Giải Toán 11 Bài 1. Giới Hạn Của Dãy Số

• Home
• Lớp 1,2,3
  • Lớp 1
  • Giải Toán Lớp 1
  • Tiếng Việt Lớp 1
  • Lớp 2
  • Giải Toán Lớp 2
  • Tiếng Việt Lớp 2
  • Văn Mẫu Lớp 2
  • Lớp 3
  • Giải Toán Lớp 3
  • Tiếng Việt Lớp 3
  • Văn Mẫu Lớp 3
  • Giải Tiếng Anh Lớp 3
• Lớp 4
  • Giải Toán Lớp 4
  • Tiếng Việt Lớp 4
  • Văn Mẫu Lớp 4
  • Giải Tiếng Anh Lớp 4
• Lớp 5
  • Giải Toán Lớp 5
  • Tiếng Việt Lớp 5
  • Văn Mẫu Lớp 5
  • Giải Tiếng Anh Lớp 5
• Lớp 6
  • Soạn Văn 6
  • Giải Toán Lớp 6
  • Giải Vật Lý 6
  • Giải Sinh Học 6
  • Giải Tiếng Anh Lớp 6
  • Giải Lịch Sử 6
  • Giải Địa Lý Lớp 6
  • Giải GDCD Lớp 6
• Lớp 7
  • Soạn Văn 7
  • Giải Bài Tập Toán Lớp 7
  • Giải Vật Lý 7
  • Giải Sinh Học 7
  • Giải Tiếng Anh Lớp 7
  • Giải Lịch Sử 7
  • Giải Địa Lý Lớp 7
  • Giải GDCD Lớp 7
• Lớp 8
  • Soạn Văn 8
  • Giải Bài Tập Toán 8
  • Giải Vật Lý 8
  • Giải Bài Tập Hóa 8
  • Giải Sinh Học 8
  • Giải Tiếng Anh Lớp 8
  • Giải Lịch Sử 8
  • Giải Địa Lý Lớp 8
• Lớp 9
  • Soạn Văn 9
  • Giải Bài Tập Toán 9
  • Giải Vật Lý 9
  • Giải Bài Tập Hóa 9
  • Giải Sinh Học 9
  • Giải Tiếng Anh Lớp 9
  • Giải Lịch Sử 9
  • Giải Địa Lý Lớp 9
• Lớp 10
  • Soạn Văn 10
  • Giải Bài Tập Toán 10
  • Giải Vật Lý 10
  • Giải Bài Tập Hóa 10
  • Giải Sinh Học 10
  • Giải Tiếng Anh Lớp 10
  • Giải Lịch Sử 10
  • Giải Địa Lý Lớp 10
• Lớp 11
  • Soạn Văn 11
  • Giải Bài Tập Toán 11
  • Giải Vật Lý 11
  • Giải Bài Tập Hóa 11
  • Giải Sinh Học 11
  • Giải Tiếng Anh Lớp 11
  • Giải Lịch Sử 11
  • Giải Địa Lý Lớp 11
• Lớp 12
  • Soạn Văn 12
  • Giải Bài Tập Toán 12
  • Giải Vật Lý 12
  • Giải Bài Tập Hóa 12
  • Giải Sinh Học 12
  • Giải Tiếng Anh Lớp 12
  • Giải Lịch Sử 12
  • Giải Địa Lý Lớp 12

Trang Chủ › Lớp 11› Giải Bài Tập Toán 11› Giải Bài Tập Toán 11 Đại Số› Bài 1. Giới hạn của dãy số Giải toán 11 Bài 1. Giới hạn của dãy số

• 
• 
• 
• 
• 
• 

§1. GIỚI HẠN CỦA DÃY số A. KIẾN THỨC CĂN BẢN GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY số Định nghĩa 1 Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu I Un I có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý , kể từ số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim un = 0 hay un -> 0 khi n ->+00. n->+00 Dinh nghĩa 2 Ta nói dãy sô' (vn) có giới hạn là sô' a (hay vn dần tới a) khi n -> +00, nếu lim (vn - a) = 0. n->+00 Kí hiệu: lim vn = a hay vn -> a khi n -> +00. n—>+co Một vài giới hạn đặc biệt lim - = 0; lim -ị- = 0 với k nguyên dương. n—>+ n n—>+cc lim qn = 0 nếu I q I < 1. rw+oo Nếu Un = c (c là hằng số) thì lim Un = lim c = c. n->+00 n—>+cc ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN Định li 1 Nếu limUn = a và limVn = b thì lim(un + vn) = a + b lim(un - Vn) = a - b lim(un.vn) = a.b lim — = (nếu b * 0) vn b Nếu Un > 0 với mọi n và limUn = a thì a > 0 và lim ỰŨ7 = Vã. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN Cho cấp sô' nhân (un) lùi vô hạn có I q I < 1, khi đó „ u< s = Ui + U2 + U3-+ ... + un + ... — -—— 1-q GIỚI HẠN VÔ cực Định nghĩa Ta nói dãy số (un) có giới hạn +0C khi n -> +00, nếu un có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: limUn = +00 hay Un -> +00 khi n -> +00. Dãy số (un) được gọi là có giới hạn -00 khi n -+ +00 nếu lim(-Un) = +00. Kí hiệu: limUn = -00 hay Un -> -00 khi n -> +00. Nhận xét: limUn = +00 lim(-Un) = -00. Một vài giới hạn đặc biệt limnk = +00 với k nguyên dương. limqn = +00 nếu q > 1. Định lí Nếu limUn = a và limVn = ±00 thì lim — = 0. vn Nếu limUn = a > 0, limVn = 0 và vn > 0 với mọi n thì lim — = +00. vn Nếu lirriUn - +00 và limVn = a > 0 thì limUnVn = +00. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP 1. Có 1 kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng, cử sau một khoảng thời gian T = 24 000 năm thì một nửa sô' chất phóng xạ này bị phân rã thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe của con người (T được gọi là chu kì bán rã). Gọi Un là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu ki thử n. Tìm sô' hạng tổng quát u„ của dãy số (Un). Chứng minh rằng (Un) có giới hạn là 0. Từ kết quả câu b), chứng tỏ rằng sau một số nãm nào đó khối lượng chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người, cho biết chất phóng xạ này sẽ không độc hại nữa nếu khối lượng chất phóng xạ còn lại bé hơn 10 6 g. Ốịlẳi Ta có: U] - - ; u2 = — ; u3 = - ;... 2 4 8 Bằng quy nạp ta chứng minh được Un = -T-, n e N . 2n Áp dụng tính chất limq" = 0 nếu I q I <1. Ta có lim = limfỉì =0 2n I2J kg- Ta có 10 6 g = 10 9 kg = -Ỉ- 109 Vi un -> 0, nên I un I = —- có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể 2n nhỏ hơn —— kể từ chu 109 từ một số hạng nào đó trở đi. Như vậy, I un kì n0 nào đó. Nghĩa là sau một sô' năm ứng với chu kì này, khối lượng chất phóng xạ không còn độc hại đô'i với con người. Để hiểu rõ hơn, nên bổ sung vào lời giải trên nội dung sau: Cụ thể, muôn — 109. 2n 109 Chẳng hạn, với n0 = 36, thì 236 = (24)9 = 169 > 109. Nói cách khác, sau chu kì thứ 36 (nghĩa là sau 36.24000 = 864000 (năm))! chúng ta không còn lo lắng về sự độc hại của khối lượng chất phóng xạ còn lại. 2. Biết dãy số (Un) thỏa mãn I Un — 11 < với mọi n. n3 Chứng minh rằng limUn = 1. Ốịlải . . .. 3n 2 6n — 1 và lim(3 + —) = lim 3 + lim— = 3 nên = lim n n 3n + 2 + n-5 b lim — 2n2 +1 .. .. \'9n2 -n + 1 d) lim - Vì lim—5- = 0 nên n3 hạng nào đó trở đi. có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể từ một sô' Mặt khác, ta có I un - 11 < —Y = với mọi n. (1) (2) Từ (1) và (2) suy ra I un - 11 có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể từ một sô' hạng nào đó trở đi, nghĩa là lim(un - 1) = 0. Do đó, limun = 1. 3. Tìm các giới hạn sau: 3n +5.4n a) lim c) lim 4n +2" 4n-2 CịiẦi a) lim 6n-l 3n + 2 = lim- = lim- ,4 = 2 2 3 Vì lim(6 - —) = lim 6 - lim — = 6 n n b) lim 3n2 + n - 5 2n2 +1 = lim- n |3 + „-Z2 n n2 = lim- 344 n n2 2 1 2 lim 3 + lim — - lim lim2 + lim-Aril2 c) lim 3n + 5.4n 4n +2n 4n [(T n + 5 4n 1 + rư <2j J = lim- = lim jy l+li viltag] -lta(i) =0 , , yfan2 - n + 1 d) lim—A -A—- = lim 4n-2 9-i + A 9-^ + 4 n n2 n| 4-f n 4-2 4. Để trang hoàng cho căn hộ của mình, chú chuột Mickey quyết định tô màu một miếng bìa hình vuông cạnh bằng 1. Nó tô màu xám các hình vuông nhỏ dược đánh sô’ lần lượt là 1, 2, 3 n trong đó cạnh của hình vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh hình vuông trước đó. Giả sử quy trình tô màu cùa Mickey có thể tiến ra vô hạn. Gọi Un là diện tích của hình vuông màu xám thứ n. Tính Ui, u2l u3 và Un. Tính limSn với Sn = Ut + u2 + U3 + .. + Un. a) Ta có Uj = u2 = -Z-, u3 = -5-,..., un =- (un) là cấp số nhân lùi vô hạn với Ui = ỉ công bội q = -ị, do đó: Z^ZdZ (-l)n Đặt Up = . Ta CÓ: n 10n-l Un+1 , (-l)n+1 : (-1)° - 1 un 10n 10n_1 10 Suy ra dãy sô' (un) là cấp số nhân lùi vô hạn với Ui = -1, công bội q = Ui -1 Vậy s = Ui + u2 + u3 + ... + un + ... = -—— = 10 11 1_q 1 + 10 6. Cho số thập phân vô hạn tuần hoàn a = 1,020 202... (chu kì là 02). Hãy viết a dưới dạng một phân số. Z^ZdZ Ta CÓ a = 1,020202... = 1+ JL + + ... + + ... 100 1002 100" 2 2 2 2 Vi _ là một cấp sô' nhân lùi vô hạng với Ui = -r~, 100 1002 100n 100 q = -Ị— nên: a = 1 + 100 2 100 1- 2 101 1 " + 99 _ 99 100 7. Tính các giới hạn sau: a) lim(n3 + 2n2 - n + 1); c) lim (ựn2 -n -n) ; b) lim(-n2 + 5n - 2); d) lim ^ựn2 -n +n^ . 2 1 n n2 n" úịlải Ta có lim(n3 + 2n2 - n + 1) = limn3| 1 + — - —2" + -y I = +°° (vì limn3 = +00 và lim I 1 + — - + -ỉ-1 = 1 > 0) l n n n ; lim(-n2 + 5n - 2) = limn2 ^-1 + — - = -00; = lim- Í1--+1 n 1 "2 (vì limn2= +00 và lim^-1 + — _~2"^ = -1 < 0) lim|Vn2-n-n| = lim—-- ~n ■—r = lim . Ễ ~n : 1 ’ n^ + 1 limịựn’ - n + nJ = limn Jl - ỉ + 1 =+CO (vì limn = +OO và lim . 1 - — + 1 = 2 > 0). V n 8. Cho hai dãy số (Un) và (vn). Biết limun = 3; limvn = +--C. Tính các giới hạn: 3u -1 a) lim n u„ +1 V +2 b) lim-7-—- V? -1 Ốịiải s 3un-l 31imun-l 3.3-1 - a) lim —s—— = —7-—--—— = ' - = 2 • un + 1 limun +1 3 + 1 b) lim ~ = lim V2 -1 JL + — V V? V n vn 7 1- . = lim——7^ = 0 (vì lim —= 0). 1-4 B. BÀI TẬP LÀM THÊM 1. Tìm các giới hạn sau: (-1)" sinn a) lim ĐS: a) 3; »4 2. Tìm các giới hạn limUnVỚi: -n4 + 3n2 -1 a) Un = 2n4 +1 ĐS: l)-±; b) 0. Tìm tổng của cấp số nhân: a) 8,4,2, 1, 1...; ĐS: a) 16; b) 4 + 372 . Tìm các giới hạn sau: a) lim^7n2 +n + 1 -nJ; 1 c) lim 7n + 2 - 7n + 1 ’ e) lim Vn2 +1 - Vn +1 3n + 2 . . .. 3n-2 b) lim -T-—- 2n + 1 b) Un = 3.5n 6n+1 + 2 b) 72 + 1 1 2 72-1’ 2-72’2" b) limpn2 +n + 1 + nj; d) lim(7n + 1 - 7n)n . Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số: a) 0,444...; b) 0,2121..; c) 0,32111...

Các bài học tiếp theo

• Bài 2. Giới hạn của hàm số
• Bài 3. Hàm số liên tục
• Ôn tập chương IV
• Bài 1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
• Bài 2. Quy tắc tính đạo hàm
• Bài 3. Đạo hàm của hàm số lượng giác
• Bài 4. Vi phân
• Bài 5. Đạo hàm cấp hai
• Ôn tập chương V
• Ôn tập cuối năm

Các bài học trước

• Ôn tập chương III
• Bài 4. Cấp số nhân
• Bài 3. Cấp số cộng
• Bài 2. Dãy số
• Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học
• Ôn tập chương II
• Bài 5. Xác suất của biến cố
• Bài 4. Phép thử và biến cố
• Bài 3. Nhị thức Niu-tơn
• Bài 2. Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp

Tham Khảo Thêm

• Sách Giáo Khoa - Đại Số và Giải Tích 11
• Sách Giáo Khoa - Hình Học 11
• Giải Bài Tập Toán 11 Đại Số(Đang xem)
• Giải Bài Tập Toán 11 Hình Học
• Giải Toán 11 Đại Số và Giải Tích
• Giải Toán 11 Hình Học
• Giải bài tập Đại số và Giải tích 11
• Giải bài tập Hình học 11

Giải Bài Tập Toán 11 Đại Số

• Chương I. Hàm số lượng giác và phương trình lượng giác
• Bài 1. Hàm số lượng giác
• Bài 2. Phương trình lượng giác cơ bản
• Bài 3. Một số phương trình lượng giác thường gặp
• Ôn tập chương I
• Chương II. Tổ hợp - Xác suất
• Bài 1. Quy tắc đếm
• Bài 2. Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp
• Bài 3. Nhị thức Niu-tơn
• Bài 4. Phép thử và biến cố
• Bài 5. Xác suất của biến cố
• Ôn tập chương II
• Chương III. Dãy số - Cấp số cộng và cấp số nhân
• Bài 1. Phương pháp quy nạp toán học
• Bài 2. Dãy số
• Bài 3. Cấp số cộng
• Bài 4. Cấp số nhân
• Ôn tập chương III
• Chương IV. Giới hạn
• Bài 1. Giới hạn của dãy số(Đang xem)
• Bài 2. Giới hạn của hàm số
• Bài 3. Hàm số liên tục
• Ôn tập chương IV
• Chương V. Đạo hàm
• Bài 1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
• Bài 2. Quy tắc tính đạo hàm
• Bài 3. Đạo hàm của hàm số lượng giác
• Bài 4. Vi phân
• Bài 5. Đạo hàm cấp hai
• Ôn tập chương V
• Ôn tập cuối năm