- Home
- Lớp 1,2,3
- Lớp 1
- Giải Toán Lớp 1
- Tiếng Việt Lớp 1
- Lớp 2
- Giải Toán Lớp 2
- Tiếng Việt Lớp 2
- Văn Mẫu Lớp 2
- Lớp 3
- Giải Toán Lớp 3
- Tiếng Việt Lớp 3
- Văn Mẫu Lớp 3
- Giải Tiếng Anh Lớp 3
- Lớp 4
- Giải Toán Lớp 4
- Tiếng Việt Lớp 4
- Văn Mẫu Lớp 4
- Giải Tiếng Anh Lớp 4
- Lớp 5
- Giải Toán Lớp 5
- Tiếng Việt Lớp 5
- Văn Mẫu Lớp 5
- Giải Tiếng Anh Lớp 5
- Lớp 6
- Soạn Văn 6
- Giải Toán Lớp 6
- Giải Vật Lý 6
- Giải Sinh Học 6
- Giải Tiếng Anh Lớp 6
- Giải Lịch Sử 6
- Giải Địa Lý Lớp 6
- Giải GDCD Lớp 6
- Lớp 7
- Soạn Văn 7
- Giải Bài Tập Toán Lớp 7
- Giải Vật Lý 7
- Giải Sinh Học 7
- Giải Tiếng Anh Lớp 7
- Giải Lịch Sử 7
- Giải Địa Lý Lớp 7
- Giải GDCD Lớp 7
- Lớp 8
- Soạn Văn 8
- Giải Bài Tập Toán 8
- Giải Vật Lý 8
- Giải Bài Tập Hóa 8
- Giải Sinh Học 8
- Giải Tiếng Anh Lớp 8
- Giải Lịch Sử 8
- Giải Địa Lý Lớp 8
- Lớp 9
- Soạn Văn 9
- Giải Bài Tập Toán 9
- Giải Vật Lý 9
- Giải Bài Tập Hóa 9
- Giải Sinh Học 9
- Giải Tiếng Anh Lớp 9
- Giải Lịch Sử 9
- Giải Địa Lý Lớp 9
- Lớp 10
- Soạn Văn 10
- Giải Bài Tập Toán 10
- Giải Vật Lý 10
- Giải Bài Tập Hóa 10
- Giải Sinh Học 10
- Giải Tiếng Anh Lớp 10
- Giải Lịch Sử 10
- Giải Địa Lý Lớp 10
- Lớp 11
- Soạn Văn 11
- Giải Bài Tập Toán 11
- Giải Vật Lý 11
- Giải Bài Tập Hóa 11
- Giải Sinh Học 11
- Giải Tiếng Anh Lớp 11
- Giải Lịch Sử 11
- Giải Địa Lý Lớp 11
- Lớp 12
- Soạn Văn 12
- Giải Bài Tập Toán 12
- Giải Vật Lý 12
- Giải Bài Tập Hóa 12
- Giải Sinh Học 12
- Giải Tiếng Anh Lớp 12
- Giải Lịch Sử 12
- Giải Địa Lý Lớp 12
Trang Chủ ›
Lớp 11›
Giải Bài Tập Toán 11›
Giải Bài Tập Toán 11 Hình Học›
Bài 5. Khoảng cách Giải toán 11 Bài 5. Khoảng cách
§5. KHOẢNG CÁCH A. KIẾN THỨC Cơ BẢN Định nghĩa 1 Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (P) (hoặc đến đường thẳng A) là khoảng cách giữa hai điểm M và H trong đó H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng (P) (hoặc trên đường thẳng A). Định nghĩa 2 Khoảng cách giữa đường thẳng a và mặt phẳng (P) song song với a là khoảng cách từ một điểm nào đó của a đến mặt phẳng (P). Định nghĩa 3 Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song là khoảng cách từ một điểm bất kì của mặt phẳng này đến mặt phẳng kia, Định nghĩa 4 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó. * Cách tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau Giả sử a và b là hai đường chéo nhau và a 1 b. Ta dựng mặt phẳng (a) chứa a và vuông góc với b tại B. Trong (a) dựng BA ± a tại A, ta được độ dài đoạn AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b. Giả sử a và b là hai đường thẳng chéo nhau nhưng không vuông góc với nhau. Cách 1: Ta dựng mặt phẳng (oc) chứa a và song song với b. Lấy một điểm M tùy ý trên b dựng MM' ± (a) tại M': Từ M' dựng b' // b cắt a tại A. Từ A dựng AB // MM' cắt b tại B, độ dài đoạn AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b. Cách 2: Ta dựng mặt phẳng (a) 1 a tại o, (a) cắt b tại I. Dựng hình chiếu vuông góc của b là b’ trên (a). Trong mặt phẳng (a), vẽ OH lb1, H Ễ b'. Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B. Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A. Độ dài đoạn AB là khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau a và b. B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Trong cát mệnh dề sau đây mệnh đề nào là đúng ? Đường thẳng A là đường vuông góc chung của hai đường thẳng a và b nếu A vuông góc vdi a và A vuông góc với b. Gọi (P) là mặt phảng song song vởi cả hai đường thẳng a, b chéo nhau. Khi đó đường vuông góc chung A của a và b luôn luôn vuông góc vdi (P). Gọi A là đường vuông góc chung cùa hai đường thẳng chéo nhau a và b thì A là giao tuyến của hai mặt phẩng (a, A) và (b, A). Cho hai đưílng thẳng chéo nhau a và b. Đường thẳng nào đi qua một điểm M trên a đồng thời cắt b tại N và vuông góc vói b thì dó là dường vuông góc chung của a và b. Đường vuông góc chung A của hai đường thẳng chéo nhau a và b nằm trong mặt phảng chứa đưỉlng này và vuông góc với đường kia. ‘TíV? lời: a) Sai; b) Đúng; c) Đúng; d) Sai; e) Sai. Cho tư diện S.ABC có SA vuông góc vdi mặt phẵng (ABC). Gọi H, K lần lượt là trực tâm cùa các tam giác ABC và SBC. Chứng minh ba đường thẳng AH, SK. BC đồng quy. Chứng minh rằng SC vuông góc vdi mặt phẵng (BHK) và HK vuông góc vời mật phảng (SBC). Xác định đường vuông góc chung cùa BC và SA. éjiải Gọi E là giac điểm của AH và BC. Ta có SA±(ABC)=>SA±BC. ÍBC1AE O ' ^BCl(SAE) => BC ± se. [BC1SA Vậy ba đường thẳng AH, SK, BC đồng quy tại E. b) Ta có: • BH1 (SAC) => BH1 SC SA1BH AC1BH Ta có Từ ■SCl(BHK). SC1BH SC1BK SC 1 (BHK) => sc 1 HK; BC 1 (SAE) => BC 1 HK „„ =>HK±(SBC) x A- HK1BC Ta có AE 1 SA và AE1BC nên AE là đường vuông góc chung của SA và BC. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C’D' tạnh a. Chứng minh rằng cát khoảng tách tư tát điếm B, c, D, A', B', D' đến đương chéo AC' đều bằng nhau. Tính khoảng tách đó. Ốịlải 1 BI2 - BI = a AB2 2 _ ABC' ià tam giác vuông tại B có AB = a và BC' = aự2. Độ dài đường cao BI là khoảng cách từ B tới đường thẳng AC'. Do đó: 2a2 ' BC'2 a2 + 2a2 a Tó 3 Khoảng cách từ các điểm B, c, D, A', B', D' đến đường chéo AC đều bằng nhau vì chúng đều là độ dài đường cao của các tam giác vuông bằng nhau (vì có hai cạnh góc vuông tương ứng bằng nhau). Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C'D’ tó AB = a, BC = b, CC' = t. Tính khoảng cách từ B đến mặt phẩng (ACCA’). Tính khoảng cách giữa hai đương thẳng BB' và AC. Ốjiảí Trong mặt phẳng (ABCD) kẻ BH 1 AC tại H thì BH 1 (ACCA'). (vì BH 1 AC và BH1CC). Khi đó BH là khoảng cách từ B tới mặt phẳng (ACCA’). Xét tam giác vuông ABC ta có: 1 1 _a2+b2 a2 + b2’ a2b2 1 11 1 1 a2 + b2 ab Ta2+b2 BH2 AB2 BC + - b) Mặt phẳng (ACCA') chứa AC và song song với BB' nên khoảng cách giữa BB' và AC’ chính là ab khoảng cách BH 2+b! 5. Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D Chứng minh rằng B’D vuông góc vơi mặt phẵng (BA'C). Tính khoảng cách giữa hai mặt phẫng (BA'C) và (ACD'). Tính khoảng cách giữa hai đương thăng BC' và CD'. a) Ta có: Từ A'C’IB'D' A'C'IDD BC'IB'C BC' 1 DC : DB'1 A'C' , => A'C' 1 (BB'D'D) =} A'C' 1 DB' BC' 1 (DCB'A') => BC' 1 DB' DB'l(BA'C') DB'IBC' b) Hai mặt phẳng (BAC) và (ACD’) có BC7/AD' A’C' // AC (BA'C')//(ACD') Gọi I và H lần lượt là giao điểm của DB' với D'O và BO'. Trong hình chữ nhật DBB'D' ta có DI = ị IB'và B'H = -^-DH nên DI = IH = HB'= ỊdB'=> 1H = ^5- 2 2 3 3 a /3 Vậy khoảng cách giữa hai mặt phẳng (BA'C) và (ACD') là ——-• c) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau BC và CD’ bằng khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song (BA'C) và (ACD’) lần lượt chứa hai đường thẳng chéo nhau đó. Ta suy ra khoảng cách giữa hai đường thẳng /7 ' BC'và CD' là (1=^7—• 3 6. Chứng minh rằng nếu dương thẳng nối trung điểm hai cạnh AB và CD của tứ diện ABCD là dương vuông góc chung của AB và CD thì AC = BD và AD = BC. Ốịlải Gọi I, K lần lượt là trung điểm của cạnh AB và CD. Qua K kẻ đường thẳng d // AB, trên d lấy A', B’ sao cho K là trung điểm của A'B' và KA' = IA. Ị Ta có B'C = A'D (vì AKB'C = AKA'D). Vì BB7/AA7/IK mà IK là đường vuông góc chung của AB và CD nên BB' 1 B'C và AA' 1 A'D. Hại lam giác vuông BCB' và ADA' có BB' = AA' và CB' = A'D nên la suy ra AD = BC. Chứng minh tương tự ta có AC = BD. Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng 3a, cạnh bên bằng 2a. Tính khoảng cách lừ s tdi mặt đáy (ABC). Ốịlảl Cọi H là tâm của tam giác đều ABC. Khoảng cách từ s tới mp(ABC) bằng độ dài đường cao SH của hình chóp. Gọi I là giao điểm AH và BC AH= |aI= = |.3a^ = aự3. 3 3 2 SH2 = SA2 - AH2 = 4a2 - 3a2 = a2 => SH = a. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a. Tính khoảng cách giữa hai cạnh đối của tứ diện đều đó. -yD Ốịiải Gọi I và K lần lượt là các trung điểm của BC và AD. Ta có IA = ID (hai trung luyến của hai tam giác đều bằng nhau), do đó IK 1 AD. Tương lự IK 1 BC. Vậy IK là đường vuông góc chung của hai cạnh đối diện AD và BC của tứ diện đều. 1^3 2a2 Tam giác AIK vuông tại K nên: IK2 = AI2 - AK2 = => AK = —— . c. BÀI TẬP LÀM THÊM Trong hai mặt phẳng vuông góc (P) và (Q) cho hai tam giác cân ACD và BCD có chung đáy CD = 2x và các cạnh khác có độ dài a. Gọi M và N là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng MN là đường vuông góc chung của AB và CD. Tính theo a và X độ dài các đoạn AB và MN. Tứ diện OABC có OA = OB = oc = a và ẤÕÌ = Ấõc = 60°; BOC = 90°. Tính độ dài các cạnh còn lại của tứ diện và chứng minh rằng ABC là tam giác vuông. Chứng minh OA ± BC, gọi I, J lần lượt là trung điểm của OA và BC, chứng minh rằng IJ là đường vuông góc chung của OA và BC. Chứng minh rằng (ABC) JL (BOC). Tính độ dài đoạn IJ theo a.
Các bài học tiếp theo
- Bài tập ôn tập chương III
- Câu hỏi trắc nghiệm chương III
- Bài tập ôn tập cuối năm
Các bài học trước
- Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc
- Bài 3. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
- Bài 2. Hai đường thẳng vuông góc
- Bài 1. Vectơ trong không gian
- Câu hỏi trắc nghiệm chương II
- Bài tập ôn tập chương II
- Bài 4. Hai mặt phẳng song song
- Bài 3. Đường thẳng và mặt phẳng song song
- Bài 2. Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song
- Bài 1. Đại cương về dường thẳng và mặt phẳng
Tham Khảo Thêm
- Sách Giáo Khoa - Đại Số và Giải Tích 11
- Sách Giáo Khoa - Hình Học 11
- Giải Bài Tập Toán 11 Đại Số
- Giải Bài Tập Toán 11 Hình Học(Đang xem)
- Giải Toán 11 Đại Số và Giải Tích
- Giải Toán 11 Hình Học
- Giải bài tập Đại số và Giải tích 11
- Giải bài tập Hình học 11
Giải Bài Tập Toán 11 Hình Học
- Chương I. Phép dời hình và phép đồng dạng trong mặt phẳng
- Bài 1. Phép biến hình - Bài 2. Phép tịnh tiến
- Bài 3. Phép đối xứng trục
- Bài 4. Phép đối xứng tâm
- Bài 5. Phép quay
- Bài 6. Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau
- Bài 7. Phép vị tự
- Bài 8. Phép đồng dạng
- Bài tập ôn tập chương I
- Câu hỏi trắc nghiệm chương I
- Chương II: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song
- Bài 1. Đại cương về dường thẳng và mặt phẳng
- Bài 2. Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song
- Bài 3. Đường thẳng và mặt phẳng song song
- Bài 4. Hai mặt phẳng song song
- Bài tập ôn tập chương II
- Câu hỏi trắc nghiệm chương II
- Chương III. Vectơ trong không gian, quan hệ vuông góc trong không gian
- Bài 1. Vectơ trong không gian
- Bài 2. Hai đường thẳng vuông góc
- Bài 3. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
- Bài 4. Hai mặt phẳng vuông góc
- Bài 5. Khoảng cách(Đang xem)
- Bài tập ôn tập chương III
- Câu hỏi trắc nghiệm chương III
- Bài tập ôn tập cuối năm
