Giải Toán 11: Vấn đề 2. Dãy Số - Giải Bài Tập

• Home
• Lớp 1,2,3
  • Lớp 1
  • Giải Toán Lớp 1
  • Tiếng Việt Lớp 1
  • Lớp 2
  • Giải Toán Lớp 2
  • Tiếng Việt Lớp 2
  • Văn Mẫu Lớp 2
  • Lớp 3
  • Giải Toán Lớp 3
  • Tiếng Việt Lớp 3
  • Văn Mẫu Lớp 3
  • Giải Tiếng Anh Lớp 3
• Lớp 4
  • Giải Toán Lớp 4
  • Tiếng Việt Lớp 4
  • Văn Mẫu Lớp 4
  • Giải Tiếng Anh Lớp 4
• Lớp 5
  • Giải Toán Lớp 5
  • Tiếng Việt Lớp 5
  • Văn Mẫu Lớp 5
  • Giải Tiếng Anh Lớp 5
• Lớp 6
  • Soạn Văn 6
  • Giải Toán Lớp 6
  • Giải Vật Lý 6
  • Giải Sinh Học 6
  • Giải Tiếng Anh Lớp 6
  • Giải Lịch Sử 6
  • Giải Địa Lý Lớp 6
  • Giải GDCD Lớp 6
• Lớp 7
  • Soạn Văn 7
  • Giải Bài Tập Toán Lớp 7
  • Giải Vật Lý 7
  • Giải Sinh Học 7
  • Giải Tiếng Anh Lớp 7
  • Giải Lịch Sử 7
  • Giải Địa Lý Lớp 7
  • Giải GDCD Lớp 7
• Lớp 8
  • Soạn Văn 8
  • Giải Bài Tập Toán 8
  • Giải Vật Lý 8
  • Giải Bài Tập Hóa 8
  • Giải Sinh Học 8
  • Giải Tiếng Anh Lớp 8
  • Giải Lịch Sử 8
  • Giải Địa Lý Lớp 8
• Lớp 9
  • Soạn Văn 9
  • Giải Bài Tập Toán 9
  • Giải Vật Lý 9
  • Giải Bài Tập Hóa 9
  • Giải Sinh Học 9
  • Giải Tiếng Anh Lớp 9
  • Giải Lịch Sử 9
  • Giải Địa Lý Lớp 9
• Lớp 10
  • Soạn Văn 10
  • Giải Bài Tập Toán 10
  • Giải Vật Lý 10
  • Giải Bài Tập Hóa 10
  • Giải Sinh Học 10
  • Giải Tiếng Anh Lớp 10
  • Giải Lịch Sử 10
  • Giải Địa Lý Lớp 10
• Lớp 11
  • Soạn Văn 11
  • Giải Bài Tập Toán 11
  • Giải Vật Lý 11
  • Giải Bài Tập Hóa 11
  • Giải Sinh Học 11
  • Giải Tiếng Anh Lớp 11
  • Giải Lịch Sử 11
  • Giải Địa Lý Lớp 11
• Lớp 12
  • Soạn Văn 12
  • Giải Bài Tập Toán 12
  • Giải Vật Lý 12
  • Giải Bài Tập Hóa 12
  • Giải Sinh Học 12
  • Giải Tiếng Anh Lớp 12
  • Giải Lịch Sử 12
  • Giải Địa Lý Lớp 12

Trang Chủ › Lớp 11› Giải Bài Tập Toán 11› Giải Toán 11 Đại Số và Giải Tích› Vấn đề 2. Dãy số Giải Toán 11: Vấn đề 2. Dãy số

• 
• 
• 
• 
• 
• 
• 

VẤN ĐỂ 2. DÃY SỐ A. Kiến thức cần nhớ Dãy số vô hạn: Là một hàm số xác định trên tập hợp các số nguyên dương N*. Dãy sô hữu hạn: Là một hàm sô xác định trên tập hợp m sô nguyên dương đầu tiên (m là số nguyên dương cho trước). Dãy số tăng: (un) là dãy số tăng c> Vn, un+1 - un > 0. Dãy sô' giảm: (un) là dãy số giảm o V n, un+1 - un < 0. Dãy số không đổi: (un) là dãy số không đổi e> Vn, un+1 - un = 0. Dãy số bị chặn trên: Dãy số vô hạn (un) là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại M sao cho un M V n e N*. Dãy số bị chặn dưới: Dãy số vô hạn (un) là dãy sô' bị chặn dưới nếu tồn tại sô' m sao cho un > m V n G N*. Dãy sô bị chặn: Là dãy sô vừa bị chặn trên, vừa*bị chặn dưới. Bài 1 B. Giải bài tập sách giáo khoa Viết năm sô hạng đầu của các dãy số có số hạng tổng quát UH cho bởi công thức: 2n -1 a) u„ = c) un = n 2" - 1 ( 1?" 1 + — V n. b) u„ = d) u„ = 2“ +1 n Học sinh tự giài. Bài 2 Cho dãy (un), biết: „ Ul z 71’ U‘1+À= U'.1 + í với.n “ L • Viết năm số hạng đầu của day số. Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: un - 3n - 4. Giải -1, 2, 5, 8, 11. Chứng minh un = 3n - 4 bằng phương pháp quy nạp: Với n = 1 thì ur = -1 = 3.1 4 đúng. Giả sử đã có uk = 3k - 4 với k > 1. Theo công thức của dãy số và giả thiết quy nạp, ta có Uk+1 = nk + 3 = 3k - 4 + 3 = 3(k + 1) - 4. Vậy công thức đã được chứng minh. Bài 3 Dãy số (un) cho bởi: ux = 3; un+1 = V1 + un > n 1 Viết năm số hạng đầu của dãy số. Dự đoán công thức số hạng tổng quát un và chứng minh bằng phương pháp quy nạp. Giái 3, 7ĨÕ, 7ĨĨ, 7Ĩ2, 7Ĩ3 Viết 3 = 79 và nhận xét 79 = 7l + 8 7w = 72 + 8 7n = 73 + 8 7Ĩ2 = 74 + 8 Dự đoán un = 7n + 8 với n e N*. (1) Chứng minh công thức (1) bằng quy nạp: Với n = 1, rõ ràng công thức (1) là đúng. Giả sử đã có uk = 7k + 8 với k > 1. Theo công thức dãy số có uk+| — -ựl + uk = "J 1 + (7k + 8*)~ = 7< k + 1) + 8 . Như vậy công thức (1) đúng với n = k + 1. Do đó, công thức (1) đã được chứng minh. Bài 4 Xét tính tăng, giảm cua các dãy sô (un), biết: a) un =i-2 b) un n n + 1 c) u„ = (-l)"(2n+l) d) un = 2n + 1 5n + 2 ạ) Xét hiệu un+1 — un = Giải -2- Vi <- nên un+1 -un — -2 1 1 Ị n n + 1 n n + Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm, b) Xét hiệu n+1-1 n-1 - —- < 0 với mọi n e N*. ‘n+1 n+1+1 n+1 n+2 n2 + n - n2 - n + 2 (n + l)(n + 2) (n + l)(n + 2) Vậy un+1 > un với mọi n G hay dãy số là tăng. Các số hạng đan dâu vì thừa số (-1)", nên dãy sô' không tăng và cũng không giảm. Làm tương tự như câu a) và b) hoặc lập tỉ số 5n + 2 2n + 3 _ 10n2 + 19n + 6 un 2n + 1 5n + 7 - 10n2 + 19n + 7 rồi so sánh với 1. Đáp số: Dãy số giảm. Bài 5 Trong các dãy số (un) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn? 1 a) un = 2n - 1 C) un = 2n2 -1 b) un = n(n + 2) d) un = sin n + COS n Giiii Dãy số’ bị chặn dưới vì un = 2n2 - 1 > 1 với mọi n e N* và không bị chặn trền vì khi n lớn vô cùng thì 2n2 - 1 cũng lớn vô cùng. Dễ thấy un > 0 với mọi n e N*. Mặt khác, vì n > 1 nên n2 > 1 và 2n > 2. Do đó n(n + 2) - n2 + 2n > 3, suy ra 1 _ 1 < —. n(n + 2) 3 Vậy dãy sô' bị chặn vì 0 < un < — với mọi n e PT. O c) Vì n > 1 nên 2n2 - 1 > 0, suy ra 2n2 -1 Vì n2 > 1 nên 2n2 > 2 hay 2n2 - 1 > 1, suy ra (un) là một dãy số tăng. Gợi ý: Xét hiệu un+1 - un. (a j là một dãy số giảm. Dễ thấy xn > 0 V n > 1. Hơn nữa, ta có xn n + 1 3n+1 3(n +1) , = ■——- = ——— >1 Vn > 1 xn+1 3“ n + 2 n + 2 Suy ra (xn) là một dãy số giảm. Vậy 0 < un < 1, tức là dãy số (un) bị chặn, d) Dãy số bị chặn vì -Ti < sinn + cosn < 72. Chú ý rằng, theo kết quả của lượng giác thì -V2 tuy nhiên dấu bằng không thể xảy ra. c. Bài tập bổ sung Bài 1 Hãy xét tính đơn điệu của các dãy sô sau: Dãy số (un) với UQ = n3 - 3n2 + 5n - 7; Dãy số (an) với an = Tn + 1 - Tn ; n +1 Dãy số (xn) với xn n . >2£ Giải Chứng minh rằng dãy số (u ), với n + (-l)n un = , , ,2n + 1 là một dãy sô bị chặn. -> Bài 2 n - 1 Dễ thấy - u Mà n-1 2n + 1 > 0 và Giải 1. 11 2n + 1 n + 1 1, 2n + 1 2n + 1 nên 0 1. Do đó (u„) là một dãy số bi chặn, n n • J Bài 3 Chứng minh rằng dãy số (un), với 2n + 3 U.. = - . - - - ,3n + 2 là một dãy sô giảm và bị chặn. Giầi Ta có un + . 3 3(3n + 2) _ 5/ Từ đó suy ra Un+1 un - T r, . r 3 V3n + 5 Vì vậy (un) là một dãy số giảm. 1 1. 3n + 2 j 1. Do đó (un) là một dãy số bị chặn. Bài 4 _ - an + 3 Hãy xác định sô thực a để dãy số (un), với un = — -, là “ . 3n + 2 Một dãy sô tăng. Một dãy số giảm. Giải Ta có ur _ a 9 - 2a = *3 3(3n + 2) 1 1 _ 2a - 9 + 5 3n + 2 J (3n + 2)(3n + 5) (uu) là một dãy số tăng un+1 - un > 0 V n > 1 ’ 9 2a-9>0a>-7- 2 (un) là một dãy số giảm un+1 - un 1 „ 9 2a-9a<-2- Bài 5 ' l 1 1 > A Cho dãy sô (un) xác định bởi Uj = 3 và un+1 = un + 5 với mọi n > 1. Hãy tính u9, u4 và Ug. Chứng minh rằng u = 5n - 2 với mọi n > 1. V 1 Giải Học sinh tự giải. Bằng phương pháp quy nạp, ta sẽ chứng minh un = 5n - 2 (1) với mọi n e PT. Với n - 1, ta có Uj - 3 = 5.1 - 2. Như thế (1) đúng khi n = 1. Giá sử (1) đúng khi n - k, k e ta sẽ chứng minh nó cùng đúng khi n = k + 1. Thật vậy, từ công thức xác định dãy số (un) và giả thiết quy nạp ta có Uk+1 = uk + 5 = 5k-2 + 5 = 5(k + 1) - 5. Từ các chứng minh trên suy ra (1) đúng với mọi n e N*. Do đó un+1 -un = Từ đó suy ra 3i D. Bài tập đề nghị Bài 1 Cho dãy số (un), biết: 5 1 U1 = 1. u2 =p un = |(3un-l -Un-2) vdi n ^3. Viết năm số hạng đầu của dãy số. Viết và chứng minh công thức của số hạng tổng quát un. Xét tính tăng, giảm của c a) u, Bài 2 :ác dãy số (un), biết: = ỉ-2 n-ì b)un=~77 c)un=(-l)n(2n+l) n 2n +1 5n + 2 d) un = n + 1 n un = 2n + COS— n Bài 3 Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn? a) un = 2n2 - 1 b) Un = n(n + 2) _ 1 C) un - —7 d) un = sinn + cosn 2n2 -1 Bài 4 Hãy xét tính đơn điệu của các dãy số sau: Dãy số (an) với an = 2n3 - 5n + 1. Dãy số (bn) với bn = 3" - n. n Dãy sô (cn) với c = —— n + 1 Bài 5 Hãy xét tính đơn điệu của các dãy số sau: ’ . _ 3n . _ Vữ Dãy số (un) với un = ; b) Dãy số (vu) với vn - —; „ , ' 3" Dãy sô (an) với an = —. n Bài 6 Xét tính đơn điệu của các dãy sô sau: 3n2 - 2n + 1 Dãy số (a„) với a„ = — . 2 ,n+.1, t n + n + 1 Dãy số (b ) với bn = ■ . 2n + 1 Bài 7 Xét tính đơn điệu của các dãy số sau: Dãy số (un) với un = n - Vn2 - 1. ựn + 1 - 1 Dãy số (vn) với vn = . Bài 8 71 Cho dãy số (un) với un = sm(2n - 1) —. O Chứng minh rằng un - un+3 với mọi n > 1. Hãy tính tổng 17 số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.

Các bài học tiếp theo

• Vấn đề 3. Cấp số cộng
• Vấn đề 4. Cấp số nhân
• Ôn tập chương III
• Vấn đề 1. Giới hạn của dãy số
• Vấn đề 2. Giới hạn của hàm số
• Vấn đề 3. Hàm số liên tục
• Ôn tập chương IV
• Vấn đề 1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
• Vấn đề 2. Qui tắc tính đạo hàm
• Vấn đề 3. Đạo hàm các hàm số lượng giác

Các bài học trước

• Vấn đề 1. Phương pháp qui nạp toán học
• Ôn tập chương II
• Vấn đề 5. Xác suất của biến cố
• Vấn đề 4. Phép trừ và biến cố
• Vấn đề 3. Nhị thức NewTon
• Vấn đề 2. Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp
• Vấn đề 1. Qui tắc đếm
• Ôn tập chương I
• Vấn đề 3. Một số phương trình lượng giác thường gặp
• Vấn đề 2. Phương trình lượng giác cơ bản

Tham Khảo Thêm

• Sách Giáo Khoa - Đại Số và Giải Tích 11
• Sách Giáo Khoa - Hình Học 11
• Giải Bài Tập Toán 11 Đại Số
• Giải Bài Tập Toán 11 Hình Học
• Giải Toán 11 Đại Số và Giải Tích(Đang xem)
• Giải Toán 11 Hình Học
• Giải bài tập Đại số và Giải tích 11
• Giải bài tập Hình học 11

Giải Toán 11 Đại Số và Giải Tích

• CHƯƠNG I. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC
• Vấn đề 1. Hàm số lượng giác
• Vấn đề 2. Phương trình lượng giác cơ bản
• Vấn đề 3. Một số phương trình lượng giác thường gặp
• Ôn tập chương I
• CHƯƠNG II. TỔ HỢP - XÁC SUẤT
• Vấn đề 1. Qui tắc đếm
• Vấn đề 2. Hoán vị - Chỉnh hợp - Tổ hợp
• Vấn đề 3. Nhị thức NewTon
• Vấn đề 4. Phép trừ và biến cố
• Vấn đề 5. Xác suất của biến cố
• Ôn tập chương II
• CHƯƠNG III. DÃY SỐ CẤP SỐ CỘNG VÀ CẤP SỐ NHÂN
• Vấn đề 1. Phương pháp qui nạp toán học
• Vấn đề 2. Dãy số(Đang xem)
• Vấn đề 3. Cấp số cộng
• Vấn đề 4. Cấp số nhân
• Ôn tập chương III
• CHƯƠNG IV. GIỚI HẠN
• Vấn đề 1. Giới hạn của dãy số
• Vấn đề 2. Giới hạn của hàm số
• Vấn đề 3. Hàm số liên tục
• Ôn tập chương IV
• CHƯƠNG V. ĐẠO HÀM
• Vấn đề 1. Định nghĩa và ý nghĩa của đạo hàm
• Vấn đề 2. Qui tắc tính đạo hàm
• Vấn đề 3. Đạo hàm các hàm số lượng giác
• Vấn đề 4. Vi phân
• Vấn đề 5. Đạo hàm cấp cao
• Ôn tập chương V
• Ôn tập cuối năm