _tk + X,

Ả là một vectơ không đổi Do đó v(0) = ĩ - k + X.

Từ giả th iết v(O) = ĩ + 2j - k suy ra Ả = 2j Do đó

a) Xác định vectơ vị trí của viên đạn tại thời điểm t.

b) Với giá trị nào của a , tầm bắn của viên đạn là lớn nhất?

c) V iết phương trình Đề-các của quỹ đạo viên đạn.

d) Tìm độ cao lớn nhất của viên đan.' • I

Vì viên đạn chịu tác dụng của

trọng lực hướng từ trên xuống

nên F(t) = -m gj với

g = 9,8 m / s2

39

Theo định luật II Niutơn, ta có F(t) = mã(t), trong đó ã(t) là vectơ gia t tốc của viên đạn tại thời điểm t Từ đó suy ra ã(t) = - g J.

Vì v'(t) = ẵ(t) nên

Do đó v(0) = ĩ Gọi v0 = v(0) là vectơ vận tốc ban đầu của viên đạn.

Theo giả th iết v n = v n ; do đó VQ = Vq cos a 1 + v n sin a J.

Từ đó suy ra Ả = V g = V q cos a 1 + V q sin a j Vậy