- Home
- Lớp 1,2,3
- Lớp 1
- Giải Toán Lớp 1
- Tiếng Việt Lớp 1
- Lớp 2
- Giải Toán Lớp 2
- Tiếng Việt Lớp 2
- Văn Mẫu Lớp 2
- Lớp 3
- Giải Toán Lớp 3
- Tiếng Việt Lớp 3
- Văn Mẫu Lớp 3
- Giải Tiếng Anh Lớp 3
- Lớp 4
- Giải Toán Lớp 4
- Tiếng Việt Lớp 4
- Văn Mẫu Lớp 4
- Giải Tiếng Anh Lớp 4
- Lớp 5
- Giải Toán Lớp 5
- Tiếng Việt Lớp 5
- Văn Mẫu Lớp 5
- Giải Tiếng Anh Lớp 5
- Lớp 6
- Soạn Văn 6
- Giải Toán Lớp 6
- Giải Vật Lý 6
- Giải Sinh Học 6
- Giải Tiếng Anh Lớp 6
- Giải Lịch Sử 6
- Giải Địa Lý Lớp 6
- Giải GDCD Lớp 6
- Lớp 7
- Soạn Văn 7
- Giải Bài Tập Toán Lớp 7
- Giải Vật Lý 7
- Giải Sinh Học 7
- Giải Tiếng Anh Lớp 7
- Giải Lịch Sử 7
- Giải Địa Lý Lớp 7
- Giải GDCD Lớp 7
- Lớp 8
- Soạn Văn 8
- Giải Bài Tập Toán 8
- Giải Vật Lý 8
- Giải Bài Tập Hóa 8
- Giải Sinh Học 8
- Giải Tiếng Anh Lớp 8
- Giải Lịch Sử 8
- Giải Địa Lý Lớp 8
- Lớp 9
- Soạn Văn 9
- Giải Bài Tập Toán 9
- Giải Vật Lý 9
- Giải Bài Tập Hóa 9
- Giải Sinh Học 9
- Giải Tiếng Anh Lớp 9
- Giải Lịch Sử 9
- Giải Địa Lý Lớp 9
- Lớp 10
- Soạn Văn 10
- Giải Bài Tập Toán 10
- Giải Vật Lý 10
- Giải Bài Tập Hóa 10
- Giải Sinh Học 10
- Giải Tiếng Anh Lớp 10
- Giải Lịch Sử 10
- Giải Địa Lý Lớp 10
- Lớp 11
- Soạn Văn 11
- Giải Bài Tập Toán 11
- Giải Vật Lý 11
- Giải Bài Tập Hóa 11
- Giải Sinh Học 11
- Giải Tiếng Anh Lớp 11
- Giải Lịch Sử 11
- Giải Địa Lý Lớp 11
- Lớp 12
- Soạn Văn 12
- Giải Bài Tập Toán 12
- Giải Vật Lý 12
- Giải Bài Tập Hóa 12
- Giải Sinh Học 12
- Giải Tiếng Anh Lớp 12
- Giải Lịch Sử 12
- Giải Địa Lý Lớp 12
Trang Chủ ›
Lớp 11›
Giải Bài Tập Toán 11›
Giải Toán 11 Hình Học›
Vấn đề 3. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Giải Toán 11: Vấn đề 3. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng
Om, đề 3. ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG KIẾN THỨC CẦN NHỚ Định nghĩa đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Định nghĩa: Một đườnặ thẳng gọi là vuông góc VỚỊ mặt phảng nếu nó vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. Định lí: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng thì đường thẳng ấy sẽ vuông.góc với mặt phẳng đó. Định lí ba đường vuông góc Cho đườn^ thẳng a có hình chiếu trên mp(P) là đường thẳng a’. Khi ấy một đường thang b nằm trong mặt phảng (P) vuông góc với a khi và chỉ khi nó vuông góc với a’. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng Định nghĩa: Nếu đường thẳng a vuông góc với mp(P) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng a và mp(P) bằng 90°. Nếu đường thẳng a không vuông góc với mp(P) thì góc giữa a và hình chiếu a’ của nó trên (P) gọi là góc giữa đường thẳng a và mp(P). PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN Chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng Để chứng minh đường thẳng d vuông góc vói mặt phẳng (P), ta chúng minh d vuông góc vói hai đưòng thẳng a và b cắt nhau cùng nằm trong (P). Chứng minh đường thẳng vuông góc với đường thẳng. Cách 1: Để chứng minh hai.đưòng thẳng vuông góc vói nhau, ta chứng minh đưòng thẳng này vuông góc vói một mặt phẳng chứa đường thẳng kia. Cách 2. Dùng định lí ba đường vuông góc. B. GIẢI BÀI TẬP SÁCH GIÁO KHOA Bài 1 Cho hai đường thẳng a, b và mặt phẳng (a). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai? a) Nếu a // (a ), và b 1 (a) thì a 1 b. b) Nếu a // (a ), và b ± a thì b ± (a ). c) Nếu a // (a ), và b // (a ) thì b // a. d) Nêu a± (a), và b ± a thì b // (a ). Trả lời a) Đúng b) Sai c) Sai d) Sai. Bài 2 Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và BCD là hai tam giác cân có chung đáy BC. Gọi I là trung điểm của cạnh BC, chứng minh rằng BC vuông góc với mặt phẳng(ADI). Gọi AH là đường cao của tam giác ADI, chứng minh rằng AH vuông góc với mặt phẳng(BCD). Giải 1 All BC ± (ADD BC 1 DIJ BC 1 => BC 1 AH. AH c (ADDJ Mà DI 1 AH nên AH 1 (BCD). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD tâm o và có SA = SC, SB = SD. Chứng minh rằng: SO vuông góc với mặt phẳng(ABCD); AC vuông góc với mặt phẳng(SBD) và BD vuông góc với mặt phẳng(SAC). ' Giải SO 1 AC so 1 BD AC 1 BD AC 1 SO; BD 1 SO BD 1 AC => so 1 (ABCD) => AC 1 (SBD). => BD 1 (SAC). Bài 4 Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA, OB và oc đôi một vuông góc. Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ o tới mặt phẳng(ABC). Chứng minh rằng a) H là trực tâm của tam giác ABC, 1 = „1 '1 J_ b OH2 OA2 + OB2 + oc2 Giải a) OH 1 (ABC) => OH 1 BC, OA 1 (OBC) OA 1 BC => BC 1 (OHA) => BC ± AH BC 1 (OAH) => BC 1 AH, K = AH n BC. Tương tự ta chứng minh được AB 1 CH. Vậy H là trực tâm của tam giác ABC-, b) Xét tam giác vuông OAK vuông tại o ta có 111 OH OA OK2 Xét tam giác vuông OBC vuông tại o ta có 1 11 OK2 Từ (1) và (2) ta suy ra Bài 5 OB2 1 OH2 oe2 1 OA2 Trên mặt phẳng a cho hình bình hành ABCD có tâm o. Người ta lấy điểm s ở ngoài mặt phẳng a sao cho SA - sc, SB = SD. Chứng minh SO la, Nếu trong mặt phẳng(SAB) kẻ SH vuông góc với AĐ tại H thì AB vuông góc với (SOH). a) b) Bài 6 Giải SA = SC => SO 1 AC, SB = SD SO 1 BD. Do đó SO 1 (ABCD) hay so 1 a ÍAB 1 SH AB i SO AB 1 (SOH) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD và có cạnh SA vuông góc với mặt phẳng(ABCD). Gọi I và K là hai điểm lần lượt lấy trên hai cạnh SB và SD sao cho -§1 - ỆỊS. Chứng minh: SB SD BD vuông góc với SC; Giải BD 1 (SAC) => BD 1 sc BD 1 ACl a) IK vuông góc với mặt phẳng (SAC). BD 1 SA b) BD 1 (SAC) mà IK // BD => IK 1 (SAC). Bài 7 Cho tứ diện S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng(ABC) và tam giác ABC vuông tại B. Kẻ AM vuông góc với SB tại M và lấy điểm N trên sc sao cho . Chứng minh rằng SB sc BC 1 (SAB), AM 1 (SBC), SB 1 AN. a) BC ± AB BC JL SA AM 1 BC AM 1 SB Giải BC 1 (SAB) AM 1 (SBC) b) Vi fM = nên MN // BC. SB SC SB i BC => SB 1 MN. Mặt khác SB 1 AM, do đó SB i (AMN). Suy ra SB ± AN. Bài 8 Cho điểm s không thuộc mặt phẳng (a) có hình chiếu trên (a ) là điểm H. Với điểm M bất kì trên (a ) và M không trùng với H, ta gọi SM là đường xiên và đoạn HM là hình chiếu của đường xiên đó. Chứng minh rằng: Hai đường xiên bằng nhau khi và chỉ khi hai hình chiếu của chúng bằng nhau; Với hai đường xiên cho trước, đường xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn và ngược lại đường xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn. Giải Học sinh vẽ hình. Giả sử có hai đường xiên SM và SN bằng nhau. Khi đó ta có hai tam giác vuông SHM và SHN bằng nhau. Do đó SM = SN HM = HN Giả sử có hai đường xiên SA > SB. Trên tia HA ta lấy điểm B’ sao cho HB’ = HB, khi đó SB’ = SB và SA > SB’. Dùng định lý Py-ta-go xét hai tam giác vuông SHA và SHB’ ta suy ra điều cần chứng minh. c. BÀI TẬP BỔ SUNG Bài 1 . Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA 1 mp(ABCD). Gọi M và N lần lượt là hình chiếu của điểm A trên các đường thẳng SB và SD. a) Chứng minh rằng MN // BD và SC 1 (AMN). b) Gọi K là giao điểm của sc với mp(AMN). Chứng minh tứ giác AMKN có hai đường chéo vuông góc. Tính góc giữa đường thẳng sc và mặt phẳng (ABCD), khi SA = a 42 , AB = a. Giải a) Do tam giác SAB vuông tại A và AM ± SB nên AB2 = BM.BS. Tương tự ta cũng có AD2 = DN.DS. Từ đó suy ra BM = DN. Mặt khác tam giác SBD cân tại đỉnh s nên MN song song với BD. Ta có BC ± (SAB) nên BC ± AM, mà SB ± AM nên AM ± sc. Tương tự, AN 1 sc. Vậy sc 1 (AMN). b) Do MN //• BD mà BD 1 (SAC) nên MN 1 (SAC), từ đó MN 1 AK. Ta có AC là hình chiếu của sc trên mặt phẳng (ABCD) nên SCA chính là góc giữa sc và mặt phảng (ABCD). Mặt khác AC = a 42 , SA = a VÍ. Vậy SCA = 45°. Bài 2 Cho hình chóp S.ABC có SA 1 mp(ABC). Gọi H và K lần lượt là trực tâm của các tam giác ABC và SBC. Chứng minh rằng: AH, SK, BC đồng quy; SC 1 mp(BHK); HK 1 mp(SBC) Giải 1) a) Gọi AA’ là đường cao của tam giác ABC, do SA ± (ABC) nên SA’ 1 BC (định lí ba đường vuông góc). Vì H là trực tâm tam giác ABC, K là trực tâm tam giác SBC nên H thuộc AA’, K thuộc SA’. Vậy AH, SK, BC đồng quy tại A’. ->c Do H là trực tâm tam giác ABC nên BH± AC, ngoài ra BH± SA nên BH ± sc. Mặt khác K là trực tâm tam giác SBC nên BK 1 sc. Vậy sc 1 (BHK). Từ câu b) ta suy ra HK 1 sc. Mặt khác HK 1 BC. Vậy HK 1 mp(SBC). Bài 3 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’.Goi H là trực tâm của tam giác ABC và biết rằng A’H vuông góc với mặt phảng (ABC). Chứng minh rằng: AA’l BC và AA’ 1B’C’. Gọi MM’ là giao tuyến của mặt phảng (AHA’) với mặt bên BCƠB’ trong đó M e BC và M’ G B’ơ. Chứng minh rằng tứ giác BCƠB’ là hình chữ nhật và MM’ là đường cao của hình chữ nhật đó. Giải BC 1 AH => BC 1 A’H vì A’H 1 (ABC). BC 1 (A’HA) => BC i AA’ và B’C’1 AA’ vì BC // B’C. Ta có AA’ // BB’ // CC’ mà BCl AA’ nên tứ giác BCƠB’ là hình chữ nhật. Vì AA’ // (BCC’B’) nên AA’// MM’và vì AA’ ± BC nên ta suy ra MM’ ± BC và MM’B’C’ hay MM’ là đường cao của hình chữ nhật BCC’B’. Bài 4 Hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy là (ABC). Gọi D là điểm đối xứng của điểm B qua trung điểm o của cạnh BC. Chứng minh rằng CD 1 CA và CD 1 (SCA). Giải Ta có SA 1 (ABC) SA ± DC c (ABC) Vì AC và BD cắt nhau tại trung điểm o của mỗi đoạn nên tứ giác ABCD là hình bình hành và ta có AB //DC. Vì AB ± AC nên CD ± CA. Mặt khác ta có CDl SA, do đó CD 1 (SCA). Bài 5 Chứng minh BC ± AD. Gọi AH là đường cao của tam giác ADL Giải Hai tam giác cân ABC và DBC nằm trong hai mặt phẳng khác nhau có chung cạnh đáy BC tạo nên tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của cạnh BC. Tam giác ABC cân đỉnh A và có I là trung điểm của BC nên AI 1 BC. Tương tự tam giác DBC cân đỉnh D và có I là trung điểm của BC nên DI ± BC. Ta suy ra: BC ± (AID) và BC 1 AD. 1 Vì BC 1 (AID) nên BC 1 AH. Mặt khác AH ± ID nên ta suy ra AH vuông góc với mặt phẳng (BCD). Bài 6 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi và có SB = SD = AB 1/ Chứng minh rằng mp(SAC) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng BD. 2/ Chứng minh tam giác ASC vuông tại s. 2/ Từ giả thiết, ta có: Giải 1/ Do ABCD là hình thoi nên AC ± BD (1) Gọi o là tâm hình thoi ABCD thì OB - OD. Theo bài ra: SB = SD AABD cân nên so ± BD (2) SB = SD = AB = AD = CB = CD Cạnh BD chung, nên AABD = ASBD = ACBD (c. c. c) Suy ra: OA = OS = oc. Vậy, ASAC vuông tại s. Từ (1), (2) suy ra: BD 1 mp(SAC) tại o, nên mp(SAC) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng BD. D. BẰI TẬP ĐỀ NGHỊ Bài 1 Cho tứ diện SABC có SA -L mp(ABC). Gọi H và K lần lượt là trực tâm của hai tam giác ABC và SBC. Chứng minh: 1/ SC 1 mp(BHK) 2/ HK 1 mp(SBC) Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD có: AB = BC = AC = a; SA = SB = sc = b. Gọi G là trọng tâm AABC . Chứng minh SG 1 mp(ABC) và hãy tính SG theo a và b. Bài 3 Cho tam giác vuông ABC có cạnh huyền BC - a. Một điểm M trong không gian thỏa MA = MB = MC = b. Vẽ MH ± mp(ABC). Tính độ dài MH theo a và b. Bài 4 Cho tam giác cân ABC có đáy BC nằm trên mp(P). Gọi A’ là hình chiếu của A trên mp(P). Biết BC = 16, AA’ = 6 và A’BC là tam giác vuông. Tính đường cao của tam giác ABC vẽ từ A. Bài 5 Trên mặt phẳng (a ) cho tam giác ABC vuông tại A, có AB = a, ABC = 60°. H e AC sao cho AH = 2HC; SH = , I là trung điểm BC. 1/ Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp SABCD là các tam giác vuông. Tính SA, SB, sc. 2/ Chứng minh các tam giác SIA, HIA là các tam giác vuông. Bài 6 Cho hai hình chữ nhật ABCD và ABEF không đồng phẳng có hai đường chéo AC và BF vuông góc. Vẽ CH ± BE và FK ± DA. 1/ Chứng minh các tam giác ACH và BFK là các tam giác vuông. 2/ Chứng minh AH ± BF và BK ± AC. Bài 7 Cho hình chóp S.ẠBC có SB vuông góc với mp(ABC), ABC là tam giác vuông tại A. Chứng minh rằng ACS là tam giác vuông. Tính SA, SB, sc biết rằng ACB = ữ., ACS = p và BC = a. Bài 8 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với mp(ABCD), SA - a và ABC = 60°. Tính SB, sc, SD. Gọí I là trung điểm của sc. Chứng minh rằng IB = ID. Bài 9 Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Gọi A là đường thẳng vuông góc với mp(ABC) kẻ từ A. Với điểm M bất kì thuộc À, M .^A, gọi K là trực tâm của tam giác MBC và A! là đường thẳng đi qua K và vuông góc với mp(MBC). Chứng minh rằng Aj đi qua điểm cố đỉnh khi M-thay đổi trên A. Chứng minh Aj -cắt A tại điếm N và BM ± CN, CM ± BN. Xác định vị trí điếm M để độ dài MN đạt giá trị bé nhất. Bài 10 Cho hình chóp s.ABC có đáy ABC là tam giác đều, SA = SB = sc = a và cùng tạo với mặt phảng (ABC) góc 60°. Một mặt phẳng song song với hai cạnh chéo nhau của hình chóp và cắt hình chóp đó theo thiết diện là hình vuông. Tính diện tích thiết diện đó.
Các bài học tiếp theo
- Vấn đề 4. Hai mặt phẳng vuông góc
- Vấn đề 5. Khoảng cách
- Bài tập ôn chương III
- Bài tập trắc nghiệm chương III
- Bài tập ôn tập cuối năm
Các bài học trước
- Vấn đề 2. Hai đường thẳng vuông góc
- Vấn đề 1. Vectơ trong không gian
- Bài tập ôn chương II
- Vấn đề 4. Hai mặt phẳng song song
- Vấn đề 3. Đường thẳng song song mặt phẳng
- Vấn đề 2. Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song
- Vấn đề 1. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng
- Bài tập ôn chương I
- Vấn đề 5. Phép đồng dạng
- Vấn đề 4. Phép vị tự
Tham Khảo Thêm
- Sách Giáo Khoa - Đại Số và Giải Tích 11
- Sách Giáo Khoa - Hình Học 11
- Giải Bài Tập Toán 11 Đại Số
- Giải Bài Tập Toán 11 Hình Học
- Giải Toán 11 Đại Số và Giải Tích
- Giải Toán 11 Hình Học(Đang xem)
- Giải bài tập Đại số và Giải tích 11
- Giải bài tập Hình học 11
Giải Toán 11 Hình Học
- Chương I. PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
- Vấn đề 1. Phép tịnh tiến
- Vấn đề 2. Phép quay
- Vấn đề 3. Khái niệm về phép dời hình và hai hình bằng nhau
- Vấn đề 4. Phép vị tự
- Vấn đề 5. Phép đồng dạng
- Bài tập ôn chương I
- Chương II. ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN - QUAN HỆ SONG SONG
- Vấn đề 1. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng
- Vấn đề 2. Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song
- Vấn đề 3. Đường thẳng song song mặt phẳng
- Vấn đề 4. Hai mặt phẳng song song
- Bài tập ôn chương II
- Chương III. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ VUÔNG GÓC
- Vấn đề 1. Vectơ trong không gian
- Vấn đề 2. Hai đường thẳng vuông góc
- Vấn đề 3. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng(Đang xem)
- Vấn đề 4. Hai mặt phẳng vuông góc
- Vấn đề 5. Khoảng cách
- Bài tập ôn chương III
- Bài tập trắc nghiệm chương III
- Bài tập ôn tập cuối năm
