- Home
- Lớp 1,2,3
- Lớp 1
- Giải Toán Lớp 1
- Tiếng Việt Lớp 1
- Lớp 2
- Giải Toán Lớp 2
- Tiếng Việt Lớp 2
- Văn Mẫu Lớp 2
- Lớp 3
- Giải Toán Lớp 3
- Tiếng Việt Lớp 3
- Văn Mẫu Lớp 3
- Giải Tiếng Anh Lớp 3
- Lớp 4
- Giải Toán Lớp 4
- Tiếng Việt Lớp 4
- Văn Mẫu Lớp 4
- Giải Tiếng Anh Lớp 4
- Lớp 5
- Giải Toán Lớp 5
- Tiếng Việt Lớp 5
- Văn Mẫu Lớp 5
- Giải Tiếng Anh Lớp 5
- Lớp 6
- Soạn Văn 6
- Giải Toán Lớp 6
- Giải Vật Lý 6
- Giải Sinh Học 6
- Giải Tiếng Anh Lớp 6
- Giải Lịch Sử 6
- Giải Địa Lý Lớp 6
- Giải GDCD Lớp 6
- Lớp 7
- Soạn Văn 7
- Giải Bài Tập Toán Lớp 7
- Giải Vật Lý 7
- Giải Sinh Học 7
- Giải Tiếng Anh Lớp 7
- Giải Lịch Sử 7
- Giải Địa Lý Lớp 7
- Giải GDCD Lớp 7
- Lớp 8
- Soạn Văn 8
- Giải Bài Tập Toán 8
- Giải Vật Lý 8
- Giải Bài Tập Hóa 8
- Giải Sinh Học 8
- Giải Tiếng Anh Lớp 8
- Giải Lịch Sử 8
- Giải Địa Lý Lớp 8
- Lớp 9
- Soạn Văn 9
- Giải Bài Tập Toán 9
- Giải Vật Lý 9
- Giải Bài Tập Hóa 9
- Giải Sinh Học 9
- Giải Tiếng Anh Lớp 9
- Giải Lịch Sử 9
- Giải Địa Lý Lớp 9
- Lớp 10
- Soạn Văn 10
- Giải Bài Tập Toán 10
- Giải Vật Lý 10
- Giải Bài Tập Hóa 10
- Giải Sinh Học 10
- Giải Tiếng Anh Lớp 10
- Giải Lịch Sử 10
- Giải Địa Lý Lớp 10
- Lớp 11
- Soạn Văn 11
- Giải Bài Tập Toán 11
- Giải Vật Lý 11
- Giải Bài Tập Hóa 11
- Giải Sinh Học 11
- Giải Tiếng Anh Lớp 11
- Giải Lịch Sử 11
- Giải Địa Lý Lớp 11
- Lớp 12
- Soạn Văn 12
- Giải Bài Tập Toán 12
- Giải Vật Lý 12
- Giải Bài Tập Hóa 12
- Giải Sinh Học 12
- Giải Tiếng Anh Lớp 12
- Giải Lịch Sử 12
- Giải Địa Lý Lớp 12
Trang Chủ ›
Lớp 11›
Giải Bài Tập Toán 11›
Giải Bài Tập Toán 11 Hình Học›
Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc Giải toán 11 Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc
4. HAI MẶT PHẲNG VUÔNG GÓC A. KIẾN THỨC Cơ BẢN Góc giữa hai mặt phẳng Định lí: Gọi s là diện tích của đa giác H trong mặt phẳng (P) và S' là diện tích hình chiếu H' của H trên mặt phẳng (P’) thì S' = s costp, trong đó ọ là góc giữa hai mặtphẳng (P) và (P'). Hai mặt phẳng vuông góc Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90". Kí hiệu (P) _L (Q). Định lí (Điều kiện đế hai mặt plĩẳng vuông gác) Nêu một mặt phẳng chứa một đường thẳng vuông góc với một Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt vuông góc với hai mặt phăng đó. ■(P)l(Q) mặt phắng khác thì hai mặt phắng đó vuông góc với nhau. íac(P). [a±(Q): Định lí: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau thì bất cứ đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng (P), vuông góc với giao tuyến của (P) và (Q) đều vuông góc với mặt phẳng (Q). (p)n(ọ) = d; (P)±(Q) al(Q) a ±d Hệ quả 1: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) vuông góc với nhau và A là một điểm nằm tron; nằm trong (P). (P)l(Q) ■ac(P) Ae(P) al(Q) Aea Hệ qua 2: Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao luyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba. (P)n(Q) = a (P) -L(R) (Q) l(R) • a 1 (R) r- - <§] Hệ ÌỊUCÍ 3: Qua đường thẳng a không vuông góc với mặt phẳng (P) có duy nhát một mặt phẳng (Q) vuông góc với mặt phẳng (P). Hình lãng trụ đứng, hình hộp chữ nhật, hình lập phương Định nghĩa: Hình lănị’ trụ đứnị’: Là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt phẳng đáy. Hình lănịỊ trụ đều: Là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều Hình hộp đứnịỊ: Là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành. Hình hộp chữ nhật: Là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật. Hình lập phương: Là hình hộp chữ nhật có tất cả các cạnh bằng nhau. Hình chóp đều và hình chóp cụt đều B Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu đáy của nó là đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau. ->D Định nghĩa: Khi cắt hình chóp đều bởi một mặt phẳng song song với đáy để được một hình chóp cụt thì hình chóp cụt đó được gọi là hình chóp cụt đều. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Cho ba mặt phẩng («), (p), (y). những mệnh đề nào sau I Nếu (a) 1 (p) và (có // (y) thi (P) ± (y). Nếu (a) 1 (P) và (a) 1 (y) thì (p) // (y). ("Cm Lời: a) Đúng; b) Sai. Cho hai mật phung (ơ) và (P) vuông góc vói nhau. Người ta lấy trên giao tuyến A của hai mặt phẫng đó hai điểm A và B sao cho AB = s cm. Gọi c là một điểm trên (a) và D là một điểm trên (P) sao cho AC và BD cùng vuông góc với giao tuyên A và AC = 6 cm, BD = 24 cm. Tính độ tlài đoạn CD. Ốịiẳl (a) 1 (p) và CA 1 A => CA 1 íp) => CA 1 DA nên AADC vuông ở A. DB 1 A => DB ± AB => ABAD vuông ở B. Do đó: CD2 = AD2 + AC2 = BD2 + AB2 + AC2 = 242 + 82 + 62 = 676 => CD = 26 (cm). Trong mặt phẳng (ct) cho tam giác ABC vuông ("I B. Một đoạn thẳng AD vuông góc với (a) tại A. Chứng minh rằng: ABD là góc giữa hai mật phẵng (ABC) và (DBC). Mặt phẳng (ABD) vuông góc vời mặt phăng (BCD). HK // BC vđi H và K lần lượt là giao điểm của DB và DC vói mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc vời DB. A, A. A-, ỐỊiải Ta có: AD 1 (ABC) => AD 1 BC, mà BC ± AB nên BC 1 (ABD) => BC 1 BD. ÍAB1BC Ta có: => ABD là góc giữa [BD1BC hai mặt phẳng (ABC) và (DBC). Vì BC 1 (ABD) nên (BCD) 1 (ABD). DB 1 (AHK) tại H nên DB 1 HK. Trong mặt phẳng (BCD) ta có HK ± BD và BC 1 BD do đó HK // BC. Cho hai mặt phẫng (a), (P) tắt nhau và một điểnt M không thuộc (a) và không thuộc (p). Chứng minh rằng qua điểm M có một và chí một mặt phẳng (P) vuông góc với (a) và (P). Nếu (a) song song vơi (P) thì kết quả trên sẽ thay đổi như thế nào ốỊiải Gọi a = (a) n (P). Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và vuông góc với a. Vì a c (a) và a 1 (P) nên (P) ± (a). Tương tự ta chứng minh được (P) ± (P). Như vậy qua điểm M có mặt phẳng (P) vuông góc với (a) và (p). Ngược lại nếu có mặt phẳng (P) đi qua điểm M và (P) vuông góc với (a) và (p) thì ta suy ra (P) ± a. Do tính duy nhất của mặt phẳng đi qua một điểm M và vuông góc với đường thẳng a nên mặt phẳng (P) là duy nhát. Nếu (a) // (P), ta gọi d là đường thẳng đi qua M và vuông góc với (a). Khi đó ta có d 1 (P) và mọi mặt phẳng (P) chứa d đều vuông góc với (a) và (p). Vậy khi (a) // (P) có vô số mặt phẳng (P) đi qua M và vuông góc với (ct) và (P). Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D'. Chứng minh rằng: Mặt phẵng (AB'C'D) vuông góc vơi mặt phẵng (BCD'A'). Đương thẳng AC' vuông góc vơi mặt phảng (A'BD). ỐỊiải a) Ta có AB' ± A’B (hai đường chéo hình vuông) AB' 1 BC (vì BC 1 (ABBA/) => AB'l(BCD'A') Mà AB’ c (AB'C'D) nên (AB'C'D) ± (BCDA') fA'BlAB' [a'BIB'C' b) Ta có A'Bl(ADC'B') Mà AC'c(ABC'B') nên ACIA'B (1) Tương tự A'D 1 (ABC'D') => A'D 1 AC' (2) Từ (1) và (2) suy ra AC' 1 (A'BD). Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thoi cạnh a và có SA = SB = sc = a. Chứng minh ràng: Mặt phẵng (ABCD) vuông góc vói mạt phẵng (SBD). Tam giác SBD là tam giác vuông. Ốịiảl Gọi o là tâm hình thoi ABCD. s AC1BDÌ AC ISO => ACl(SBD) => (ABCD) 1 (SBD) Vì SA = SB = SC = a và AB = BC = a nên ba tam giác SAC, BAC, DAC cân và bằng nhau. Do đó OS - OB = OD. Từ đó suy ra SBD là tam giác vuông tại s. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B C'D' có AB = a, BC = b, CC' = c. Chứng minh rằng mặt phẩng (ADCB') vuông góc vời mặt phầng (ABB'A'). Tính độ dài dường chéo AC' theo a, b, c. a) Vì AD1AB adiaa; Mặt phẳng (ADC'B') chứa AD nên ta suy ra (ADC'B') 1 (ABB'A'). Ta có: ADl(ABB'A') b) Ta có AC'2 = AC2 +CC'2 (AACC' vuông) A' a/ ! >x / "'id ✓ z z ✓ ✓ z B C' D' AC'2 = AB2 + BC2 + CC'2 (AABC vuông) AC'2 =a2 + b2 +c2. Vậy AC’ = Va2 + b2 + c2. Tính độ dài đường chéo cùa mót hình lập phương cạnh a. Ốịíải Áp dụng kết quả bài 7b với a = b = c ta có độ dài đường chéo hình lập phương AC' = v/ởa2 =a7? . Cho hình chóp lam giác đều S.ABC có SH là dương cao. Chứng minh SA -L BC và SB ± AC. x;. r. s ■ACl(SBH) => AC1SB. c/jiai Vì H là tâm của tam giác đều nên ta có: BC± AH và BC1SH. BCl(SAH) =>BC1SA BC1AHÌ Ta có: * r: BC1SHJ Tương tự ta có AC1BH và AC1SH Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên và các cạnh đáy đều bằng a. Gọi o là tâm cùa hình vuông ABCD. Tính độ dài đoạn thẳng SO. Gọi M là trung điểm của đoạn SC. Chứng minh hai mặt phẩng (MBD) và (SAC) vuông gòc vơi nhau. Tính độ dài đoạn OM và tính góc giữa hai mặt phẵng (MBD) và (ABCDI. tflai Ta có tứ giác ABCD là hình vuông có cạnh bằng a và so ± (ABCD). Do đó: - ---'O'. A a B 2 2 2 OM2 =4^- —= —■ Vậy OM = - 2 4 4 OM2 = oc2 - MC2 vì OMC là tam giác vuông tại M. a 2’ Vì MO 1 BD và CO 1BD với BD là giao tuyến của (MBD) và (ABCD) nên MOC là góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD). Tam giác MOC là vuông tại M nên: a sin MOC =-^7 = —=-7= => MOC = 45° oc aV2 V2 Vậy góc giữa hai mặt phẳng (MBD) và (ABCD) bằng 45°. 11 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thoi tâm I cạnh a và cỏ góc A bằng 60", cạnh sc - —— và sc vuông góc với mặt phảng (ABCDi. Chứng minh mặt phẵng (SBDl vuông góc vdi mặt phầng (SAC). Trong tam giác SCA kẻ IK vuông góc vđi SA tại K. Hãy tính độ dài 1K. Chứng minh BKD = yO" và từ dó suy ra mặt phẳng (SAB) vuông góc vứi mặt phẵng (SAD). CA -3A. SA = —-—a thay vào (1) Ốịiải Vì BDTAC và BD1SC nên BDl(SAC). Ta suy ra (SBD)l(SAC). Hình thoi ABCD được tạo thành bởi hai tam giác đều chung đáy. Hai tam giác vuông SCA và IKA có chung góc A nên đồng dạng, ta có: IK AI 77 = -—7 (!) SC AS Theo định lí Py-ta-go ta có: o A 2 <-.^-,2 „.2 6a' z rz\- 18a” SA — sc + CA =—-—b^aV3J — a Vó a 73 . TV _ SC.AI 2 2 a SA 372 2 2 SA1DB' SA1IK Vì IK = IB = ID = ^ >=>SA±(BDK) =>SA±BK và SA 1 DK. Vậy BKD là góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) và BKD = 90° nên ta suy ra (SAB) ±(SAD). c. BÀI TẬP LẦM THÊM Cho tam giác ABC vuông càn đỉnh B và AB = a. đoạn SA vuông góc với (ABC) và SA = av/3 . Gọi E và F lần lượt là trung điểm của sc và SB, M là một điểm trôn đoạn AB. Đặt AM = X (0 < X < a). Gọi ct là mặt phẳng chứa EM và vuông góc với (SAB). Hãy xác định mặt phẳng a và thiết diện của tứ diện SABC với ct. Chứng minh FM = Vx2 - ax + a 2. Tính diện tích của thiết diện theo a và X. Cho tam giác đều ABC cạnh a, I là trung điểm của BC, D là điểm đối xứng của A qua I. Dựng đoạn SD = ~~~ vuông góc với (ABC). Chứng minh: a) mp(SAB) ± mp(SAC) b) mp(SBC) ± mp(SAD). Cho hai tam giác ACD và BCD nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau, AC = AD = BC = a và CD = 2x. Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng IJ vuông góc với AB và IJ vuông góc với CD. Tính AB và IJ theo a và X. Xác định X sao cho (ABC) vuông góc với (ABD).
Các bài học tiếp theo
- Bài 5. Khoảng cách
- Bài tập ôn tập chương III
- Câu hỏi trắc nghiệm chương III
- Bài tập ôn tập cuối năm
Các bài học trước
- Bài 3. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
- Bài 2. Hai đường thẳng vuông góc
- Bài 1. Vectơ trong không gian
- Câu hỏi trắc nghiệm chương II
- Bài tập ôn tập chương II
- Bài 4. Hai mặt phẳng song song
- Bài 3. Đường thẳng và mặt phẳng song song
- Bài 2. Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song
- Bài 1. Đại cương về dường thẳng và mặt phẳng
- Câu hỏi trắc nghiệm chương I
Tham Khảo Thêm
- Sách Giáo Khoa - Đại Số và Giải Tích 11
- Sách Giáo Khoa - Hình Học 11
- Giải Bài Tập Toán 11 Đại Số
- Giải Bài Tập Toán 11 Hình Học(Đang xem)
- Giải Toán 11 Đại Số và Giải Tích
- Giải Toán 11 Hình Học
- Giải bài tập Đại số và Giải tích 11
- Giải bài tập Hình học 11
Giải Bài Tập Toán 11 Hình Học
- Chương I. Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng
- Bài 1. Phép biến hình - Bài 2. Phép tịnh tiến
- Bài 3. Phép đối xứng trục
- Bài 4. Phép đối xứng tâm
- Bài 5. Phép quay
- Bài 6. Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau
- Bài 7. Phép vị tự
- Bài 8. Phép đồng dạng
- Bài tập ôn tập chương I
- Câu hỏi trắc nghiệm chương I
- Chương II: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song
- Bài 1. Đại cương về dường thẳng và mặt phẳng
- Bài 2. Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song
- Bài 3. Đường thẳng và mặt phẳng song song
- Bài 4. Hai mặt phẳng song song
- Bài tập ôn tập chương II
- Câu hỏi trắc nghiệm chương II
- Chương III. Vectơ trong không gian, quan hệ vuông góc trong không gian
- Bài 1. Vectơ trong không gian
- Bài 2. Hai đường thẳng vuông góc
- Bài 3. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
- Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc(Đang xem)
- Bài 5. Khoảng cách
- Bài tập ôn tập chương III
- Câu hỏi trắc nghiệm chương III
- Bài tập ôn tập cuối năm
